Модуль числа

Модуль числа — это расстояние от этого числа до $0$ на числовой прямой. Модуль числа $a$ обозначают $\lvert a\rvert $ и читают «модуль $a$»; его также называют абсолютной величиной числа $a.$ И число $-4,$ и число $4$ находятся на расстоянии $4$ от $0,$ поэтому ${\lvert -4\rvert =4}$ и ${\lvert 4\rvert =4}.$

Расстояние не может быть отрицательным, поэтому и модуль никогда не бывает отрицательным. Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа, например $-7,$ — это то же число без знака минус: ${\lvert 7\rvert =7},$ ${\lvert -7\rvert =7},$ ${\lvert -2{,}5\rvert =2{,}5}.$

На этой странице: Определение · График y = |x| · Свойства · Квадратный корень · Расстояние · Уравнения · Неравенства · Неравенство треугольника · Задачи

Определение модуля

Модуль положительного числа и нуля равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу $-a.$ Пусть вас не смущает минус в записи $-a\text{:}$ если $a$ отрицательно, то $-a$ положительно. Например, при ${a=-7}$ получаем ${\lvert -7\rvert =-(-7)=7}.$

Пример 1. Найдите модули.

• ${\lvert 5\rvert =5},$ так как ${5\gt0};$
• ${\left|-\frac{4}{7}\right|=-\left(-\frac{4}{7}\right)=\frac{4}{7}},$ так как ${-\frac{4}{7}\lt0};$
• ${\lvert 0\rvert =0},$ так как ${0\ge0};$
• ${\lvert 3-8\rvert =\lvert -5\rvert =5}\text{:}$ сначала вычисляем значение выражения под знаком модуля;
• ${-\lvert -6\rvert =-6}\text{:}$ минус перед знаком модуля сохраняется.

Из определения сразу следуют два утверждения. Для любого действительного числа $a\text{:}$

Второе утверждение означает, что любое число лежит между своим модулем и числом, противоположным его модулю. Если ${a\ge0},$ то $a$ равно $\lvert a\rvert ;$ если ${a\lt0},$ то $a$ равно $-\lvert a\rvert .$ Например, при ${a=-3}$ получаем ${-3\le-3\le3}.$ Этим утверждением мы воспользуемся при доказательстве неравенства треугольника.

Модуль выражения

Чтобы раскрыть модуль, нужно знать знак выражения под модулем. Если выражение положительно или равно нулю, знак модуля просто опускают. Если оно отрицательно, его заключают в скобки и ставят перед скобками минус, а при раскрытии скобок каждое слагаемое меняет знак: например, ${-(x-3)=3-x}.$

Пример 2. Раскройте модуль: а) $\lvert \pi-4\rvert ;$ б) $\lvert \sqrt{2}-1\rvert ;$ в) $\lvert x^2+1\rvert ;$ г) $\lvert x-3\rvert .$

а) ${\pi\approx3{,}14},$ поэтому ${\pi-4\lt0}$ и ${\lvert \pi-4\rvert }={-(\pi-4)}={4-\pi.}$

б) ${\sqrt{2}\approx1{,}41},$ поэтому ${\sqrt{2}-1\gt0}$ и ${\lvert \sqrt{2}-1\rvert =\sqrt{2}-1}.$

в) ${x^2\ge0},$ поэтому ${x^2+1\gt0}$ при любом $x,$ и ${\lvert x^2+1\rvert =x^2+1}.$

г) Знак выражения ${x-3}$ зависит от $x,$ поэтому приходится рассмотреть два случая:

$$\lvert x-3\rvert =\begin{cases}x-3, & \text{если } x\ge3,\\ 3-x, & \text{если } x\lt3.\end{cases}$$

Например, при ${x=10}$ получаем ${\lvert 10-3\rvert =7=10-3},$ а при ${x=1}$ — ${\lvert 1-3\rvert =2=3-1}.$

График функции y = |x|

По определению функция ${y=\lvert x\rvert }$ совпадает с ${y=x}$ при ${x\ge0}$ и с ${y=-x}$ при ${x\lt0}.$ Поэтому её график состоит из двух лучей, которые выходят из начала координат и образуют «галочку» в форме буквы V. График нигде не опускается ниже оси абсцисс, потому что при любом $x$ выполняется ${\lvert x\rvert \ge0}.$ Он симметричен относительно оси ординат: значения $y$ в точках $x$ и $-x$ равны, потому что у противоположных чисел одинаковые модули.

Свойства модуля

Для любых действительных чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n\text{:}$

Свойство	Пример
${\lvert -a\rvert =\lvert a\rvert }$	${\lvert -9\rvert =\lvert 9\rvert =9}$
${\lvert ab\rvert =\lvert a\rvert \cdot\lvert b\rvert }$	${\lvert (-2)\cdot3\rvert =\lvert -6\rvert =6}$ и ${\lvert -2\rvert \cdot\lvert 3\rvert =2\cdot3=6}$
${\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\lvert a\rvert }{\lvert b\rvert }},$ ${b\ne0}$	${\left|\frac{-12}{4}\right|=\lvert -3\rvert =3}$ и ${\frac{\lvert -12\rvert }{\lvert 4\rvert }=\frac{12}{4}=3}$
${\lvert a^n\rvert =\lvert a\rvert ^n}$	${\lvert (-2)^3\rvert =\lvert -8\rvert =8}$ и ${\lvert -2\rvert ^3=2^3=8}$
${\lvert a\rvert ^2=a^2}$	${\lvert -5\rvert ^2}={5^2}={25}={(-5)^2}$

Сформулируем эти свойства словами: модули противоположных чисел равны; модуль произведения равен произведению модулей; модуль частного равен частному модулей. Свойство модуля произведения верно и для трёх и более множителей: ${\lvert a_1a_2\cdots a_n\rvert }={\lvert a_1\rvert \cdot\lvert a_2\rvert \cdots\lvert a_n\rvert .}$ Если все $n$ множителей равны $a,$ получаем свойство ${\lvert a^n\rvert =\lvert a\rvert ^n}.$ Последнее свойство, ${\lvert a\rvert ^2=a^2},$ верно, потому что $\lvert a\rvert $ равен $a$ или $-a,$ а квадрат каждого из этих чисел равен $a^2.$

Для суммы такого свойства нет: $\lvert a+b\rvert $ не всегда равен ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$ Например, ${\lvert 2+(-3)\rvert =\lvert -1\rvert =1},$ а ${\lvert 2\rvert +\lvert -3\rvert =2+3=5}.$ Для суммы верно только неравенство — неравенство треугольника.

Квадратный корень и модуль

Уравнение ${b^2=9}$ имеет два корня, ${b=3}$ и ${b=-3},$ потому что ${3^2=9}$ и ${(-3)^2=9}.$ Но запись $\sqrt{9}$ (арифметический квадратный корень) обозначает только неотрицательный из них: ${\sqrt{9}=3}.$ Значит, $\sqrt{a^2}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $a^2,$ а таким числом является $\lvert a\rvert \text{:}$ оно никогда не бывает отрицательным, и ${\lvert a\rvert ^2=a^2}.$

Например, ${\sqrt{(-4)^2}}={\sqrt{16}}={4}={\lvert -4\rvert .}$ Запись ${\sqrt{a^2}=a}$ неверна при отрицательных $a\text{:}$ она дала бы ${\sqrt{(-4)^2}=-4},$ а квадратный корень никогда не бывает отрицательным. Точно так же ${\sqrt{(x-5)^2}=\lvert x-5\rvert }$ и ${\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}}={\lvert 1-\sqrt{2}\rvert }={\sqrt{2}-1.}$

С помощью этой теоремы первые три свойства модуля доказываются очень коротко. Воспользуемся равенством ${\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert }$ и свойствами корня ${\sqrt{uv}=\sqrt{u}\cdot\sqrt{v}}$ (при ${u\ge0},$ ${v\ge0}$) и ${\sqrt{\frac{u}{v}}=\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}}}$ (при ${u\ge0},$ ${v\gt0}$):

${\lvert -a\rvert }={\sqrt{(-a)^2}}={\sqrt{a^2}}={\lvert a\rvert }$

${\lvert ab\rvert }={\sqrt{(ab)^2}}={\sqrt{a^2b^2}}={\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b^2}}={\lvert a\rvert \cdot\lvert b\rvert }$

${\left|\frac{a}{b}\right|}={\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2}}={\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}}={\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}}={\frac{\lvert a\rvert }{\lvert b\rvert }}$ ${b\ne0}$

Модуль и расстояние

Пусть $A$ и $B$ — точки числовой прямой с координатами $a$ и $b.$ Если ${a\lt b},$ то расстояние между ними равно ${b-a};$ если ${a\gt b},$ то оно равно ${a-b};$ а если ${a=b},$ то оно равно $0.$ Во всех трёх случаях расстояние равно модулю разности координат:

Пример 3. Расстояние между числами $-3$ и $5$ равно ${\lvert 5-(-3)\rvert =\lvert 8\rvert =8}.$ Порядок вычитания не важен: ${\lvert -3-5\rvert =\lvert -8\rvert =8}$ — результат тот же. Расстояние между $-6$ и $-2$ равно ${\lvert -2-(-6)\rvert =\lvert 4\rvert =4}.$

В частности, ${\lvert x\rvert =\lvert x-0\rvert }$ — это расстояние от $x$ до $0,$ как в начале урока, а $\lvert x-c\rvert $ — расстояние от $x$ до числа $c.$ Выражение со знаком плюс тоже задаёт расстояние: ${\lvert x+2\rvert =\lvert x-(-2)\rvert }$ — это расстояние от $x$ до $-2.$ Если читать модуль как расстояние, уравнения и неравенства из следующих разделов легко представить на числовой прямой.

Уравнения с модулем

Если ${\lvert X\rvert =5},$ то $X$ находится на расстоянии $5$ от $0,$ поэтому ${X=5}$ или ${X=-5}.$ В общем случае:

Здесь $X$ — любое выражение, например ${x-3}$ или ${2x+1}.$ Прежде чем применять правило, уедините модуль: в одной из частей уравнения должен остаться только он.

Пример 4. Решите уравнение ${\lvert x-3\rvert =4}.$

${x-3=4}$ или ${x-3=-4}$

${x=7}$ или ${x=-1}$ прибавляем $3$

Уравнение имеет два корня: $7$ и $-1.$ На числовой прямой $\lvert x-3\rvert $ — это расстояние от $x$ до $3,$ а на расстоянии $4$ от числа $3$ находятся два числа: ${3+4=7}$ и ${3-4=-1}.$

Проверка: ${\lvert 7-3\rvert =\lvert 4\rvert =4}$ и ${\lvert -1-3\rvert =\lvert -4\rvert =4}.$

Пример 5. Решите уравнение ${3\lvert 2x+1\rvert -5=10}.$

Сначала уединим модуль в левой части:

$3\lvert 2x+1\rvert =15$ прибавляем $5$

$\lvert 2x+1\rvert =5$ делим на $3$

${2x+1=5}$ или ${2x+1=-5}$

${2x=4}$ или ${2x=-6}$ вычитаем $1$

${x=2}$ или ${x=-3}$ делим на $2$

Проверка: при ${x=2}$ получаем ${3\cdot\lvert 2\cdot2+1\rvert -5}={3\cdot5-5}={10;}$ при ${x=-3}$ получаем ${3\cdot\lvert 2\cdot(-3)+1\rvert -5}={3\cdot\lvert -5\rvert -5}={10.}$

Пример 6. Решите уравнения: а) ${\lvert 4x-1\rvert +6=2};$ б) ${\lvert x+2\rvert =0}.$

а) Вычитаем $6\text{:}$ ${\lvert 4x-1\rvert =-4}.$ Модуль не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет корней.

б) ${x+2=0},$ поэтому ${x=-2}$ — единственный корень.

Уравнения вида |X| = |Y|

Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа равны или противоположны, как $5$ и $-5.$ Поэтому:

Пример 7. Решите уравнение ${\lvert 3x-2\rvert =\lvert 5x+4\rvert }.$

Первый случай: ${3x-2=5x+4}.$

$3x-5x=4+2$ переносим $5x$ влево, а $-2$ вправо

$-2x=6$

$x=-3$ делим на $-2$

Второй случай: ${3x-2=-(5x+4)}.$

$3x-2=-5x-4$ раскрываем скобки

$3x+5x=-4+2$

$8x=-2$

$x=-\frac{1}{4}$ делим на $8$

Уравнение имеет два корня: $-3$ и ${-\frac{1}{4}}.$ Проверка: при ${x=-3}$ обе части равны ${\lvert -11\rvert =11};$ при ${x=-\frac{1}{4}}$ получаем ${\left|-\frac{11}{4}\right|=\left|\frac{11}{4}\right|}.$

Переменная в другой части уравнения

В уравнении вида ${\lvert x-3\rvert =2x}$ правая часть при некоторых значениях $x$ отрицательна, а левая никогда не бывает отрицательной. Рассматриваем два случая, как и раньше, а затем проверяем каждое найденное число подстановкой в исходное уравнение. Число, при котором правая часть отрицательна, корнем не является.

Пример 8. Решите уравнение ${\lvert x-3\rvert =2x}.$

${x-3=2x}$ или ${x-3=-2x}$

${-x=3}$ или ${3x=3}$ собираем слагаемые с $x$ в левой части

${x=-3}$ или ${x=1}$

Проверим ${x=-3}\text{:}$ левая часть равна ${\lvert -3-3\rvert =6},$ а правая равна ${2\cdot(-3)=-6}.$ Они не равны, поэтому $-3$ не является корнем. Проверим ${x=1}\text{:}$ ${\lvert 1-3\rvert =2}$ и ${2\cdot1=2}.$ Уравнение имеет единственный корень ${x=1}.$

Два модуля: метод интервалов

Пример 9. Решите уравнение ${\lvert x-1\rvert +\lvert x+2\rvert =5}.$

Выражение ${x-1}$ меняет знак в точке ${x=1},$ а выражение ${x+2}$ — в точке ${x=-2}.$ Эти две точки разбивают числовую прямую на три промежутка. На каждом промежутке знаки выражений известны, поэтому модули можно раскрыть и решить обычное линейное уравнение. Найденный корень подходит, только если он принадлежит тому промежутку, который мы рассматриваем.

	${x\lt-2}$	${-2\le x\lt1}$	${x\ge1}$
${x-1}$	$-$	$-$	$+$
${x+2}$	$-$	$+$	$+$

1) ${x\lt-2}\text{:}$ оба выражения отрицательны.

$-(x-1)-(x+2)=5$

$-2x-1=5$

$-2x=6$

$x=-3$ ${-3\lt-2},$ значит, это корень

2) ${-2\le x\lt1}\text{:}$ ${x-1}$ отрицательно, а ${x+2}$ — нет.

$-(x-1)+(x+2)=5$

$3=5$ неверно: на этом промежутке корней нет

3) ${x\ge1}\text{:}$ оба выражения неотрицательны.

$(x-1)+(x+2)=5$

$2x+1=5$

$2x=4$

$x=2$ ${2\ge1},$ значит, это корень

Уравнение имеет два корня: $-3$ и $2.$

Тот же ответ можно получить с помощью расстояний: ${\lvert x-1\rvert +\lvert x+2\rvert }$ — это сумма расстояний от $x$ до $1$ и от $x$ до $-2.$ Для любого $x$ между $-2$ и $1$ эта сумма равна длине отрезка от $-2$ до $1,$ то есть $3,$ а не $5.$ Если $x$ выходит за любой из концов отрезка на $1,$ оба расстояния увеличиваются на $1,$ поэтому сумма увеличивается на $2$ и становится равной $5.$ Значит, ${x=-3}$ или ${x=2}.$

Неравенства с модулем

Будем читать $\lvert x-a\rvert $ как расстояние от $x$ до $a,$ и пусть ${k\gt0}.$ Тогда ${\lvert x-a\rvert \lt k}$ означает, что $x$ находится на расстоянии меньше $k$ от $a,$ поэтому ${-k\lt x-a\lt k},$ и $x$ лежит между ${a-k}$ и ${a+k},$ в интервале ${(a-k;\ a+k)}.$ А ${\lvert x-a\rvert \gt k}$ означает, что $x$ находится на расстоянии больше $k$ от $a\text{:}$ левее ${a-k}$ или правее ${a+k}.$

Пример 10. Решите неравенство ${\lvert x-3\rvert \lt4}.$

$-4\lt x-3\lt4$

$-1\lt x\lt7$ прибавляем $3$ ко всем трём частям

Множество решений — интервал ${(-1;\ 7)}\text{:}$ это числа, которые находятся на расстоянии меньше $4$ от $3.$

Пример 11. Решите неравенство ${\lvert x+4\rvert \ge2}.$

${x+4\le-2}$ или ${x+4\ge2}$

${x\le-6}$ или ${x\ge-2}$ вычитаем $4$

Множество решений — ${{(-\infty;\ -6]\cup[-2;\ +\infty)}\text{:}}$ это числа, которые находятся на расстоянии не меньше $2$ от $-4.$

Пример 12. Решите неравенство ${\lvert 5-2x\rvert \le3}.$

$-3\le5-2x\le3$

$-8\le-2x\le-2$ вычитаем $5$ из всех трёх частей

$4\ge x\ge1$ делим на $-2$ и меняем оба знака

Значит, ${1\le x\le4},$ и множество решений — отрезок ${[1;\ 4]}.$

Если число в правой части отрицательно или равно нулю, вспомните, что модуль никогда не бывает отрицательным: неравенство ${\lvert 2x-1\rvert \lt-3}$ не имеет решений, ${\lvert 2x-1\rvert \ge-3}$ верно при любом $x,$ а ${\lvert x-2\rvert \le0}$ верно только при ${x=2}.$ Больше примеров — в уроке Решение линейных неравенств.

Неравенство треугольника

Мы уже видели, что $\lvert a+b\rvert $ не всегда равен ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$ При ${a=2}$ и ${b=-3}$ получаем ${a+b=-1}$ и ${\lvert a+b\rvert =1},$ а ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =2+3=5}.$ Посмотрим на числовую прямую: начнём в точке $0,$ сдвинемся на $2$ единицы вправо, а затем на $3$ единицы влево. Мы прошли ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =5}$ единиц, но оказались на расстоянии всего ${\lvert a+b\rvert =1}$ от $0.$

Доказательство. Для любых действительных чисел $a$ и $b$ верны неравенства ${-\lvert a\rvert \le a\le\lvert a\rvert }$ и ${-\lvert b\rvert \le b\le\lvert b\rvert }.$ Сложим эти двойные неравенства почленно:

$$-(\lvert a\rvert +\lvert b\rvert )\le a+b\le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert .$$

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: ${a+b\ge0}.$ Тогда ${\lvert a+b\rvert =a+b},$ и правое неравенство даёт ${\lvert a+b\rvert \le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$

Случай 2: ${a+b\lt0}.$ Тогда ${\lvert a+b\rvert =-(a+b)}.$ Умножим левое неравенство, ${-(\lvert a\rvert +\lvert b\rvert )\le a+b},$ на $-1$ и изменим его знак на противоположный: ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert \ge-(a+b)},$ то есть ${\lvert a+b\rvert \le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$

Название пришло из геометрии: в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Неравенство верно и для большего числа слагаемых: ${\lvert a_1+a_2+\cdots+a_n\rvert }\le{\lvert a_1\rvert +\lvert a_2\rvert +\cdots+\lvert a_n\rvert .}$ Для разности из него следует ${\lvert a-b\rvert \ge\lvert a\rvert -\lvert b\rvert }\text{:}$ запишем $a$ как ${(a-b)+b},$ тогда ${\lvert a\rvert \le\lvert a-b\rvert +\lvert b\rvert },$ и остаётся вычесть $\lvert b\rvert $ из обеих частей.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите значения выражений: а) $\lvert -12\rvert ;$ б) $\lvert 7-15\rvert ;$ в) $-\lvert -9\rvert ;$ г) ${\lvert -3\rvert \cdot\lvert 4\rvert -\lvert -20\rvert };$ д) ${\left|-\frac{2}{3}\right|+\left|\frac{1}{3}-1\right|}.$

Ответ

а) ${\lvert -12\rvert =12}.$ б) ${\lvert 7-15\rvert =\lvert -8\rvert =8}.$ в) ${-\lvert -9\rvert =-9}.$ г) ${3\cdot4-20=-8}.$ д) ${\frac{2}{3}+\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}}.$

2. Упростите выражения: а) $\lvert \pi-3\rvert ;$ б) $\lvert 2-\sqrt{5}\rvert ;$ в) $\lvert x^2+4\rvert ;$ г) $\lvert x-7\rvert ,$ если ${x\lt7};$ д) $\sqrt{(3-\pi)^2}.$

Ответ

а) ${\pi-3\gt0},$ поэтому ${\lvert \pi-3\rvert =\pi-3}.$

б) ${\sqrt{5}\approx2{,}24},$ поэтому ${2-\sqrt{5}\lt0}$ и ${\lvert 2-\sqrt{5}\rvert =\sqrt{5}-2}.$

в) ${x^2+4\gt0},$ поэтому ${\lvert x^2+4\rvert =x^2+4}.$

г) ${x-7\lt0},$ поэтому ${\lvert x-7\rvert =7-x}.$

д) ${\sqrt{(3-\pi)^2}}={\lvert 3-\pi\rvert }={\pi-3.}$

3. Найдите расстояние между числами: а) $-7$ и $2;$ б) $-8$ и $-3;$ в) $1{,}5$ и $-2{,}5.$

Ответ

а) ${\lvert 2-(-7)\rvert =9}.$ б) ${\lvert -3-(-8)\rvert =5}.$ в) ${\lvert -2{,}5-1{,}5\rvert }={\lvert -4\rvert }={4.}$

4. Решите уравнения: а) ${\lvert x+2\rvert =6};$ б) ${\lvert 3x-1\rvert =8};$ в) ${\lvert 2-x\rvert =0};$ г) ${\lvert 4x+3\rvert =-1}.$

Ответ

а) ${x+2=6}$ или ${x+2=-6},$ откуда ${x=4}$ или ${x=-8}.$

б) ${3x-1=8}$ или ${3x-1=-8},$ откуда ${x=3}$ или ${x=-\frac{7}{3}}.$

в) ${2-x=0},$ откуда ${x=2}.$

г) Модуль никогда не бывает отрицательным: корней нет.

5. Решите уравнения: а) ${4\lvert x-1\rvert +3=11};$ б) ${5-\lvert 2x+1\rvert =2}.$

Ответ

а) ${4\lvert x-1\rvert =8},$ откуда ${\lvert x-1\rvert =2}\text{:}$ ${x=3}$ или ${x=-1}.$

б) ${\lvert 2x+1\rvert =5-2=3},$ поэтому ${2x+1=3}$ или ${2x+1=-3}\text{:}$ ${x=1}$ или ${x=-2}.$

6. Решите уравнение ${\lvert 2x-3\rvert =\lvert x+6\rvert }.$

Ответ

Из ${2x-3=x+6}$ получаем ${x=9};$ из ${2x-3=-(x+6)}$ получаем ${3x=-3},$ то есть ${x=-1}.$ Проверка: ${\lvert 15\rvert =\lvert 15\rvert }$ и ${\lvert -5\rvert =\lvert 5\rvert }.$ Корни уравнения: $9$ и $-1.$

7. Решите уравнение ${\lvert x+4\rvert =3x}.$

Ответ

Из ${x+4=3x}$ получаем ${x=2};$ из ${x+4=-3x}$ получаем ${x=-1}.$ Проверка: при ${x=2}$ получаем ${\lvert 6\rvert =6=3\cdot2}.$ При ${x=-1}$ правая часть ${3x=-3}$ отрицательна, поэтому $-1$ не является корнем. Уравнение имеет единственный корень ${x=2}.$

8. Решите уравнение ${\lvert x\rvert +\lvert x-4\rvert =6}.$

Ответ

Выражения под знаком модуля меняют знак в точках $0$ и $4.$

При ${x\lt0}\text{:}$ ${-x-(x-4)=6},$ откуда ${-2x+4=6}$ и ${x=-1};$ это число меньше $0,$ значит, оно является корнем.

При ${0\le x\lt4}\text{:}$ ${x-(x-4)=6}$ даёт ${4=6},$ а это неверно: здесь корней нет.

При ${x\ge4}\text{:}$ ${x+x-4=6},$ откуда ${2x=10}$ и ${x=5}$ — это корень.

Корни уравнения: $-1$ и $5.$

9. Решите неравенства и запишите ответ с помощью числовых промежутков: а) ${\lvert x-5\rvert \le3};$ б) ${\lvert 2x+3\rvert \gt7};$ в) ${\lvert x+1\rvert \lt-2};$ г) ${\lvert 3-x\rvert \ge0}.$

Ответ

а) ${-3\le x-5\le3},$ откуда ${2\le x\le8}\text{:}$ ${[2;\ 8]}.$

б) ${2x+3\lt-7}$ или ${2x+3\gt7},$ откуда ${x\lt-5}$ или ${x\gt2}\text{:}$ ${(-\infty;\ -5)\cup(2;\ +\infty)}.$

в) Решений нет: модуль никогда не бывает отрицательным.

г) Модуль никогда не бывает отрицательным, поэтому решением является любое действительное число: ${(-\infty;\ +\infty)}.$

10. Запишите отрезок ${[-1;\ 5]}$ в виде неравенства с модулем.

Ответ

Середина отрезка — число ${\frac{-1+5}{2}=2},$ а его концы находятся на расстоянии $3$ от неё. Поэтому этот отрезок — множество решений неравенства ${\lvert x-2\rvert \le3}.$

11. Проверьте неравенство треугольника при а) ${a=-4},$ ${b=7};$ б) ${a=-4},$ ${b=-7}.$

Ответ

а) ${\lvert a+b\rvert =\lvert 3\rvert =3}$ и ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =4+7=11}\text{:}$ ${3\lt11}.$

б) ${\lvert a+b\rvert =\lvert -11\rvert =11}$ и ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =4+7=11}\text{:}$ обе части равны, потому что $a$ и $b$ оба отрицательны.

Следующая тема: Решение линейных неравенств. Проверить свои ответы можно с помощью онлайн-решателя задач.