Модули

В этой лекции мы рассмотрим:

  • Модули
  • неравенства с участием модулей
  • Теорема 1.2.2 (√a2=|a|)
  • Теорема неравенства


1.2.1 Определение

Абсолютное значение или модуль действительного числа a (обозначается как |a|) определяется как
|a| = a если а ≥ 0
|a| = -a если а < 0


      Пример
|5| = 5     Так как 5 > 0
|-4| = -(-4) = 4   Так как -4 < 0
|0| = 0     Так как 0 ≥ 0


      Замечание
|a| есть не отрицательным числом для всех значений a и
-|a|≤ a ≤ |a|

Если a является негативным тогда -a позитивно и +a отрицательное!!!


      Пример
Решите уравнение       |x-3|=4
Решение

x-3= 4

    x= 7
  или   -(x-3)= 4
    x-3= -4
       x= -1
Уравнение имеет 2 решения: -1 и 7.


      Пример
Решите уравнение |3x-2|=|5x+4|

3x-2   = 5x+4
3x-5x = 4+2
    -2x = 6
       x = -3
  или   3x-2 = -(5x+4)
    ..
    .
       x = $-\frac{1}{4}$
Уравнение имеет 2 решения: -3 и $-\frac{1}{4}$.


      КВАДРАТНЫЕ КОРНИ И МОДУЛИ
            b2 = a

          (3)2 = 9
          so b = 3
но!!!
  (-3)2 = 9 то есть b = -3


Позитивный корень квадрата числа равен этому числу.


      ТЕОРЕМА 1.2.2
Для любого действительного числа a
            √a2 = |a|
e.g.
      √(-4)2 = √16 = 4 = |-4|


      ТЕОРЕМА 1.2.3
Если a и b действительные числа, тогда

  1. |-a| = |a|    число a и его отрицательное значение имеет одинаковые модули.
  2. |ab| = |a||b|    Модуль произведения двух чисел есть произведение их модулей.
  3. |a/b| = |a|/|b|    Модуль отношения двух чисел есть отношение их модулей.


      Доказательство
Из теоремы 1.2.2

(a)  |-a| = √(-a)2 = √a2 = |a|

(b)  |ab| = √(ab)2 = √a2b2 = √a2b2 = |a||b|


      Примеры

(a)  |-4| = |4|

(b)  |2.-3| = |-6| = 6 = |2|.|3| = 6

(c)  |5/4| = 5/4 = |5|/|4| = 5/4


     Результат (b) вышеизложенной теоремы может быть применено к трем или более членам.
Для n действительных чисел
a1, a2, a3,...an

(a) |a1 a2 ...an| = |a1| |a2| ...|an|
(b) |an| = |a|n


      Геометрическое представление модуля

Где A и B есть точки с координатами a и b. Расстояние между A и B есть
$\text{расстояние}=\begin{cases}b-a \ \ \text{ ако } a < b \\ a-b \ \ \text{ ако } a > b \\ 0 \ \ \text{ ако } a = b \end{cases}$


      Теорема 1.2.4 (Формула расстояния)
    Если A и B - точки на координатной прямой с координатами a и b соответственно, тогда расстояние d между A и B
        d = |b - a|


      ТАБЛИЦА 1.2.2 (a)
                    |x-a| < k (k>0)

          Альтернативная форма     -k < x-a < k
          Искомые значения находятся           (a-k, a+k)


      Пример
Неравенство
  |x-3| < 4
можно выразить как
  -4 < x-3 < 4
добавление 3 к обеим частям приводит к
  -1 < x < 7
Искомые значения находятся (-1,7)

                        On real line


      Пример
Решите |x+4| ≥ 2
x+4 ≤ -2
x ≤ -6
    x+4 ≥ 2
x≥ -2
Объединение двух неравенств дает
                (-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )

                          На численной прямой


      НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

Не всегда верно, что
|a+b| = |a| + |b|
например
если a = 2 и b = -3, тогда a+b = -1 и поэтому |a+b| = |-1| = 1
в то время как
|a|+|b| = |2|+|-3| = 2+3 = 5 поэтому |a+b| = |a|+|b|


      1.2.5 ТЕОРЕМА - (Неравенство треугольника)
Если   a  b  тогда |a+b| ≤ |a|+|b|
      Доказательство
Так как для любого действительного числа a и b, мы знаем, что
-|a| ≤ a ≤ |a|   and   -|b| ≤ b ≤ |b|
          -|a| ≤ a ≤ |a|
                   +
          -|b| ≤ b ≤ |b|
      ______________
= -|a| + -|b| ≤ a+b ≤ |a|+|b|
______________________________________________
Сейчай мы имеем два случая:

Первый случай, где a+b ≥ 0
определенно: a+b=|a+b|
Отсюда
        |a+b| ≤ |a|+|b|

И

Второй случай где a+b < 0
        |a+b| = -(a+b)
                или
        (a+b) = -|a+b|

По сравнению с начальной неравенство
-(|a|+|b|) ≤ -|a+b|
  Следует результат
_______________________________

Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.