Модули

В этой лекции мы рассмотрим:

Модули
неравенства с участием модулей
Теорема 1.2.2 (√a²=|a|)
Теорема неравенства

1.2.1 Определение

Абсолютное значение или модуль действительного числа a (обозначается как |a|) определяется как
|a| = a если а ≥ 0
|a| = -a если а < 0

Пример
|5| = 5 Так как 5 > 0
|-4| = -(-4) = 4 Так как -4 < 0
|0| = 0 Так как 0 ≥ 0

Замечание
|a| есть не отрицательным числом для всех значений a и
-|a|≤ a ≤ |a|

Если a является негативным тогда -a позитивно и +a отрицательное!!!

Пример
Решите уравнение |x-3|=4
Решение

x-3= 4

x= 7

или

-(x-3)= 4
x-3= -4
x= -1

Уравнение имеет 2 решения: -1 и 7.

Пример
Решите уравнение |3x-2|=|5x+4|

3x-2 = 5x+4
3x-5x = 4+2
-2x = 6
x = -3

или

3x-2 = -(5x+4)
..
.
x = $-\frac{1}{4}$

Уравнение имеет 2 решения: -3 и $-\frac{1}{4}$.

КВАДРАТНЫЕ КОРНИ И МОДУЛИ
b² = a
(3)² = 9
so b = 3
но!!!
(-3)² = 9 то есть b = -3

Позитивный корень квадрата числа равен этому числу.

ТЕОРЕМА 1.2.2
Для любого действительного числа a
√a² = |a|
e.g.
√(-4)² = √16 = 4 = |-4|

ТЕОРЕМА 1.2.3
Если a и b действительные числа, тогда

|-a| = |a| число a и его отрицательное значение имеет одинаковые модули.
|ab| = |a||b| Модуль произведения двух чисел есть произведение их модулей.
|a/b| = |a|/|b| Модуль отношения двух чисел есть отношение их модулей.

Доказательство
Из теоремы 1.2.2

(a) |-a| = √(-a)² = √a² = |a|

(b) |ab| = √(ab)² = √a²b² = √a²√b² = |a||b|

Примеры

(a) |-4| = |4|

(b) |2.-3| = |-6| = 6 = |2|.|3| = 6

(c) |5/4| = 5/4 = |5|/|4| = 5/4

Результат (b) вышеизложенной теоремы может быть применено к трем или более членам.
Для n действительных чисел
a₁, a₂, a₃,...a_n
(a) |a₁ a₂ ...a_n| = |a₁| |a₂| ...|a_n|
(b) |aⁿ| = |a|ⁿ

Геометрическое представление модуля

Где A и B есть точки с координатами a и b. Расстояние между A и B есть
$\text{расстояние}=\begin{cases}b-a \ \ \text{ ако } a < b \\ a-b \ \ \text{ ако } a > b \\ 0 \ \ \text{ ако } a = b \end{cases}$

Теорема 1.2.4 (Формула расстояния)
Если A и B - точки на координатной прямой с координатами a и b соответственно, тогда расстояние d между A и B
d = |b - a|

ТАБЛИЦА 1.2.2 (a)
|x-a| < k (k>0)

Альтернативная форма -k < x-a < k
Искомые значения находятся (a-k, a+k)

Пример
Неравенство
|x-3| < 4
можно выразить как
-4 < x-3 < 4
добавление 3 к обеим частям приводит к
-1 < x < 7
Искомые значения находятся (-1,7)

On real line

Пример
Решите |x+4| ≥ 2

x+4 ≤ -2
x ≤ -6

x+4 ≥ 2
x≥ -2

Объединение двух неравенств дает
(-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )

На численной прямой

НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

Не всегда верно, что
|a+b| = |a| + |b|
например
если a = 2 и b = -3, тогда a+b = -1 и поэтому |a+b| = |-1| = 1
в то время как
|a|+|b| = |2|+|-3| = 2+3 = 5 поэтому |a+b| = |a|+|b|

1.2.5 ТЕОРЕМА - (Неравенство треугольника)
Если a b тогда |a+b| ≤ |a|+|b|
Доказательство
Так как для любого действительного числа a и b, мы знаем, что
-|a| ≤ a ≤ |a| and -|b| ≤ b ≤ |b|
-|a| ≤ a ≤ |a|
+
-|b| ≤ b ≤ |b|
______________
= -|a| + -|b| ≤ a+b ≤ |a|+|b|
______________________________________________
Сейчай мы имеем два случая:

Первый случай, где a+b ≥ 0
определенно: a+b=|a+b|
Отсюда
|a+b| ≤ |a|+|b|

И

Второй случай где a+b < 0
|a+b| = -(a+b)
или
(a+b) = -|a+b|

По сравнению с начальной неравенство
-(|a|+|b|) ≤ -|a+b|
Следует результат
←^{_______________________________}→