Полиномиальные и рациональные неравенства

Решение полиномиальных и рациональных неравенств.

Мы будем использовать комбинацию алгебраических и графических методы для решения полиномиальных и рациональных неравенств.

Полиномиальные неравенства

Как квадратное уравнение может быть записано в форме аx² + bx + c = 0, квадратное неравенство может быть записано в форме ax² + bx + c ? 0, где ? можеть быть <, >, ≤, или ≥. Вот несколько примеров квадратных неравенств:
3x² - 2x - 5 >0, (-1/2)x² + 4x -7 ≤ 0.
Квадратные неравенства есть одним видом полиномиальных неравенств. Другие примеры полиномиальных неравенств:
-2x⁴ + x² - 3 < 7, (2/3)x + 4 ≥ 0, и 4x³ - 2x² > 5x + 7.
Когда символ неравенства в полиномиальном неравенстве заменяется знаком равенства, формируется связанное уравнение. Полиномиальные неравенство может быть легко решено, после того как решено связанное уравнение.

ПРИМЕР 1 Решите: x³ - x > 0.
Решение Нас просят найти все значения x, для которых x³ - x > 0. Чтобы локализовать эти значения, мы рисуем функцию f(x) = x³ -x. Тогда мы замечаем, что когда функция меняет знак, ее график пересекает ось абсцисс. Так, чтобы решить x³ - x > 0, мы сначала решаем связанное уравнение x³ - x = 0 чтобы найти все нули функции:
x³ - x = 0
x(x² - 1) = 0
x(x + 1)(x - 1) = 0.

Нули есть -1, 0, и 1. Так, точки пересечения с осью х есть (-1, 0), (0,0) и (1, 0), как показано на рисунке внизу. Нули делят ось х на четыре интервала:

Для всех значений х внутри заданного интервала знак x³ - x должен быть положительным или отрицательным. Но чтобы определить какой, мы выбираем тестовое значение для x из каждого интервала и находим f(x). Мы можем определить знак f(x) в каждом интервале смотря на график функции.

Интервал	Тестовое значение	Знак f(x)
(-∞ -1)	f(-2) = -6	Отрицальный
(-1; 0)	f(-0.5) = 0.375	Положительный
(0, 1)	f(0.5) = -0.375	Отрицальный
(1, ∞)	f(2) = 6	Положительный

Так как мы решаем x³ - x > 0, в множество решений входят только два из четырех интервалов, в которых знак f(x) положительный. Мы видим, что мнежество решений есть (-1, 0)

(1, ∞), или {x| - 1 < x < 0 или x > 1}.

Чтобы решить полиномиальное неравенство:
1. Найдите эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне.
2. Решите связанное полиномиальное уравнение.
3. Используйте решения, чтобы разделить ось x на интервалы. Тогда выберите тестовое значение из каждого интервала и определите знак полинома на каждом интервале.
4. Определите интервалы, для которых неравенство есть верным и запишите обозначения интервала или множество решений. Включите конечные точки интервалов в множество решений если символ неравенства есть ≤ или ≥.

ПРИМЕР 2 Решите: 3x⁴ + 10x ≤ 11x³ + 4.
Решение Путем вычитания 11x³ + 4, мы формируем эквивалентное неравенство 3x⁴ - 11x³ + 10x - 4 ≤ 0.

Алгебраическое решение

Графическое решение

Во-первых, решим связанное уравнение
3x⁴ - 11x³ + 10x - 4 = 0,
. Решение
-1, 2 - √2, 2/3, и 2 + √2,
или приблизительно
-1, 0.586, 0.667, and 3.414.
Эти числа делят ось х на пять интервалов:
(-∞, -1), (-1, 2 - √2), (2 - √2, 2/3), (2/3, 2 + √2), и (2 + √2, ∞).

Тогда f(x) = 3x⁴ - 11x³ + 10x - 4 и и, используя тестовые значения для f(x), определяем знак f(x) в каждом интервале:

Значения функции отрицательны в интервалах (-1, 2 - √2) и (2/3, 2 + √2). Так как знак неравенства есть ≤, мы включаем конечные точки интервалов во множество решений. Множество решений есть
[-1, 2 - √2]

[2/3, 2 + √2], или {x|-1 ≤ x ≤ 2 - √2 или 2/3 ≤ x ≤ 2 + √2}.

Нарисуем функцию y = 3x⁴ - 11x³ + 10x - 4.

Мы видим, что два нуля есть в точках -1 и приблизительно 3.414(2 + √2 ≈ 3.414). Следующие нули лежат в интервале [0, 1]. эти нули в точках (приблизительно) 0.586 и 0.667(2 - √2 ≈ 0.586; 2/3 ≈ 0.667).

Тогда интервалы для рассмотрения: (-∞, -1), (-1, 0.586), (0.586, 0.667), (0.667, 3.414) и (3.414, ∞). Отмечаем на графике, где функция является отрицательной. Затем, включая соответствующие конечные точки получаем, что множество решений составляет приблизительно
[-1, 0.586]

[0.667, 3.414] или {x|-1 ≤ x ≤ 0.586 or 0.667 ≤ x ≤ 3.414}.

Рациональные неравенства

Некоторые неравенства включают в себя рациональные выражения и функции. Такие неравенства называются рациональными неравенствами. Для их решения мы должны внести несколько корректировок в предыдущий метод.

ПРИМЕР 3 Решите: (x - 3)/(x + 4) ≥ (x + 2)/(x - 5).
Решение Во-первых мы вычитаем (x + 2)/(x - 5) чтобы получить эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне:
(x - 3)/(x + 4) - (x + 2)/(x - 5) ≥ 0.

Алгебраическое решение

Графическое решение

Мы ищем все значения x, для которых функция
f(x) = (x - 3)/(x + 4) - (x + 2)/(x - 5)
не определена или равна 0. Такие значения называются критическими.
Посмотрев на знаменатель, мы увидим, что она не определена для x = -4 и x = 5. Далее, мы решаем f(x) = 0:
(x - 3)/(x + 4) - (x + 2)/(x - 5) = 0.
(x + 4)(x - 5)[(x - 3)/(x + 4) - (x + 2)/(x - 5)] = (x + 4)(x - 5).0
(x - 5)(x - 3) - (x + 4)(x + 2) = 0
(x² - 8x + 15) - (x² + 6x + 8) = 0
-14x + 7 = 0
x = 1/2.
Критические значения: -4, 1/2 и 5. Они делят ось x на четыре интервала:
(-∞, -4), (-4, 1/2), (1/2, 5), и (5, ∞).

Тогда мы используем тестовое значение, чтобы определить знак f(x) на каждом интервале.

Значения функции положительны в интервалах (- ∞, -4) и (1/2, 5). Так как f (1/2) = 0 и и знак неравенства есть ≥, мы знаем, что 1/2 должно быть во множестве решений. Обратите внимание, что ни -4 ни 5 не относятся ко множеству f, и поэтому они не могут быть частью множества решения.
Множество решение есть (-∞ -4)

[1/2, 5).

Нарисуем
y = (x - 3)/(x + 4) - (x + 2)/(x - 5).

Находим, что в точке 0.5 функция равна 0.
Затем мы ищем значения, где функция не определена. Взглянув на знаменатели x + 4 и x - 5, мы видим, что функции не определены для x = -4 и x = 5
Критические значения, где y не определено или 0, есть -4, 0.5 и 5.
График показывает, где y положительное и где отрицательное. Обратите внимание, что -4 и 5 не могут быть во множестве решений, так как y не определено для этих значений. Однако, мы включаем 0.5, так как знак неравенства есть ≥ и f(0.5) = 0. Множество решений есть
(-∞, -4)

[0.5, 5).

Ниже - метод для решения рациональные неравенства.

Для решения рациональных неравенств необходимо:
1. Найти эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне.
2. Изменить знак неравенства символ на знак равенства и решите связанное уравнение. 3. Найти значения переменных, для которых связанная рациональная функция не определена. 4. Числа из шагов (2) и (3) называются критическими значениями. Используйте критические значения, чтобы разделить оси абсцисс на интервалы. Тогда используйте тестовое значение х из каждого интервала, чтобы определить знак функции в этом интервале. 5. Выбрать интервалы, для которых неравенство удовлетворяется и запишите значения интервала. Если знаком неравенства есть ≤ или ≥, тогда решения в шаге (2) должны быть включены во множество решений. Значения x, найденные в шаге (3), никогда не включаются во множество решений.

Это хорошо работает с использованием комбинации алгебраических и графических методов решения полиномиальных и рациональных неравенств. Алгебраические методы дают точные цифры для критических значений, а графические методы позволяют легко увидеть, какие интервалы удовлетворяют неравенству.