Полиномиальные и рациональные неравенства

Полиномиальное неравенство (неравенство высшей степени) сравнивает многочлен с нулём или приводится к такому виду, например ${x^3-x\gt 0}$ или ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$ В рациональном неравенстве неизвестное стоит в знаменателе, например ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$ Оба вида решаются по одной идее: находим числа, в которых выражение равно нулю или не определено, разбиваем ими числовую прямую на интервалы и определяем знак выражения на каждом интервале. Это метод интервалов.

На этой странице: Полиномиальные неравенства · Чередование знаков · Кратные корни · Рациональные неравенства · Упражнения

Полиномиальные неравенства

После переноса всех членов в одну сторону полиномиальное неравенство принимает один из видов ${P(x)\gt 0,}$ ${P(x)\ge 0,}$ ${P(x)\lt 0}$ или ${P(x)\le 0,}$ где ${P(x)}$ — многочлен. Квадратное неравенство, например ${3x^2-2x-5}\gt{0,}$ — это случай второй степени. Другие примеры: ${x^3-x\gt 0,}$   ${-2x^4+x^2-3}\lt{7,}$   ${4x^3-2x^2}\gt{{5x+7}.}$

Метод интервалов

1. Переносим все члены в одну сторону, чтобы в другой остался ${0.}$
2. Решаем соответствующее уравнение ${P(x)=0}$: раскладываем многочлен на множители и находим его корни.
3. Отмечаем корни на числовой прямой. Они разбивают её на интервалы.
4. Определяем знак ${P(x)}$ на каждом интервале: подставляем одно пробное значение из интервала или пользуемся правилом чередования знаков (см. ниже).
5. Выбираем интервалы с нужным знаком. При ${\ge}$ и ${\le}$ корни входят в ответ (квадратные скобки), при ${\gt}$ и ${\lt}$ не входят (круглые скобки).

Пример 1

Решите неравенство ${x^3-x\gt 0.}$

Правая часть уже равна ${0.}$ Раскладываем левую часть на множители:

${x^3-x}={x(x^2-1)}={x(x+1)(x-1)}$

Корни равны ${-1,}$ ${0}$ и ${1.}$ Они разбивают числовую прямую на четыре интервала. Возьмём по одному пробному значению из каждого:

Интервал	${x}$	${x^3-x}$
${(-\infty;\,-1)}$	${-2}$	${-6}$
${(-1;\,0)}$	${-0{,}5}$	${0{,}375}$
${(0;\,1)}$	${0{,}5}$	${-0{,}375}$
${(1;\,+\infty)}$	${2}$	${6}$

Знаки ${x^3-x}$ на интервалах. Пустые кружки показывают, что корни не являются решениями.

Нам нужно ${x^3-x\gt 0,}$ поэтому берём два интервала со знаком «+». В корнях выражение равно ${0,}$ а неравенство ${0\gt 0}$ неверно, поэтому корни в ответ не входят.

Ответ: $x\in(-1;\,0)\cup(1;\,+\infty),$ то есть ${-1\lt x\lt 0}$ или ${x\gt 1.}$

График ${y=x^3-x}$ показывает то же самое: кривая лежит выше оси ${Ox}$ ровно над этими двумя интервалами.

График ${y=x^3-x.}$ Ответ отмечен оранжевым на оси ${Ox.}$

Правило чередования знаков

Пробные значения работают всегда, но если многочлен разложен на множители, есть способ быстрее. Запишем его в виде

${P(x)}={a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n),}$   где $x_1\lt x_2\lt\dots\lt x_n.$

Правее наибольшего корня все скобки положительны, поэтому там ${P(x)}$ имеет знак старшего коэффициента ${a.}$ Каждый раз, когда мы переходим через корень влево, ровно одна скобка меняет знак, поэтому меняется и знак произведения.

В примере 1 ${x^3-x}={x(x+1)(x-1)}$ и ${a=1\gt 0,}$ поэтому справа налево знаки равны ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ как и показали пробные значения.

Пример 2

Решите неравенство ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$

Вычтем ${11x^3+4}$ из обеих частей:

${3x^4-11x^3+10x-4}\le 0$

Алгебраическое решение

Решаем соответствующее уравнение ${3x^4-11x^3+10x-4}=0.$ Сначала пробуем небольшие числа: ${P(-1)}={3+11-10-4}={{0},}$ значит, ${x=-1}$ — корень, и многочлен делится на ${x+1.}$ Деление (например, по схеме Горнера) даёт

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x^3-14x^2+14x-4)}$

Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень ${\frac pq,}$ то ${p}$ делит свободный член, а ${q}$ делит старший коэффициент. Для кубического многочлена кандидаты: ${\pm1,}$ ${\pm2,}$ ${\pm4,}$ ${\pm\frac13,}$ ${\pm\frac23,}$ ${\pm\frac43,}$ и корнем оказывается ${x=\frac23}$:

${3\cdot\frac{8}{27}-14\cdot\frac49+14\cdot\frac23-4}={\frac{8-56+84-36}{9}}={0}$

Разделив кубический многочлен на ${3x-2,}$ получаем ${x^2-4x+2}$ с корнями ${x}={\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}}={{2\pm\sqrt2}.}$ Итак,

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x-2)(x^2-4x+2)}$

и четыре корня в порядке возрастания равны

${-1}\lt{2-\sqrt2}\lt{\frac23}\lt{2+\sqrt2,}$   или приближённо   ${-1;}$ ${0{,}586;}$ ${0{,}667;}$ ${3{,}414.}$

Старший коэффициент ${3\gt 0,}$ и все четыре корня различны, поэтому справа налево знаки равны ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+}$:

Пробные значения это подтверждают (значение ${0{,}6}$ лежит между ${0{,}586}$ и ${0{,}667}$):

Интервал	${x}$	${P(x)}$
${(-\infty;\,-1)}$	${-2}$	${112}$
${(-1;\,2-\sqrt2)}$	${0}$	${-4}$
${(2-\sqrt2;\,\frac23)}$	${0{,}6}$	${0{,}0128}$
${(\frac23;\,2+\sqrt2)}$	${1}$	${-2}$
${(2+\sqrt2;\,+\infty)}$	${4}$	${100}$

Нам нужно ${P(x)\le 0}$: два интервала со знаком «−» вместе с их концами, потому что неравенство нестрогое.

Ответ: $x\in\left[-1;\,2-\sqrt2\,\right]\cup\left[\frac23;\,2+\sqrt2\,\right].$

Графическое решение

График $y={3x^4-11x^3+10x-4}$ пересекает ось ${Ox}$ в точке ${x=-1}$ и около ${x=3{,}414.}$ Между ${x=0}$ и ${x=1}$ кривая как будто только касается оси.

Если увеличить обведённый участок, видно, что кривая на самом деле пересекает ось дважды: в точках ${2-\sqrt2}\approx{0{,}586}$ и ${\frac23}\approx{0{,}667.}$ Между этими корнями над осью есть крошечный горбик; его наивысшая точка всего около ${0{,}022.}$

График лежит на оси ${Ox}$ или ниже неё над ${[-1;\ 0{,}586]}$ и ${[0{,}667;\ 3{,}414],}$ что совпадает с алгебраическим ответом. График хорош для проверки, но он даёт только приближённые значения и может скрыть близко расположенные корни. Алгебра даёт точные критические точки, а график сразу показывает, какие интервалы удовлетворяют неравенству.

Пример 3

Решите неравенство ${x^4-5x^2+4}\lt 0.$

Левая часть — биквадратный многочлен, то есть квадратный относительно ${x^2.}$ Разложим его на множители в два шага:

${x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}$

Корни ${-2,}$ ${-1,}$ ${1,}$ ${2}$ различны, а старший коэффициент равен ${1,}$ поэтому справа налево знаки равны ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Ответ: $x\in(-2;\,-1)\cup(1;\,2).$

Кратные корни

Если скобка встречается дважды, как в ${(x-2)^2,}$ то ${2}$ — двукратный корень. Квадрат никогда не бывает отрицательным, поэтому в этой точке знак не меняется.

Пример 4. Решите неравенство ${x^3-4x^2+4x}\le 0.$

${x^3-4x^2+4x}={x(x^2-4x+4)}={x(x-2)^2}$

Корень ${0}$ простой, а корень ${2}$ двукратный. Правее ${2}$ знак ${+.}$ При переходе через ${2}$ он остаётся ${+,}$ а при переходе через ${0}$ становится ${-.}$

Выражение отрицательно при ${x\lt 0}$ и равно ${0}$ при ${x=0}$ и при ${x=2.}$ Все эти числа удовлетворяют условию ${\le 0.}$

Ответ: $x\in(-\infty;\,0]\cup\{2\}.$

Не забудьте отдельную точку ${x=2.}$ Для строгого неравенства ${x(x-2)^2\lt 0}$ ответ был бы просто ${x\lt 0.}$ Для ${x(x-2)^2\gt 0}$ он был бы $x\in(0;\,2)\cup(2;\,+\infty);$ здесь число ${2}$ нужно исключить.

График ${y=x(x-2)^2}$ пересекает ось ${Ox}$ в простом корне ${0}$ и только касается её в двукратном корне ${2.}$

Множители, которые никогда не равны нулю

Квадратный множитель с отрицательным дискриминантом, например ${x^2+x+1}$ (${D=1-4=-3\lt 0}$), не имеет действительных корней. Он сохраняет знак старшего коэффициента при всех ${x}$ и поэтому не влияет на расстановку знаков. Положительный множитель можно просто убрать: деление на положительное число не меняет неравенство.

Пример 5. Решите неравенство ${(x^2+x+1)(x^2-9)}\ge 0.$

Так как ${x^2+x+1\gt 0}$ при всех ${x,}$ неравенство равносильно ${x^2-9\ge 0,}$ то есть ${(x+3)(x-3)}\ge 0.$

Ответ: $x\in(-\infty;\,-3]\cup[3;\,+\infty).$

Рациональные неравенства

В рациональном неравенстве неизвестное стоит в знаменателе. После переноса всех членов в одну сторону и приведения к одной дроби оно имеет вид ${\frac{P(x)}{Q(x)}}\gt 0$ (или ${\ge,}$ ${\lt,}$ ${\le}$), где ${P}$ и ${Q}$ — многочлены.

Метод решения рациональных неравенств

1. Переносим все члены в одну сторону и приводим их к общему знаменателю.
2. Раскладываем на множители числитель и знаменатель.
3. Находим критические точки: нули числителя и нули знаменателя.
4. Отмечаем их на числовой прямой. Нули знаменателя всегда изображаем пустыми кружками. Нули числителя закрашиваем при ${\ge}$ и ${\le}$ и оставляем пустыми при ${\gt}$ и ${\lt.}$
5. Определяем знак на каждом интервале с помощью пробных значений или правила чередования знаков. Скобки знаменателя учитываются так же, как скобки числителя, потому что ${\frac PQ}$ и ${P\cdot Q}$ всегда имеют одинаковый знак.
6. Записываем ответ. Нули знаменателя в него никогда не входят.

Пример 6

Решите неравенство ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$

Алгебраическое решение

Вычтем ${\frac{x+2}{x-5}}$ и приведём дроби к общему знаменателю ${(x+4)(x-5)}$:

${\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}\ge 0$

${\frac{(x-3)(x-5)-(x+2)(x+4)}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Числитель равен ${(x^2-8x+15)}-{(x^2+6x+8)}={{-14x+7},}$ поэтому

${\frac{-14x+7}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Разделим обе части на ${-7.}$ При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

${\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}}\le 0$

Критические точки: ${x=\frac12}$ (нуль числителя; закрашенный кружок, так как неравенство нестрогое) и ${x=-4,}$ ${x=5}$ (нули знаменателя; пустые кружки). С точностью до положительного множителя все скобки имеют вид ${(x-c),}$ поэтому справа налево знаки равны ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$

Нам нужны интервалы со знаком «−», причём ${\frac12}$ добавляем, а ${-4}$ и ${5}$ нет.

Ответ: $x\in(-\infty;\,-4)\cup\left[\frac12;\,5\right).$

Для проверки приведём пробные значения ${f(x)}={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5},}$ разности левой и правой частей исходного неравенства:

Интервал	${x}$	${f(x)}$
${(-\infty;\,-4)}$	${-5}$	${7{,}7}$
${(-4;\,\frac12)}$	${-2}$	${-2{,}5}$
${(\frac12;\,5)}$	${3}$	${2{,}5}$
${(5;\,+\infty)}$	${6}$	${-7{,}7}$

Графическое решение

График $y={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}$ разрывается в точках ${x=-4}$ и ${x=5,}$ где функция не определена; пунктирные прямые — вертикальные асимптоты. Кривая пересекает ось ${Ox}$ только один раз, в точке ${x=\frac12.}$

Кривая лежит на оси ${Ox}$ или выше неё над ${(-\infty;\,-4)}$ и ${\left[\frac12;\,5\right),}$ то есть ответ тот же. Обратите внимание, что функция меняет знак и в точках разрыва, хотя ось там не пересекает. Поэтому нули знаменателя тоже являются критическими точками.

Пример 7

Решите неравенство ${\frac{x^2-x-6}{x^2-1}}\ge 0.$

Разложим на множители числитель и знаменатель:

${\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}}\ge 0$

Числитель равен нулю при ${-2}$ и ${3}$ (закрашенные кружки), знаменатель равен нулю при ${-1}$ и ${1}$ (пустые кружки). Все четыре критические точки различны, поэтому справа налево знаки равны ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Ответ: $x\in(-\infty;\,-2]\cup(-1;\,1)\cup[3;\,+\infty).$

Упражнения

Решите неравенства. Сначала попробуйте сами, затем откройте ответ.

1. ${(x+3)(x-1)(x-4)}\lt 0$

Корни ${-3,}$ ${1,}$ ${4;}$ знаки справа налево ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$ Ответ: $x\in(-\infty;\,-3)\cup(1;\,4)$

2. ${x^3\ge 9x}$

${x^3-9x}={x(x-3)(x+3)}\ge 0.$ Ответ: $x\in[-3;\,0]\cup[3;\,+\infty)$

3. ${x^4-10x^2+9}\le 0$

${x^4-10x^2+9}={(x^2-1)(x^2-9)}={(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)}\le 0.$ Ответ: $x\in[-3;\,-1]\cup[1;\,3]$

4. ${(x-2)^2(x+5)}\lt 0$

Двукратный корень ${2}$ не меняет знак, а при ${x=2}$ выражение равно ${0,}$ то есть не отрицательно. Ответ: $x\in(-\infty;\,-5)$

5. ${x^3+x^2-4x-4}\gt 0$

Группируем члены: ${x^2(x+1)-4(x+1)}={(x+1)(x-2)(x+2)}\gt 0.$ Ответ: $x\in(-2;\,-1)\cup(2;\,+\infty)$

6. ${\frac{x-1}{x+2}}\le 0$

Критические точки ${-2}$ (пустой кружок) и ${1}$ (закрашенный кружок). Ответ: ${x\in(-2;\,1]}$

7. ${\frac{x+3}{x-1}}\gt 2$

${\frac{x+3}{x-1}-2}={\frac{5-x}{x-1}}\gt{0,}$ то есть ${\frac{x-5}{x-1}}\lt 0.$ Ответ: ${x\in(1;\,5)}$

8. ${\frac{x^2-4}{x^2+x}}\ge 0$

${\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}}\ge 0.$ Критические точки ${-2,}$ ${-1,}$ ${0,}$ ${2;}$ знаки справа налево ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$ Ответ: $x\in(-\infty;\,-2]\cup(-1;\,0)\cup[2;\,+\infty)$

9. ${\frac{1}{x-1}}\ge{\frac{1}{x+1}}$

${\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2}{(x-1)(x+1)}}\ge 0.$ Числитель никогда не равен нулю, поэтому дробь должна быть положительной. Ответ: $x\in(-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$

10. ${\frac{(x-3)^2}{x^2-4}}\le 0$

Числитель никогда не бывает отрицательным и равен ${0}$ только при ${x=3.}$ Дробь отрицательна там, где ${x^2-4\lt 0.}$ Ответ: $x\in(-2;\,2)\cup\{3\}$

Проверить ответы можно с помощью онлайн-решателя задач: он решает неравенства методом интервалов по шагам.