Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Это число обозначают буквой $d$ и называют разностью прогрессии.

Примеры

• $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью ${d=1}.$
• $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью ${d=3},$ потому что ${7-4}={10-7}={13-10}={3}.$
• $20,\ 10,\ 0,\ -10,\ -20,\ \ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью ${d=-10}.$
• $5,\ 5,\ 5,\ 5,\ \ldots$ — тоже арифметическая прогрессия, её разность ${d=0}.$
• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ не является арифметической прогрессией: разности ${2-1=1}$ и ${4-2=2}$ не равны. (Здесь каждый член вдвое больше предыдущего. Такая последовательность называется геометрической прогрессией.)

Чтобы найти разность, вычтите из любого члена предыдущий: ${d=a_2-a_1}={a_3-a_2}=\ldots$

На этой странице: Обозначения · Формула $n$-го члена · Свойства · Сумма первых $n$ членов · Калькулятор · Решённые задачи · Типичные ошибки · Упражнения

Обозначения

• $a_1$ — первый член прогрессии;
• $a_n$ — член с номером $n$ (общий член);
• $d$ — разность прогрессии: ${d=a_{n+1}-a_n}$ при любом $n;$
• $S_n$ — сумма первых $n$ членов: ${S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}.$

Если ${d\gt 0},$ каждый член больше предыдущего и прогрессия возрастающая. Если ${d\lt 0},$ прогрессия убывающая. Если ${d=0},$ все члены равны и прогрессия постоянная.

Формула $n$-го члена

Начинаем с $a_1$ и прибавляем $d$ снова и снова:

${a_2=a_1+d},$   ${a_3}={a_2+d}={a_1+2d},$   ${a_4=a_1+3d},$   ${a_5=a_1+4d},$   $\ldots$

До члена $a_n$ мы доходим за ${n-1}$ шагов, поэтому к $a_1$ прибавлена разность $d$ ровно ${n-1}$ раз:

Пример. Найдите двадцатый член прогрессии $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Здесь ${a_1=4}$ и ${d=3},$ поэтому

${a_{20}}={a_1+19d}={4+19\cdot 3}={61}$

От $a_1$ до $a_{20}$ 19 шагов, а не 20. Поэтому разность умножается на ${n-1},$ а не на $n.$

Можно начинать и с любого другого члена $a_k.$ От $a_k$ до $a_n$ ровно ${n-k}$ шагов:

Пример. В арифметической прогрессии ${a_3=7}$ и ${a_8=22}.$ Найдите $a_1$ и $d.$

От $a_3$ до $a_8$ 5 шагов, поэтому

${d}={\frac{a_8-a_3}{8-3}}={\frac{22-7}{5}}={3},$   ${a_1}={a_3-2d}={7-6}={1}$

Прогрессия: $1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Члены прогрессии лежат на прямой

Формулу общего члена можно записать и так: ${a_n}={a_1+(n-1)d}={dn+(a_1-d)}.$ Это линейная функция от номера $n.$ Если отметить точки с координатами ${(n;\ a_n)},$ они лягут на одну прямую, а разность $d$ показывает, на сколько поднимается прямая при каждом шаге вправо. Для прогрессии $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ имеем ${a_n=3n+1}$:

Точки ${(n;\ a_n)}$ прогрессии ${a_n=3n+1}.$ Каждая следующая выше предыдущей на ${d=3}.$

Свойства арифметической прогрессии

Каждый член равен среднему арифметическому соседних

Предыдущий член равен ${a_{n-1}=a_n-d},$ а следующий равен ${a_{n+1}=a_n+d}.$ При сложении $d$ сокращается: ${a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n}.$ Следовательно,

Каждый член (кроме первого) равен среднему арифметическому предыдущего и следующего. Отсюда и название прогрессии. Верно и обратное (характеристическое свойство): если каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому соседних, последовательность является арифметической прогрессией.

Поэтому три числа $a,$ $b,$ $c$ (в этом порядке) образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда ${2b=a+c}.$

Точно так же каждый член равен среднему арифметическому двух членов, равноудалённых от него: ${a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}$ при ${k\lt n}.$

Члены, равноудалённые от концов

Суммы членов, равноудалённых от начала и от конца, равны между собой:

Причина: когда мы сдвигаемся на одно место вправо с начала и на одно место влево с конца, первое слагаемое увеличивается на $d,$ а второе уменьшается на $d.$ В общем виде: если ${m+k=p+q},$ то ${a_m+a_k=a_p+a_q}.$

Пример. В прогрессии $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ 41,\ 51$:

${1+51}={11+41}={21+31}={52}$

${11}={\frac{1+21}{2}},$   ${21}={\frac{11+31}{2}},$   ${31}={\frac{21+41}{2}}$

Сумма первых $n$ членов

Рассказывают, что когда Карл Фридрих Гаусс был школьником, учитель велел классу сложить все числа от 1 до 100. Гаусс ответил почти сразу: он сложил первое число с последним, второе с предпоследним и т. д.

${1+100}={2+99}={3+98}=\ldots={50+51}={101}$

Таких пар 50, поэтому сумма равна ${50\cdot 101=5050}.$

Та же идея работает для любой арифметической прогрессии. Запишем сумму дважды, второй раз в обратном порядке:

$$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n\\S_n&=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1\end{aligned}$$

Сложим два равенства по столбцам. В каждом столбце стоят два члена, равноудалённые от концов, поэтому сумма каждого столбца равна ${a_1+a_n}.$ Столбцов $n,$ следовательно, ${2S_n=(a_1+a_n)\,n}.$

Сумма ${1+3+5+7+9},$ записанная дважды: синие и оранжевые столбики образуют прямоугольник ${5\times 10},$ поэтому ${2S_5=50}$ и ${S_5=25}.$

Первая формула удобна, когда известен последний член, вторая — когда известна разность.

Пример 1. ${1+2+3+\ldots+100}={\frac{(1+100)\cdot 100}{2}}={5050}.$

Пример 2. Сумма первых $n$ нечётных чисел равна

${1+3+5+\ldots+(2n-1)}={\frac{\bigl(1+(2n-1)\bigr)\,n}{2}}={n^2}$

Например, ${1+3+5+7+9}={25}={5^2},$ как видно и на рисунке.

Обратная задача: от суммы к члену. Если известны суммы, члены находятся вычитанием: ${a_1=S_1},$ а при ${n\ge 2}$ имеем ${a_n=S_n-S_{n-1}}.$

Калькулятор арифметической прогрессии

Введите первый член, разность и число членов. Ответ и вычисления появляются по мере ввода.

Решённые задачи

Задача 1. Является ли последовательность $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$ арифметической прогрессией?

Решение: Да. Каждый член на 10 больше предыдущего, т. е. это арифметическая прогрессия с ${a_1=1}$ и ${d=10}.$ Её общий член равен ${a_n}={1+(n-1)\cdot 10}={10n-9}.$

Задача 2. Найдите сумму первых 10 членов прогрессии $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$

Решение: Здесь ${a_1=1},$ ${d=10}$ и ${n=10}$:

${S_{10}}={\frac{(2\cdot 1+9\cdot 10)\cdot 10}{2}}={92\cdot 5}={460}$

Проверка по другой формуле: ${a_{10}}={1+9\cdot 10}={91}$ и ${S_{10}}={\frac{(1+91)\cdot 10}{2}}={460}.$

Задача 3. Является ли число 100 членом прогрессии $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots?$ А число 200?

Решение: Общий член равен ${a_n}={4+(n-1)\cdot 3}={3n+1}.$ Ищем натуральное $n,$ при котором

${3n+1=100},$   ${3n=99},$   ${n=33}$

Значит, ${a_{33}=100}.$ Для 200 получаем ${3n=199},$ а 199 не делится на 3. Число 200 не является членом прогрессии.

Задача 4. Вставьте между числами 2 и 14 три числа так, чтобы все пять чисел образовали арифметическую прогрессию.

Решение: Нужна прогрессия с ${a_1=2}$ и ${a_5=14}.$ От $a_1$ до $a_5$ 4 шага:

${d}={\frac{14-2}{4}}={3}$

Искомые числа: $5,\ 8,\ 11,$ а прогрессия: $2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14.$

Задача 5. Найдите сумму всех двузначных чисел, делящихся на 3.

Решение: Это числа $12,\ 15,\ 18,\ \ldots,\ 99,$ арифметическая прогрессия с ${a_1=12}$ и ${d=3}.$ Их количество найдём из условия ${a_n=99}$:

${12+(n-1)\cdot 3=99},$   ${(n-1)\cdot 3=87},$   ${n-1=29},$   ${n=30}$

${S_{30}}={\frac{(12+99)\cdot 30}{2}}={111\cdot 15}={1665}$

Задача 6. Сколько членов прогрессии $3,\ 7,\ 11,\ \ldots$ нужно сложить, чтобы получить 210?

Решение: Здесь ${a_1=3}$ и ${d=4}$:

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 3+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={\frac{(4n+2)\,n}{2}}={2n^2+n}$

Решаем уравнение ${2n^2+n=210},$ т. е. ${2n^2+n-210=0}$:

${D}={1+4\cdot 2\cdot 210}={1681}={41^2},$   ${n}={\frac{-1+41}{4}}={10}$

Второй корень, ${\frac{-1-41}{4}=-10{,}5},$ не является натуральным числом. Ответ: 10 членов. Проверка: ${a_{10}=3+9\cdot 4=39}$ и ${S_{10}}={\frac{(3+39)\cdot 10}{2}}={210}.$

Задача 7. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 15, а произведение равно 80. Найдите эти числа.

Решение: Удобно обозначить среднее число через $x,$ а два других через ${x-d}$ и ${x+d}.$ Тогда

${(x-d)+x+(x+d)}={3x}={15},$   откуда ${x=5}$

${(5-d)\cdot 5\cdot (5+d)}={80},$   ${25-d^2=16},$   ${d^2=9},$   ${d=\pm 3}$

Искомые числа: $2,\ 5,\ 8$ (при ${d=3}$) или $8,\ 5,\ 2$ (при ${d=-3}$).

Задача 8. Сумма первых $n$ членов последовательности при любом $n$ равна ${S_n=n^2+2n}.$ Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией, и найдите её общий член.

Решение: ${a_1=S_1=3}.$ При ${n\ge 2}$:

${a_n}={S_n-S_{n-1}}={n^2+2n-(n-1)^2-2(n-1)}={2n+1}$

Формула ${a_n=2n+1}$ даёт ${a_1=3}$ и при ${n=1}.$ Так как ${a_{n+1}-a_n=2}$ при любом $n,$ последовательность является арифметической прогрессией с ${a_1=3}$ и ${d=2}$: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$

Задача 9. В зале 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в последнем ряду и сколько всего мест в зале?

Решение: Число мест по рядам образует арифметическую прогрессию с ${a_1=20},$ ${d=2}$ и ${n=15}$:

${a_{15}}={20+14\cdot 2}={48},$   ${S_{15}}={\frac{(20+48)\cdot 15}{2}}={510}$

В последнем ряду 48 мест, а всего в зале 510 мест.

Задача 10. Числа ${\frac{1}{b+c}},$ ${\frac{1}{c+a}},$ ${\frac{1}{a+b}}$ образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что числа $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ тоже образуют арифметическую прогрессию.

Решение: Средний член равен среднему арифметическому соседних:

${\frac{2}{c+a}}={\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}}={\frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)}}$

Знаменатели не равны 0 (иначе дроби не имели бы смысла), поэтому можно воспользоваться основным свойством пропорции:

${2(b+c)(a+b)}={(a+2b+c)(c+a)}$

Левая часть равна ${2ab+2b^2+2ac+2bc}.$ Правая часть равна ${(a+c)^2+2b(a+c)}={a^2+2ac+c^2+2ab+2bc}.$ После сокращения одинаковых слагаемых остаётся

${2b^2=a^2+c^2}$

Значит, $b^2$ равно среднему арифметическому $a^2$ и $c^2,$ т. е. числа $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ образуют арифметическую прогрессию.

Типичные ошибки

• $nd$ вместо ${(n-1)d}.$ Член ${a_{10}}$ прогрессии $2,\ 5,\ 8,\ \ldots$ равен ${2+9\cdot 3=29},$ а не ${2+10\cdot 3=32}.$
• Неверное число членов. От $a_k$ до $a_m$ включительно ${m-k+1}$ членов, а не ${m-k}.$ Например, чисел от 12 до 99 с шагом 3 ровно ${\frac{99-12}{3}+1=30}.$
• Знак разности. У прогрессии $10,\ 7,\ 4,\ \ldots$ разность равна ${d=7-10=-3}.$ Всегда вычитайте предыдущий член из следующего, а не наоборот.
• Последовательность «из двух частей». Формулы верны, только если разность везде одна и та же. У последовательности $1,\ 3,\ 5,\ 8,\ 11$ разности равны 2, 2, 3, 3, и это не арифметическая прогрессия.

Упражнения

Решите сами, а потом откройте ответ.

1. Найдите ${a_{15}}$ прогрессии $2,\ 9,\ 16,\ \ldots$

${d=7},$ ${a_{15}}={2+14\cdot 7}={100}$

2. ${a_1=10}$ и ${d=-3}.$ Найдите ${a_{12}}$ и ${S_{12}}.$

${a_{12}}={10+11\cdot(-3)}={-23},$   ${S_{12}}={\frac{(10-23)\cdot 12}{2}}={-78}$

3. ${a_5=17}$ и ${a_{12}=45}.$ Найдите $a_1$ и $d.$

${d}={\frac{45-17}{12-5}}={4},$   ${a_1}={a_5-4d}={17-16}={1}$

4. Какой член прогрессии $5,\ 9,\ 13,\ \ldots$ равен 101?

${a_n}={5+(n-1)\cdot 4}={4n+1},$   ${4n+1=101},$   ${n=25}.$ Это ${a_{25}}.$

5. При каком $x$ числа ${x+1},$ ${3x},$ ${4x+2}$ образуют арифметическую прогрессию?

${2\cdot 3x}={(x+1)+(4x+2)},$ т. е. ${6x=5x+3}$ и ${x=3}.$ Получаются числа $4,\ 9,\ 14$ с разностью 5.

6. Найдите ${S_{20}},$ если ${a_1=3}$ и ${a_{20}=60}.$

${S_{20}}={\frac{(3+60)\cdot 20}{2}}={630}$

7. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 200, которые делятся на 7.

Это числа $7,\ 14,\ \ldots,\ 196.$ Так как ${196=7\cdot 28},$ их 28. ${S_{28}}={\frac{(7+196)\cdot 28}{2}}={203\cdot 14}={2842}$

8. Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите средний по величине угол.

Углы равны ${\alpha-d},$ $\alpha,$ ${\alpha+d},$ а их сумма ${3\alpha=180^\circ}.$ Средний угол ${\alpha=60^\circ},$ каковы бы ни были два других.

9. ${S_5=40}$ и ${S_{10}=155}.$ Найдите $a_1$ и $d.$

${S_5}={\frac{(2a_1+4d)\cdot 5}{2}}={5a_1+10d}={40},$ т. е. ${a_1+2d=8}.$

${S_{10}}={\frac{(2a_1+9d)\cdot 10}{2}}={10a_1+45d}={155},$ т. е. ${2a_1+9d=31}.$

Из первого уравнения ${a_1=8-2d},$ тогда ${16-4d+9d=31},$ ${d=3}$ и ${a_1=2}.$

10. Садовник в первый день посадил 12 деревьев, а в каждый следующий день — на 4 больше, чем в предыдущий. За сколько дней он посадит 168 деревьев?

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 12+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={2n^2+10n}.$ Из ${2n^2+10n=168}$ получаем ${n^2+5n-84=0}$ и ${n=7}$ (второй корень равен $-12$). За 7 дней.

См. также: Геометрическая прогрессия