Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия это последовательность чисел, в которой разница между двумя соседними числами - постоянна.

Например, последовательность 1, 2, 3, 4,... является арифметической прогрессией с шагом(разностью) прогрессии 1.

Пример 2: последовательность 3, 5, 7, 9, 11,... является арифметической прогрессией с разностью 2.

Пример 3: последовательность 20, 10, 0, -10, -20, -30,... является арифметической прогрессией с разностью -10.

Обозначения

d - шаг или разность прогрессии.

a_n - член с номером n.

S_n - сумма первых n членов арифметической прогрессии

Свойство арифметической прогрессии

$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots = a_k + a_{n-k+1}$

$a_n = \frac12(a_{n-1} + a_{n+1})$

1, 11, 21, 31, 41, 51... - арифметическая прогрессия.

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21
и
11 = (21 + 1)/2
21 = (31 + 11)/2...

Если начальный член арифметической прогрессии a₁ и разность прогрессии d, тогда n член прогрессии может быть определён как

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

n = 1, 2, ...

Сумма S первых n членов конечной прогрессии определяется по формуле:

$S = \frac12(a_1 + a_n)n$

где $a_1$ - первый член и $a_n$ - последний.

или

$S = (2a_1 + d(n-1))\frac{n}{2}$

Калькулятор

Задачи с арифметической прогрессией

1) Является ли ряд чисел 1,11,21,31... арифметической прогрессией?
Решение: Да, это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 10.

2) Найдите сумму первых 10 чисел из арифметической прогрессии 1, 11, 21, 31...
Решение: Мы можем использовать эту формулу $S = (2a_1 + d(n-1))\frac{n}{2}$
$S = \frac12(2\cdot 1 + 10(10-1))10 = 5(2 + 90) = 5\cdot 92 = 460$

3) Докажите, что если числа $\frac{1}{c + b}$ , $\frac{1}{c + a}$, $\frac{1}{a + b}$ есть членами арифметической прогрессии, тогда числа $a^2, b^2, c^2$ также являются арифметической прогрессией.

Больше о математических прогрессиях на страницах математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!
Форум о прогрессиях

Первый член
Разность
Номер последнего члена(n=?)