Пропорция

359. Для точного и близкого ознакомления с учением о соотношениях необходимо хорошо понимать принципы пропорции, одного из наиболее важных ответвлений в математике. В соотношениях мы сравниваем две величины, для того, чтобы найти их разность или частное одного при делении на другое. А в пропорции идёт сравнение двух соотношений. И это сравнение ограничено нахождением того, равны ли они. Мы не спрашиваем насколько одно соотношение больше или меньше другого, но только являются ли они одинаковыми. Поэтому числа 12, 6, 8, 4, называют пропорциональными, так как соотношение 12:6 равно соотношению 8:4.

360. Тогда пропорция - это равенство соотношений. Она является либо арифметической, либо геометрической. Арифметическая пропорция является равенством арифметических соотношений, а геометрическая пропорция - это равенство геометрических соотношений. Таким образом числа 6, 4, 10, 8 составляют арифметическую пропорцию, потому что разница между 6 и 4 такая же как и разница между 10 и 8. А числа 6, 2, 12, 4 находятся в геометрической пропорции, так как частное при делении 6 на 2, такое же как и частное при делении 12 на 4.

361. Надо быть внимательным и не смешивать понятия пропорция и соотношение. Эта осторожность ещё больше необходима, потому что в общих рассуждениях эти два термина используются неразборчиво, или ,пожалуй, пропорция используется вместо обоих понятий. Говорят, что расходы одного человека составляют большую пропорцию его прибыли, чем другого. Но, согласно только что даному определению, одна пропорция не может быть ни больше, ни меньше чем другая. Потому что равенство не признает степеней. Одно соотношение может быть больше или меньше другого. Соотношение 12:2 больше, чем соотношение 6:2 и меньше, чем соотношение 20:2. Но эта разница не применима к пропорции, когда этот термин применяется в своём формальном смысле. Часто используемая свободная трактовка этого слова может достаточно подходить для неформальной речи и одобрена для общего употребелния. Но для научных же целей разница между пропрцией и соотношенией должна быть чётко обозначена и аккуратно соблюдаться.

362. Равенство двух соотношений, как было определено, называется пропорцией. Это слово иногда относится к ряду терминов, среди которых находится и равенство соотношений. Таким образом две пары 15:5 и 6:2, взятые вместе, называются пропорцией.

363. Пропорция изображается обычным знаком равенства.
Таким образом
            8 •• 6 = 4 •• 2,
            a •• b = c •• d
являются арифметическими пропорциями.

И
            12 : 6 = 8 : 4,
            a : b = d : h
являются геометрическими пропорциями.
Последнее читают как, 'a оносится к b, так же как d относится к h', или более кратко, 'a относится к b, как d к h'.

364. Первый и последний члены называются крайними, а два другие - средними. Гомологичными членами являются либо два антецедента (предыдущих члена соотношения) или два консеквента (последующих члена соотношения). Аналогичные члены это антецеденты и консеквенты одной пары.

365. Так как соотношения равны, очевидно неважно какая из двух пар стоит первой.

Если a : b = c : d, тогда c : d = a : b. Так если$\frac{a}{b } =\frac{c}{d } $ тогда $\frac{c}{d } =\frac{a}{b } $.

366. Количество членов должно быть как минимум равно четырём. Так как равенство соотношений существует между двумя парами, то у каждой пары должен быть антецедент и консеквент. Однако, может существовать пропорция и среди трёх величин. Так одна величина может повторятся, с целью формирования двух членов. В случае, если величина повторяется, она называется средним членом, или средним пропорциональным двух других величин, особенно если пропорция является геометрической.

Таким образом числа 8, 4, 2 пропорциональны. То есть, 8:4 = 4:2. Здесь число 4 является и консеквентом в первой паре и антецедентом во второй. Таким образом оно является средним пропорциональным между 8 и 2.

Последний член называют третьим пропорциональным к двум другим величинам. Таким образом 2 это третье пропорциональное к 8 и 4.

367. Обратная пропорция это равенство между прямым и обратным соотношением.

Таким образом 4:2 = ⅓:⅙; то есть, 4 относится к 2, обратно тому как 3 к 6. Иногда также порядок членов в одной из пар инвертируется, без их записи в форме дроби.—(Статья. 346.)
Таким образом 4:2 = 3:6 обратно пропорциональны. В данном случае, первый член относится ко второму, как четвёртый к третьему, то есть, первый разделённый на второй равен четвёртому разделённому на третий.

368. Когда в последовательности величин, таких как соотношения первого ко второму, второго к третьему, третьего к четвёртому и так далее все равны между собой, то говорят, что величины составляют непрерывную пропорцию. Последующий член каждого предыдущего соотношения является антецедетом последующего соотношения. Непрерывная пропорция также называется прогрессией, что будет видно из следующей части.
Таким образом числа 10, 8, 6, 4, 2 составляют непрерывную арифметическую пропорцию. Так 10 - 8 = 8 - 6 = 6 - 4 = 4 - 2.
Числа 64, 32, 16, 8, 4 составляют непрерывную геометрическую пропорцию. Ведь 64:32 = 32:16 = 16:8 = 8:4.
Если a, b, c, d, h, т.д.. находятся в непрерывной геометрической пропорции, то a:b = b:c = c:d = d:h, и т.д.
Один случай непрерывной пропорции это три пропорциональные величины. (Статья. 366.)

369. Арифметическая пропорция является обычно ничем большим, чем просто уравнение и едва необходимо уделять этому предмету дополнительное внимание.
      Пропорция a..b = c..d
      То же самое, что и уравнение a - b = c - d.

Однако, будет правильным обратить внимание на то, что, если четыре величины находятся в арифметической пропорции, то сумма их крайних членов равна сумме средних членов.
      Таким образом, если a..b = h..m, тогда a + m = b + h
      Тогда согласно гипотезе, a - b = h - m
      И перенеся -b и -m, a + m = b + h
Поэтому для пропорции 12..10 = 11..9, получаем 12 + 9 = 10 + 11.

Опять же, если три величины находятся в арифметической пропорции, то сумма крайних членов равна удвоенному среднему.
      Если a..b = b..c, тогда a - b = b - c
      И перенеся -b и -c, a + c = 2b.