Соотношение и пропорция

Основой математических исследований является возможность получить знание об определённых величинах, сравнивая их с другими величинами, которые либо равны, либо больше или меньше, чем те которые являются предметом исследования. Это обычно производится с помощью ряда уравнений и пропорций. Когда мы используем уравнения, то мы определяем искомую величину, находя её равенство с какой-то другой уже знакомой величиной или величинами.

Однако, часто бывает, что мы сравниваем неизвестную величину с другими, которые не равны ей, а больше или меньше её. Здесь нужен другой подход к обработке данных. Нам может понадобиться узнать, например, на сколько одна величина больше чем другая, или сколько раз одна содержит другую. Для нахождения ответа на эти вопросы мы узнаем что такое соотношение двух величин. Одно соотношение называется арифметическим, а другое геометрическим. Хоть и стоит заметить, что оба эти термина не были приняты случайно или только в целях отличия. Как арифметическое, так и геометрическое соотношения применимы как к арифметике, так и к геометрии.

Являясь компонентом обширного и важного предмета, пропорция зависит от соотношений, поэтому необходимо чёткое и полное понимание этих понятий.

338. Арифметическое соотношение это разница между двумя величинами или рядом величин. Сами по себе величины называются членами соотношения, то есть члены, между которыми есть соотношение. Таким образом 2 это арифметическое соотношение 5 и 3. Это выражается помещая знак минус между двумя величинами, то есть 5 - 3. Конечно термин арифметического соотношения и его расписывание по пунктам практически бесполезно, так как происходит лишь замещение слова разница на знак минус в выражении.

339. Если оба члена арифметического соотношения умножить или разделить на одну и ту же величину, то соотношение, в конечном итоге, будет умножено или разделено на эту величину.
Таким образом, если имеем      a - b = r
Тогда перемножим обе стороны на h , (Акс. 3.) ha - hb = hr
И разделив на h, (Акс. 4.) $\frac{a}{h}-\frac{b}{h}=\frac{r}{h}$

340. Если члены арифметического соотношения добавляют или отнимают от соответствующих членов другого, то соотношение суммы или разности будет равно сумме или разности двух соотношений.
Если a - b
И d - h,
являются двумя соотношениями,
Тогда (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Что в каждом случае = a + d - b - h.
И (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Что в каждом случае = a - d - b + h.
      Таким образом арифметическое отношение 11 - 4 равно 7
      И арифметическое отношение 5 - 2 равно 3
Отношение суммы членов 16 - 6 это 10, - сумма соотношений.
Отношение разности членов 6 - 2 это 4, - разность соотношений.

341. Геометрическое соотношение - это отношение между величинами, которое выражается ЧАСТНЫМ, если одну величину делят на другую.
Таким образом соотношение 8 к 4, можно записать как 8/4 или 2. То есть частное деления 8 на 4. Другими словами, оно показывает сколько раз 4 содержится в 8.

Тем же самым способом, соотношение любой величины к другой может быть определено, разделив первую на вторую или, что, в принципе, одно и то же, сделав первую числителем дроби, а вторую - знаменателем.
            Так соотношение a к b это $\frac{a}{b}$
            Соотношение d + h к b + c это $\frac{d+h}{b+c}$.

342. Геометрическое соотношение также записывается, размещая две точки одну над другой между сравниваемыми величинами.
Таким образом a:b это запись соотношения a к b, а 12:4 - соотношения 12 к 4. Две величины вместе формируют пару, в которой первый член называется антецедентом, а последний - консеквентом.

343. Эта запись с помощью точек и другая, в форме дроби, являются взаимозаменяемыми по мере необходимости, при этом антецедент становится числителем дроби, а консеквент - знаменателем.
Таким образом 10:5 это то же, что и $\frac{10}{5}$ а b:d, то же, что и $\frac{b}{d}$.

344. Если из этих трёх значений: антецедента, консеквента и соотношения даны любые два, то третье можно найти.

Пусть a= антецедент, c= консеквент, r= соотношение.
По определению $r=\frac{a}{c}$, то есть, соотношение равно антецеденту разделённому на консеквент.
Умножая на c, a = cr, то есть, антецедент равен консеквенту умноженному на соотношение.
Разделим на r, $c=\frac{a}{r}$, то есть, консеквент равен антецеденту делёному на соотношение.

Соотв. 1. Если у двух пар антецеденты и консеквенты равны, то их соотношения тоже равны.

Соотв. 2. Если у двух пар соотношения и антеценденты равны, то и консеквенты равны и если соотношения и консеквенты равны, то и антецеденты равны.

345. Если две сравниваемые величины равны, то их соотношение равно единице или соотношению равенства. Соотношение 3*6:18 равно единице, так как частное любой величины разделённой на саму себя равно 1.

Если антецедент пары больше, чем консеквент, то соотношение больше единицы. Так как делимое больше, чем делитель, то частное больше единицы. Так соотношение 18:6 равно 3. Это называется соотношение большего неравенства.

С другой стороны, если антецедент меньше, чем консеквент, то соотношение меньше единциы и это называется соотношением меньшего неравенства. Так соотношение 2:3 меньше единицы, потому что делимое меньше делителя.

346. Обратное соотношение - это соотношение двух обратных величин.
Так соотношение обратное 6 к 3 это ⅙ к ⅓, то есть ⅙:⅓.
Прямое соотношение a к b это $\frac{a}{b}$, то есть антецедент разделённый на консеквент.
Обратное соотношение это $\frac{1}{a}$:$\frac{1}{b}$ или $\frac{1}{a}.\frac{b}{1}=\frac{b}{a}$.
то есть косеквент b разделённый на антецедент a.

Отсюда обратное соотношение выражается путём инвертирования дроби, которая отображает прямое соотношение, либо, когда запись ведётся с помощью точек, инвертируя порядок записи членов.
Таким образом a относится к b обратно тому, как b к a.

347. Сложное соотношение это соотношение произведений соответствующих членов с двумя и более простыми соотношениями.
            Так соотношение          6:3, равно 2
            И соотношение           12:4, равно 3
Составленное из них соотношение           72:12 = 6.

Здесь сложное соотношение получается, умножая между собой два антецедента и также два консеквента простых соотношений.
Так соотношение составленное
      Из соотношения         a:b
      И соотношения            c:d
      и соотношения             h:y
      Это соотношение         $ach:bdy=\frac{ach}{bdy}$.
Сложное соотношение не отличается по своей природе от любого другого соотношения. Этот термин используется, чтобы в определённых случаях показать происхождение соотношения.

Соотв. Сложное соотношение равно произведению простых соотношений.
      Соотношение        a:b, равно $\frac{a}{b}$
      Соотношение         c:d, равно $\frac{c}{d}$
      Соотношение         h:y, равно $\frac{h}{y}$
И соотношение сложенное из этих трёх будет ach/bdy, что является произведением дробей, которые выражают простые соотношения.

348. Если в последовательности соотношений в каждой предыдущей паре консеквент является антецедентом в последующей, то соотношение первого антецедента и последнего консеквента равны тому, которое получено из промежуточных соотношений.
Так в ряде соотношений
            a:b
            b:c
            c:d
            d:h
соотношение a:h равно соотношению, сложенному из соотношений a:b, и b:c, и c:d, и d:h. Так сложное соотношение в последней статье равно $\frac{abcd}{bcdh}=\frac{a}{h}$, или a:h.

Таким же образом все величины, которые являются и антецедентами и консеквентами исчезнут, когда произведение дробей будет упрощено до своих младших членов и в остатке сложное соотношение будет выражаться первым антецедентом и последним консеквентом.

349. Особый класс сложных соотношений получается при умножении простого соотношения на самого себя или на другое равное соотношение. Эти соотношения называются двойными, тройными, четверными, и так далее, в соответствии с количеством операций умножения.

Соотношение, составленное из двух равных соотношений, то есть, квадрата простого соотношения, называют двойным соотношением.

Составленное из трёх, то есть, куб простого соотношения, называют тройным, и так далее.

Аналогично соотношение квадратных корней двух величин, называется соотношением квадратного корня, а соотношение кубических корней - соотношением кубического корня, и так далее.
      Таким образом простое соотношение a к b, равно a:b
      Двойное соотношение a к b, равно a2:b2
      Тройное соотношение a к b, равно a3:b3
      Соотношение квадратного корня a к b, равно √a:√b
      Соотношение кубического корня a к b, равно 3a:3b, и так далее.
      Термины двойной, тройной, и так далее не нужно смешивать с удвоенным, утроенным, и так далее.
Соотношение 6 к 2 равно      6:2 = 3
Удвоим это соотношение, то есть, соотношение дважды, то получим   12:2 = 6
Утроим это соотношение, то есть это соотношение трижды, то получим  18:2 = 9
А двойное соотношение, то есть квадрат соотношения, равен 62:22 = 9
И тройное соотношение, то есть куб соотношения, равен 63:23 = 27

350. Для того, чтобы величины можно соотнести друг с другом, они должны быть одинакового рода, так, чтобы можно было с уверенностью утверждать равны ли они между собой, или одна из них больше или меньше. Фут относится к дюйму, как 12 к 1: он в 12 раз больше, чем дюйм. Но нельзя, например, сказать, что час длиннее или короче, чем палка, или акр больше или меньше, чем градус. Однако, если эти величины выражены в числах, то может существовать соотношение между этими числами. То есть может существовать соотношение между количеством минут в часе и количеством шагов в миле.

351. Обратившись к природе соотношений, следующим шагом нам нужно учесть способ, каким образом скажется на самом соотношении изменение одного или двух членов, которые сравнивают между собой. Вспомним, что прямое соотношение выражается в виде дроби, где антецедет пары всегда это числитель, а консеквент - знаменатель. Тогда будет легко из свойства дробей получить, что изменения в соотношении происходят путём варьирования сравниваемых величин. Соотношение двух величин такое же как и значение дробей, каждая из которых представляет частное: числитель делённый на знаменатель. (Статья. 341.) Теперь было показано, что умножать числитель дроби на любую величину, это то же, что и умножать значение на эту же величину и что деленить числитель, это то же, что и деленить значения дроби. Поэтому,

352. Умножать антецедент пары на любую величину, значит умножать соотношения на эту величину, а делить антецедент - деленить это соотношение.
            Таким образом соотношение      6:2 равное 3
            И соотношение      24:2 равное 12.
Здесь антецедент и соотношение в последней паре в 4 раза больше, чем в первой.
Отношение a:b равно      $\frac{a}{b}$
И отношение na:b равно $\frac{na}{b}$.

Соотв. При известном консеквенте, чем больше антецедент, тем больше соотношение, и, наоборот, чем больше соотношение, тем больше антецедент.

353. Умножая консеквент пары на любую величину, в результате получаем деление соотношения на эту величину, а деля консеквент - умножаем соотношение. Умножая знаменатель дроби, делим значение, а деля знаменатель - значение умножается..
      Так соотношение 12:2 равно 6
      И соотношение 12:4 равно 3.
Здесь консеквент второй пары в два раза больше, а соотношение в два раза меньше, чем первое.
            Соотношение a:b равно $\frac{a}{b}$
      И соотношение a:nb равно $\frac{a}{nb}$.

Соотв. При данном антецеденте, чем больше консеквент, тем меньше соотношение. И наоборот, чем больше соотношение, тем меньше консеквент.

354. Из двух последних статей следует, что умножение антецедента пары на любую величину окажет такой же эффект на соотношение, как деление консеквента на эту величину, а деление антецедента, окажет такой же эффект, как умножение консеквента.
      Поэтому соотношение         8:4, равно 2
      Умножая антецедент на 2, соотношение 16:4 равно 4
      Разделив антецедент на 2, соотношение 8:2 равно 4.

Соотв. Любой множитель или делитель может быть перенесён от антецедента пары к консеквенту или от консеквента к антецеденту без изменения соотношения.

Стоит заметить, что когда множитель таким образом переносится от одного члена к другому, то он становится делителем, а переносимый делитель становится множителем.
      Так соотношение      3.6:9 = 2
Перенеся множитель 3,      $6:\frac{9}{3}=2$
то же самое соотношение.

Соотношение      $\frac{ma}{y}:b=\frac{ma}{by}$
Перенеся y      $ma:by=\frac{ma}{by}$
Перенеся m,      a:$a:\frac{m}{by}=\frac{ma}{by}$.

355. Как очевидно из Статей. 352 и 353, если антецедент и консеквент оба умножить или разделить на одну и ту же величину, то соотношение не меняется.

Соотв. 1. Соотношение двух дробей, у которых есть общий знаменатель, такое же как отношение их числителей.
Таким образом соотношение a/n:b/n, то же самое, что и a:b.

Соотв. 2. Прямое соотношение двух дробей, у которых есть общий числитель, равно обратному соотношению их знаменателей.

356. Из статьи легко определить соотношение любых двух дробей. Если каждый член умножить на два знаменателя, то соотношение будет задано интегральными выражениями. Таким образом умножая члены пары a/b:c/d на bd, получаем $\frac{abd}{b}$:$\frac{bcd}{d}$, что становится ad:bc, путём сокращения общих величин из числителей и знаменателей.

356. b. Соотношение большего неравенства, сложенное с другим соотношением, увеличивает его
Пусть соотношение большего неравенства будет задано как      1+n:1
И любое соотношение как          a:b     
Сложное соотношение будет (Статья. 347,)     a + na:b
Что больше, чем соотношение a:b (Статья. 351. соотв.)
Но соотношение меньшего неравенства, сложенное с другим соотношением, уменьшает его.
Пусть соотношение меньшей разности      1-n:1
Любой заданное соотношение          a:b     
Сложное соотношение        a - na:b
Что меньше, чем a:b.

357. Если к или от членов любой пары прибавить или отнять две другие величины, которые находятся в таком же соотношении, то суммы или остатки будут иметь такое же соотношение.
      Пусть соотношение      a:b
      Будет такое же, как и       c:d
Тогда соотношение суммы антецедентов к сумме консеквентов, а именно, a + c to b + d, тоже одинаковое.
То есть $\frac{a+c}{b+d}$ = $\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b}$.

Доказательство.

1. Согласно предположению,         $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$
2. Умножаем на b и на d,         ad = bc
3. Добавляем cd к обеим сторонам,         ad + cd = bc + cd
4. Делим на d,          $a+c=\frac{bc+cd}{d}$
5. Делим на b + d,            $\frac{a+c}{b+d}$ = $\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b}$.

Соотношение разницы антецедентов к разнице консеквентов также одинаковое.

358. Если в нескольких парах соотношения равны, то сумма всех антецедентоа относится к сумме всех консеквентов, как любой антецедент к своему консеквенту.
Таким образом соотношение
            |12:6 = 2
            |10:5 = 2
            |8:4 = 2
            |6:3 = 2
Таким образом соотношение (12 + 10 + 8 + 6):(6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358. b. Соотношение большего неравенства уменьшается, добавляя ту же величину к обоим членам.
Пусть данное соотношение       a+b:a или $\frac{a+b}{a}$
Добавив x к обоим членам, мы получаем a+b+x:a+x или $\frac{a+b}{a}$.
Приведя их к общему знаменателю,
Первое становится         $\frac{a^2+ab+ax+bx}{a(a+x)}$
А последнее          $\frac{a^2+ab+ax}{a(a+x)}$.
Так как последний числитель очевидно меньше, чем другой, то соотношение должно быть меньше. (Статья. 351. соотв.)

Но соотношение меньшего неравенства увеличивается, добавляя одинаковую величину к обоим членам.
Пусть данное соотношение      (a-b):a, или $\frac{a-b}{a}$.
Прибавив x к обоим членам, оно принимает вид      (a-b+x):(a+x) или $\frac{a-b+x}{a+x}$
Приведя их к общему знаменателю,
Первый становится          $\frac{a^2-ab+ax-bx}{a(a+x)}$
А последний,         $\frac{a^2-ab+ax}{a(a+x)}.\frac{(a^2-ab+ax)}{a(a+x)}$.

Так как последний числитель больше, чем другой, то соотношение больше.
        Если вместо добавления ту же самую величину отнять от двух членов, то очевидно, что эффект на соотношение будет обратным.

Примеры.

1. Что больше: соотношение 11:9, или соотношение 44:35?

2. Что больше: соотношение $(a+3):\frac{a}{6}$, или соотношение $(2a+7):\frac{a}{3}$?

3. Если антецедент пары равен 65, а соотношение равно 13, то какой консеквент?

4. Если консеквент пары равен 7, и соотношение равно 18, то какой антецедент?

5. Как выглядит сложное соотношение составленное из 8:7, и 2a:5b, а также (7x+1):(3y-2)?

6. Как выглядит сложное соотношение составленное из (x+y):b, и (x-y):(a + b), а также (a+b):h?         Отв. (x2 - y2):bh.

7. Если соотношения (5x+7):(2x-3), и $(x+2):\left(\frac{x}{2}+3\right)$ образуют сложное соотношение, то какое соотношение получится: большее или меньшее неравенство?      Отв. Соотношение большего неравенства.

8. Каково соотношение составленное из (x + y):a и (x - y):b, и $b:\frac{x^2-y^2}{a}$?         Отв. Соотношение равенства.

9. Каково соотношение сложенное из 7:5, и удвоенного соотношения 4:9, и утроенного соотношения 3:2?
              Отв. 14:15.

10. Каково соотношение составленное из 3:7, и утроенного соотношения x:y, и извлечения корня из соотношения 49:9?
              Отв. x3:y3.


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.