Отношения и пропорции

Отношение двух чисел — это их частное: оно показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого. Пропорция — это равенство двух отношений. Отношения и пропорции встречаются повсюду: в рецептах, на картах и чертежах, в ценах, скоростях и смесях, и с их помощью решается множество текстовых задач.

На этой странице: Отношение · Упрощение отношений · Деление в данном отношении · Произведение отношений · Пропорция · Основное свойство пропорции · Среднее пропорциональное · Непрерывная пропорция · Свойства пропорций · Прямая и обратная пропорциональность · Задачи с решениями · Проверьте себя

Что такое отношение

Отношение числа $a$ к числу $b$ — это частное ${a:b}$. Читается: «отношение $a$ к $b$». Отношение можно записать и в виде дроби, $\frac{a}{b}$. Числа $a$ и $b$ называют членами отношения: $a$ — предыдущий член, $b$ — последующий член.

Пример. В мешочке 6 синих и 4 оранжевых шарика.

10 шариков делятся на две одинаковые группы, в каждой — 3 синих и 2 оранжевых шарика.

• Отношение числа синих шариков к числу оранжевых равно ${6:4}$, или, после сокращения, ${3:2}$: на каждые 3 синих шарика приходится 2 оранжевых.
• Отношение числа оранжевых шариков к числу синих равно ${4:6=2:3}$. Порядок важен: ${2:3}$ — это не то же самое, что ${3:2}$.
• Отношение числа синих шариков к числу всех шариков равно ${6:10=3:5}$.

Первые два отношения сравнивают части между собой, а последнее — часть с целым. Отношение части к целому — это доля целого: $\frac{3}{5}$, или 60%, всех шариков синие.

Пример. Найдите отношение 50 см к 2 м. Сначала выразим обе длины в сантиметрах: 2 м — это 200 см. Тогда

${{50:200}={1:4}}$

Вторая длина в 4 раза больше первой. Ответ ${50:2}$ был бы неверным.

Равные отношения и упрощение

Чтобы упростить отношение натуральных чисел, разделите оба члена на их наибольший общий делитель — так же, как при сокращении дроби. Если члены отношения — взаимно простые натуральные числа, упростить его дальше нельзя.

Пример 1. Упростите отношение ${12:18}$. Наибольший общий делитель чисел 12 и 18 равен 6:

${12:18}={(12:6):(18:6)}={2:3}$

Пример 2. Если члены отношения — обыкновенные дроби, умножьте оба члена на их общий знаменатель. Чтобы упростить ${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}$, умножим на 6:

${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right):\left(\frac{2}{3}\cdot 6\right)}={3:4}$

Пример 3. Если члены отношения — десятичные дроби, умножьте их на 10, 100, … так, чтобы оба члена стали натуральными числами:

${0{,}4:1{,}2}={4:12}={1:3}$

Пример 4. Найдите отношение 45 минут к 2 часам. 2 часа — это 120 минут:

${{45:120}={3:8}}$

Сравнение отношений

Чтобы сравнить два отношения, сравните их значения. Быстрее всего это сделать «крест-накрест»: для положительных чисел отношение ${a:b}$ больше отношения ${c:d}$ тогда и только тогда, когда ${ad\gt bc}$.

Пример. Какое отношение больше: ${11:9}$ или ${44:35}$?

${{11\cdot 35}={385}}$ и ${{9\cdot 44}={396}}$

Так как ${385\lt 396}$, больше отношение ${44:35}$. Проверка с десятичными дробями: ${{11:9}\approx{1{,}222}}$ и ${{44:35}\approx{1{,}257}}$.

Если прибавить одно и то же число к обоим членам, отношение изменится. Отношения ${2:3}$ и ${(2+1):(3+1)}$, то есть ${3:4}$, не равны: $\frac{2}{3}$ — это примерно 0,67, а $\frac{3}{4}$ — это 0,75. Равное отношение получается только умножением или делением обоих членов на одно и то же число. Более того, если прибавить к обоим членам одно и то же положительное число, значение отношения всегда приближается к 1: ${5:3}$ — это примерно 1,67, а ${(5+1):(3+1)}$, то есть ${6:4}$, равно 1,5.

Отношение трёх и более чисел

Отношение может сравнивать и больше двух величин. Например, бетон можно замешать из цемента, песка и щебня в отношении ${1:2:4}$: на 1 ведро цемента — 2 ведра песка и 4 ведра щебня. Правила те же: все члены можно умножить или разделить на одно и то же число, поэтому ${2:4:8}$ — это то же отношение, что и ${1:2:4}$.

Пример. ${a:b=2:3}$ и ${b:c=4:5}$. Найдите ${a:b:c}$.

Решение: В этих отношениях числу $b$ соответствуют разные числа, 3 и 4. Сделаем их одинаковыми: наименьшее общее кратное чисел 3 и 4 равно 12, поэтому первое отношение умножим на 4, а второе — на 3:

${a:b=8:12}$ и ${b:c=12:15}$, поэтому ${{a:b:c}={8:12:15}}$

Деление числа в данном отношении

Пример 1. Аня и Борис делят 6000 рублей в отношении ${2:3}$. Сколько получит каждый?

Решение: Всего ${{2+3}=5}$ равных частей, и одна часть — это ${{6000:5}=1200}$ рублей. Аня получит ${{2\cdot 1200}=2400}$ рублей, а Борис — ${{3\cdot 1200}=3600}$ рублей.

6000 рублей — это 5 равных частей по 1200 рублей. Аня получает 2 части, а Борис — 3.

Проверка: ${{2400+3600}=6000}$ ✓ и ${2400:3600=2:3}$ ✓

Пример 2. Сколько цемента, песка и щебня нужно для 350 кг сухой бетонной смеси в отношении ${1:2:4}$?

Решение: Всего ${{1+2+4}=7}$ частей, и одна часть — это ${{350:7}=50}$ кг. Нужно 50 кг цемента, ${{2\cdot 50}=100}$ кг песка и ${{4\cdot 50}=200}$ кг щебня.

Пример 3. Число мальчиков и число девочек в классе относятся как ${4:5}$, и мальчиков 12. Сколько в классе девочек?

Решение: На мальчиков приходится 4 части, значит, одна часть — это ${{12:4}=3}$ ученика. На девочек приходится 5 частей: ${{5\cdot 3}=15}$ девочек. Весь класс — это ${{4+5}=9}$ частей, или ${{9\cdot 3}=27}$ учеников.

Произведение отношений и обратное отношение

Отношения можно перемножать. Произведение отношений — это отношение произведения предыдущих членов к произведению последующих. Отношение можно также возвести в квадрат или в куб, извлечь из него корень или «перевернуть»:

Название	Отношение	Пример
Произведение отношений ${a:b}$ и ${c:d}$	${ac:bd}$	${2:3}$ и ${4:5}$ дают ${8:15}$
Отношение квадратов	${a^2:b^2}$	для ${2:3}$ это ${4:9}$
Отношение кубов	${a^3:b^3}$	для ${2:3}$ это ${8:27}$
Отношение квадратных корней	${\sqrt{a}:\sqrt{b}}$	для ${4:9}$ это ${2:3}$
Отношение кубических корней	${\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}}$	для ${8:27}$ это ${2:3}$
Обратное отношение	${b:a}$, то есть ${\frac{1}{a}:\frac{1}{b}}$	для ${2:3}$ это ${3:2}$

Пример. Найдите произведение отношения ${2:3}$, отношения квадратов чисел 3 и 4 и отношения квадратных корней из чисел 64 и 9.

Решение: Отношение квадратов чисел 3 и 4 равно ${9:16}$, а отношение квадратных корней из 64 и 9 равно ${8:3}$. Перемножим предыдущие и последующие члены:

${(2\cdot 9\cdot 8):(3\cdot 16\cdot 3)}={144:144}={1:1}$

Отношение квадратов — это не удвоенное отношение. Для отношения ${3:1}$ отношение квадратов равно ${9:1}$, а удвоенное отношение — ${6:1}$. Точно так же отношение кубов для ${3:1}$ равно ${27:1}$, а не ${9:1}$.

Если последующий член каждого отношения равен предыдущему члену следующего, то средние члены сокращаются: произведение отношений ${a:b}$, ${b:c}$ и ${c:d}$ равно ${a:d}$, потому что

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}$$

Этот факт понадобится ниже, в непрерывной пропорции.

Что такое пропорция

Пропорция — это равенство двух отношений:

$$a:b=c:d\qquad\text{или}\qquad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Читается: «$a$ так относится к $b$, как $c$ относится к $d$», или коротко «$a$ относится к $b$, как $c$ к $d$». Числа $a$, $b$, $c$ и $d$ называют членами пропорции: $a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние члены.

Крайние члены стоят по краям пропорции, а средние — в середине.

Пример. Образуют ли числа 12, 8, 15 и 10 пропорцию? Значения отношений равны ${{12:8}={1{,}5}}$ и ${{15:10}={1{,}5}}$. Они одинаковы, значит, ${12:8=15:10}$ — пропорция.

В обычной речи «пропорцией» часто называют само соотношение, например «смешать краску с водой в пропорции 1 к 3». В математике пропорция — это всегда равенство двух отношений.

Основное свойство пропорции

Почему это так? Умножим обе части равенства ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ на $bd$:

${{\frac{a}{b}\cdot bd}={\frac{c}{d}\cdot bd}}$, откуда ${ad=bc}$.

Это свойство ещё называют правилом «крест-накрест», потому что перемножаются числа, стоящие наискосок друг от друга. Оно позволяет быстро проверить, верна ли пропорция:

${12:8=15:10}$ — верная пропорция, потому что ${{12\cdot 10}={120}}$ и ${{8\cdot 15}={120}}$.

Отношения ${3:4}$ и ${5:7}$ не образуют пропорцию: ${{3\cdot 7}={21}}$, а ${{4\cdot 5}={20}}$.

Верно и обратное: если ${ad=bc}$, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию. Множители одной части равенства становятся крайними членами, а множители другой части — средними. Например, из равенства ${3\cdot 8=4\cdot 6}$ получаются пропорции ${3:4=6:8}$ и ${3:6=4:8}$.

Как решить пропорцию

Если один член пропорции неизвестен, воспользуйтесь основным свойством пропорции и решите получившееся уравнение.

Пример 1. Решите пропорцию ${x:12=5:4}$.

${4x}={12\cdot 5}={60}$, откуда ${x=15}$

Проверка: ${{15:12}={1{,}25}}$ и ${{5:4}={1{,}25}}$ ✓

Пример 2. Решите пропорцию ${\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={3(x-1)}}$

${{2x+4}={3x-3}}$, откуда ${x=7}$

Проверка: ${{\frac{7+2}{3}}={3}}$ и ${{\frac{7-1}{2}}={3}}$ ✓

Если выразить из равенства ${ad=bc}$ каждую букву, получится правило нахождения неизвестного члена пропорции: крайний член равен произведению средних членов, делённому на другой крайний член, а средний член равен произведению крайних членов, делённому на другой средний член:

$$a=\frac{bc}{d}\qquad d=\frac{bc}{a}$$ $$b=\frac{ad}{c}\qquad c=\frac{ad}{b}$$

Четвёртое, третье и среднее пропорциональное

Четвёртое пропорциональное к числам $a$, $b$ и $c$ — это число $x$, для которого ${a:b=c:x}$. По основному свойству пропорции ${ax=bc}$, поэтому

$$x=\frac{bc}{a}$$

Пример. Четвёртое пропорциональное к числам 4, 6 и 10 равно ${{\frac{6\cdot 10}{4}}={15}}$, потому что ${4:6=10:15}$.

На этом основано старинное тройное правило: по трём данным числам находят четвёртое, умножая второе число на третье и деля на первое.

Третье пропорциональное к числам $a$ и $b$ — это число $x$, для которого ${a:b=b:x}$. Тогда ${ax=b^2}$, поэтому

$$x=\frac{b^2}{a}$$

Пример. Третье пропорциональное к числам 4 и 6 равно ${{\frac{6^2}{4}}={9}}$, потому что ${4:6=6:9}$.

Среднее пропорциональное двух положительных чисел $a$ и $b$ — это положительное число $x$, для которого ${a:x=x:b}$. Тогда ${x^2=ab}$, поэтому

$$x=\sqrt{ab}$$

Среднее пропорциональное называют также средним геометрическим чисел $a$ и $b$. Оно встречается и в геометрии: в прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Пример. Среднее пропорциональное чисел 2 и 18 равно ${\sqrt{2\cdot 18}}={\sqrt{36}}={6}$, потому что ${2:6=6:18}$.

В пропорции ${4:6=6:9}$ число 6 — среднее пропорциональное чисел 4 и 9, а 9 — третье пропорциональное к числам 4 и 6.

Непрерывная пропорция

Три или больше чисел образуют непрерывную пропорцию, если отношение каждого числа к следующему одно и то же:

$$a:b=b:c=c:d=\ldots$$

Например, числа 64, 32, 16, 8 и 4 образуют непрерывную пропорцию, потому что ${64:32}$, ${32:16}$, ${16:8}$ и ${8:4}$ равны 2. Каждое число получается из предыдущего умножением на одно и то же число, здесь на $\frac{1}{2}$, поэтому числа непрерывной пропорции образуют геометрическую прогрессию.

Пример 1. Образуют ли числа 4, 10 и 25 непрерывную пропорцию? ${{10^2}={100}}$ и ${{4\cdot 25}={100}}$, значит, да: ${4:10=10:25}$.

Отношение первого числа к последнему

Если $a$, $b$, $c$ образуют непрерывную пропорцию, то ${{\frac{a}{c}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}}}$, и оба множителя равны $\frac{a}{b}$. Поэтому

$$a:c=a^2:b^2$$

Иначе говоря, первое число относится к третьему, как квадрат первого числа к квадрату второго. Для четырёх чисел непрерывной пропорции ${a:d=a^3:b^3}$ и так далее: отношение первого числа к последнему равно общему отношению в степени, на единицу меньшей количества чисел. В ряду 64, 32, 16, 8, 4 общее отношение равно 2, а чисел пять, поэтому ${64:4}$ равно ${2^4=16}$.

Пример 2. Числа 2, $x$, $y$, 54 образуют непрерывную пропорцию. Найдите $x$ и $y$.

Решение: Каждое число получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$, поэтому ${2q^3=54}$. Тогда ${q^3=27}$ и ${q=3}$: это числа 2, 6, 18 и 54, то есть ${x=6}$ и ${y=18}$.

Свойства пропорций

Из пропорции можно получать новые пропорции: переставлять члены, складывать и вычитать их и так далее. Такие пропорции называют производными. В таблице ${a:b=c:d}$ и все члены не равны нулю. Каждый пример получен из пропорции ${12:4=6:2}$, в которой оба отношения равны 3.

Свойство	Правило	Пример
Перестановка средних членов	${{a:c}={b:d}}$	${{12:6}={4:2}}$
Перестановка крайних членов	${{d:b}={c:a}}$	${{2:4}={6:12}}$
Обращение отношений	${{b:a}={d:c}}$	${{4:12}={2:6}}$
Сумма членов к последующему члену	${{(a+b):b}={(c+d):d}}$	${{16:4}={8:2}}$
Разность членов к последующему члену	${{(a-b):b}={(c-d):d}}$	${{8:4}={4:2}}$
Сумма членов к их разности	${(a+b):(a-b)}={(c+d):(c-d)}$	${{16:8}={8:4}}$
Предыдущий член к разности членов	${{a:(a-b)}={c:(c-d)}}$	${{12:8}={6:4}}$
Сумма предыдущих к сумме последующих	${{(a+c):(b+d)}={a:b}}$	${{18:6}={12:4}}$
Умножение предыдущих (или последующих) членов на одно и то же число	${{ka:b}={kc:d}}$	${{24:4}={12:2}}$
Степени и корни	${{a^n:b^n}={c^n:d^n}}$	${{144:16}={36:4}}$
Перемножение пропорций	если ещё ${{e:f}={g:h}}$, то ${{ae:bf}={cg:dh}}$	с ${{10:5}={8:4}}$: ${{120:20}={48:8}}$

Для свойств «сумма членов к их разности» и «предыдущий член к разности членов» нужно ещё ${a\ne b}$, чтобы ни один член не был равен нулю.

Почему эти свойства верны? Обозначим общее значение отношений буквой $k$: ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k}$. Тогда ${a=bk}$ и ${c=dk}$. Подставим эти выражения в обе части нужного равенства. Например, для суммы и разности членов:

${\frac{a+b}{a-b}}={\frac{bk+b}{bk-b}}={\frac{k+1}{k-1}}$

${\frac{c+d}{c-d}}={\frac{dk+d}{dk-d}}={\frac{k+1}{k-1}}$

Обе части равны одному и тому же числу, значит, они равны. Тот же приём — ввести общий коэффициент $k$ — доказывает и остальные свойства, а также помогает решать задачи на доказательство.

Пример. Известно, что ${\frac{a+b}{a-b}=\frac{7}{3}}$. Найдите ${a:b}$.

Решение: Применим к этой пропорции свойство «сумма членов к их разности»:

${\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}}={\frac{7+3}{7-3}}$

${{\frac{2a}{2b}}={\frac{10}{4}}}$, откуда ${a:b=5:2}$

Проверка: при ${a=5}$ и ${b=2}$ ${{\frac{5+2}{5-2}}={\frac{7}{3}}}$ ✓

Прямая и обратная пропорциональность

Две величины прямо пропорциональны, если их отношение не меняется: когда одна из них увеличивается в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз. Если $y$ прямо пропорционально $x$, то

$$\frac{y}{x}=k\qquad\text{или}\qquad y=kx$$

Постоянное число $k$ называют коэффициентом пропорциональности.

Две величины обратно пропорциональны, если их произведение не меняется: когда одна из них увеличивается в несколько раз, другая во столько же раз уменьшается. Тогда

$$xy=k\qquad\text{или}\qquad y=\frac{k}{x}$$

График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат, а график обратной пропорциональности — гипербола.

	Прямая пропорциональность	Обратная пропорциональность
Если $x$ увеличить в 2 раза	$y$ увеличится в 2 раза	$y$ уменьшится в 2 раза
Что не меняется	отношение $\frac{y}{x}$	произведение $xy$
Формула	${y=kx}$	${y=\frac{k}{x}}$
Две пары значений	${{x_1:x_2}={y_1:y_2}}$	${{x_1:x_2}={y_2:y_1}}$
Примеры	количество товара и его стоимость; время движения и пройденный путь при постоянной скорости	число рабочих и время выполнения работы; скорость и время движения на одном и том же пути

Пример 1. 3 кг яблок стоят 750 рублей. Сколько стоят 5 кг?

Решение: Стоимость прямо пропорциональна массе. Способ приведения к единице: 1 кг стоит ${{750:3}=250}$ рублей, значит, 5 кг стоят ${{5\cdot 250}=1250}$ рублей. С помощью пропорции: отношение масс равно отношению стоимостей,

${3:5=750:x}$, откуда ${{3x}={3750}}$ и ${x=1250}$ рублей

Пример 2. 6 рабочих красят забор за 10 часов. За сколько часов покрасят такой же забор 4 рабочих, если все работают одинаково?

Решение: Чем меньше рабочих, тем больше нужно времени. Число рабочих и время обратно пропорциональны, поэтому их произведение не меняется. Вся работа — это ${{6\cdot 10}=60}$ человеко-часов, и 4 рабочим понадобится ${{60:4}=15}$ часов. С помощью пропорции: отношение чисел рабочих равно обратному отношению времени работы,

${6:4=x:10}$, откуда ${{4x}={60}}$ и ${x=15}$ часов

Пример 3. Со скоростью 60 км/ч поездка занимает 3 часа. Сколько времени она займёт со скоростью 90 км/ч? Расстояние равно ${{60\cdot 3}=180}$ км, поэтому со скоростью 90 км/ч поездка займёт ${{180:90}=2}$ часа.

Не всё, что растёт вместе, пропорционально. Поездка на такси стоит 300 рублей за посадку плюс 200 рублей за километр. Тогда 1 км стоит 500 рублей, а 2 км — 700 рублей, а не 1000. Цена растёт вместе с расстоянием, но не пропорциональна ему, потому что плата за посадку не меняется: ${500:1}$ не равно ${700:2}$.

Типичные ошибки

Неверно	Верно
✗ 3 мальчика и 5 девочек: отношение числа мальчиков к числу девочек равно ${5:3}$	✓ Соблюдайте порядок слов: мальчики к девочкам — это ${3:5}$
✗ Отношение 50 см к 2 м равно ${{50:2}={25:1}}$	✓ Выразите длины в одних единицах: ${{50:200}={1:4}}$
✗ 6000 рублей в отношении ${2:3}$ — это ${{6000:2}=3000}$ и ${{6000:3}=2000}$ рублей	✓ 5 частей по 1200 рублей: 2400 и 3600 рублей
✗ ${2:3}={(2+1):(3+1)}={3:4}$	✓ Умножайте или делите оба члена: ${{2:3}={4:6}}$
✗ Для отношения ${3:1}$ отношение квадратов равно ${6:1}$	✓ Оно равно ${{3^2:1^2}={9:1}}$
✗ ${\frac{x}{2}+1=\frac{5}{4}}$, значит, ${4x+1=10}$	✓ Сначала запишите каждую часть одной дробью: ${\frac{x+2}{2}=\frac{5}{4}}$, откуда ${4(x+2)=10}$ и ${x=0{,}5}$
✗ 6 рабочих справляются за 10 часов, значит, 4 рабочих — за ${\frac{4\cdot 10}{6}\approx 6{,}7}$ часа	✓ Меньше рабочих — больше времени: ${\frac{6\cdot 10}{4}=15}$ часов
✗ Среднее пропорциональное чисел 4 и 9 равно ${\frac{4+9}{2}=6{,}5}$	✓ Оно равно ${\sqrt{4\cdot 9}=6}$, потому что ${{4:6}={6:9}}$

Задачи с решениями

Задача 1. Разделите число 49 на две части так, чтобы большая часть, увеличенная на 6, относилась к меньшей части, уменьшенной на 11, как 9 к 2.

Решение: Пусть большая часть равна $x$. Тогда меньшая часть равна ${49-x}$, а уменьшенная на 11 — ${38-x}$:

${{(x+6):(38-x)}={9:2}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, откуда ${11x=330}$ и ${x=30}$

Части равны 30 и 19. Проверка: ${36:8=9:2}$ ✓

Задача 2. Какое число нужно прибавить к каждому из чисел 1, 5 и 13, чтобы получившиеся суммы образовали непрерывную пропорцию?

Решение: Пусть это число $x$. Суммы ${x+1}$, ${x+5}$ и ${x+13}$ образуют непрерывную пропорцию, если квадрат средней суммы равен произведению двух других:

${(x+5)^2}={(x+1)(x+13)}$

${x^2+10x+25}={x^2+14x+13}$, откуда ${4x=12}$ и ${x=3}$

Суммы равны 4, 8 и 16, и ${4:8=8:16}$ ✓

Задача 3. Разделите число 18 на две части, квадраты которых относятся как ${25:16}$.

Решение: Если квадраты частей относятся как ${25:16}$, то сами части относятся как квадратные корни из этих чисел: ${{\sqrt{25}:\sqrt{16}}={5:4}}$. Делим 18 в отношении ${5:4}$: получается 9 частей по 2, то есть части равны 10 и 8.

Проверка: ${100:64=25:16}$ ✓

Задача 4. Число 20 разделили на две части, которые относятся как квадраты чисел 3 и 1. Найдите среднее пропорциональное этих частей.

Решение: Квадраты чисел 3 и 1 относятся как ${9:1}$. Делим 20 в отношении ${9:1}$: получается 10 частей по 2, то есть части равны 18 и 2. Их среднее пропорциональное равно

${\sqrt{18\cdot 2}}={\sqrt{36}}={6}$

Задача 5. Два числа относятся как ${3:2}$. Если к большему числу прибавить 6, а из меньшего вычесть 6, то результаты будут относиться как ${3:1}$. Найдите эти числа.

Решение: Запишем числа как $3k$ и $2k$:

${(3k+6):(2k-6)}={3:1}$

${3k+6}={3(2k-6)}={6k-18}$, откуда ${3k=24}$ и ${k=8}$

Это числа 24 и 16. Проверка: ${30:10=3:1}$ ✓

Задача 6. Два положительных числа относятся как квадраты чисел 4 и 3, а их среднее пропорциональное равно 24. Найдите эти числа.

Решение: Квадраты чисел 4 и 3 относятся как ${16:9}$, поэтому запишем числа как $16k$ и $9k$, где ${k\gt 0}$. Их произведение равно квадрату среднего пропорционального:

${{16k\cdot 9k}={24^2}}$, откуда ${144k^2=576}$, ${k^2=4}$ и ${k=2}$

Это числа 32 и 18. Проверка: оба отношения ${32:24}$ и ${24:18}$ равны $\frac{4}{3}$ ✓

Задача 7. Произведение двух чисел равно 135, а разность их квадратов относится к квадрату их разности как 4 к 1. Найдите эти числа.

Решение: Обозначим числа $a$ и $b$. Так как ${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$, условие означает, что

${\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}}={\frac{a+b}{a-b}}={\frac{4}{1}}$

По свойству «сумма членов к их разности» ${{\frac{2a}{2b}}={\frac{4+1}{4-1}}}$, откуда ${a:b=5:3}$. Запишем ${a=5k}$ и ${b=3k}$:

${{5k\cdot 3k}={135}}$, откуда ${k^2=9}$ и ${k=\pm 3}$

Это числа 15 и 9 или −15 и −9. Проверка: ${{15\cdot 9}={135}}$ и ${(225-81):36}={144:36}={4:1}$ ✓

Задача 8. Решите уравнение ${\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}}=3}$.

Решение: Запишем 3 как $\frac{3}{1}$ и применим свойство «сумма членов к их разности». Сумма и разность корней превращаются в отдельные корни:

${\frac{2\sqrt{x+5}}{2\sqrt{x-5}}}={\frac{3+1}{3-1}}={2}$

${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, откуда ${{x+5}={4(x-5)}}$, ${3x=25}$ и ${x=\frac{25}{3}}$

Проверка: ${{x+5}={\frac{40}{3}}}$ в 4 раза больше, чем ${{x-5}={\frac{10}{3}}}$, поэтому ${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, и левая часть равна ${{\frac{2+1}{2-1}}={3}}$ ✓

Проверьте себя

Решите каждую задачу, а затем откройте её, чтобы проверить ответ.

1. Упростите отношение ${24:36}$.

Наибольший общий делитель равен 12: ${{24:36}={2:3}}$

2. Упростите отношение ${\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}$.

Умножим оба члена на 12: ${{\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}={9:10}}$

3. Какое отношение больше: ${7:9}$ или ${10:13}$?

${{7\cdot 13}={91}}$ и ${{9\cdot 10}={90}}$. Так как ${91\gt 90}$, больше отношение ${7:9}$.

4. Разделите 9600 рублей в отношении ${3:5}$.

8 частей по 1200 рублей: 3600 и 6000 рублей.

5. Два числа относятся как ${5:3}$, а их разность равна 14. Найдите эти числа.

Разность — это ${{5-3}=2}$ части, значит, одна часть равна 7. Это числа 35 и 21.

6. ${a:b=3:4}$ и ${b:c=6:7}$. Найдите ${a:b:c}$.

Сделаем $b$ равным 12 в обоих отношениях: ${a:b=9:12}$ и ${b:c=12:14}$, поэтому ${{a:b:c}={9:12:14}}$.

7. Решите пропорцию ${(x-1):6=5:3}$.

${{3(x-1)}={30}}$, откуда ${x-1=10}$ и ${x=11}$.

8. Найдите третье пропорциональное к числам 9 и 12 и среднее пропорциональное чисел 8 и 18.

Третье пропорциональное равно ${{\frac{12^2}{9}}={16}}$, потому что ${9:12=12:16}$. Среднее пропорциональное равно ${{\sqrt{8\cdot 18}}={12}}$, потому что ${8:12=12:18}$.

9. Найдите произведение отношения ${7:5}$, отношения квадратов чисел 4 и 9 и отношения кубов чисел 3 и 2.

${(7\cdot 16\cdot 27):(5\cdot 81\cdot 8)}={3024:3240}={14:15}$

10. Известно, что ${(a+2b):(a-2b)=9:5}$. Найдите ${a:b}$.

По свойству «сумма членов к их разности» ${{\frac{2a}{4b}}={\frac{14}{4}}}$, поэтому ${\frac{a}{b}=7}$ и ${a:b=7:1}$.

11. Докажите, что если ${a:b=c:d}$, то ${(a^2+b^2):(c^2+d^2)=ab:cd}$.

Подставим ${a=bk}$ и ${c=dk}$. Левая часть равна ${\frac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}}={\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}}={\frac{b^2}{d^2}}$, а правая часть равна ${\frac{bk\cdot b}{dk\cdot d}}={\frac{b^2}{d^2}}$. Они равны.

12. Масштаб карты ${1:50\,000}$. Расстояние между двумя деревнями на карте равно 7,4 см. Каково расстояние между ними на местности?

${7{,}4\cdot 50\,000}={370\,000}$ см, то есть 3700 м, или 3,7 км.

13. 4 трубы наполняют бассейн за 9 часов. За сколько часов его наполнят 6 таких труб?

Число труб и время обратно пропорциональны: ${{4\cdot 9}={36}}$ и ${{36:6}={6}}$ часов.

Ещё задачи, каждый раз с новыми числами (на английском языке): какая пропорция помогает найти цену?