Процент

Процент — это сотая часть. Слово происходит от латинского pro centum, «на сотню», а знак % означает «из 100». Так, 25% означает 25 из каждых 100. Один процент — это одна сотая: ${1\%=\frac{1}{100}=0{,}01}$, а 25% какой-либо величины — это $\frac{25}{100}$ этой величины.

Закрашены 25 из 100 маленьких квадратов: ${25\%}={\frac{25}{100}}={\frac{1}{4}}$

Пусть в комнате 4 человека. Тогда 100% из них — это все 4 человека, 50% — половина (2 человека), 25% — четверть (1 человек), а 0% — никто. Если войдут ещё 4 человека, в комнате станет 8 человек, а это 200% от первоначального числа. Процентов может быть и больше 100.

На этой странице вы научитесь переводить проценты в десятичные и обыкновенные дроби и решать три основные задачи на проценты: находить процент от числа, находить, сколько процентов одно число составляет от другого, и находить число по его проценту. Затем мы разберём увеличение и уменьшение на процент, обратные задачи и изменения, которые следуют одно за другим. Если вам нужен только быстрый ответ, воспользуйтесь калькулятором процентов.

Проценты, десятичные и обыкновенные дроби

Процент, десятичная дробь и обыкновенная дробь — три способа записать одно и то же число: ${50\%}={0{,}5}={\frac{1}{2}}$.

Некоторые проценты встречаются так часто, что их полезно знать наизусть:

Проценты	Десятичная дробь	Обыкновенная дробь
$1\%$	$0{,}01$	$\frac{1}{100}$
$5\%$	$0{,}05$	$\frac{1}{20}$
$10\%$	$0{,}1$	$\frac{1}{10}$
$12{,}5\%$	$0{,}125$	$\frac{1}{8}$
$20\%$	$0{,}2$	$\frac{1}{5}$
$25\%$	$0{,}25$	$\frac{1}{4}$
$33\tfrac{1}{3}\%$	$0{,}333\ldots$	$\frac{1}{3}$
$50\%$	$0{,}5$	$\frac{1}{2}$
$75\%$	$0{,}75$	$\frac{3}{4}$
$100\%$	$1$	$1$
$150\%$	$1{,}5$	$\frac{3}{2}$

Осторожно с маленькими процентами: ${8\%=0{,}08}$, а не $0{,}8$. А ${0{,}5\%=0{,}005}$ — это половина одного процента, а не половина числа: половина — это 50%.

Как найти процент от числа

Пример 1. Найдите 20% от 40.

${20\%\ \text{от}\ 40}={0{,}2\cdot 40}=8$

Слово «от» здесь означает умножение.

Пример 2. В школе 600 учеников, и 45% из них приезжают в школу на автобусе. Сколько это учеников?

${0{,}45\cdot 600}=270$

Пример 3. Процентов может быть больше 100 или меньше 1:

${120\%\ \text{от}\ 50}={1{,}2\cdot 50}=60$

${0{,}5\%\ \text{от}\ 3000}={0{,}005\cdot 3000}=15$

Пример 4. Синди нужно 8 м садового шланга. В магазине есть катушка со шлангом длиной 30 м, но на ней написано, что 60% шланга уже продано. Хватит ли Синди того, что осталось?

Решение: Продано ${{0{,}6\cdot 30}=18}$ м, значит, осталось ${{30-18}=12}$ м. Этого хватит. Быстрее: осталось ${{100\%-60\%}={40\%}}$ катушки, а это ${{0{,}4\cdot 30}=12}$ м.

Проценты в уме

• 10%: разделите на 10. 10% от 360 — это 36.
• 5%: возьмите половину от 10%. 5% от 360 — это 18.
• 1%: разделите на 100. 1% от 360 — это 3,6.
• 50%, 25% и 20% — это половина, четверть и пятая часть. 25% от 360 — это 90.
• Составляйте другие проценты из этих: 15% — это 10% плюс 5%, поэтому 15% от 360 — это ${{36+18}=54}$.
• Меняйте числа местами: $p\%$ от $a$ — то же самое, что $a\%$ от $p$, потому что ${\frac{p}{100}\cdot a}={\frac{a}{100}\cdot p}$. Найти в уме 8% от 50 трудно, а 50% от 8 — легко. И то и другое равно 4.

Например, скидка 15% на покупку в 3600 рублей: 10% — это 360 рублей, 5% — это 180 рублей, значит, скидка равна 540 рублям.

Сколько процентов одно число составляет от другого

Пример 1. Сколько процентов составляет 80 от 160?

${\frac{80}{160}\cdot 100\%}={0{,}5\cdot 100\%}={50\%}$

Пример 2. За контрольную вы получили 45 баллов из 60. Сколько это процентов?

${\frac{45}{60}\cdot 100\%}={0{,}75\cdot 100\%}={75\%}$

Пример 3. В тесте 5 вопросов: три из них стоят по 3 балла, а два — по 4 балла. Вы правильно ответили на два вопроса по 3 балла и на один вопрос в 4 балла. Сколько процентов от всех баллов вы набрали?

Решение: Всего в тесте ${{3\cdot 3+2\cdot 4}=17}$ баллов, а вы набрали ${{2\cdot 3+4}=10}$ баллов:

${\frac{10}{17}\cdot 100\%}\approx{58{,}8\%}$

Число 10 не делится на 17 нацело, поэтому ответ округлён, и вместо знака = пишут знак ≈ («приблизительно равно»).

Пример 4. Райан собирает спортивные карточки: у него 32 карточки с бейсболистами, 25 — с футболистами и 47 — с баскетболистами. Сколько процентов коллекции приходится на каждый вид спорта?

Решение: Целое — это все карточки: ${{32+25+47}=104}$.

Бейсбол: ${\frac{32}{104}\cdot 100\%}\approx{30{,}8\%}$

Футбол: ${\frac{25}{104}\cdot 100\%}\approx{24{,}0\%}$

Баскетбол: ${\frac{47}{104}\cdot 100\%}\approx{45{,}2\%}$

Вместе три части составляют всю коллекцию, поэтому их проценты в сумме дают 100%. Округлённые проценты в сумме могут дать чуть больше или чуть меньше, например 99,9% или 100,1%.

Пример 5. Часть может быть больше целого. Сколько процентов составляет 45 от 40?

${\frac{45}{40}\cdot 100\%}={1{,}125\cdot 100\%}={112{,}5\%}$

Как найти число по его проценту

Пример 1. 12 — это 30% от какого числа?

${12\div 0{,}3}=40$

Проверка: ${{0{,}3\cdot 40}=12}$ ✓

Пример 2. В классе 6 учеников носят очки. Это 20% класса. Сколько учеников в классе?

${6\div 0{,}2}=30$

Можно рассуждать и через 10%: если 20% класса — это 6 учеников, то 10% — это 3 ученика, а 100% — это ${{10\cdot 3}=30}$ учеников.

Пример 3. Вы накопили 15 000 рублей. Это 60% стоимости велосипеда. Сколько стоит велосипед?

${15\,000\div 0{,}6}={25\,000}$ рублей

Одна формула для трёх задач

Все три задачи решаются по одной формуле, которая связывает часть, процент и целое:

Два числа из трёх известны, а третье нужно найти. В трёх вопросах ниже одни и те же числа, потому что 8 — это 20% от 40:

Вопрос	Решение
Сколько будет 20% от 40? (часть)	${0{,}2\cdot 40}=8$
Сколько процентов составляет 8 от 40? (процент)	${\frac{8}{40}\cdot 100\%}={20\%}$
8 — это 20% от какого числа? (целое)	${8\div 0{,}2}=40$

На сколько процентов изменилась величина

Когда величина меняется, изменение в процентах считают от исходного (старого) значения:

Пример 1. У вас было 80 марок, и вы собирали ещё, пока их не стало 120. На сколько процентов выросла коллекция?

${\frac{120-80}{80}\cdot 100\%}={\frac{40}{80}\cdot 100\%}={50\%}$

Пример 2. Потом вы обменяли часть из 120 марок на игру друга, и у вас осталось 100 марок. На сколько процентов уменьшилось число марок?

${\frac{100-120}{120}\cdot 100\%}={-\frac{20}{120}\cdot 100\%}\approx{-16{,}7\%}$

Число марок уменьшилось примерно на 16,7%. Изменение на 20 марок сравнивают со 120, то есть с числом марок до изменения.

Пример 3. Население города выросло с 12 000 до 12 600 человек, то есть на 600 человек:

${\frac{600}{12\,000}\cdot 100\%}={5\%}$

Как увеличить или уменьшить число на процент

Когда число увеличивают на $p\%$, к нему прибавляют $p\%$ от него, и получается ${100\%+p\%}$ этого числа. Когда его уменьшают на $p\%$, получается ${100\%-p\%}$ от него. Поэтому это можно сделать за один шаг, умножив число на множитель:

Пример 4. Видеоигра стоила 4000 рублей. Потом её цена выросла на 20%. Сколько она стоит теперь?

В два шага: цена выросла на ${{0{,}2\cdot 4000}=800}$ рублей, значит, новая цена ${{4000+800}=4800}$ рублей. В один шаг: ${{4000\cdot 1{,}2}=4800}$ рублей.

Пример 5. Куртка стоит 5000 рублей. На распродаже на неё скидка 30%, поэтому она стоит ${{5000\cdot 0{,}7}=3500}$ рублей.

На сколько процентов больше или меньше

Проценты всегда считают от того числа, с которым сравнивают. Поэтому верны оба утверждения:

• 50 больше 40 на 25%, потому что ${\frac{10}{40}}={25\%}$;
• 40 меньше 50 на 20%, потому что ${\frac{10}{50}}={20\%}$.

В обоих случаях разница равна 10, но её сравнивают с разными числами.

Как найти исходное значение

Иногда известно значение после изменения на процент, а найти нужно значение до изменения. Тогда разделите на множитель:

Пример 1. Со скидкой 20% куртка стоит 6400 рублей. Сколько она стоила до скидки?

Решение: Цена со скидкой составляет ${{100\%-20\%}={80\%}}$ исходной цены, поэтому

${\text{исходная цена}}={6400\div 0{,}8}=8000$ рублей

Проверка: 20% от 8000 рублей — это 1600 рублей, и ${{8000-1600}=6400}$ ✓. То же самое видно на схеме:

80% цены — это 6400 рублей, значит, 10% — это 800 рублей, а 100% — 8000 рублей.

Осторожно: не прибавляйте 20% от цены со скидкой. Ответ ${{6400+0{,}2\cdot 6400}=7680}$ рублей неверен, потому что скидка составляла 20% исходной цены, а не 20% от 6400 рублей.

Пример 2. Цена с НДС 20% равна 5400 рублей. Цена без НДС: ${{5400\div 1{,}2}=4500}$ рублей.

Пример 3. После повышения на 25% зарплата составляет 50 000 рублей в месяц. До повышения она была ${{50\,000\div 1{,}25}=40\,000}$ рублей.

Несколько изменений подряд

Когда одно изменение на процент следует за другим, второй процент считают от нового значения, а не от исходного. Поэтому проценты нельзя просто сложить: нужно перемножить множители.

Пример 1. Цена выросла на 10%, а потом снизилась на 10%. Она не вернулась к исходной:

${1{,}1\cdot 0{,}9}={0{,}99}$

Итоговая цена составляет 99% исходной, то есть она на 1% ниже. Например, 1000 рублей превращаются в 1100 рублей, а потом в 990 рублей.

Пример 2. Скидка 20%, а затем ещё 10% — это не скидка 30%:

${0{,}8\cdot 0{,}9}={0{,}72}$

Вы платите 72% цены, значит, общая скидка составляет 28%.

Пример 3. Цена акции упала на 50%. Чтобы вернуться к прежнему уровню, она должна вырасти на 100%, потому что ${{0{,}5\cdot 2}=1}$.

Пример 4. Население города 3 года подряд растёт на 5% в год:

${1{,}05\cdot 1{,}05\cdot 1{,}05}={1{,}05^3}\approx{1{,}158}$

Всего население вырастет примерно на 15,8%, а не на 15%, потому что каждый год 5% считают от большего числа. Так же растут вклады со сложными процентами. Калькулятор сложных процентов внизу страницы сделает эти расчёты за вас.

Проценты и процентные пункты

Когда меняется величина, которая сама выражена в процентах, изменение можно описать двумя способами. Пусть банк поднял ставку с 4% до 5%:

• ставка выросла на 1 процентный пункт, потому что ${{5-4}=1}$;
• ставка выросла на 25%, потому что ${\frac{5-4}{4}\cdot 100\%}={25\%}$.

Оба утверждения верны, но говорят о разном, поэтому фраза «ставка выросла на 1%» сбивает с толку. Когда вы вычитаете один процент из другого, говорите «процентные пункты».

Калькулятор процентов

Введите два числа в любой строке. Ответ и решение появятся сразу.

Проценты в жизни

Проценты позволяют сравнивать части разных целых по одной шкале — из 100. Поэтому они встречаются повсюду:

• покупки: скидки и налоги;
• деньги: проценты по вкладам и кредитам, рост цен;
• учёба: результаты тестов и экзаменов;
• новости: результаты выборов, опросы, рост населения;
• наука: концентрация раствора, влажность воздуха, состав продуктов на этикетке.

Пример 1. В классе А тест сдали 18 учеников из 24, а в классе Б — 21 ученик из 30. Какой класс справился лучше?

Решение: В классе Б тест сдало больше учеников, но и сам класс больше. Сравним проценты:

Класс А: ${\frac{18}{24}\cdot 100\%}={75\%}$

Класс Б: ${\frac{21}{30}\cdot 100\%}={70\%}$

Класс А справился лучше.

Пример 2. У Тома небольшой продуктовый магазин. В первый месяц он закупил товар на 65 000 рублей и продал его за 80 000 рублей. Во второй месяц он закупил товар на 80 000 рублей и продал за 120 000 рублей. Стал ли его магазин работать лучше во второй месяц?

Решение: Прибыль выросла с ${{80\,000-65\,000}=15\,000}$ до ${{120\,000-80\,000}=40\,000}$ рублей, но и потратил Том больше. Чтобы понять, насколько хорошо работали его деньги, сравним прибыль каждого месяца с потраченной суммой:

${\frac{15\,000}{65\,000}\cdot 100\%}\approx{23{,}1\%}$

${\frac{40\,000}{80\,000}\cdot 100\%}={50\%}$

В первый месяц каждые потраченные 100 рублей приносили Тому около 23 рублей прибыли, а во второй — 50 рублей. Значит, его магазин не просто вырос, но и стал выгоднее.

Типичные ошибки

Неверно	Верно
✗ ${8\%=0{,}8}$	✓ ${8\%=0{,}08}$
✗ ${0{,}5\%=0{,}5}$	✓ ${0{,}5\%=0{,}005}$
✗ С 80 до 120 — это рост на ${{\frac{40}{120}}\approx{33\%}}$	✓ Делите на старое значение: ${\frac{40}{80}}={50\%}$
✗ +10%, а потом −10% — это без изменений	✓ ${1{,}1\cdot 0{,}9}={0{,}99}$, то есть уменьшение на 1%
✗ Скидка 20%, а потом ещё 10% — это скидка 30%	✓ ${0{,}8\cdot 0{,}9}={0{,}72}$, то есть скидка 28%
✗ Со скидкой 20% цена 6400 рублей, значит, до скидки она была ${6400+0{,}2\cdot 6400}=7680$ рублей	✓ ${6400\div 0{,}8}=8000$ рублей
✗ 50 больше 40 на 25%, значит, 40 меньше 50 на 25%	✓ 40 меньше 50 на ${\frac{10}{50}}={20\%}$
✗ С 4% до 5% — это рост на 1%	✓ Рост на 1 процентный пункт, то есть на 25%

Полезная привычка — проверять, разумен ли ответ: цена со скидкой ниже прежней, а 30% от числа меньше его половины.

Задачи с решениями

Задача 1. Ноутбук подешевел с 90 000 до 76 500 рублей. На сколько процентов снизилась цена?

Решение: Цена снизилась на ${{90\,000-76\,500}=13\,500}$ рублей. Сравним это со старой ценой:

${\frac{13\,500}{90\,000}\cdot 100\%}={15\%}$

Задача 2. В 200 г солёной воды содержится 15% соли. Сколько в ней соли? Сколько процентов соли станет, если добавить 100 г воды?

Решение: Соли в воде ${{0{,}15\cdot 200}=30}$ г. После добавления воды получится ${{200+100}=300}$ г раствора, а соли в нём по-прежнему 30 г:

${\frac{30}{300}\cdot 100\%}={10\%}$

Задача 3. На выборах с двумя кандидатами проголосовали 2400 человек. Кандидат А получил 55% голосов. На сколько голосов больше получил А, чем Б?

Решение: Кандидат Б получил ${{100\%-55\%}={45\%}}$ голосов. Разница составляет ${{55\%-45\%}={10\%}}$ голосов:

${0{,}1\cdot 2400}=240$

Проверка: А получил ${{0{,}55\cdot 2400}=1320}$ голосов, Б получил ${{0{,}45\cdot 2400}=1080}$ голосов, и ${{1320-1080}=240}$.

Задача 4. Со скидкой 25% рубашка стоит 1800 рублей. Сколько она стоила до скидки?

Решение: 1800 рублей — это ${{100\%-25\%}={75\%}}$ старой цены:

${1800\div 0{,}75}=2400$ рублей

Задача 5. Население города в 50 000 человек за год уменьшилось на 10%, а за следующий год выросло на 10%. Сколько людей живёт в городе теперь?

${50\,000\cdot 0{,}9\cdot 1{,}1}={49\,500}$

Это на 500 человек меньше, чем вначале, то есть на 1%.

Задача 6. Магазин поднял все цены на 25%. Позже он устроил распродажу со скидкой 20%. Цены на распродаже выше или ниже, чем до подорожания?

Решение: ${{1{,}25\cdot 0{,}8}=1}$, поэтому цены на распродаже точно такие же, как до подорожания.

Задача 7. Безработица снизилась с 8% до 6%. Опишите это изменение в процентных пунктах и в процентах.

Решение: Безработица снизилась на ${{8-6}=2}$ процентных пункта. Изменение в процентах:

${\frac{6-8}{8}\cdot 100\%}={-25\%}$

то есть безработица снизилась на 25%.

Проверьте себя

Решите каждую задачу, а затем откройте её, чтобы проверить ответ.

1. Запишите 45% в виде десятичной дроби и в виде несократимой обыкновенной дроби.

${45\%}={0{,}45}={\frac{45}{100}}={\frac{9}{20}}$

2. Запишите $\frac{7}{8}$ в процентах.

${7\div 8}={0{,}875}={87{,}5\%}$

3. Найдите 35% от 240.

${0{,}35\cdot 240}=84$

4. Сколько процентов составляет 27 от 36?

${\frac{27}{36}\cdot 100\%}={75\%}$

5. 18 — это 45% от какого числа?

${18\div 0{,}45}=40$

6. Кроссовки стоят 6000 рублей, и на них скидка 15%. Сколько они стоят со скидкой?

${6000\cdot 0{,}85}=5100$ рублей

7. Автомобиль подешевел с 2 500 000 до 2 100 000 рублей. На сколько процентов снизилась его цена?

${\frac{2\,500\,000-2\,100\,000}{2\,500\,000}\cdot 100\%}={\frac{400\,000}{2\,500\,000}\cdot 100\%}={16\%}$

8. После подорожания на 10% билет на автобус стоит 55 рублей. Сколько он стоил раньше?

${{55\div 1{,}1}=50}$ рублей

9. Цена выросла на 30%, а потом снизилась на 30%. Как изменилась цена в итоге?

${{1{,}3\cdot 0{,}7}=0{,}91}$, то есть цена стала на 9% ниже исходной.

10. Что больше: 40% от 70 или 70% от 40?

Они равны: ${{0{,}4\cdot 70}=28}$ и ${{0{,}7\cdot 40}=28}$.