Степень. Что такое степень

Если вы умножаете a.a, то это легко записать, но когда вам необходимо умножить a.a.a.a.a.a... сорок пять раз, например, очень много множителей придется записать, и поэтому мы используем более короткую форму, называемую степень. Помните, что степень может использоваться только тогда, когда умножаются одинаковые значения. Вот как выглядит запись 45 множителей a.a.a.a.a.a... используя степень: a⁴⁵ . Верхний индекс показывает число раз, сколько умножается число и называтся показателем степени (или просто степень), а a называется осново й. Индекс степени относится только к значению, которое непосредственно расположено под ним или к группе значений в скобках.

Степень может принимать положительные и отрицательные значения. Когда степень отрицательна, применяется правило: x^-a = 1/x^a. Но здесь есть ограничение деление на ноль, поэтому x должно быть отлично от нуля.

Степени могут принимать значения из множества действительных чисел. Они могут быть рациональные и иррациональные. Когда степень является дробью, например ³/₄, знаменатель, в данном случае 4, означает, что необходимо взять корень четвертой степени из x³. Детальнее об этом вы можете прочитать в материале об арифметических корнях.

Правила степеней:

Ниже приведены основные уравнения, которые вам необходимо помнить.

aⁿ = a.a.a.a...(a умножается n раз)

a⁰ = 1

a¹ = a

a^-n

aⁿ

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Если у вас есть aⁿ.a^m, это равно a.a.a.a.a...(n раз).a.a.a.a.a.....(m раз) что равно a.a.a.a.a....(n + m раз) or a^{m + n}

a^m.aⁿ = a^{m + n}

aⁿ

a^m

a^n-m

(если a отлично от нуля)

Если у вас есть (aⁿ)^m что равняется (a.a.a.a.a...(n раз)).(a.a.a.a.a...(n раз)).(a.a.a.a.a...(n раз)) ...... (m раз) в этом случае число умножений есть n times m и тогда это (aⁿ)^m равно a^m.n.

(aⁿ)^m = a^m.n

Если у вас есть (a.b)ⁿ это равно (a.b).(a.b).(a.b)....(n раз) что равно (a.a.a.a.a...(n раз)) . (b.b.b.b.b....(n раз) or aⁿ.bⁿ.

aⁿ . bⁿ = (a . b)ⁿ

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ (b отлично от нуля)

Монотонность функции степени

Если 0 < x < y тогда:
- если r > 0 => x^r < y^r
- если r < 0 => x^r > y^r

Если x < y и они рациональные
-если 0 ≤ a < 1 => a^x > a^y

-если a > 1 => a^x < a^y

Больше о степенях на страницах математического форума