Делители и кратные
Делимость суммы и разности

Складывать и умножать натуральные числа можно всегда, а вот деление не всегда выполняется нацело: 20 : 4 = 5, но 20 : 3 = 6 (остаток 2). На этой странице показано, как узнать, будет ли при делении остаток, – часто даже не выполняя деления. Быстрые проверки по цифрам числа собраны на странице признаки делимости.

Делители и кратные

Если a делится на b без остатка, то a называют кратным числа b (говорят, что a делится на b), а b — делителем числа a.

12 : 3 = 4 → 12 кратно 3, а 3 — делитель числа 12.
12 : 5 = 2 (остаток 2) → 12 не кратно 5, и 5 не является делителем числа 12.

• 1 является делителем любого числа.
• Каждое число является делителем и кратным самого себя.
• Делителей у числа немного, а кратных — бесконечно много.

Пример: найдите все делители числа 36

Запишите 36 в виде произведения двух чисел всеми возможными способами, начиная с 1:

1 ⋅ 36    2 ⋅ 18    3 ⋅ 12    4 ⋅ 9    6 ⋅ 6

5 не подходит (36 : 5 = 7 (остаток 1)), а когда два множителя сошлись на 6 ⋅ 6, можно остановиться.
Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Делимость суммы

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

6 + 14 = 20  – все делятся на 2
12 + 18 + 30 = 60  – все делятся на 6
25 + 50 + 75 = 150  – все делятся на 25

Почему? 12 = 6 ⋅ 2 и 18 = 6 ⋅ 3, поэтому 12 + 18 = 6 ⋅ 2 + 6 ⋅ 3 = 6 ⋅ 5. В сумме по-прежнему целое число шестёрок.

Если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма на это число не делится.

На 3:  15 ✓ + 10 ✗ = 25 ✗
На 5:  10 ✓ + 30 ✓ + 8 ✗ = 48 ✗

Внимание: если на число не делятся два слагаемых или больше, правило ничего не говорит – проверьте саму сумму. На 4: 7 + 5 = 12 делится, а 7 + 2 = 9 – нет.

Проверка без деления

Разбейте число на «круглую» часть, которая явно делится, и небольшую добавку.

Делимость разности

Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.

40 − 12 = 28  – все делятся на 4
90 − 36 = 54  – все делятся на 9

Если ровно одно из них не делится на некоторое число, то разность на это число не делится.

На 10:  40 ✓ − 12 ✗ = 28 ✗
На 6:  40 ✗ − 12 ✓ = 28 ✗

Внимание: если ни одно из чисел не делится, проверьте саму разность. На 3: 11 − 5 = 6 делится, а 11 − 4 = 7 – нет.

Проверка без деления

Возьмите ближайшее «круглое» число, которое явно делится, и вычтите из него небольшую часть.

Итоги

Проверьте себя

Нажмите на вопрос, чтобы увидеть ответ.

1. Найдите все делители числа 24.

1 ⋅ 24, 2 ⋅ 12, 3 ⋅ 8, 4 ⋅ 6
Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

2. Запишите первые пять чисел, кратных 9.

9, 18, 27, 36, 45

3. Не выполняя деления, определите: делится ли 2114 на 7?

2114 = 2100 + 14, и оба числа делятся на 7.
Да (2114 = 7 ⋅ 302)

4. Не выполняя деления, определите: делится ли 1188 на 12?

1188 = 1200 − 12, и оба числа делятся на 12.
Да (1188 = 12 ⋅ 99)

5. Не выполняя деления, определите: делится ли 1445 на 7?

1445 = 1400 + 45. 1400 делится на 7, а 45 – нет.
Нет

6. Верно или неверно: 9 + 15 = 24, и 24 делится на 4, значит, 9 и 15 тоже делятся на 4.

Неверно. Ни 9, ни 15 не делятся на 4. Правило работает только в одну сторону: если слагаемые делятся, то делится и сумма, но не наоборот.