Арифметический корень. Что такое арифметический корень

Давайте возьмем число 9. Девять делится на 3 и результат равен делителю 3 => 9/3 = 3, то есть 3.3 = 9 или 32 = 9.Давайте возьмем другое число, например 27, 27 = 3.3.3 = 33. Таким образом мы обнаружили, что 9 и 27 на самом деле являются числом 3 со степенью 2 и 3.

В общем, арифметический корень (далее - корень) это функция, находящая делитель числа, который, будучи возведенным в степень корня, дает нам в результате снова это число. Иногда, этот делитель не является рациональным числом. В принципе корень - это обратная функция возведения в степень. Но даже может быть записан с помощью степени. Так, в нашем случае квадратный корень из 9 есть 3, √9 и кубический корень 27 есть 3 = 327

Если a есть положительным действительным числом, тогда уравнение x2 = a имеет две решения: x = +√a or x = -√a.

$\sqrt[2]{x}$ = $\sqrt{x}$

Если a есть действительным числом, тогда уравнение x3 = a имеет только одно решение => x = 3a. С помощью уравнений, приведенных выше, решаются квадратные и кубические уравнения. Корень может быть записан с помощью степени, используя вышеприведенное правило:

$x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m$

Формула арифметического корня

Если n четно:
$\sqrt[n]{x^n}=x$

Если n нечетно:
$\sqrt[n]{x^n}=|x|$

Пример: $\sqrt[3]{x^3}=x$, но $\sqrt[4]{x^4}=|x|$


$\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

Доказательство: Давайте возтмем nab которое равно (ab)1/n, и которое, используя основную формулу дл степени, можно записать как a1/n.b1/n, или nanb


$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Доказательство: na/b = (a/b)1/n и которое, используя основную формулу для степени, можно записать как a1/n/b1/n, or na/nb


$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$

Доказательство: если есть nma которое равно na1/m, и которое равно (a1/m)1/n и которое, используя основную формулу для степени, можно записать как a1/(m.n), or n . ma


2nx ≥ 0 n - натуральное число (если x ≥ 0)

Однообразие арифметического корня

Если 0 ≤ x < y тогда nx < ny

Функция квадратного корня

Функция квадратного корня

Функция кубического корня

Функция кубического корня

Больше об арифметических корнях на страницах математического форума


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.