Арифметический корень. Что такое арифметический корень

Какое положительное число при умножении на само себя даёт 9? Это число 3, потому что ${3\cdot 3=3^2=9}.$ Говорят, что 3 — квадратный корень из 9, и пишут ${\sqrt9=3}.$ А какое число, взятое множителем три раза, даёт 27? Снова 3, потому что ${3\cdot 3\cdot 3=3^3=27}.$ Значит, 3 — кубический корень из 27, и пишут ${\sqrt[3]{27}=3}.$

Сторона квадрата площадью 9 равна ${\sqrt9=3}.$ Ребро куба объёмом 27 равно ${\sqrt[3]{27}=3}.$

Извлечение корня — действие, обратное возведению в степень. Степень $3^2$ ведёт от 3 к 9, а корень $\sqrt9$ возвращает от 9 к 3. Знак $\sqrt{\phantom{0}}$ называют знаком корня, или радикалом. Радикалом называют и выражение, записанное с этим знаком, например $\sqrt9,$ $\sqrt[3]{27}$ или ${2\sqrt{x+1}}.$ Слово происходит от латинского radix, что значит «корень».

Число $n$ называют показателем корня, а число $a$ под знаком корня — подкоренным выражением (подкоренным числом). У квадратного корня показатель 2 не пишут: $\sqrt[2]{a}$ — это просто $\sqrt a.$ Корень с показателем 3 — кубический; дальше идут корень четвёртой степени, корень пятой степени и так далее.

Примеры

• ${\sqrt{25}=5},$ так как ${5^2=25}.$
• ${\sqrt{\frac14}=\frac12},$ так как ${\left(\frac12\right)^2=\frac14}.$
• ${\sqrt{0{,}09}=0{,}3},$ так как ${0{,}3^2=0{,}09}.$
• ${\sqrt[3]{8}=2},$ так как ${2^3=8}.$
• ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ так как ${(-2)^3=-8}.$
• ${\sqrt[4]{81}=3},$ так как ${3^4=81}.$
• ${\sqrt[5]{32}=2},$ так как ${2^5=32}.$
• ${\sqrt[n]{0}=0}$ и ${\sqrt[n]{1}=1}$ при любом показателе $n,$ так как ${0^n=0}$ и ${1^n=1}.$

На этой странице: Корни · Дробные показатели · Свойства корней · Упрощение · Сложение и вычитание · Умножение · Деление · Иррациональность в знаменателе · Степень корня и корень из корня · Сравнение · Графики · Задачи

Квадратный корень, кубический корень и корень n-й степени

Полные квадраты и полные кубы

Натуральное число, квадратный корень из которого тоже является натуральным числом, называют полным квадратом (или точным квадратом): 1, 4, 9, 16, 25, … Число, кубический корень из которого является натуральным числом, называют полным кубом: 1, 8, 27, 64, … Первые из этих чисел стоит выучить наизусть: корни находят, узнавая в числе полный квадрат или куб.

$x$	$x^2$	$x^3$	$x^4$
1	1	1	1
2	4	8	16
3	9	27	81
4	16	64	256
5	25	125	625
6	36	216	1296
7	49	343	2401
8	64	512	4096
9	81	729	6561
10	100	1000	10000

Чтобы найти корень, читайте таблицу справа налево: ${\sqrt{49}=7},$ ${\sqrt[3]{216}=6},$ ${\sqrt[4]{625}=5}.$ Следующие полные квадраты: ${11^2=121},$ ${12^2=144},$ ${13^2=169},$ ${14^2=196}$ и ${15^2=225}.$

Два квадратных корня, один знак корня

Уравнение ${x^2=9}$ имеет два решения, 3 и $-3,$ потому что ${3^2=9}$ и ${(-3)^2=9}.$ Оба числа — квадратные корни из 9. Но запись $\sqrt9$ обозначает только одно из них, неотрицательное: ${\sqrt9=3}.$ Его называют арифметическим квадратным корнем из 9 (арифметический корень — это неотрицательный корень из неотрицательного числа). Отрицательный корень записывают так: ${-\sqrt9=-3},$ а оба корня вместе — так: ${\pm\sqrt9=\pm 3}.$

Например, из ${x^2=7}$ получаем ${x=\pm\sqrt7},$ а из ${x^3=-125}$ получаем ${x=\sqrt[3]{-125}=-5}.$ Так решают простейшие квадратные и кубические уравнения.

Чётный и нечётный показатель корня

Любой корень с чётным показателем (короче, корень чётной степени) ведёт себя как квадратный корень, а любой корень с нечётным показателем (корень нечётной степени) — как кубический.

	$n$ чётное: $\sqrt a,$ $\sqrt[4]{a},$ $\sqrt[6]{a},$ …	$n$ нечётное: $\sqrt[3]{a},$ $\sqrt[5]{a},$ …
${a\gt 0}$	Корень положителен: ${\sqrt[4]{16}=2}$	Корень положителен: ${\sqrt[3]{8}=2}$
${a=0}$	${\sqrt[4]{0}=0}$	${\sqrt[3]{0}=0}$
${a\lt 0}$	Действительного корня нет: $\sqrt[4]{-16}$ не существует	Корень отрицателен: ${\sqrt[3]{-8}=-2}$
Уравнение ${x^n=a}$	Два решения $\pm\sqrt[n]{a}$ при ${a\gt 0},$ одно (${x=0}$) при ${a=0},$ ни одного при ${a\lt 0}$	Ровно одно решение, $\sqrt[n]{a}$

Почему не существует $\sqrt{-4}?$ Квадрат числа не бывает отрицательным: ${2\cdot 2=4}$ и ${(-2)\cdot(-2)=4},$ поэтому ни одно действительное число при умножении на само себя не даёт $-4.$ (Квадратные корни из отрицательных чисел приводят к мнимым числам; это тема более сложных разделов алгебры.) А корень нечётной степени из отрицательного числа существует, и знак минус просто выносится за знак корня:

Например, ${\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3}$ и ${\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2}.$

Не путайте $\sqrt{-a}$ и $-\sqrt a.$ Число ${-\sqrt{16}=-4}$ существует, а $\sqrt{-16}$ не является действительным числом.

По той же причине выражение с корнем чётной степени имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно: $\sqrt{x-3}$ имеет смысл при ${x\ge 3},$ а $\sqrt[3]{x-3}$ имеет смысл при любом $x.$

Корень из отрицательного числа может показать, что задача не имеет решения. Пусть нужно разбить число 14 на два слагаемых, произведение которых равно 60. Если одно слагаемое равно $x,$ то другое равно ${14-x},$ поэтому ${x(14-x)=60},$ то есть ${x^2-14x+60=0}.$ Формула корней квадратного уравнения дала бы ${x=7\pm\sqrt{-11}}.$ Действительного числа $\sqrt{-11}$ не существует, значит, разбить 14 таким образом нельзя. И в самом деле: произведение наибольшее, когда слагаемые равны, но и тогда оно равно всего лишь ${7\cdot 7=49}.$

Корни, которые не являются целыми числами

Чаще всего корень не является целым числом. Возьмём $\sqrt2.$ Так как ${1^2=1}$ и ${2^2=4},$ этот корень лежит между 1 и 2. Попробуем десятичные дроби:

${1{,}4^2=1{,}96}$ и ${1{,}5^2=2{,}25},$ значит, ${1{,}4\lt\sqrt2\lt 1{,}5}$

${1{,}41^2=1{,}9881}$ и ${1{,}42^2=2{,}0164},$ значит, ${1{,}41\lt\sqrt2\lt 1{,}42}$

Так можно продолжать бесконечно: ${\sqrt2=1{,}41421356\ldots}$ Эта десятичная дробь бесконечная и непериодическая. Число $\sqrt2$ иррациональное: его нельзя записать в виде дроби, числитель и знаменатель которой — целые числа.

Так, $\sqrt4$ и $\sqrt[3]{27}$ — натуральные числа, а $\sqrt2,$ $\sqrt3,$ $\sqrt5,$ $\sqrt6,$ $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{10}$ — иррациональные. Некоторые значения встречаются очень часто:

${\sqrt2\approx 1{,}414},$   ${\sqrt3\approx 1{,}732},$   ${\sqrt5\approx 2{,}236},$   ${\sqrt{10}\approx 3{,}162}$

Иррациональный корень — всё равно точное число. В вычислениях его оставляют в виде $\sqrt2$ и заменяют десятичной дробью только в самом конце, если это вообще нужно.

Чтобы оценить корень без калькулятора, найдите ближайшие полные квадраты, между которыми лежит подкоренное число. Например, ${49\lt 50\lt 64},$ значит, ${7\lt\sqrt{50}\lt 8},$ а так как 50 очень близко к 49, корень лишь немного больше 7. Действительно, ${\sqrt{50}\approx 7{,}07}.$

Почему $\sqrt2$ нельзя записать в виде дроби

Предположим, что ${\sqrt2=\frac pq},$ где $p$ и $q$ — натуральные числа, а дробь несократима. Возведя обе части в квадрат, получим ${p^2=2q^2},$ значит, $p^2$ чётно, а тогда и само $p$ чётно: ${p=2k}.$ Теперь ${4k^2=2q^2},$ то есть ${q^2=2k^2},$ поэтому и $q$ чётно. Но тогда дробь $\frac pq$ можно сократить на 2, а мы считали её несократимой. Полученное противоречие показывает, что такой дроби не существует.

Корень как степень: дробные показатели

Корень можно записать в виде степени. Чтобы понять, как это сделать, возьмём положительное число $a$ и рассмотрим $a^6.$ Квадратный корень из него равен $a^3,$ так как ${a^3\cdot a^3=a^6}$: показатель 6 разделили на 2. Кубический корень из него равен $a^2,$ так как ${a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^6}$: показатель 6 разделили на 3. Теперь сделаем то же самое с ${a=a^1}.$ У квадратного корня показатель должен быть равен $\frac12.$ И действительно, если показатели складывать как обычно, то

${a^{\frac12}\cdot a^{\frac12}=a^{\frac12+\frac12}=a^1=a}$

Итак, $a^{\frac12}$ при умножении на само себя даёт $a,$ в точности как $\sqrt a.$ Аналогично ${a^{\frac13}\cdot a^{\frac13}\cdot a^{\frac13}=a},$ как и для $\sqrt[3]{a}.$ Такие показатели называют дробными (или рациональными), а саму степень — степенью с рациональным показателем.

Вторая формула говорит, что степень корня равна корню из степени. Например, четвёртая степень кубического корня из $a$ — это то же число, что и кубический корень из $a^4.$

Отрицательный дробный показатель означает «единица, делённая на степень», как и в случае целых показателей: ${a^{-\frac mn}=\frac{1}{a^{\frac mn}}}.$

Примеры

• ${9^{\frac12}=\sqrt9=3}$
• ${8^{\frac13}=\sqrt[3]{8}=2}$
• ${8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4}$
• ${16^{\frac34}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8}$
• ${27^{\frac43}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^4=3^4=81}$
• ${4^{-\frac12}=\frac{1}{4^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt4}=\frac12}$
• ${100^{1{,}5}}={100^{\frac32}}={\left(\sqrt{100}\right)^3}={10^3}={1000}$
• ${32^{0{,}4}}={32^{\frac25}}={\left(\sqrt[5]{32}\right)^2}={2^2}={4}$

Сначала извлекайте корень, а потом возводите в степень: так числа остаются небольшими. Если вычислять $16^{\frac34}$ как ${\sqrt[4]{16^3}=\sqrt[4]{4096}},$ получится то же число 8, но работы будет гораздо больше.

Равные дроби дают равные степени: ${a^{\frac23}=a^{\frac46}=a^{\frac69}},$ то есть ${\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[9]{a^6}}.$ Показатель можно записать и десятичной дробью: ${a^{0{,}5}=\sqrt a},$ ${a^{0{,}25}=\sqrt[4]{a}},$ ${a^{1{,}5}=\sqrt{a^3}}.$ Так находят корни на калькуляторе: $\sqrt[5]{7}$ вводят как $7^{0{,}2},$ и ${7^{0{,}2}\approx 1{,}476}.$

Все свойства степеней остаются верными и для дробных показателей. Здесь ${a\gt 0}$ и ${b\gt 0},$ а $p$ и $q$ — любые рациональные числа:

Свойство	Пример
${a^p\cdot a^q=a^{p+q}}$	${a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}=a^{\frac12+\frac13}=a^{\frac56}}$
${\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}}$	${\frac{a^{\frac12}}{a^{\frac16}}=a^{\frac12-\frac16}=a^{\frac13}}$
${\left(a^p\right)^q=a^{pq}}$	${\left(a^{\frac13}\right)^2=a^{\frac23}}$
${(ab)^p=a^pb^p}$	${(8a)^{\frac13}=8^{\frac13}a^{\frac13}=2a^{\frac13}}$
${\left(\frac ab\right)^p=\frac{a^p}{b^p}}$	${\left(\frac{a}{9}\right)^{\frac12}=\frac{a^{\frac12}}{3}}$

Ещё несколько примеров:

• ${a^{\frac27}\cdot a^{\frac37}=a^{\frac57}}$
• ${y^3\cdot y^{\frac16}=y^{3+\frac16}=y^{\frac{19}{6}}}$
• ${a^3\cdot a^{\frac13}\cdot a^{\frac23}}={a^{3+\frac13+\frac23}}={a^4}$
• ${\left(a^{\frac23}x^{\frac34}\right)^2=a^{\frac43}x^{\frac32}}$

Только положительные основания. Степень с дробным показателем определена только для положительного основания. Корень ${\sqrt[3]{-8}=-2}$ существует, а выражение $(-8)^{\frac13}$ не определено. Иначе равные показатели $\frac13$ и $\frac26$ давали бы два разных ответа: $-2$ и ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$

Свойства арифметического корня

Правила действий с корнями — это свойства степеней, записанные с помощью знака корня. В таблице $n,$ $m$ и $k$ — натуральные числа (каждый показатель корня не меньше 2), а $a$ и $b$ неотрицательны. В формуле корня из частного ${b\gt 0}.$

Свойство	Формула	Пример
Корень из произведения	${\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$	${\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt4\cdot\sqrt{25}=10}$
Корень из частного	${\sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$	${\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac34}$
Возведение корня в степень	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}}$	${\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=\sqrt[3]{64}=4}$
Корень из корня	${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}}$	${\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2}$
Изменение показателя корня	${\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}}$	${\sqrt[6]{5^3}=\sqrt5}$
Корень в степени, равной его показателю	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a}$	${\left(\sqrt7\right)^2=7}$
Корень из $n$-й степени, $n$ нечётное	${\sqrt[n]{x^n}=x}$ при любом действительном $x$	${\sqrt[3]{(-5)^3}=-5}$
Корень из $n$-й степени, $n$ чётное	${\sqrt[n]{x^n}=|x|}$ при любом действительном $x$	${\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5}$

Два последних свойства легко перепутать: ${\sqrt[3]{x^3}=x},$ но ${\sqrt[4]{x^4}=|x|},$ то есть модуль числа $x.$ Причина в том, что корень чётной степени не бывает отрицательным: ${\sqrt[2n]{x}\ge 0}$ при любом ${x\ge 0}$ и любом натуральном $n.$ При ${x=-5}$ получаем ${\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5},$ то есть $|{-5}|,$ а не $-5.$ Сравните также равенство ${\left(\sqrt x\right)^2=x},$ которое имеет смысл только при ${x\ge 0},$ с равенством ${\sqrt{x^2}=|x|},$ которое верно при любом $x.$

Почему эти формулы верны

Если записать корни как степени с дробными показателями, формулы превращаются в свойства степеней (при ${a=0}$ обе части каждой формулы равны 0).

Корень из произведения.

${\sqrt[n]{ab}}={(ab)^{\frac1n}}={a^{\frac1n}\cdot b^{\frac1n}}={\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$

Корень из частного.

${\sqrt[n]{\frac ab}=\left(\frac ab\right)^{\frac1n}=\frac{a^{\frac1n}}{b^{\frac1n}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

Возведение корня в степень.

${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}={\left(a^{\frac1n}\right)^m}={a^{\frac mn}}={\sqrt[n]{a^m}}$

Корень из корня.

${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\left(a^{\frac1m}\right)^{\frac1n}=a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[nm]{a}}$

Изменение показателя корня.

${\sqrt[nk]{a^{mk}}=a^{\frac{mk}{nk}}=a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}}$

Свойства степеней с дробными показателями мы приняли без доказательства, поэтому полное доказательство должно опираться на определение корня. Вот оно для корня из произведения. Число ${\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$ неотрицательно, а его $n$-я степень равна ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\cdot\left(\sqrt[n]{b}\right)^n=ab}.$ Значит, это корень $n$-й степени из $ab.$ Остальные формулы проверяются так же. Например, ${\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\right)^n}={\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right)^m}={a^m},$ поэтому ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}$ — корень $n$-й степени из $a^m.$

Свойство корня из произведения верно для любого числа множителей: ${\sqrt[n]{abc}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\cdot\sqrt[n]{c}}.$

При нечётном показателе свойства корня из произведения и корня из частного верны и для отрицательных чисел: ${\sqrt[3]{(-8)\cdot 27}}={\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{27}}={-6}.$ При чётном показателе это не так: ${\sqrt{(-4)\cdot(-9)}}={\sqrt{36}}={6},$ но $\sqrt{-4}$ и $\sqrt{-9}$ не существуют. Если $a$ и $b$ оба отрицательны, пользуйтесь формулой ${\sqrt{ab}=\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}}$: например, ${\sqrt{(-4)\cdot(-9)}}={\sqrt4\cdot\sqrt9}={6}.$

Для суммы и разности такого свойства нет. В общем случае ${\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b}$ и ${\sqrt{a-b}\ne\sqrt a-\sqrt b}.$ Например, ${\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5},$ но ${\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7}.$ При положительных $a$ и $b$ корень из суммы всегда меньше суммы корней: ${\sqrt{a+b}\lt\sqrt a+\sqrt b}.$

Буквы под знаком корня. Дальше, если не сказано иное, буквы обозначают неотрицательные числа, а каждое выражение под знаком корня чётной степени считается неотрицательным (в знаменателе — положительным). Тогда ${\sqrt{a^2}=a}$ и знак модуля не нужен.

Упрощение корней

Корень записан в простейшем виде, если

• подкоренное выражение не содержит множителя больше 1, который является точной $n$-й степенью (для квадратного корня: множителя, являющегося полным квадратом);
• под знаком корня нет дроби, а в знаменателе нет корня;
• показатель корня наименьший из возможных.

Вынесение множителя из-под знака корня

Пример. Упростим $\sqrt8.$ Наибольший полный квадрат, на который делится 8, равен 4, поэтому

${\sqrt8}={\sqrt{4\cdot 2}}={\sqrt4\cdot\sqrt2}={2\sqrt2}$

Здесь $2\sqrt2$ означает ${2\cdot\sqrt2}.$ Число, записанное перед корнем, умножается на него и называется коэффициентом. Если коэффициент не записан, он равен 1. Не путайте коэффициент с показателем корня: $3\sqrt2$ — это 3, умноженное на $\sqrt2,$ а $\sqrt[3]{2}$ — это кубический корень из 2.

• ${\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2}$
• ${\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt2}$
• ${\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3}$
• ${\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt2}$
• ${\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=2\sqrt[4]{2}}$

Ищите наибольший множитель, являющийся полным квадратом. Для $\sqrt{72}$ подходит и множитель 4, он даёт ${\sqrt{72}=2\sqrt{18}},$ но 18 ещё содержит полный квадрат 9, поэтому нужен ещё один шаг: ${2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt2=6\sqrt2}.$

Если подкоренное число большое, разложите его на простые множители. Каждая пара одинаковых множителей даёт один множитель перед квадратным корнем (каждая тройка — перед кубическим):

${\sqrt{360}}={\sqrt{2^3\cdot 3^2\cdot 5}}={\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 10}}={2\cdot 3\sqrt{10}}={6\sqrt{10}}$

С буквами поступают так же. Разделите показатель степени на показатель корня: частное даёт показатель степени множителя перед корнем, а остаток — показатель степени под корнем.

• ${\sqrt{a^2x}=a\sqrt x}$
• ${\sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt x}$
• ${\sqrt{98a^2x}}={\sqrt{49a^2\cdot 2x}}={7a\sqrt{2x}}$
• ${\sqrt[3]{54a^6b}}={\sqrt[3]{27a^6\cdot 2b}}={3a^2\sqrt[3]{2b}}$
• ${\sqrt[3]{a^3+a^3b^2}}={\sqrt[3]{a^3\left(1+b^2\right)}}={a\sqrt[3]{1+b^2}}$

Если знак числа $a$ неизвестен, для корня чётной степени нужен модуль: ${\sqrt{a^2x}=|a|\sqrt x}.$ У корней $\sqrt{10},$ $\sqrt{15}$ и $\sqrt[3]{4}$ подкоренные числа не содержат множителей, являющихся точными степенями, поэтому эти корни уже записаны в простейшем виде.

Внесение множителя под знак корня

Та же формула, прочитанная справа налево, позволяет внести коэффициент под знак корня. Возведите коэффициент в степень, равную показателю корня, и запишите результат множителем в подкоренном выражении.

• ${3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}}$
• ${2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40}}$
• ${a\sqrt[3]{x-b}=\sqrt[3]{a^3(x-b)}}$
• ${2ab\sqrt[3]{2ab^2}}={\sqrt[3]{8a^3b^3\cdot 2ab^2}}={\sqrt[3]{16a^4b^5}}$

Так любое положительное число можно записать в виде корня с любым показателем: ${3=\sqrt9=\sqrt[3]{27}=\sqrt[4]{81}},$ ${3a=\sqrt[4]{81a^4}}$ и ${a^2=\sqrt[3]{a^6}}.$

Минус отрицательного коэффициента остаётся перед корнем чётной степени. ${-3\sqrt2=-\sqrt{18}}.$ Если возвести в квадрат число $-3,$ минус потеряется и получится положительное число $\sqrt{18}.$ То же верно и для буквы: если ${a\lt 0},$ то ${a\sqrt x=-\sqrt{a^2x}}.$

Изменение показателя корня. Общий показатель

По формуле изменения показателя (её называют основным свойством корня) показатель корня и показатель степени подкоренного выражения можно умножить или разделить на одно и то же число:

• ${\sqrt[6]{a^3}=\sqrt a}$
• ${\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^2}=\sqrt3}$
• ${\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt2}$
• ${\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[3]{a^2}}$

Это то же самое, что сократить дробь в показателе степени: ${a^{\frac36}=a^{\frac12}}.$

Только если подкоренное выражение неотрицательно. ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ но ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$ Если подкоренное выражение отрицательно, сначала вынесите знак минус: ${\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-\sqrt[6]{8^2}}.$

Корни с разными показателями можно привести к общему показателю. Возьмите наименьшее общее кратное показателей, как при нахождении общего знаменателя дробей.

• $\sqrt a$ и $\sqrt[3]{b}$: наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, поэтому ${\sqrt a=\sqrt[6]{a^3}}$ и ${\sqrt[3]{b}=\sqrt[6]{b^2}}.$
• $\sqrt2$ и $\sqrt[3]{3}$ превращаются в ${\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}}$ и ${\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}}.$
• $\sqrt[4]{a}$ и $\sqrt[6]{b}$ превращаются в $\sqrt[12]{a^3}$ и $\sqrt[12]{b^2}.$
• $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{5}$ превращаются в ${\sqrt[12]{4^4}=\sqrt[12]{256}}$ и ${\sqrt[12]{5^3}=\sqrt[12]{125}}.$

Корень из полного квадрата

Если подкоренное выражение является квадратом суммы или разности, корень извлекается точно. Здесь буквы могут обозначать любые действительные числа, положительные и отрицательные, поэтому нужен модуль. Вспомним формулы сокращённого умножения ${(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}$ и ${(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}.$

• ${\sqrt{x^2+2x+1}}={\sqrt{(x+1)^2}}={|x+1|}$
• ${\sqrt{a^2+a+\frac14}}={\sqrt{\left(a+\frac12\right)^2}}={\left|a+\frac12\right|}$
• ${\sqrt{x^2-6bx+9b^2}}={\sqrt{(x-3b)^2}}={|x-3b|}$

Например, выражение ${x+1}$ может быть отрицательным. При ${x=-4}$ подкоренное выражение равно ${16-8+1=9},$ а корень равен 3, то есть $|{-3}|.$

Тот же приём позволяет избавиться от корня, стоящего под другим корнем. Нужно найти два числа, сумма которых равна слагаемому без корня, а произведение равно числу под внутренним корнем, когда этот корень записан с коэффициентом 2. Для ${3+2\sqrt2}$ это числа 1 и 2. Для ${7-4\sqrt3=7-2\sqrt{12}}$ это числа 4 и 3.

${\sqrt{3+2\sqrt2}}={\sqrt{1+2\sqrt2+2}}={\sqrt{\left(1+\sqrt2\right)^2}}={1+\sqrt2}$

${\sqrt{7-4\sqrt3}}={\sqrt{4-4\sqrt3+3}}={\sqrt{\left(2-\sqrt3\right)^2}}={\left|2-\sqrt3\right|}={2-\sqrt3}$

На последнем шаге число ${2-\sqrt3}$ положительно, так как ${2=\sqrt4\gt\sqrt3}.$ Квадратный корень не бывает отрицательным, поэтому порядок важен: ${\sqrt{\left(1-\sqrt2\right)^2}=\sqrt2-1}.$

Сложение и вычитание корней

Корни с одинаковыми показателями и одинаковыми подкоренными выражениями называют подобными радикалами (подобными корнями). Например, $2\sqrt3$ и $5\sqrt3$ подобны, как и $\sqrt[3]{x}$ и $-4\sqrt[3]{x}.$ Корни $\sqrt3$ и $\sqrt5$ не подобны (разные подкоренные числа), не подобны и корни $\sqrt a$ и $\sqrt[3]{a}$ (разные показатели).

Два корня из $a$ плюс три корня из $a$ — это пять корней из $a,$ точно так же, как ${2x+3x=5x}$:

${2\sqrt a+3\sqrt a=5\sqrt a}$

• ${2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3}$
• ${7\sqrt[3]{2}-4\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt5+\sqrt5=2\sqrt5}$
• ${\sqrt{ay}-3\sqrt{ay}=-2\sqrt{ay}}$
• ${3\sqrt[3]{h}-\left(-5\sqrt[3]{h}\right)=8\sqrt[3]{h}}$
• ${a\sqrt{b-h}+y\sqrt{b-h}}={(a+y)\sqrt{b-h}}$
• ${5\sqrt2+3\sqrt7-2\sqrt2+\sqrt7}={3\sqrt2+4\sqrt7}$

Сначала упростите

Корни, которые выглядят по-разному, после упрощения могут оказаться подобными.

• ${\sqrt8+\sqrt{50}}={2\sqrt2+5\sqrt2}={7\sqrt2}$
• ${\sqrt{50}-\sqrt8}={5\sqrt2-2\sqrt2}={3\sqrt2}$
• ${\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}}={2\sqrt3+3\sqrt3-4\sqrt3}={\sqrt3}$
• ${\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}}={2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}}={5\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt{16b}+\sqrt{4b}}={4\sqrt b+2\sqrt b}={6\sqrt b}$
• ${\sqrt{a^2x}+\sqrt{b^4x}}={a\sqrt x+b^2\sqrt x}={\left(a+b^2\right)\sqrt x}$
• ${\sqrt[3]{b^4y}-\sqrt[3]{by^4}}={b\sqrt[3]{by}-y\sqrt[3]{by}}={(b-y)\sqrt[3]{by}}$

Неподобные радикалы нельзя объединить в один. Сумма ${3\sqrt b+2\sqrt a}$ остаётся как есть: это не $5\sqrt a,$ не $5\sqrt b$ и не $5\sqrt{a+b}.$ Сумму ${\sqrt a+\sqrt[3]{a}}$ тоже нельзя упростить. В частности, ${\sqrt2+\sqrt3\ne\sqrt5}$: левая часть приближённо равна ${1{,}414+1{,}732=3{,}146},$ а ${\sqrt5\approx 2{,}236}.$

Умножение корней

• ${\sqrt3\cdot\sqrt5=\sqrt{15}}$
• ${\sqrt2\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6}$
• ${\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3}$
• ${\sqrt{8xb}\cdot\sqrt{2xb}}={\sqrt{16x^2b^2}}={4xb}$
• ${\sqrt{a+m}\cdot\sqrt{a-m}}={\sqrt{a^2-m^2}}$
• ${5\sqrt5\cdot 3\sqrt8}={15\sqrt{40}}={15\cdot 2\sqrt{10}}={30\sqrt{10}}$
• ${a\sqrt x\cdot b\sqrt x=ab\sqrt{x^2}=abx}$
• ${x\sqrt[3]{3}\cdot y\sqrt[3]{9}}={xy\sqrt[3]{27}}={3xy}$

Как показывают второй и третий примеры, произведение двух иррациональных чисел может быть целым числом. В частности, ${\sqrt a\cdot\sqrt a=a}$: например, ${\sqrt7\cdot\sqrt7=7}.$

Корни с разными показателями

Сначала приведите корни к общему показателю, затем перемножьте подкоренные выражения.

• ${\sqrt x\cdot\sqrt[3]{y}}={\sqrt[6]{x^3}\cdot\sqrt[6]{y^2}}={\sqrt[6]{x^3y^2}}$
• ${2\sqrt3\cdot 3\sqrt[3]{4}}={6\sqrt[6]{3^3}\cdot\sqrt[6]{4^2}}={6\sqrt[6]{27\cdot 16}}={6\sqrt[6]{432}}$
• ${\sqrt d\cdot\sqrt[3]{ab}}={\sqrt[6]{d^3}\cdot\sqrt[6]{a^2b^2}}={\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}$

Корни из одного и того же числа проще всего перемножать как степени: показатели складываются.

• ${\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a}}={a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}}={a^{\frac56}}={\sqrt[6]{a^5}}$
• ${\sqrt2\cdot\sqrt[4]{2}}={2^{\frac12+\frac14}}={2^{\frac34}}={\sqrt[4]{8}}$
• ${x\cdot\sqrt[n]{x}=x^{1+\frac1n}=x^{\frac{n+1}{n}}}$

Суммы с корнями. Сопряжённые выражения

Скобки раскрывают как обычно: каждое слагаемое умножают на каждое.

${\sqrt2\left(\sqrt6+\sqrt8\right)}={\sqrt{12}+\sqrt{16}}={2\sqrt3+4}$

${\left(2+\sqrt3\right)\left(5-\sqrt3\right)}={10-2\sqrt3+5\sqrt3-3}={7+3\sqrt3}$

Формулы квадрата суммы и квадрата разности тоже применимы:

${\left(a+\sqrt y\right)^2=a^2+2a\sqrt y+y}$

${\left(a-\sqrt y\right)^2=a^2-2a\sqrt y+y}$

${\left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2}={5+2\sqrt{10}+2}={7+2\sqrt{10}}$

Полезнее всего формула разности квадратов. Выражения ${\sqrt a+\sqrt b}$ и ${\sqrt a-\sqrt b}$ называют сопряжёнными, как и выражения ${a+\sqrt b}$ и ${a-\sqrt b}.$ Произведение двух сопряжённых выражений не содержит корней:

• ${\left(1+\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right)}={1-2}={-1}$
• ${\left(3-2\sqrt2\right)\left(3+2\sqrt2\right)}={9-8}={1}$
• ${\left(\sqrt7+\sqrt3\right)\left(\sqrt7-\sqrt3\right)}={7-3}={4}$

Деление корней

• ${\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5}$
• ${\frac{\sqrt{6a^3x}}{\sqrt{3x}}=\sqrt{2a^3}=a\sqrt{2a}}$
• ${\frac{10\sqrt{27}}{2\sqrt3}=5\sqrt9=15}$
• ${\frac{10\sqrt[3]{108}}{5\sqrt[3]{4}}=2\sqrt[3]{27}=6}$
• ${\frac{8\sqrt{108}}{2\sqrt6}=4\sqrt{18}=12\sqrt2}$
• ${\frac{24x\sqrt{ay}}{6\sqrt a}=4x\sqrt y}$

Корни с разными показателями сначала приводят к общему показателю:

• ${\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt b}=\frac{\sqrt[6]{a^2}}{\sqrt[6]{b^3}}=\sqrt[6]{\frac{a^2}{b^3}}}$
• ${\frac{2\sqrt[3]{bc}}{3\sqrt{ac}}}={\frac23\sqrt[6]{\frac{b^2c^2}{a^3c^3}}}={\frac23\sqrt[6]{\frac{b^2}{a^3c}}}$
• ${\frac{\sqrt[6]{x^3y^2}}{\sqrt[3]{y}}}={\frac{\sqrt[6]{x^3y^2}}{\sqrt[6]{y^2}}}={\sqrt[6]{x^3}}={\sqrt x}$

Корни из одного и того же числа проще всего делить как степени: показатели вычитаются.

• ${\frac{\sqrt a}{\sqrt[6]{a}}=a^{\frac12-\frac16}=a^{\frac13}=\sqrt[3]{a}}$
• ${\frac{a^2}{\sqrt[3]{a}}=a^{2-\frac13}=a^{\frac53}=a\sqrt[3]{a^2}}$

Избавление от иррациональности в знаменателе

С дробью удобнее работать, когда в её знаменателе нет корней. Например, ${\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}},$ а делить 1,414… на 2 гораздо проще, чем делить 1 на 1,414… Преобразование, которое убирает корни из знаменателя, называют избавлением от иррациональности в знаменателе. Числитель и знаменатель умножают на одно и то же число, поэтому значение дроби не меняется.

1. Знаменатель — квадратный корень. Умножьте числитель и знаменатель на этот корень.

${\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}}$

${\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2}$

${\frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt x}{\sqrt x\cdot\sqrt x}=\frac{\sqrt{ax}}{x}}$

${\sqrt{\frac37}}={\frac{\sqrt3}{\sqrt7}}={\frac{\sqrt3\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}}={\frac{\sqrt{21}}{7}}$

2. Знаменатель — корень степени выше второй. Умножьте на корень, который дополняет подкоренное выражение до точной $n$-й степени, так как ${\sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{x^{n-1}}=\sqrt[n]{x^n}=x}.$

${\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2^2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

${\frac{6}{\sqrt[4]{5}}=\frac{6\sqrt[4]{5^3}}{\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{5^3}}=\frac{6\sqrt[4]{125}}{5}}$

3. Знаменатель — сумма или разность, содержащая квадратные корни. Умножьте на сопряжённое выражение. В знаменателе получится разность квадратов, и корни исчезнут.

${\frac{\sqrt2}{3-\sqrt2}}={\frac{\sqrt2\left(3+\sqrt2\right)}{\left(3-\sqrt2\right)\left(3+\sqrt2\right)}}={\frac{3\sqrt2+2}{9-2}}={\frac{2+3\sqrt2}{7}}$

${\frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}}={\frac{4\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}{7-3}}={\sqrt7+\sqrt3}$

${\frac{a-\sqrt b}{a+\sqrt b}}={\frac{\left(a-\sqrt b\right)^2}{\left(a+\sqrt b\right)\left(a-\sqrt b\right)}}={\frac{a^2-2a\sqrt b+b}{a^2-b}}$   (при ${a^2\ne b}$)

Пример посложнее. Если в знаменателе три корня, нужны два шага. Для дроби $\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3}$ сначала сгруппируйте два последних корня и умножьте на ${\sqrt{10}+\left(\sqrt2+\sqrt3\right)}$:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3\right)}\cdot {\left(\sqrt{10}+\sqrt2+\sqrt3\right)}={10-\left(\sqrt2+\sqrt3\right)^2}={5-2\sqrt6}$

Затем умножьте на сопряжённое выражение ${5+2\sqrt6},$ так как ${\left(5-2\sqrt6\right)\left(5+2\sqrt6\right)}={25-24}={1}.$ Итак,

${\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3}}={\left(\sqrt{10}+\sqrt2+\sqrt3\right)\left(5+2\sqrt6\right)}$

Иногда нужно обратное, и тем же способом избавляются от иррациональности в числителе: ${\frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt a}{\sqrt x\cdot\sqrt a}=\frac{a}{\sqrt{ax}}}.$

Возведение корня в степень и извлечение корня из корня

Возведение в степень

• ${\left(\sqrt[3]{2}\right)^2=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}}$
• ${\left(\sqrt3\right)^4=\sqrt{3^4}=3^2=9}$
• ${\left(2\sqrt3\right)^2=2^2\cdot 3=12}$
• ${\left(2\sqrt5\right)^3}={8\sqrt{5^3}}={8\cdot 5\sqrt5}={40\sqrt5}$
• ${\left(\sqrt[3]{b+x}\right)^3=b+x}$
• ${\left(3a\sqrt[3]{y}\right)^3=27a^3y}$
• ${\left(a\sqrt[n]{x}\right)^2=a^2\sqrt[n]{x^2}}$
• ${\left(\sqrt[6]{a}\right)^2=\sqrt[6]{a^2}=\sqrt[3]{a}}$

Извлечение корня

• ${\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[6]{a}}$
• ${\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2}$
• ${\sqrt{\sqrt x}=\sqrt[4]{x}}$ и ${\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\sqrt[8]{x}}$
• ${\sqrt[3]{a\sqrt{xy}}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{xy}}$

Если перед внутренним корнем стоит коэффициент, сначала внесите его под этот корень:

${\sqrt{2\sqrt2}}={\sqrt{\sqrt{2^2\cdot 2}}}={\sqrt{\sqrt8}}={\sqrt[4]{8}}$

Дробные показатели позволяют сделать то же самое без знаков корня:

${\sqrt{a\sqrt[3]{a}}}={\left(a\cdot a^{\frac13}\right)^{\frac12}}={\left(a^{\frac43}\right)^{\frac12}}={a^{\frac23}}={\sqrt[3]{a^2}}$

Сравнение корней

• Одинаковые показатели. ${\sqrt7\lt\sqrt{10}}$ и ${\sqrt[3]{5}\gt\sqrt[3]{4}}.$
• Число и корень. Что больше: 4 или $\sqrt{15}?$ Так как ${4=\sqrt{16}},$ получаем ${4\gt\sqrt{15}}.$
• Коэффициенты. Что больше: $3\sqrt2$ или $2\sqrt5?$ Внесём коэффициенты под знак корня: ${3\sqrt2=\sqrt{18}}$ и ${2\sqrt5=\sqrt{20}}.$ Значит, ${3\sqrt2\lt 2\sqrt5}.$
• Разные показатели. Что больше: $\sqrt2$ или $\sqrt[3]{3}?$ Приведём корни к общему показателю 6: ${\sqrt2=\sqrt[6]{8}}$ и ${\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}}.$ Значит, ${\sqrt2\lt\sqrt[3]{3}}.$
• Оценка. ${16\lt 20\lt 25},$ поэтому ${4\lt\sqrt{20}\lt 5}.$ Точно так же ${27\lt 50\lt 64},$ поэтому ${3\lt\sqrt[3]{50}\lt 4}.$

Для числа, большего 1, корень меньше самого числа, и чем больше показатель корня, тем меньше корень: ${\sqrt{64}=8},$ ${\sqrt[3]{64}=4},$ ${\sqrt[6]{64}=2}.$ Для числа между 0 и 1 всё наоборот, и корень больше самого числа: ${\sqrt{0{,}25}=0{,}5}.$

Функции корня и их графики

График квадратного корня

Функция ${y=\sqrt x}$ определена только при ${x\ge 0},$ и её значения неотрицательны: ${y\ge 0}.$ График начинается в точке ${(0;\ 0)}$ и всё время поднимается, то есть функция возрастает. Но поднимается он всё медленнее: чтобы подняться от 0 до 1, нужна 1 единица по оси $x,$ от 1 до 2 нужны ещё 3 единицы, а от 2 до 3 ещё 5.

График функции ${y=\sqrt x}$ проходит через точки ${(0;\ 0)},$ ${(1;\ 1)},$ ${(4;\ 2)}$ и ${(9;\ 3)}.$

Этот график — половина параболы, лежащей на боку. Функция ${y=\sqrt x}$ обратна функции ${y=x^2}$ при ${x\ge 0}$: если ${y=x^2},$ то ${x=\sqrt y}.$ Поэтому два графика симметричны друг другу относительно прямой ${y=x}.$

Графики ${y=x^2}$ при ${x\ge 0}$ и ${y=\sqrt x}$ симметричны друг другу относительно прямой ${y=x}.$

График кубического корня

Функция ${y=\sqrt[3]{x}}$ определена при любом действительном $x$ и принимает все действительные значения. Она возрастает на всей числовой прямой и обратна функции ${y=x^3}.$ Так как ${\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}},$ график симметричен относительно начала координат.

График функции ${y=\sqrt[3]{x}}$ проходит через точки ${(-8;\ -2)},$ ${(-1;\ -1)},$ ${(0;\ 0)},$ ${(1;\ 1)}$ и ${(8;\ 2)}.$

Графики всех корней чётной степени похожи на график $\sqrt x,$ а графики корней нечётной степени похожи на график $\sqrt[3]{x}.$ Каждый график ${y=\sqrt[n]{x}}$ проходит через точки ${(0;\ 0)}$ и ${(1;\ 1)}.$

Задачи для самостоятельного решения

Попробуйте решить сами, а потом откройте ответ. Все буквы обозначают положительные числа, кроме задачи 15, где $x$ — любое действительное число.

1. Вычислите: а) $\sqrt{121};$ б) $\sqrt[3]{-64};$ в) $\sqrt[4]{81};$ г) $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}.$

а) 11, так как ${11^2=121};$ б) $-4,$ так как ${(-4)^3=-64};$ в) 3, так как ${3^4=81};$ г) $\frac12,$ так как ${\left(\frac12\right)^5=\frac{1}{32}}.$

2. Вычислите: а) $27^{\frac23};$ б) $16^{-\frac34};$ в) $0{,}04^{0{,}5};$ г) $32^{\frac35}.$

а) ${\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9};$ б) ${\frac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}=\frac{1}{2^3}=\frac18};$ в) ${\sqrt{0{,}04}=0{,}2};$ г) ${\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8}.$

3. Между какими двумя последовательными целыми числами заключён каждый корень? а) $\sqrt{75};$ б) $\sqrt[3]{100}.$

а) ${64\lt 75\lt 81},$ поэтому ${8\lt\sqrt{75}\lt 9}.$ б) ${64\lt 100\lt 125},$ поэтому ${4\lt\sqrt[3]{100}\lt 5}.$

4. Запишите с помощью знака корня: а) $a^{\frac35};$ б) $x^{-\frac12}.$ Запишите в виде степени: в) $\sqrt[4]{b^3};$ г) $\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}};$ д) $\sqrt[6]{(a+b)^{-3}}.$

а) $\sqrt[5]{a^3};$ б) $\frac{1}{\sqrt x};$ в) $b^{\frac34};$ г) $y^{-\frac23};$ д) ${(a+b)^{-\frac36}=(a+b)^{-\frac12}}.$

5. Упростите: а) $\sqrt{72};$ б) $\sqrt{300};$ в) $\sqrt[3]{250};$ г) $\sqrt[4]{162}.$

а) ${\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt2};$ б) ${\sqrt{100\cdot 3}=10\sqrt3};$ в) ${\sqrt[3]{125\cdot 2}=5\sqrt[3]{2}};$ г) ${\sqrt[4]{81\cdot 2}=3\sqrt[4]{2}}.$

6. Упростите: а) $\sqrt{75a^4b^3};$ б) $\sqrt[3]{-125a^3x^6};$ в) $\sqrt{\frac{4a^4}{9x^2y^2}};$ г) $\sqrt[5]{\frac{32a^5x^{10}}{243}}.$

а) ${\sqrt{25a^4b^2\cdot 3b}=5a^2b\sqrt{3b}};$ б) $-5ax^2;$ в) $\frac{2a^2}{3xy};$ г) $\frac{2ax^2}{3}.$

7. Внесите множитель под знак корня: а) $5\sqrt3;$ б) $2\sqrt[3]{7};$ в) $-2\sqrt6.$ г) Запишите $ax^2$ в виде корня шестой степени.

а) ${\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}};$ б) ${\sqrt[3]{8\cdot 7}=\sqrt[3]{56}};$ в) ${-\sqrt{4\cdot 6}=-\sqrt{24}};$ г) $\sqrt[6]{a^6x^{12}}.$

8. Выполните сложение или вычитание: а) ${\sqrt{18a}+3\sqrt{2a}};$ б) ${3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{80}};$ в) ${\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{24}};$ г) ${\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}}.$

а) ${3\sqrt{2a}+3\sqrt{2a}=6\sqrt{2a}};$ б) ${6\sqrt5-3\sqrt5+4\sqrt5=7\sqrt5};$ в) ${3\sqrt[3]{3}-2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3}};$ г) ${2\sqrt3+3\sqrt3-5\sqrt3=0}.$

9. Выполните умножение: а) ${\sqrt6\cdot\sqrt{15}};$ б) ${2\sqrt3\cdot 5\sqrt{12}};$ в) ${\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{10}};$ г) ${\sqrt2\cdot\sqrt[3]{4}}.$

а) ${\sqrt{90}=3\sqrt{10}};$ б) ${10\sqrt{36}=60};$ в) ${\sqrt[3]{40}=2\sqrt[3]{5}};$ г) ${\sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{4^2}=\sqrt[6]{128}=2\sqrt[6]{2}}.$

10. Раскройте скобки: а) ${\left(3+\sqrt5\right)\left(3-\sqrt5\right)};$ б) ${\left(\sqrt7-2\right)^2};$ в) ${\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(2\sqrt3-\sqrt2\right)};$ г) ${\left(a-\sqrt b\right)^3}.$

а) ${9-5=4};$ б) ${7-4\sqrt7+4=11-4\sqrt7};$ в) ${6-\sqrt6+2\sqrt6-2=4+\sqrt6};$ г) ${a^3-3a^2\sqrt b+3ab-b\sqrt b}.$

11. Выполните деление: а) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2};$ б) $\frac{12\sqrt{30}}{4\sqrt6};$ в) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}};$ г) $\frac{\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}{\sqrt d}.$

а) ${\sqrt{49}=7};$ б) $3\sqrt5;$ в) ${\sqrt[3]{27}=3};$ г) ${\frac{\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}{\sqrt[6]{d^3}}=\sqrt[6]{a^2b^2}=\sqrt[3]{ab}}.$

12. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: а) $\frac{10}{\sqrt5};$ б) $\frac{3}{\sqrt[3]{9}};$ в) $\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3};$ г) $\frac{1+\sqrt2}{1-\sqrt2}.$

а) ${\frac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5};$ б) ${\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[3]{3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}};$ в) ${\frac{\sqrt5-\sqrt3}{5-3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}};$ г) ${\frac{\left(1+\sqrt2\right)^2}{1-2}=-3-2\sqrt2}.$

13. Упростите: а) ${\left(2\sqrt3\right)^4};$ б) $\sqrt{\sqrt[3]{x^{12}}};$ в) $\sqrt[3]{\sqrt{27}};$ г) $\sqrt{x\sqrt x}.$

а) ${16\cdot 9=144};$ б) ${\sqrt[6]{x^{12}}=x^2};$ в) ${\sqrt[6]{3^3}=\sqrt3};$ г) ${\sqrt{\sqrt{x^3}}=\sqrt[4]{x^3}}.$

14. Какое число больше? а) $2\sqrt7$ или $3\sqrt3;$ б) $\sqrt[3]{3}$ или $\sqrt2;$ в) 5 или $\sqrt[3]{120}.$

а) ${2\sqrt7=\sqrt{28}}$ и ${3\sqrt3=\sqrt{27}},$ поэтому больше $2\sqrt7.$ б) ${\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}}$ и ${\sqrt2=\sqrt[6]{8}},$ поэтому больше $\sqrt[3]{3}.$ в) ${5=\sqrt[3]{125}},$ поэтому больше число 5.

15. Упростите: а) $\sqrt{x^2-10x+25};$ б) $\sqrt{11-6\sqrt2}.$

а) ${\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|};$ б) ${\sqrt{9-6\sqrt2+2}}={\sqrt{\left(3-\sqrt2\right)^2}}={3-\sqrt2}.$ Разность ${3-\sqrt2}$ положительна, так как ${3\gt\sqrt2}.$

16. Решите уравнения: а) ${x^2=48};$ б) ${x^3=-54};$ в) ${x^4=81};$ г) ${x^2=-9}.$

а) ${x=\pm\sqrt{48}=\pm 4\sqrt3};$ б) ${x=\sqrt[3]{-54}=-3\sqrt[3]{2}};$ в) ${x=\pm\sqrt[4]{81}=\pm 3};$ г) действительных решений нет, так как квадрат числа не бывает отрицательным.

17. Площадь квадрата равна 50 квадратным сантиметрам. Объём куба равен 54 кубическим сантиметрам. Найдите сторону квадрата и ребро куба.

Сторона квадрата равна ${\sqrt{50}=5\sqrt2\approx 7{,}07}$ см. Ребро куба равно ${\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\approx 3{,}78}$ см.

18. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 и 4. Найдите гипотенузу.

По теореме Пифагора гипотенуза равна ${\sqrt{2^2+4^2}}={\sqrt{20}}={2\sqrt5}\approx{4{,}47}.$

19. Докажите, что ${\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2}.$

${4+2\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)^2}$ и ${4-2\sqrt3=\left(\sqrt3-1\right)^2}.$ Числа ${\sqrt3+1}$ и ${\sqrt3-1}$ положительны, поэтому разность равна ${\left(\sqrt3+1\right)-\left(\sqrt3-1\right)=2}.$

20. Решите уравнения: а) ${\sqrt x=5};$ б) ${\sqrt x=-5};$ в) ${\sqrt[3]{x}=-2}.$

а) ${x=5^2=25};$ б) решений нет, так как квадратный корень не бывает отрицательным; в) ${x=(-2)^3=-8}.$

См. также: Степень · Модуль