Арифметический корень. Что такое арифметический корень

Давайте возьмем число 9. Девять делится на 3 и результат равен делителю 3 => 9/3 = 3, то есть 3.3 = 9 или 3² = 9.Давайте возьмем другое число, например 27, 27 = 3.3.3 = 3³. Таким образом мы обнаружили, что 9 и 27 на самом деле являются числом 3 со степенью 2 и 3.

В общем, арифметический корень (далее - корень) это функция, находящая делитель числа, который, будучи возведенным в степень корня, дает нам в результате снова это число. Иногда, этот делитель не является рациональным числом. В принципе корень - это обратная функция возведения в степень. Но даже может быть записан с помощью степени. Так, в нашем случае квадратный корень из 9 есть 3, √9 и кубический корень 27 есть 3 = ³√27

Если a есть положительным действительным числом, тогда уравнение x² = a имеет две решения: x = +√a or x = -√a.

$\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$

Если a есть действительным числом, тогда уравнение x³ = a имеет только одно решение => x = ³√a. С помощью уравнений, приведенных выше, решаются квадратные и кубические уравнения. Корень может быть записан с помощью степени, используя вышеприведенное правило:

Формула арифметического корня

Если n четно:
$\sqrt[n]{x^n}=x$

Если n нечетно:
$\sqrt[n]{x^n}=|x|$

Пример: $\sqrt[3]{x^3}=x$, но $\sqrt[4]{x^4}=|x|$

$\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

Доказательство: Давайте возтмем $\sqrt[n]{ab}$ которое равно $(ab)^\frac{1}{n}$, и которое, используя основную формулу для степени, можно записать как $a^\frac{1}{n}\cdot b^\frac{1}{n}$, или $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Доказательство: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{n}$ и которое, используя основную формулу для степени, можно записать как $\frac{a^\frac{1}{n}}{b^\frac{1}{n}}$, или $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$

Доказательство: если есть $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ которое равно $\sqrt[n]{a^\frac{1}{m}}$, и которое равно $\left(a^\frac{1}{m}\right)^\frac{1}{n}$ и которое, используя основную формулу для степени, можно записать как $a^\frac{1}{m\cdot n}$, или $\sqrt[n\cdot m]{a}$

Однообразие арифметического корня

Функция квадратного корня

Функция кубического корня

Больше об арифметических корнях на страницах математического форума