Операции с функциями

Числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. С функциями можно делать то же самое, и в результате получается новая функция. Есть и операция, которой у чисел нет: одну функцию можно подставить внутрь другой. Такая операция называется композицией. Итак, функции можно

• складывать: ${f+g};$
• вычитать: ${f-g};$
• умножать: ${f\cdot g};$
• делить: $\frac fg;$
• составлять из них композицию: ${f\circ g}.$

Для каждой операции мы покажем, как найти формулу новой функции и, что не менее важно, её область определения. Если нужно вспомнить, что такое функция и её область определения, загляните в урок Функции и пределы.

На этой странице: Арифметические операции · Область определения · График суммы · Степень функции · Композиция функций · Область определения композиции · Функция в виде композиции · Решённые задачи · Упражнения

Сумма, разность, произведение и частное функций

Возьмём две функции: ${f(x)=x^2}$ и ${g(x)=x}.$ При каждом $x$ их значения можно сложить:

$$f(x)+g(x)=x^2+x$$

Получилась новая функция. Её называют суммой функций $f$ и $g$ и обозначают ${f+g}.$ Скобки в записи ${(f+g)(x)}$ показывают, что ${f+g}$ — это обозначение одной функции, а ${(f+g)(x)}$ — её значение в точке $x.$ Так же определяются разность, произведение и частное функций:

Пример 1. Для ${f(x)=x^2}$ и ${g(x)=x}\text{:}$

${(f+g)(x)=x^2+x}$

${(f-g)(x)=x^2-x}$

${(f\cdot g)(x)=x^2\cdot x=x^3}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2}{x}}={x,\quad x}\ne{0}$

Условие ${x\ne 0}$ в последней строке — не мелочь: ${g(0)=0},$ а на 0 делить нельзя. Мы вернёмся к этому в следующем разделе.

Пример 2. Пусть ${f(x)=2x+1}$ и ${g(x)=x^2-3}.$ Чтобы найти значение новой функции, сначала найдём значения $f$ и $g,$ а затем выполним с ними нужное действие:

${(f+g)(2)}={f(2)+g(2)}={5+1}={6}$

${(f-g)(-1)}={f(-1)-g(-1)}={-1-(-2)}={1}$

${(f\cdot g)(0)}={f(0)\cdot g(0)}={1\cdot(-3)}={-3}$

${\left(\frac fg\right)(3)=\frac{f(3)}{g(3)}=\frac76}$

Умножение на число. Если $c$ — число, то ${(cf)(x)=c\cdot f(x)}.$ Например, если ${f(x)=x^2},$ то ${(3f)(x)=3x^2}.$ Это произведение функции $f$ и постоянной функции ${g(x)=c}.$

Область определения новой функции

Чтобы вычислить ${f(x)+g(x)},$ нужны оба значения: $f(x)$ и $g(x).$ Поэтому $x$ должно одновременно принадлежать и области определения $f,$ и области определения $g.$ Для частного есть ещё одно условие: знаменатель $g(x)$ не должен равняться 0. Обозначим через $D(f)$ область определения функции $f,$ а через $D(g)$ — область определения функции $g.$

Пример 3. Пусть ${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$ и ${g(x)=x-1}.$ Их сумма равна

${(f+g)(x)}={f(x)+g(x)}={\left(1+\sqrt{x-2}\right)+(x-1)}={x+\sqrt{x-2}}$

Сравним области определения функций $f,$ $g$ и их суммы:

Функция	Область определения
${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$	${[2;\,+\infty)}$
${g(x)=x-1}$	${(-\infty;\,+\infty)}$
${(f+g)(x)=x+\sqrt{x-2}}$	${[2;\,+\infty)\cap(-\infty;\,+\infty)}$ ${{}=[2;\,+\infty)}$

Пример 4. Пусть ${f(x)=\sqrt{x+1}}$ и ${g(x)=x-3}.$ Тогда ${D(f)=[-1;\,+\infty)},$ а $D(g)$ — все действительные числа, поэтому пересечение равно ${[-1;\,+\infty)}.$

• ${\left(\frac fg\right)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}}\text{:}$ дополнительно исключаем ${x=3},$ где ${g(x)=0}.$ Область определения ${[-1;\,3)\cup(3;\,+\infty)}.$
• ${\left(\frac gf\right)(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x+1}}}\text{:}$ теперь в знаменателе $f(x),$ а ${f(x)=0}$ при ${x=-1}.$ Область определения ${(-1;\,+\infty)}.$

Пример 5. Пусть ${f(x)=3\sqrt x}$ и ${g(x)=\sqrt x}.$ Их произведение равно

${(f\cdot g)(x)}={f(x)\cdot g(x)}={3\sqrt x\cdot\sqrt x}={3x}$

Формула $3x$ имеет смысл при любом действительном $x\text{:}$ естественная область определения выражения $3x$ — это ${(-\infty;\,+\infty)}.$ Но произведение ${f\cdot g}$ существует только там, где определены и $f,$ и $g\text{:}$

Функция	Область определения
${f(x)=3\sqrt x}$	${[0;\,+\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0;\,+\infty)}$
${(f\cdot g)(x)=3x},$ ${x\ge 0}$	${[0;\,+\infty)\cap[0;\,+\infty)}$ ${{}=[0;\,+\infty)}$

График ${f\cdot g}$ — это только луч ${y=3x},$ ${x\ge 0},$ а не вся прямая.

Сначала найдите область определения по функциям $f$ и $g,$ потом упрощайте формулу. Упрощённая формула может скрыть условия, которые $f$ и $g$ накладывают на $x.$

График суммы

При каждом $x$ значение ${f+g}$ равно ${f(x)+g(x)}.$ На графиках это означает, что ордината точки графика ${f+g}$ равна сумме ординат точек графиков $f$ и $g$ с той же абсциссой. Вот графики функций ${f(x)=x^2},$ ${g(x)=x}$ и их суммы ${(f+g)(x)=x^2+x}\text{:}$

При ${x=2}\text{:}$ ${f(2)+g(2)=4+2=6}.$ При ${x=-2}\text{:}$ ${f(-2)+g(-2)}={4+(-2)}={2.}$ Зелёные отрезки изображают $g(x)\text{:}$ при ${x=2}$ прибавляем 2 (отрезок вверх), при ${x=-2}$ прибавляем ${-2}$ (отрезок вниз).

Там, где $g(x)$ положительно, график ${f+g}$ лежит выше графика $f;$ там, где $g(x)$ отрицательно, — ниже. График ${f-g}$ строится так же, только ординаты вычитаются.

Степень функции

Произведение функции на саму себя записывают в виде степени:

$$f^2(x)=f(x)\cdot f(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2$$

В общем случае, если $n$ — натуральное число, то

$$f^n(x)=\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdot\ldots\cdot f(x)}_{n\text{ множителей}}$$

Например, ${\sin x\cdot\sin x=(\sin x)^2},$ что коротко записывают как $\sin^2x.$ Если ${f(x)=x+1},$ то ${f^3(x)=(x+1)^3}.$

${\sin^2x=(\sin x)^2}$ — это не то же самое, что $\sin(x^2).$ Для ${f(x)=x+1}\text{:}$ ${f^2(x)=(x+1)^2},$ но ${f(x^2)=x^2+1}.$
Показатель ${-1}$ — исключение: ${f^{-1}}$ обычно обозначает обратную функцию (см. калькулятор обратной функции), а не $\frac1f.$

Композиция функций

Возьмём две функции

$$f(x)=x^3\quad\text{и}\quad g(x)=x+4$$

Если подставить $g(x)$ вместо $x$ в формулу функции $f,$ получится новая функция:

$$f(g(x))=\bigl(g(x)\bigr)^3=(x+4)^3$$

Представьте себе две машины, работающие одна за другой: число $x$ попадает в машину $g,$ а её результат $g(x)$ — в машину $f.$

Для ${f(x)=x^3}$ и ${g(x)=x+4}\text{:}$

${(f\circ g)(1)}={f(g(1))}={f(5)}={5^3}={125}$

Формула даёт то же самое: ${(1+4)^3=125}.$ Вычисляйте изнутри наружу: сначала $g(1),$ потом $f$ от полученного числа.

Порядок важен

Для тех же двух функций композиция в обратном порядке имеет вид

${(g\circ f)(x)}={g(f(x))}={f(x)+4}={x^3+4}$

Это другая функция: ${(f\circ g)(1)=125},$ а ${(g\circ f)(1)=1^3+4=5}.$

Для некоторых пар функций оба порядка дают одну и ту же функцию. Например, если ${f(x)=2x}$ и ${g(x)=3x},$ то ${f(g(x))=2\cdot 3x=6x}$ и ${g(f(x))=3\cdot 2x=6x}.$ Но это исключение, поэтому всегда проверяйте, какая из функций внутренняя.

Композиция функции с самой собой. Если ${f(x)=2x+1},$ то

${(f\circ f)(x)}={f(f(x))}={2(2x+1)+1}={4x+3}$

Не путайте $f(f(x))$ с ${f^2(x)}={\bigl(f(x)\bigr)^2}={(2x+1)^2.}$

Область определения композиции

Чтобы вычислить $f(g(x)),$ сначала вычисляют $g(x),$ поэтому $x$ должно принадлежать области определения $g.$ Затем находят значение $f$ в точке $g(x),$ поэтому $g(x)$ должно принадлежать области определения $f.$

Пример 6. Пусть ${f(x)=x^2+3}$ и ${g(x)=\sqrt x}.$ Тогда

${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={\bigl(g(x)\bigr)^2+3}={\left(\sqrt x\right)^2+3}={x+3}$

Сравним области определения функций $f,$ $g$ и их композиции:

Функция	Область определения
${f(x)=x^2+3}$	${(-\infty;\,+\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0;\,+\infty)}$
${(f\circ g)(x)=x+3},$ ${x\ge 0}$	все $x$ из ${[0;\,+\infty)},$ для которых $g(x)$ принадлежит ${(-\infty;\,+\infty)},$ то есть ${[0;\,+\infty)}$

Сама по себе формула ${x+3}$ допускала бы любое $x,$ но вычисление ${f\circ g}$ начинается с $\sqrt x,$ а для этого нужно ${x\ge 0}.$ Поэтому ${(f\circ g)(x)=x+3}$ только при ${x\ge 0}.$

Пример 7. Пусть ${f(x)=\frac1{x-2}}$ и ${g(x)=\sqrt x}.$

• ${(f\circ g)(x)=\frac1{\sqrt x-2}}.$ Нужно ${x\ge 0}$ (для $g$) и ${g(x)\ne 2}$ (для $f$), то есть ${\sqrt x\ne 2},$ откуда ${x\ne 4}.$ Область определения ${[0;\,4)\cup(4;\,+\infty)}.$
• ${(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac1{x-2}}}.$ Нужно ${x\ne 2}$ (для $f$) и ${f(x)\ge 0}$ (для $g$), то есть ${\frac1{x-2}\ge 0},$ откуда ${x-2\gt 0}.$ Область определения ${(2;\,+\infty)}.$

Заметьте, что область определения ${f\circ g}$ — это не просто ${D(f)\cap D(g)}\text{:}$ здесь ${D(f)\cap D(g)}={[0;\,2)\cup(2;\,+\infty),}$ но значение ${x=2}$ для ${f\circ g}$ допустимо (знаменатель ${\sqrt2-2}$ не равен 0), а ${x=4}$ — нет.

Представление функции в виде композиции

Часто приходится решать обратную задачу: представить данную функцию в виде композиции более простых функций. Спросите себя: какое действие выполняется над $x$ первым (это внутренняя функция) и какое — последним (это внешняя функция)?

Пример 8. Рассмотрим функцию

$$h(x)=(x+1)^2$$

Сначала к $x$ прибавляют 1, затем результат возводят в квадрат. Поэтому $h$ можно представить так:

${g(x)}={x+1,\quad f(x)}={x^2,\quad h(x)}={f(g(x))}$

Пример 9. ${\sqrt{3x-5}=f(g(x))},$ где ${g(x)=3x-5}$ и ${f(x)=\sqrt x}.$ Аналогично ${\frac1{x^2+1}=f(g(x))},$ где ${g(x)=x^2+1}$ и ${f(x)=\frac1x}.$

Такое представление не единственно. Естественнее всего записать ${(x^2+1)^{10}}$ как $f(g(x)),$ где ${g(x)=x^2+1}$ и ${f(x)=x^{10}}.$ Но можно записать и так:

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^2\Bigr]^5}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^2,\quad f(x)}={x^5}$

или даже так:

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^3\Bigr]^{10/3}}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^3,\quad f(x)}={x^{10/3}}$

(В школьном курсе степень с дробным показателем, например $x^{10/3},$ рассматривают только при ${x\ge 0}.$ Здесь это не мешает, потому что ${g(x)=(x^2+1)^3\ge 1}.$)

Нахождение внутренней и внешней функций — первый шаг правила дифференцирования сложной функции.

Решённые задачи

Задача 1. Пусть ${f(x)=x^2-4}$ и ${g(x)=x+2}.$ Найдите ${f+g},$ ${f-g},$ ${f\cdot g}$ и $\frac fg,$ а также их области определения.

Решение: Обе функции, $f$ и $g,$ определены на всём множестве действительных чисел.

${(f+g)(x)}={x^2-4+x+2}={x^2+x-2}$

${(f-g)(x)}={x^2-4-(x+2)}={x^2-x-6}$

${(f\cdot g)(x)}={(x^2-4)(x+2)}={x^3+2x^2-4x-8}$

Область определения этих трёх функций — все действительные числа. Для частного исключаем ${x=-2},$ где ${g(x)=0}\text{:}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2-4}{x+2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}}={x-2,\quad x}\ne{-2}$

Его область определения ${(-\infty;\,-2)\cup(-2;\,+\infty)}.$

Задача 2. Пусть ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ и ${g(x)=\sqrt{5-x}}.$ Найдите области определения функций ${f+g}$ и $\frac fg.$

Решение: ${D(f)=[1;\,+\infty)}$ и ${D(g)=(-\infty;\,5]}.$ Их пересечение $[1;\,5]$ — это и есть область определения ${f+g}.$ Для $\frac fg$ исключаем ещё нуль функции $g\text{:}$ ${\sqrt{5-x}=0}$ при ${x=5}.$ Область определения $\frac fg$ — промежуток $[1;\,5).$

Задача 3. Пусть ${f(x)=x^2+1}$ и ${g(x)=2x-3}.$ Найдите ${(f\circ g)(x)},$ ${(g\circ f)(x)},$ ${(f\circ g)(2)}$ и ${(g\circ f)(2)}.$

Решение:

${(f\circ g)(x)}={f(2x-3)}={(2x-3)^2+1}={4x^2-12x+10}$

${(g\circ f)(x)}={g(x^2+1)}={2(x^2+1)-3}={2x^2-1}$

${(f\circ g)(2)}={f(g(2))}={f(1)}={2}$ и ${(g\circ f)(2)}={g(f(2))}={g(5)}={7.}$ По формулам получаем то же самое: ${4\cdot 2^2-12\cdot 2+10=2}$ и ${2\cdot 2^2-1=7}.$

Задача 4. Пусть ${f(x)=2x-3}.$ Найдите $f(f(x))$ и $f(f(f(x))).$

Решение:

${f(f(x))}={2(2x-3)-3}={4x-9}$

${f(f(f(x)))}={2(4x-9)-3}={8x-21}$

Задача 5. Пусть ${f(x)=\sqrt x}$ и ${g(x)=4-x^2}.$ Найдите ${f\circ g}$ и ${g\circ f},$ а также их области определения.

Решение: ${(f\circ g)(x)=\sqrt{4-x^2}}.$ Нужно ${4-x^2\ge 0},$ то есть ${x^2\le 4},$ поэтому область определения ${[-2;\,2]}.$
${(g\circ f)(x)}={4-\left(\sqrt x\right)^2}={4-x.}$ Формула ${4-x}$ имеет смысл всегда, но сначала вычисляется $\sqrt x,$ поэтому область определения ${[0;\,+\infty)}.$

Задача 6. Функции $f$ и $g$ заданы таблицей. Найдите $f(g(1)),$ $g(f(1)),$ $f(f(2))$ и ${(f+g)(3)}.$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$1$	$4$	$2$
$g(x)$	$2$	$4$	$1$	$3$

Решение: Вычисляем изнутри наружу. ${f(g(1))=f(2)=1};$   ${g(f(1))=g(3)=1};$   ${f(f(2))=f(1)=3};$   ${(f+g)(3)}={f(3)+g(3)}={4+1}={5.}$

Задача 7. Представьте в виде $f(g(x))\text{:}$ а) ${h(x)=\sqrt{x^2+9}};$   б) ${k(x)=\frac1{(x+5)^2}}.$

Решение: а) Сначала ${x^2+9},$ затем квадратный корень: ${g(x)=x^2+9},$ ${f(x)=\sqrt x}.$
б) Сначала ${x+5},$ затем $\frac1{(\ldots)^2}\text{:}$ ${g(x)=x+5},$ ${f(x)=\frac1{x^2}}.$

Задача 8. Пусть ${f(x)=x+3}.$ Найдите такую функцию $g,$ что ${(f\circ g)(x)=x^2+1}.$

Решение: ${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={g(x)+3.}$ Значит, ${g(x)+3=x^2+1},$ откуда ${g(x)=x^2-2}.$

Задача 9. Пусть ${f(x)=x^2}$ и ${g(x)=\sin x}.$ Найдите ${(f\circ g)(x)}$ и ${(g\circ f)(x)}.$

Решение: ${(f\circ g)(x)}={f(\sin x)}={(\sin x)^2}={\sin^2x,}$ а ${(g\circ f)(x)}={g(x^2)}={\sin(x^2).}$ Это две разные функции.

Задача 10. Пусть ${f(x)=x^2-2x}$ и ${g(x)=x+1}.$ Решите уравнение ${f(g(x))=0}.$

Решение:

${f(g(x))}={(x+1)^2-2(x+1)}={x^2+2x+1-2x-2}={x^2-1}$

Из ${x^2-1=0}$ получаем ${x=1}$ или ${x=-1}.$

Упражнения

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

1. Пусть ${f(x)=3x+2}$ и ${g(x)=x^2}.$ Найдите ${(f+g)(x)},$ ${(f-g)(x)}$ и ${(f\cdot g)(x)}.$

${(f+g)(x)=x^2+3x+2},$ ${(f-g)(x)}={-x^2+3x+2,}$ ${(f\cdot g)(x)=3x^3+2x^2}.$

2. Пусть ${f(x)=x+5}$ и ${g(x)=x-1}.$ Найдите ${(f+g)(2)},$ ${(f\cdot g)(-1)}$ и $\left(\frac fg\right)(3).$

${(f+g)(2)=7+1=8},$ ${(f\cdot g)(-1)}={4\cdot(-2)}={-8,}$ ${\left(\frac fg\right)(3)=\frac82=4}.$

3. Найдите область определения $\frac fg,$ если ${f(x)=x+1}$ и ${g(x)=x^2-4}.$

${g(x)=0}$ при ${x=2}$ и ${x=-2}.$ Область определения ${(-\infty;\,-2)\cup(-2;\,2)\cup}$ ${(2;\,+\infty)}.$

4. Найдите область определения ${f+g},$ если ${f(x)=\sqrt x}$ и ${g(x)=\frac1{x-3}}.$

${D(f)=[0;\,+\infty)},$ а $D(g)$ — все действительные числа, кроме 3. Область определения ${[0;\,3)\cup(3;\,+\infty)}.$

5. Пусть ${f(x)=x^2}$ и ${g(x)=x-5}.$ Найдите ${(f\circ g)(x)}$ и ${(g\circ f)(x)}.$

${(f\circ g)(x)}={(x-5)^2}={x^2-10x+25,}$ ${(g\circ f)(x)=x^2-5}.$

6. Пусть ${f(x)=2x-1}$ и ${g(x)=x^2+3}.$ Найдите ${(f\circ g)(1)}$ и ${(g\circ f)(1)}.$

${(f\circ g)(1)=f(4)=7},$ ${(g\circ f)(1)=g(1)=4}.$

7. Пусть ${f(x)=x+2}$ и ${g(x)=x-5}.$ Верно ли, что ${f\circ g=g\circ f}?$

Да: ${f(g(x))}={(x-5)+2}={x-3}$ и ${g(f(x))}={(x+2)-5}={x-3.}$

8. Пусть ${f(x)=3x-2}.$ Найдите ${(f\circ f)(x)}.$

${(f\circ f)(x)}={3(3x-2)-2}={9x-8.}$

9. Найдите область определения ${f\circ g},$ если ${f(x)=\sqrt x}$ и ${g(x)=x-7}.$

${(f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}},$ поэтому нужно ${x-7\ge 0}.$ Область определения ${[7;\,+\infty)}.$

10. Найдите область определения ${f\circ g},$ если ${f(x)=\frac1x}$ и ${g(x)=x^2-9}.$

${(f\circ g)(x)=\frac1{x^2-9}},$ поэтому нужно ${g(x)\ne 0},$ то есть ${x\ne 3}$ и ${x\ne -3}.$ Область определения ${(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,3)\cup}$ ${(3;\,+\infty)}.$

11. Представьте ${h(x)=(5x+2)^4}$ и ${k(x)=\frac1{x^2+4}}$ в виде $f(g(x)).$

$h\text{:}$ ${g(x)=5x+2},$ ${f(x)=x^4}.$   $k\text{:}$ ${g(x)=x^2+4},$ ${f(x)=\frac1x}.$

12. Пусть ${f(x)=2x+3}.$ Найдите $g,$ если ${(f\circ g)(x)=6x-1}.$

${2g(x)+3=6x-1},$ откуда ${g(x)=3x-2}.$

Предыдущий урок: Функции и пределы.