МенюОперации c функциями - сложение, вычитание, умножение и деление
Операции c функциямиФункции можно складывать
Функции можно вычитать
Функции можно умножать
Функции можно делить
Функции могут быть составлены друг с другом
Давайте возьмем две функции
f(x) = x2 and g(x) = x
Сумма этих функций:
f(x) + g(x) = x2 + x
Сумма двух функций f и g определяется как f + g
Определение операций с функциями
(f + g)(x) = f(x) + g(x) Сложение
(f - g)(x) = f(x) - g(x) Вычитание
(f.g)(x) = f(x).g(x) Умножение
(f/g)(x) = f(x)/g(x) Деление
Для функции f + g, f - g, f.g, области определяются как пересечение областей f и g
Для f/g, область есть пересечение областей f и g кроме точек, где g(x) = 0
Пример
f(x) = 1 + √x - 2 and g(x) = x - 1
Тогда их сумма определяется как
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (1 + √x - 2) + (x - 1) = x + √x - 2
Теперь давайте сравним области первоначальных функций f и g с их суммой:
| Функция | Область |
| f(x) = 1 + √x - 2 | [2; +∞) |
| g(x) = x - 1 | (-∞ +∞) |
| (f + g)(x) = x + √x - 2 | [2; ∞)∩(-∞ +∞) = [2; ∞) |
Рассмотрим две функции
f(x) = 3√x and g(x) = √x
Тогда их произведение определяется как
(f.g)(x) = f(x).g(x) = (3√x)(√x) = 3x
Обратите внимание, что
Натуральная область 3x есть (-∞; +∞)
Теперь сравним области первоначальных функций f и g, и их произведение:
| Функция | Область |
| f(x) = 3√x | [0; +∞) |
| g(x) = √x | [0; +∞) |
| (f.g)(x) = 3x, x ≥ 0 | [0; +∞) ∩ [0; +∞) = [0; +∞) |
Иногда произведение двух одинаковых функций записывается как
f2(x) = f(x).f(x)
В целом, если n есть положительным целым, тогда hen
fn(x) = f(x).f(x)...f(x)
Например,
sin(x).sin(x) = (sin(x))2 = sin2x
Допустим, что есть две функции
f(x) = x3 и g(x) = x + 4
Если мы заменим g(x) на x в формуле для f, мы получим новую функцию, определенную
(f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x))3 = (x + 4)3
Чтобы вычислить f(g(x)) необходимо вычислить сначала g(x) для x из области g, а тогда необходимо g(x) в области f вычислить f(g(x))
Пример:
Есть
f(x) = x2 + 3 g(x) = √x
Тогда составная этих функций есть
(f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x))2 + 3 = (√x)2 + 3 = x + 3
Теперь сравним областя оригинальных функций f и g, и их составную функцию
| Функция | Область |
| f(x) = x2 + 3 | (-∞; +∞) |
| g(x) = √x | [0; +∞) |
| (f o g)(x) = x + 3 | Все x в [0; +∞) такие, что g(x) лежит в (-∞; +∞) отсюда область is (-∞; +∞) |
Рассмотрим функцию
h(x) = (x + 1)2
мы можем разбить функцию h как
f(x) = x + 1
g(x) = x2
h(x) = g(f(x))
Примечание:
Обратите внимание, что мы можем выразить функцию как
(x2 + 1)10 = [(x2 + 1)2]5 = f(g(x))
g(x) = (x2 + 1)2, f(x) = x5
Также мы можем записать (x2 + 1) = [(x2 + 1)3]10/3 = f(g(x))
g(x) = (x2 + 1)3, f(x) = x10/3
Обратите внимание, что в целом мы не можем записать
(f o g) ≠ (g o f)
Область (f o g) состоит из всех x в области g для которых g(x) в области f
