Тригонометрия - синус, косинус, тангенс, котангенс

Возьмём x-axis и y-axis (orthonormal) и пусть O будет началом. Окружность с центром в точке O и с радиусом = 1 известна как тригонометрическая окружность или единичная окружность.

Если P точка на окружности и t это угол между PO и x тогда:

x-координата P называется косинусом t. Записывается как cos(t);
y-координата P называется синусом t. Записывается как sin(t);
Число sin(t)/cos(t) называется тангенсом t. Записывается как tg(t);
число cos(t)/sin(t) называется котангенсом t. Записывается как ctg(t).

Функция синуса

sin : R -> R
Все тригонометрические функции являются периодическими. Период синуса равен 2π.
Диапазон функции: [-1,1].

Функция косинуса

cos : R -> R
Период косисинуса равен 2π.
Диапазон функции: [-1,1].

Функция тангенса

tg : R -> R
Диапазон функции равен R. В этом случае период равенπ и функия не может быть определена для
x = (π/2) + kπ, k=0,1,2,...
График функции тангенса в интервале 0 - π

Анимираная графика тангенса(открыть в новом окне):
График функции тангенса в интервале 0 - 2π

Функция котангенса

ctg : R -> R
Диапазон функции равен R. В этом случае период равен π и функция не может быть определена для
x = kπ, k=0,1,2,...

Значения sin, cos, tan, cot при значениях углов 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°

$\alpha^o$	$0^o$	$30^o$	$45^o$	$60^o$	$90^o$	$120^o$	$135^o$	$150^o$	$180^o$	$210^o$	$225^o$	$240^o$	$270^o$	$300^o$	$315^o$	$330^o$	$360^o$
$\alpha rad$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{7\pi}{6}$	$\frac{5\pi}{4}$	$\frac{4\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{2}$	$\frac{5\pi}{3}$	$\frac{7\pi}{4}$	$\frac{11\pi}{6}$	$2\pi$
$sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$
$cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$tan\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$
$cot\alpha$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$-$

Самый простой способ, чтобы запомнить основные значения sin и cos углов 0°, 30°, 60°, 90°:
sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = $\sqrt{\frac{[0, 1, 2, 3, 4]}{4}}$

Тригонометрические тождества

Для t радиан одна точка соответствует с координатами P(cos(t),sin(t)) на единичной окружности. Квадрат расстояния [OP] = 1. Вычисляя расстояние для этой точки с координатами P, для каждого t мы получим:

cos²(t) + sin²(t) = 1

Если t + t' = 180° тогда:

sin(t) = sin(t')
cos(t) = -cos(t')
tg(t) = -tg(t')
ctg(t) = -ctg(t')

Если t + t' = 90° тогда:

sin(t) = cos(t')
cos(t) = sin(t')
tg(t) = ctg(t')
ctg(t) = tg(t')

	$-\alpha$	$90^\circ - \alpha$	$90^\circ + \alpha$	$180^\circ - \alpha$
$\textrm{ sin }$	$-\textrm{ sin }\alpha$	$\textrm{ cos }\alpha$	$\textrm{ cos } \alpha$	$\textrm{ sin }\alpha$
$\textrm{ cos }$	$\textrm{ cos }\alpha$	$\textrm{ sin }\alpha$	$-\textrm{ sin} \alpha$	$-\textrm{ cos }\alpha$
$\textrm{ tg }$	$-\textrm{ tg }\alpha$	$\textrm{ ctg }\alpha$	$-\textrm{ ctg } \alpha$	$-\textrm{ tg }\alpha$
$\textrm{ ctg }$	$-\textrm{ ctg }\alpha$	$\textrm{ tg }\alpha$	$-\textrm{ tg } \alpha$	$-\textrm{ ctg }\alpha$

Тригонометрические формулы

Формулы половинного угла

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или ||
- если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте ||| или |V

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |V
- если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |||

$tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$
+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||
- если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$
+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||
- если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

$\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$

$\cos(2u) = \cos^2(u) - \sin^2(u) = 2\cos^2(u) - 1 = 1 - 2\sin^2(u)$

$\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }^2(u)}$

$\cos(2u) = \frac{1 - \textrm{ tg }^2(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$

$\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4 \sin^3\alpha$

$\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3 \cos\alpha$

$\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }^3\alpha}{1-3\textrm{ tg }^2\alpha}$

$\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }^2\alpha-1}$

$\sin4\alpha = 4\cos^3\alpha\sin\alpha - 4\cos\alpha \sin^3\alpha$

$\cos4\alpha = \cos^4\alpha - 6\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$

$\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha - 4\textrm{ tg }^3\alpha}{1-6\textrm{ tg }^2\alpha+\textrm{ tg }^4\alpha}$

$\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^4\alpha-6\textrm{ ctg }^2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }^3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$

Формулы понижения степени

$\sin^2(\alpha)=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

$\sin^3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$

$\sin^4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) - 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$

$\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

$\cos^3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

$\cos^4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$

Формулы сложения

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 - \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$

$\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma - \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma - \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $
$- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma - \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta - \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

$\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ sin } \alpha - \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha - \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha - \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

Формулы произведения

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) - \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha - \beta))$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

Универсальная тригонометрическая подстановка

$\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$

Другие формулы

$1\pm\sin\alpha=2\sin^2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos^2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$

$\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

$\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }^2\frac{\alpha}{2}$

$\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$

$\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha - 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$

$\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$

Тригонометрия на страницах математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!