Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a³ и b² есть a³ + b².
Сумма a³ - bⁿ и h⁵ -d⁴ есть a³ - bⁿ + h⁵ - d⁴.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a² и a³ есть сумма a² + a³.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a³bⁿ и 3a⁵b⁶ есть a³bⁿ + 3a⁵b⁶.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a⁴ - (-6a⁴) = 8a⁴
3h²b⁶ - 4h²b⁶ = -h²b⁶
5(a - h)⁶ - 2(a - h)⁶ = 3(a - h)⁶

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a³ на b² равен a³b² или aaabb.

Или:
x^-3 ⋅ a^m = a^mx^-3
3a⁶y² ⋅ (-2x) = -6a⁶xy²
a²b³y² ⋅ a³b²y = a²b³y²a³b²y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a⁵b⁵y³.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат - это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a².a³ = aa.aaa = aaaaa = a⁵.

Здесь 5 - это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, aⁿ.a^m = a^m+n.

Для aⁿ, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a^m, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a².a⁶ = a²⁺⁶ = a⁸. И x³.x².x = x³⁺²⁺¹ = x⁶.

Или:
4aⁿ ⋅ 2aⁿ = 8a²ⁿ
b²y³ ⋅ b⁴y = b⁶y⁴
(b + h - y)ⁿ ⋅ (b + h - y) = (b + h - y)ⁿ⁺¹

Умножьте (x³ + x²y + xy² + y³) ⋅ (x - y).
Ответ: x⁴ - y⁴.
Умножьте (x³ + x - 5) ⋅ (2x³ + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых - отрицательные.

1. Так, a^-2.a^-3 = a^-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y^-n.y^-m = y^-n-m.

3. a^-n.a^m = a^m-n.

Если a + b умножаются на a - b, результат будет равен a² - b²: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a - y).(a + y) = a² - y².
(a² - y²)⋅(a² + y²) = a⁴ - y⁴.
(a⁴ - y⁴)⋅(a⁴ + y⁴) = a⁸ - y⁸.

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a³b² делённое на b², равно a³.

Или:
$\frac{9a^3y^4}{-3a^3} = -3y^4$
$\frac{a^2b + 3a^2}{a^2} = \frac{a^2(b+3)}{a^2} = b + 3$
$\frac{d\cdot (a - h + y)^3}{(a - h + y)^3} = d$

Запись a⁵, делённого на a³, выглядит как $\frac{a^5}{a^3}$. Но это равно a². В ряде чисел
a⁺⁴, a⁺³, a⁺², a⁺¹, a⁰, a^-1, a^-2, a^-3, a^-4.
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y³:y² = y^3-2 = y¹. То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И aⁿ⁺¹:a = a^n+1-1 = aⁿ. То есть $\frac{aa^n}{a} = a^n$.

Или:
y^2m : y^m = y^m
8a^n+m : 4a^m = 2aⁿ
12(b + y)ⁿ : 3(b + y)³ = 4(b +y)^n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a^-5 на a^-3, равен a^-2.
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h²:h^-1 = h²⁺¹ = h³ или $h^2:\frac{1}{h} = h^2.\frac{h}{1} = h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a^4}{3a^2}$ Ответ: $\frac{5a^2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6x^6}{3x^5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a²/a³ и a^-3/a^-4 и приведите к общему знаменателю.
a².a^-4 есть a^-2 первый числитель.
a³.a^-3 есть a⁰ = 1, второй числитель.
a³.a^-4 есть a^-1, общий числитель.
После упрощения: a^-2/a^-1 и 1/a^-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a⁴/5a³ и ²/a⁴ и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a³/5a⁷ и 5a⁵/5a⁷ или 2a³/5a² и 5/5a².

5. Умножьте (a³ + b)/b⁴ на (a - b)/3.

6. Умножьте (a⁵ + 1)/x² на (b² - 1)/(x + a).

7. Умножьте b⁴/a^-2 на h^-3/x и aⁿ/y^-3.

8. Разделите a⁴/y³ на a³/y². Ответ: a/y.

9. Разделите (h³ - 1)/d⁴ на (dⁿ + 1)/h.