Квадратные неравенства

Общий вид квадратного неравенства после переноса всех выражений на одну сторону неравенства представляет собой одну из следующих форм:

$ax^2+bx+c > 0$ , либо   $ax^2+bx+c \geq 0$  либо  $ax^2+bx+c < 0$ , либо  $ax^2+bx+c \leq 0$       (1)

Когда $a \neq 0$ , а также $b, c \in \mathbb{R}$

Решением каждого неравенства указанного выше, является нахождение всех действительных чисел, которыми можно заменить $x$ так, чтобы неравенство было верным.

Например, если мы заявляем, что $x = 1$ является одним из корней неравенства $x^2 - \frac{1}{2} > 0$. Подставив 1 вместо всех переменных $x$ в неравенстве, мы получим, что $1^2 - \frac{1}{2} > 0 \rightarrow \frac{1}{2} > 0$ ,
что всегда верно. Поэтому $x = 1$ является одним из решений данного неравенства.

Теперь мы научимся решать неравенства (1).

Во-первых, мы рассмотрим уравнение с двумя переменными, $y = ax^2+bx+c$, и предположим, что $ax^2+bx+c$ равно нулю. Тогда:

$ax^2+bx+c = 0 \rightarrow a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) = 0 \rightarrow^{a \neq 0} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0 \rightarrow$
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2} = 0 \rightarrow (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \rightarrow$
$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow $
$x = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Из этого следует, что график квадратного уравнения пересекает ось x в точке $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Эти нули разделяют числовую прямую на три интервала:

        $(-\infty, x_1)$   ,   $[x_1,x_2]$   ,   $(x_2,+\infty)$,

допуская, что $x_1 < x_2$.

Теперь пусть $\Delta = b^2 - 4ac$.

Мы можем рассмотреть три указанных ниже случая:

  1. $\Delta > 0$
  2. $\Delta = 0$
  3. $\Delta < 0$

Случай 1:
Если $\Delta > 0$,

тогда $ax^2+bx+c$ имеет два различных корня $(x_1 \neq x_2)$.
Теперь, если $a>0$, то его график получается таким, как на "Рисунке а".
Если $a<0$, тогда он такой, как на "Рисунке b". Поэтому, если $a>0$ и, если имеем $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$, то тогда множество решений это:
$(-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$       $((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty))$
И если имеем $ax^2+bx+c \leq 0 (ax^2+bx+c < 0)$, тогда множество решений это:
$[x_1,x_2]$         $((x_1,x_2))$
С другой стороны, если $a < 0$, а также, если имеем $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$, тогда множество решений это:
$[x_1,x_2]$         $((x_1,x_2))$
А если имеем $ax^2+bx+c \leq 0 (ax^2+bx+c < 0)$, тогда множество решений это:
$(-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$       $((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty))$
Случай 2:
Если $\Delta = 0$,

тогда у $ax^2+bx+c = 0$ есть только один корень $(x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a})$. Теперь, если$a>0$, тогда его график выглядит, как показано на"Рисунке c", а если $a<0$, то как на "Рисунке d".

Если $ax^2+bx+c \geq 0$ и a > 0, то решениями являются все действительные числа.
Если a > 0 и $ax^2 + bx + c > 0$ (или a < 0 и $ax^2 + bx + c < 0$), тогда множество решений это $R - \{\frac{-b}{2a}\}$(Все числа, за исключением $\{\frac{-b}{2a}\}$)

Понятно, что если a < 0 и $ax^2 + bx + c \geq 0$(или a > 0 и $ax^2 + bx + c \le 0$), тогда у неравенства только одно решение и оно $\{\frac{-b}{2a}\}$, а также,
если a < 0 и $ax^2 + bx + c > 0$(или a > 0 и $ax^2 + bx + c < 0$), тогда у неравенства нет действительных решений.
Случай 3:
Если $\Delta < 0$,

тогда у $ax^2+bx+c=0$ нет решений. Теперь, если $a>0$, тогда график выглядит, как показано на "Рисунке e" ,а если $a<0$, то как на"Рисунке f".


Если $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c > 0$ и $a > 0$(или $ax^2 + bx + c < 0$ и $a < 0$), тогда решениями являются все действительные числа.
Понятно, что если $ax^2 + bx + c > 0$ и $a < 0$(или $ax^2 + bx + c < 0$ и $a > 0$), то у квадратного неравенства нет действительных решений.

Пример 1: Найти множество решений неравенства $x^2 + 3x - 10 > 0$.

Решение: В соответствии с вышесказанным

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \rightarrow \Delta > 0 \rightarrow x^2 + 3x - 10$, значит есть два разных корня, которые можно найти, как:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

С другой стороны $a > 0$, поэтому множество решений неравенство согласно Случаю 1 и "Рисунку a" это:

$(-\infty, -5) \cup (2, +\infty)$
x^2 + 3x - 10 > 0

Пример 2: Найти множество решений $x^2 + 5x - 6 \geq 0$.

Решение: В соответствии с вышесказанным

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \rightarrow \Delta > 0$
$x^2 + 5x - 6 = 0$, значит есть два разных корня, которые можно найти, как:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

С другой стороны $a > 0$, поэтому множество решений неравенство согласно Случаю 1 и "Рисунку a" это:

$(-\infty, -6] \cup [1, +\infty)$
x^2 + 5x - 6 \geq 0

Пример 3: Найти множество решений $x^2 - 2x + 1 \geq 0$.

Решение: В соответствии с вышесказанным

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \rightarrow \Delta = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$, значит есть только один корень, который можно найти, как:

$x_1 = x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

С другой стороны $a > 0$, поэтому множество решений неравенство согласно Случаю 1 и "Рисунку c" это: $\mathbb{R}$

Пример 4: Найти множество решений $x^2 - 2x + 1 < 0$.

Решение: В соответствии с вышесказанным

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \rightarrow \Delta = 0$
$x^2 - 2x + 1$, значит есть только один корень, который можно найти, как:

$x_1 = x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

С другой стороны $a > 0$, поэтому $x^2 - 2x + 1 \geq 0$ , значит в соответствии со всем вышесказанным и графиком прошлого примера у $x^2 - 2x + 1 < 0$ нет решений в действительных числах.

Пример 5: Найти множество решений $-x^2 - 7x + 8 < 0$.

Решение: В соответствии с вышесказанным

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = (-7)^2 - 4(-1)(8) = 49 + 32 = 81 \rightarrow \Delta > 0$
$-x^2 - 7x + 8$ , есть два разных корня, которые можно найти, как:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \times (-1)} = \frac{7 + 9}{-2} = \frac{16}{-2} = -8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \times (-1)} = \frac{7 - 9}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$

С другой стороны $a > 0$, поэтому множество решений неравенство согласно Случаю 1 и "Рисунку a" это:

$(-\infty, -8) \cup (1, +\infty)$
-x^2 - 7x + 8 < 0

Пример 6: Найти множество решений of $x^2 + 1 > 0$.

Решение: В соответствии с вышесказанным

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = 0^2 - 4(1)(1) = 0 - 4 = -4 \rightarrow \Delta < 0$
$x^2 + 1 = 0$, значит нет корней в действительных числах. С другой стороны $a > 0$, поэтому множество решений $x^2 + 1 > 0$ это $\mathbb{R}$
x^2 + 1 > 0


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.