Формулы для первой производной

Производная функции ${y=f(x)}$ обозначается $y'$ или $f'(x).$ Она показывает, как быстро меняется функция: $f'(x)$ равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке с абсциссой $x.$ По определению

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Вычислять этот предел каждый раз долго. На практике пользуются несколькими правилами дифференцирования и таблицей производных основных функций. С их помощью находят производную любой функции, составленной из основных. Подробнее об определении производной: Производные, дифференциалы.

На этой странице: Правила дифференцирования · Таблица производных · Решённые задачи · Типичные ошибки · Упражнения

Правила дифференцирования

В правилах ниже $f$ и $g$ — функции от $x,$ у которых есть производные, а $C$ — постоянная, то есть число, не зависящее от $x.$

Производная константы

Постоянная не меняется, поэтому скорость её изменения равна нулю. Например, если ${y=5},$ то ${y'=0}.$ Также ${(\pi)'=0}$ и ${(\ln 3)'=0},$ потому что $\pi$ и $\ln 3$ — числа.

Производная степени

Показатель степени становится множителем, а новый показатель на единицу меньше. Правило верно для любого действительного показателя $n,$ а не только для целых чисел (при дробном $n$ считаем ${x\gt 0}$).

${(x^3)'}={3x^{3-1}}={3x^2},$   ${(x^{-3})'}={-3x^{-3-1}}={-3x^{-4}}$

При ${n=1}$ правило даёт ${(x)'=1}.$ Корень или дробь со степенью $x$ в знаменателе сначала записывают в виде степени:

${(\sqrt{x})'}={\left(x^{\frac12}\right)'}={\frac12x^{-\frac12}}={\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

${\left(\frac1x\right)'}={(x^{-1})'}={-x^{-2}}={-\frac{1}{x^2}}$

Постоянный множитель

Постоянный множитель выносится за знак производной. Пример: ${(7x^3)'}={7\cdot 3x^2}={{21x^2}.}$

Производная суммы и разности

Производная суммы равна сумме производных. Это верно для любого числа слагаемых, поэтому многочлен дифференцируют почленно.

Пример. Пусть ${f(x)=x^2+x+1},$ ${g(x)=x^5+7}$ и ${y=f(x)+g(x)}.$ Тогда

${y'}={(x^2+x+1)'}+{(x^5+7)'}={2x+1+0+5x^4+0}={5x^4+2x+1}$

Производная произведения

Пример.

${(x^2\sin x)'}={(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)'}={2x\sin x+x^2\cos x}$

Правило постоянного множителя является частным случаем правила произведения. Если ${f=C},$ то

${(C\cdot g)'}={C'\cdot g+C\cdot g'}={0\cdot g+C\cdot g'}={C\cdot g'}$

Производная частного

Следите за порядком в числителе: сначала ${f'\cdot g},$ потом минус ${f\cdot g'}.$ При ${f=1}$ правило даёт ${\left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}}.$

Пример.

${\left(\frac{x}{x+1}\right)'}={\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}}={\frac{1}{(x+1)^2}}$

Производная сложной функции

Пусть ${y=f(u)},$ где ${u=u(x)}$ тоже функция от $x$ (функция от функции). Тогда

Сначала дифференцируем внешнюю функцию так, как будто $u$ — переменная, затем умножаем на производную внутренней функции $u.$

Пример 1. ${y=\sin(x^2)}.$ Здесь ${u=x^2}$ и ${f(u)=\sin u},$ поэтому ${f'(u)=\cos u}$ и ${u'=2x}$:

${y'}={\cos(x^2)\cdot 2x}={2x\cos(x^2)}$

Пример 2. ${y=(3x+1)^5}.$ Внешняя функция — пятая степень, а внутренняя — функция ${u=3x+1},$ причём ${u'=3}$:

${y'}={5(3x+1)^4\cdot 3}={15(3x+1)^4}$

Пример 3. Если вложены три функции, правило применяют дважды:

${\left(e^{\sin 2x}\right)'}={e^{\sin 2x}\cdot(\sin 2x)'}={e^{\sin 2x}\cdot\cos 2x\cdot 2}={2\cos 2x\cdot e^{\sin 2x}}$

Таблица производных

Производные основных (элементарных) функций. В последнем столбце та же формула вместе с правилом для сложной функции: вместо $x$ стоит функция ${u=u(x)}.$

Производная	Для сложной функции, ${u=u(x)}$
$(x^n)'=n\,x^{n-1}$	$(u^n)'=n\,u^{n-1}\cdot u'$
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2}$	$\left(\frac1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}$
$(e^x)'=e^x$	$(e^u)'=e^u\cdot u'$
$(a^x)'=a^x\ln a$	$(a^u)'=a^u\ln a\cdot u'$
$(\ln x)'=\frac1x$	$(\ln u)'=\frac{u'}{u}$
$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$	$(\log_a u)'=\frac{u'}{u\ln a}$
$(\sin x)'=\cos x$	$(\sin u)'=\cos u\cdot u'$
$(\cos x)'=-\sin x$	$(\cos u)'=-\sin u\cdot u'$
$(\tg x)'=\frac{1}{\cos^2x}$	$(\tg u)'=\frac{u'}{\cos^2u}$
$(\ctg x)'=-\frac{1}{\sin^2x}$	$(\ctg u)'=-\frac{u'}{\sin^2u}$
$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arcsin u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$
$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos u)'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$
$(\arctg x)'=\frac{1}{1+x^2}$	$(\arctg u)'=\frac{u'}{1+u^2}$
$(\arcctg x)'=-\frac{1}{1+x^2}$	$(\arcctg u)'=-\frac{u'}{1+u^2}$

Формулы верны там, где функции определены: ${x\gt 0}$ для $\ln x$ и $\log_a x,$ а также для производной $\sqrt{x};$ ${a\gt 0}$ и ${a\ne 1}$ для $a^x$ и $\log_a x;$ ${\cos x\ne 0}$ для $\tg x;$ ${\sin x\ne 0}$ для $\ctg x;$ ${-1\lt x\lt 1}$ для производных $\arcsin x$ и $\arccos x.$ Кроме того, ${(\ln|x|)'=\frac1x}$ при любом ${x\ne 0}.$ Так как ${\frac{1}{\cos^2x}=1+\tg^2x},$ производную $\tg x$ можно записать и как ${1+\tg^2x}.$

Решённые задачи

Задача 1. Найдите производную функции ${{f(x)=3x^4-5x^2+7x-2}.}$

Решение: Дифференцируем почленно по правилу степени и правилу постоянного множителя:

${f'(x)}={3\cdot 4x^3-5\cdot 2x+7-0}={12x^3-10x+7}$

Задача 2. ${f(x)=10x+4y},$ где $y$ не зависит от $x.$ Найдите $f'(x).$

Решение: Дифференцируем по $x.$ Число $y$ не меняется, когда меняется $x,$ поэтому $4y$ является постоянной и ${(4y)'=0}.$ По правилу суммы

${f'(x)}={(10x)'+(4y)'}={10+0}={10}$

Задача 3. Найдите производную функции ${y=\sqrt[3]{x^2}+\frac{2}{x^3}}.$

Решение: Сначала запишем оба слагаемых в виде степеней $x$: ${y=x^{\frac23}+2x^{-3}}.$ По правилу степени

${y'}={\frac23x^{-\frac13}+2\cdot(-3)x^{-4}}={\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{6}{x^4}}$

Задача 4. Найдите производную функции ${y=x^3e^x}.$

Решение: Применим правило произведения, где ${f=x^3}$ и ${g=e^x}$:

${y'}={3x^2\cdot e^x+x^3\cdot e^x}={x^2e^x(x+3)}$

Задача 5. Найдите производную функции ${f(x)=\frac{x^{10}}{4{,}15+\cos x}}.$

Решение: Функция $f$ равна частному функций ${h(x)=x^{10}}$ и ${g(x)=4{,}15+\cos x}.$ Их производные ${h'(x)=10x^9}$ и ${g'(x)=0-\sin x=-\sin x}.$ Знаменатель никогда не равен 0, так как ${\cos x\ge -1}.$ По правилу частного

${f'(x)}={\frac{h'(x)\cdot g(x)-h(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)-x^{10}(-\sin x)}{(4{,}15+\cos x)^2}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)+x^{10}\sin x}{(4{,}15+\cos x)^2}}$

Задача 6. Выведите формулу ${(\tg x)'=\frac{1}{\cos^2x}}$ с помощью правила частного.

Решение: ${\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}},$ поэтому

${(\tg x)'}={\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2x}}={\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}}={\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}={\frac{1}{\cos^2x}}$

На последнем шаге мы воспользовались тождеством ${\sin^2x+\cos^2x=1}.$

Задача 7. Найдите производную функции ${f(x)=\ln(\sin x)}.$

Решение: Это сложная функция: внешняя функция — логарифм, а внутренняя — функция ${u=\sin x},$ причём ${u'=\cos x}.$ По формуле ${(\ln u)'=\frac{u'}{u}}$ из таблицы:

${f'(x)}={\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x}={\frac{\cos x}{\sin x}}={\ctg x}$

Функция определена только там, где ${\sin x\gt 0}.$

Задача 8. Найдите производную функции ${y=\sqrt{x^2+1}}.$

Решение: Применим правило для сложной функции, где ${u=x^2+1}$ и ${(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}}$:

${y'}={\frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}}={\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}={\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

Задача 9. Найдите производную функции ${y=\sin^2 3x}.$

Решение: ${\sin^2 3x=(\sin 3x)^2},$ то есть здесь вложены три функции: квадрат, синус и $3x.$ Дважды применяем правило для сложной функции:

${y'}={2\sin 3x\cdot(\sin 3x)'}={2\sin 3x\cdot\cos 3x\cdot 3}={6\sin 3x\cos 3x}={3\sin 6x}$

На последнем шаге мы воспользовались формулой ${2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha}.$

Задача 10. ${f(x)=x^3-2x}.$ Найдите $f'(2)$ и уравнение касательной к графику $f$ в точке с абсциссой ${x=2}.$

Решение: ${f'(x)=3x^2-2},$ поэтому ${f'(2)}={3\cdot 4-2}={10}.$ Это угловой коэффициент касательной. Так как ${f(2)}={8-4}={4},$ точка касания ${(2;\ 4)}.$ Уравнение касательной:

${y}={f(2)+f'(2)(x-2)}={4+10(x-2)}={10x-16}$

Типичные ошибки

Ошибка	Неверно	Верно
Производная произведения взята как произведение производных	$(x^2\sin x)'=2x\cos x$	${(x^2\sin x)'}={2x\sin x+x^2\cos x}$
Та же ошибка с частным	$\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac11=1$	$\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$
Забыта производная внутренней функции	$(\sin 3x)'=\cos 3x$	$(\sin 3x)'=3\cos 3x$
Правило степени применено к показательной функции	$(2^x)'=x\cdot 2^{x-1}$	$(2^x)'=2^x\ln 2$
Число продифференцировано как функция	$(\ln 5)'=\frac15$	$(\ln 5)'=0$
Неверный знак	$(\cos x)'=\sin x$	$(\cos x)'=-\sin x$

Упражнения

Найдите производные. Сначала решите сами, затем откройте ответ.

1. ${y=4x^3-6x+1}$

${y'=12x^2-6}$

2. ${y=\frac{1}{x^2}}$

${y'}={(x^{-2})'}={-2x^{-3}}={-\frac{2}{x^3}}$

3. ${y=x\ln x}$

${y'}={1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x}={\ln x+1}$

4. ${y=\frac{x^2}{x-1}}$

${y'}={\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}}={\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}}$

5. ${y=e^{-x^2}}$

${y'}={e^{-x^2}\cdot(-2x)}={-2x\,e^{-x^2}}$

6. ${y=\cos(5x+1)}$

${y'}={-\sin(5x+1)\cdot 5}={-5\sin(5x+1)}$

7. ${y=\ln(x^2+4)}$

${y'}={\frac{(x^2+4)'}{x^2+4}}={\frac{2x}{x^2+4}}$

8. ${y=\arctg 2x}$

${y'}={\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot 2}={\frac{2}{1+4x^2}}$

9. ${y=x^2\cos x}$

${y'}={2x\cos x+x^2\cdot(-\sin x)}={2x\cos x-x^2\sin x}$

10. ${f(x)=x^4-3x^2}.$ Найдите $f'(1).$

${f'(x)=4x^3-6x},$ поэтому ${f'(1)}={4-6}={-2}$

Свои ответы можно проверить с помощью калькулятора производных, который показывает решение по шагам.