Задачи с линейными уравнениями

Число, при подстановке которого вместо неизвестного уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем (решением) уравнения. Два уравнения называются равносильными, если у них одни и те же корни. Каждое из следующих преобразований даёт уравнение, равносильное исходному:

1. замена выражения тождественно равным ему, например ${2(x+3)}$ на ${2x+6}$;
2. перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;
3. умножение или деление обеих частей на одно и то же число, не равное нулю.

Уравнение, которое можно привести к виду ${ax+b=0}$, где $a$ и $b$ — данные числа, называется линейным уравнением с неизвестным $x$. Эти правила с примерами объяснены в уроке Решение линейных уравнений. Ниже — задачи с подробными решениями.

Задача 1

Решите уравнение:

А) ${16x+10-32}={35-10x-5}$
Б) ${y+\frac{3}{2}y+25}={\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}y-\frac{5}{2}y+y+37}$
В) ${7u-9-3u+5}={11u-6-4u}$

Решение:

А) Упростим обе части и перенесём слагаемые:

${{16x-22}={30-10x}}$

${{16x+10x}={30+22}}$, откуда ${26x=52}$ и ${x=2}$

Б) Соберём члены с $y$ в каждой части. Слева ${1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}}$, справа ${\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{5}{2}+1=-\frac{1}{4}}$:

${{\frac{5}{2}y+25}={-\frac{1}{4}y+37}}$

${{\frac{5}{2}y+\frac{1}{4}y}={37-25}}$, откуда ${\frac{11}{4}y=12}$ и ${y=\frac{48}{11}}$

В)

${{4u-4}={7u-6}}$

${{6-4}={7u-4u}}$, откуда ${2=3u}$ и ${u=\frac{2}{3}}$

Задача 2

Решите уравнение:

А) ${7(3x-6)+5(x-3)}-{2(x-7)}={5}$
Б) ${(x-3)(x+4)-2(3x-2)}={(x-4)^2}$
В) ${(x+1)^3-(x-1)^3}={6(x^2+x+1)}$

Решение:

А)

${21x-42+5x-15-2x+14}={5}$

${21x+5x-2x}={5+42+15-14}$, откуда ${24x=48}$ и ${x=2}$

Б)

${x^2+4x-3x-12-6x+4}={x^2-8x+16}$

${x^2-5x-8}={x^2-8x+16}$

Члены с ${x^2}$ взаимно уничтожаются:

${{8x-5x}={16+8}}$, откуда ${3x=24}$ и ${x=8}$

В)

${x^3+3x^2+3x+1}-{(x^3-3x^2+3x-1)}={6x^2+6x+6}$

${{6x^2+2}={6x^2+6x+6}}$

${{2}={6x+6}}$, откуда ${6x=-4}$ и ${x=-\frac{2}{3}}$

Задача 3

Решите уравнение:

А) ${{\frac{5x-4}{2}}={\frac{0{,}5x+1}{3}}}$
Б) ${{1-\frac{x-3}{5}}={\frac{-3x+3}{3}}}$
В) ${{\frac{x+1}{3}-\frac{2x+5}{2}}={-3}}$
Г) ${\frac{3(x-1)}{2}+\frac{2(x+2)}{4}}={\frac{3x+4{,}5}{5}}$

Решение:

А) По основному свойству пропорции перемножим крест-накрест:

${{3(5x-4)}={2(0{,}5x+1)}}$

${{15x-12}={x+2}}$, откуда ${14x=14}$ и ${x=1}$

Б) Правая часть равна ${\frac{3(1-x)}{3}=1-x}$, поэтому

${{1-\frac{x-3}{5}}={1-x}}$

Вычтем 1 из обеих частей и умножим на $-5$:

${{x-3}={5x}}$, откуда ${-3=4x}$ и ${x=-\frac{3}{4}}$

В) Умножим на 6:

${2(x+1)-3(2x+5)}={-18}$

${{2x+2-6x-15}={-18}}$

${{-4x-13}={-18}}$, откуда ${-4x=-5}$ и ${x=\frac{5}{4}}$

Г) Общий знаменатель чисел 2, 4 и 5 равен 20. Умножим на 20:

${30(x-1)+10(x+2)}={4(3x+4{,}5)}$

${30x-30+10x+20}={12x+18}$

${{40x-12x}={18+10}}$, откуда ${28x=28}$ и ${x=1}$

Задача 4

Докажите, что любое число является корнем уравнения:

А) ${7x-13=-13+7x}$
Б) ${\left(\frac{1}{2}-x\right)^2-\left(\frac{1}{2}+x\right)^2}={-2x}$
В) ${{3x-3x}={26-2(7+6)}}$
Г) ${{\frac{-3x+4x^2}{5}}={(0{,}8x-0{,}6)x}}$

Решение: Уравнение верно при любом числе, если его можно привести к виду ${0\cdot x=0}$ или если обе его части становятся одним и тем же выражением. Тогда любое значение $x$ даёт верное равенство.

А) ${{7x-7x}={-13+13}}$, т. е. ${0\cdot x=0}$, и любое число является корнем.

Б) Раскроем квадраты:

${\frac{1}{4}-x+x^2-\left(\frac{1}{4}+x+x^2\right)}={-2x}$

${{-2x}={-2x}}$

Обе части одинаковы, поэтому любое число является корнем.

В) ${{0\cdot x}={26-2\cdot 13}}$, т. е. ${0\cdot x=0}$, и любое число является корнем.

Г) Умножим на 5:

${{-3x+4x^2}={5(0{,}8x-0{,}6)x}}$

${{-3x+4x^2}={4x^2-3x}}$

Обе части одинаковы, поэтому любое число является корнем.

Задача 5

Докажите, что уравнение не имеет корней:

А) ${0\cdot x=34}$
Б) ${5-3x=7-3x}$
В) ${{\frac{x-3}{4}}={\frac{x+5}{4}}}$
Г) ${2(3x-1)-3(2x+1)}={6}$

Решение: Уравнение, которое приводится к виду ${0\cdot x=c}$, где ${c\ne 0}$, не имеет корней: левая часть равна 0 при любом $x$, а правая — нет.

А) Левая часть равна 0 при любом $x$, а правая равна 34. Ни при каком числе равенство не будет верным.

Б) ${{-3x+3x}={7-5}}$, т. е. ${0\cdot x=2}$: корней нет.

В) Умножим на 4: ${{x-3}={x+5}}$, откуда ${{x-x}={5+3}}$ и ${0\cdot x=8}$: корней нет.

Г) ${{6x-2-6x-3}={6}}$, т. е. ${0\cdot x=11}$: корней нет.

Задача 6

Решите уравнение:

А) ${2x^2-3(1-x)(x+2)}+{(x-4)(1-5x)+58}={0}$
Б) ${3(x+1)^2-(3x+5)x}={x+3}$
В) ${{x^2-(x-1)(x+1)}={4}}$
Г) ${(x-1)(x^2+x+1)}={(x-1)^3+3x(x-1)}$
Д) ${(3x-1)^2-x(15x+7)}={x(x+1)(x-1)-(x+2)^3}$

Решение: В этих уравнениях есть квадраты и кубы, но после раскрытия скобок члены с ${x^2}$ и ${x^3}$ взаимно уничтожаются и остаётся линейное уравнение.

А)

${2x^2-3(x+2-x^2-2x)}+{x-5x^2-4+20x+58}={0}$

${2x^2-3x-6+3x^2+6x}+{x-5x^2-4+20x+58}={0}$

${{24x+48}={0}}$, откуда ${24x=-48}$ и ${x=-2}$

Б)

${3x^2+6x+3-3x^2-5x}={x+3}$

${{x+3}={x+3}}$

Обе части одинаковы, поэтому любое число является корнем.

В)

${{x^2-(x^2-1)}={4}}$, т. е. ${0\cdot x=3}$: корней нет.

Г)

${x^3+x^2+x-x^2-x-1}={x^3-3x^2+3x-1+3x^2-3x}$

${{x^3-1}={x^3-1}}$

Обе части одинаковы, поэтому любое число является корнем.

Д)

${9x^2-6x+1-15x^2-7x}={x^3-x-(x^3+6x^2+12x+8)}$

${-6x^2-13x+1}={-6x^2-13x-8}$

${0\cdot x=-9}$: корней нет.

Задача 7

Решите уравнение:

А) ${\frac{6x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}}={\frac{12x+49}{10}}$
Б) ${\frac{x-3}{2}+\frac{2x-2}{4}}={\frac{7x-6}{3}}$

Решение:

А) Умножим на 10:

${2(6x-1)-5(1-2x)}={12x+49}$

${12x-2-5+10x}={12x+49}$

${{10x}={56}}$, откуда ${x=5{,}6}$

Б) Так как ${\frac{2x-2}{4}=\frac{x-1}{2}}$, левая часть равна ${\frac{x-3+x-1}{2}=\frac{2x-4}{2}}$:

${{\frac{2x-4}{2}}={\frac{7x-6}{3}}}$

Перемножим крест-накрест:

${{3(2x-4)}={2(7x-6)}}$

${{6x-12}={14x-12}}$, откуда ${0=8x}$ и ${x=0}$

Задача 8

Дана функция ${f(x)=x+4}$. Решите уравнение

${{\frac{3f(x-2)}{f(0)}+4}={f(2x+1)}}$

Решение: Сначала найдём значения $f$, которые входят в уравнение:

${f(0)=0+4=4}$, ${f(x-2)=x-2+4=x+2}$, ${f(2x+1)=2x+1+4=2x+5}$

Уравнение принимает вид

${{\frac{3(x+2)}{4}+4}={2x+5}}$

Умножим на 4:

${3(x+2)+16}={4(2x+5)}$

${{3x+22}={8x+20}}$, откуда ${2=5x}$ и ${x=0{,}4}$

Задача 9

Решите уравнение

${(2x-1)^2-x(10x+1)}={x(1-x)(1+x)-(2-x)^3}$

Решение: Упростим каждую часть:

${4x^2-4x+1-10x^2-x}={x-x^3-(8-12x+6x^2-x^3)}$

${-6x^2-5x+1}={-6x^2+13x-8}$

${{9}={18x}}$, откуда ${x=\frac{1}{2}}$

Задача 10

Решите уравнение

${(2x+3)^2-x(1+2x)(1-2x)}={(2x-1)^2+4x^3-1}$

Решение:

${4x^2+12x+9-x(1-4x^2)}={4x^2-4x+1+4x^3-1}$

${4x^3+4x^2+11x+9}={4x^3+4x^2-4x}$

${{11x+9}={-4x}}$, откуда ${15x=-9}$ и ${x=-\frac{3}{5}}$

Задача 11

Решите уравнение

${(2x-1)^3+2x(2x-3)(3-2x)}-{(3x-1)^2}={3x^2-2}$

Решение: Так как ${3-2x=-(2x-3)}$, среднее слагаемое равно ${-2x(2x-3)^2}$. Воспользуемся формулами для ${(a-b)^3}$ и ${(a-b)^2}$:

${8x^3-12x^2+6x-1}-{2x(4x^2-12x+9)}-{(9x^2-6x+1)}={3x^2-2}$

${8x^3-12x^2+6x-1}-{8x^3}+{24x^2-18x}-{9x^2}+{6x-1}={3x^2-2}$

${{3x^2-6x-2}={3x^2-2}}$, откуда ${-6x=0}$ и ${x=0}$

Задача 12

Решите уравнение

${\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2-(2x-3)(2x+3)}={x+\frac{1}{4}}$

Решение:

${4x^2-2x+\frac{1}{4}-(4x^2-9)}={x+\frac{1}{4}}$

${{-2x+\frac{1}{4}+9}={x+\frac{1}{4}}}$

${{9}={3x}}$, откуда ${x=3}$

Задача 13

Докажите, что два уравнения равносильны:

А) ${\frac{x-5}{2}+\frac{x-1}{8}}={\frac{1{,}5x-10}{4}}$ и ${\frac{x+6}{2}-\frac{5{,}5-0{,}5x}{3}}={1{,}5}$
Б) ${x-\frac{8x+7}{6}+\frac{x}{3}}={-\frac{7}{6}}$ и ${{2x-\frac{6-x}{3}-\frac{7}{3}x}={-2}}$

Решение: Два уравнения равносильны, если у них одни и те же корни, поэтому решим каждое из них.

А) Умножим первое уравнение на 8:

${4(x-5)+x-1}={2(1{,}5x-10)}$

${{4x-20+x-1}={3x-20}}$

${{5x-3x}={-20+21}}$, откуда ${2x=1}$ и ${x=\frac{1}{2}}$

Умножим второе уравнение на 6:

${3(x+6)-2(5{,}5-0{,}5x)}={9}$

${{3x+18-11+x}={9}}$, откуда ${4x=2}$ и ${x=\frac{1}{2}}$

Оба уравнения имеют единственный корень ${\frac{1}{2}}$, значит, они равносильны.

Б) Умножим первое уравнение на 6:

${{6x-(8x+7)+2x}={-7}}$, т. е. ${-7=-7}$

Умножим второе уравнение на 3:

${{6x-(6-x)-7x}={-6}}$, т. е. ${-6=-6}$

Оба равенства верны при любом $x$. Любое число является корнем обоих уравнений, значит, они равносильны.

Задача 14

Решите уравнение:

А) ${(2x+1)^2-x(1-2x)(1+2x)}={(2x-1)^2+4x^3-3}$
Б) ${(2x-1)^2+(x-2)^3}={x^2(x-2)+8x-7}$
В) ${(x+2)(x^2-2x+4)}+{x(1-x)(1+x)}={x-4}$
Г) ${\frac{8x+5}{4}-\frac{1}{2}\left[2-\frac{3-x}{3}\right]}={2x+\frac{5}{6}}$
Д) ${\frac{x}{3}-\frac{x+3}{4}}={x-\frac{1}{3}\left[1-\frac{3-24x}{8}\right]}$
Е) ${\frac{x}{5}-\frac{(2x-3)^2}{3}}={\frac{1}{5}\left[5-\frac{20x^2-43x}{3}\right]}$

Решение:

А)

${4x^2+4x+1-x(1-4x^2)}={4x^2-4x+1+4x^3-3}$

${4x^3+4x^2+3x+1}={4x^3+4x^2-4x-2}$

${{3x+1}={-4x-2}}$, откуда ${7x=-3}$ и ${x=-\frac{3}{7}}$

Б)

${4x^2-4x+1}+{x^3-6x^2+12x-8}={x^3-2x^2+8x-7}$

${x^3-2x^2+8x-7}={x^3-2x^2+8x-7}$

Обе части одинаковы, поэтому любое число является корнем.

В)

${{x^3+8+x-x^3}={x-4}}$

${{x+8}={x-4}}$, т. е. ${0\cdot x=-12}$: корней нет.

Г) Раскроем квадратные скобки:

${\frac{8x+5}{4}-1+\frac{3-x}{6}}={2x+\frac{5}{6}}$

Умножим на 12:

${3(8x+5)-12+2(3-x)}={24x+10}$

${24x+15-12+6-2x}={24x+10}$

${{22x+9}={24x+10}}$, откуда ${-1=2x}$ и ${x=-\frac{1}{2}}$

Д) Раскроем квадратные скобки:

${\frac{x}{3}-\frac{x+3}{4}}={x-\frac{1}{3}+\frac{3-24x}{24}}$

Умножим на 24:

${8x-6(x+3)}={24x-8+3-24x}$

${{2x-18}={-5}}$, откуда ${2x=13}$ и ${x=6{,}5}$

Е) Раскроем квадратные скобки:

${\frac{x}{5}-\frac{(2x-3)^2}{3}}={1-\frac{20x^2-43x}{15}}$

Умножим на 15:

${3x-5(4x^2-12x+9)}={15-(20x^2-43x)}$

${3x-20x^2+60x-45}={15-20x^2+43x}$

${{63x-45}={15+43x}}$, откуда ${20x=60}$ и ${x=3}$

Ещё об уравнениях: Решение линейных уравнений · Текстовые задачи на уравнения · Линейные уравнения с параметром · Уравнения с модулем