Задачи с линейными уравнениями

Значение неизвестной величиной, для которой из данного уравнения мы получим истинное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Два уравнения называются эквивалентными, если множества их корней совпадают, корни первого уравнения являются также корнями второго и наоборот. Действуют следующие правила:
1. Если в данном уравнении значение заменяется другим, но идентичным, мы получаем уравнение, эквивалентное данному.
2. Если в данном уравнении некоторое значение переносится из одной стороны на другую с противоположным знаком, мы получаем уравнение, эквивалентное (равное) заданному.
3. Если мы умножаем или делим обе стороны уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получаем уравнение, эквивалентное заданному.
Уравнение вида $ax + b = 0$, где $a, b$ - заданные числа, называется простым уравнением по отношению к неизвестной величине $х$.

Задача 1 Решите уравнение:
A) $16x + 10 – 32 = 35 – 10x - 5$
B) $y + \frac{3}{2}y + 25 = \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}y – \frac{5}{2}y + y + 37$
C) $7u – 9 – 3u + 5 = 11u – 6 – 4u$

Решение:

A)После проведения некоторых действий, получаем
$16х – 22 = 30 – 10x$
После использования правила 2 мы находим, что $16x + 10x = 30 + 22$
После сложения получаем $26x = 52$
Мы находим неизвестную величину, разделив произведение на другой множитель.
Тогда $x = \frac{52}{26}$
Отсюда $x = 2$

B) По аналогии с A) мы находим:
$y\left(1 + \frac{3}{2}\right) + 25 = y\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} – \frac{5}{2} + 1\right) + 37 \Leftrightarrow$
$\frac{5}{2}y + 25 = -\frac{1}{4}y + 37 \Leftrightarrow \frac{5}{2}y + \frac{1}{4}y = 37 - 25 \Leftrightarrow$
$\frac{11}{4}y = 12 \Leftrightarrow y = \frac{12 \cdot 4}{11} \Leftrightarrow y = \frac{48}{11}$

C) $4u – 4 = 7u – 6 \Leftrightarrow 6 – 4 = 7u – 4u \Leftrightarrow 2 = 3u \Leftrightarrow u = \frac{2}{3}$

Задача 2 Решите уравнение:
A) $7(3x – 6) + 5(x - 3) - 2(x - 7) = 5$
B) $(x -3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)^2$
C) $(x + 1)^3 – (x - 1)^3 = 6(x^2 + x + 1)$

Решение:

A) $21x - 42 + 5x - 15 - 2x + 14 = 5\Leftrightarrow$
$21x + 5x - 2x = 5 + 42 + 15 - 14 \Leftrightarrow$
$24x = 48 \Leftrightarrow x = 2$

B) $x^2 + 4x - 3x - 12 - 6x + 4 = x^2 - 8x + 16 \Leftrightarrow$
$x^2 - 5x – x^2 + 8x = 16 + 12 – 4 \Leftrightarrow$
$3x = 24 \Leftrightarrow x = 8$

C) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 6x^2 + 6x + 6 \Leftrightarrow$
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – x^3 + 3x^2 + 1 = 6x^2 + 6x + 6 \Leftrightarrow$
$2 = 6x + 6 \Leftrightarrow 6x = -4 \Leftrightarrow x = -\frac{2}{3}$

Задача 3 Решите уравнение:
A) $\frac{5x-4}{2} = \frac{0,5x+1}{3}$
B) $1 –\left[\frac{x-3}{5}\right] = \frac{-3x+3}{3}$
C) $\frac{x+1}{3} – \frac{2x+5}{2} = -3$
D) $\frac{3(x-1)}{2} + \frac{2(x+2)}{4} = \frac{3x+4,5}{5}$

Решение:

A) $\frac{5x-4}{2} – \frac{0,5x+1}{3} \Leftrightarrow$
$3(5x - 4) = 2(0,5x + 1) \Leftrightarrow$
$15x - 12 = x + 2 \Leftrightarrow$
$15x – x = 12 + 2\Leftrightarrow$
$14x = 14 \Leftrightarrow x = 1$

B) $1 – \left[\frac{x-3}{5}\right] = \frac{3(1-x)}{3}\Leftrightarrow$
$1 –\left[\frac{x-3}{5}\right] = 1 – x \Leftrightarrow$
$-x + 3 = - 5x \Leftrightarrow$
$5x – x = - 3 \Leftrightarrow$
$x = -\frac{3}{4}$

C) $\frac{2(x+1)-3(2x+5)}{6} = - 3 \Leftrightarrow$
$\frac{2x+2-6x-15}{6} = - 3 \Leftrightarrow$
$-4x - 13 = -18 \Leftrightarrow$
$-4x = -18 + 13 \Leftrightarrow$
$-4x = -5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}$

D) После нахождения и сокращения общего знаменателя, который для 2, 4 и 5 есть 20
$\frac{3(x-1)}{2} + \frac{2(x+2)}{4} = \frac{3x+4,5}{5} \Leftrightarrow$
$30(x - 1) + 10(x + 2) = 4(3x + 4,5) \Leftrightarrow$
$30x - 30 + 10x + 20 = 12x + 18 \Leftrightarrow$
$40x - 12x = 18 + 10 \Leftrightarrow$
$28x = 28 \Leftrightarrow x = 1$

Задача 4 Докажите, что любое значение неизвестной величины является корнем уравнения:
A) $7x - 13 = - 13 + 7x$
B) $\left(\frac{1}{2} – x\right)^2 – \left(\frac{1}{2} + x\right)^2 = -2x$
C) $3x - 3x = 26 - 2(7 + 6)$
D) $\frac{-3x+4x^2}{5} = (0,8x - 0,6)x$

Решение: Для простого уравнения с неизвестной величиной $x$ любое x является решением, если уравнение сокращается к следующему эквивалентному уравнению 0.x = 0 или это преображается в identity a = a. Действительно, слева любое значение x, умножаемое на ноль, даст ноль, т.e. правая сторона или значение x не влияет на правую или левую сторону уравнения.

A) $7x - 7x = -13 + 13 \Leftrightarrow 0 \cdot x = 0 \Leftrightarrow$ любое $x$ есть решением.

B) $\frac{1}{4} - x + x^2 –\left(\frac{1}{4}+ x + x^2\right) = - 2x \Leftrightarrow$
$\frac{1}{4} - x + x^2 -\frac{1}{4} – x – x^2 = - 2x \Leftrightarrow$
$-2x = -2x \Leftrightarrow$
$-2x + 2x = 0 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 0 \Leftrightarrow$ любое x является решением.

C) $0\cdot x = 26 - 2 \cdot 13 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 26 – 26 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 0 \Leftrightarrow$ любое $x$ является решением.

D) $-3x + 4x^2 = 5(0,8x - 0,6)x \Leftrightarrow$
$-3x + 4x^2 = (4x - 3)x \Leftrightarrow$
$-3x + 4x^2 = 4x^2 - 3x$
Поэтому любое x является решением.

Задача 5 Докажите, что уравнение не имеет корней:
A) $0 \cdot x = 34$
B) $5 - 3x = 7 - 3x$
C) $\frac{x-3}{4} = \frac{x+5}{4}$
D) $2(3x - 1) – 3(2x + 1) = 6$

Решение:

A) Для левой части мы получим значение 0 для всех $х$, а на правой стороне 34, то есть число, отличное от 0. Поэтому не существует такого $х$, чтобы получить истинное численное равенство;

B) $5 - 3x = 7 - 3x \Leftrightarrow 3x - 3x = 7 - 5 \Leftrightarrow 0 \cdot x = 2 \Leftrightarrow 0 = 2$, что невозможно для любого $x$

C) $\frac{x-3}{4} = \frac{x+5}{4} \Leftrightarrow x - 3 = x + 5 \Leftrightarrow x – x = 5 + 3 \Leftrightarrow 0 = 8 \Rightarrow$ нет решения;

D) $2(3x - 1) - 3(2x + 1) = 6 \Leftrightarrow 6x - 2 - 6x - 3 = 6 \Leftrightarrow 0 \cdot x = 6 + 5 \Leftrightarrow 0 = 11$ нет решения.

Задача 6 Решите уравнение:
A) $2x^2 - 3(1 – x)(x + 2) + (x - 4)(1 - 5x) + 58 = 0$
B) $3(x + 1)^2 – (3x + 5)x = x + 3$
C) $x^2 – (x - 1)(x + 1) = 4$
D) $(x - 1)(x^2 + x + 1) = (x - 1)^3 + 3x(x - 1)$
E) $(3x - 1)^2 – x(15x + 7) = x(x + 1)\cdot (x - 1) – (x + 2)^3$

Решение:

A) $2x^2 - 3(x + 2 – x^2 - 2x) + x - 5x^2 - 4 + 20x + 58 = 0 \Leftrightarrow$
$2x^2 - 3x - 6 + 3x^2 + 6x + x - 5x^2 - 4 + 20x + 58 = 0 \Leftrightarrow$
$0 \cdot x^2 + 24x + 48 = 0 \Leftrightarrow$
$24x = - 48 \Leftrightarrow x = -2$

B) $3(x^2 + 2x + 1) - 3x^2 - 5x = 3x^2 + 6x + 3 - 3x^2 -5x = x + 3 \Leftrightarrow$
$(3 - 3)x^2 + (6 - 5) \cdot x – x = 3 - 3 \Leftrightarrow$
$0 = 0 \Rightarrow$ любое x есть решением

C) $x^2 – (x^2 -1) = 4 \Leftrightarrow$
$x^2 – x^2 + 1 = 4 \Leftrightarrow$
$0 = 3 \Rightarrow$ нет решения

D) $x^3 + x^2 + x – x^2 – x - 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 3x^2 - 3x \Leftrightarrow$
$0 = 0 \Rightarrow$ любое x есть решением

E) $9x^2 - 6x + 1 - 15x^2 - 7x = x^3 –x^2 + x^2 – x – x^3 - 6x^2 - 12x - 8 \Leftrightarrow$
$0 = 9 \Rightarrow$ нет решения

Задача 7 Решите уравнение:
A) $\frac{6x-1}{5} - \frac{1-2x}{2} = \frac{12x+49}{10}$
B) $\frac{x-3}{2} + \frac{2x-2}{4} = \frac{7x-6}{3}$

Решение:

A)После нахождения и сокращения общего знаменателя, мы получаем:
$12x - 2 - 5 +10x = 12x + 49 \Leftrightarrow$
$22x - 12x = 49 + 7 \Leftrightarrow$
$10x = 56 \Leftrightarrow x = 5,6$

B) $\frac{x-3}{2} + \frac{2x-2}{4} = \frac{7x-6}{3} \Leftrightarrow$
$\frac{x-3+x-1}{2} = \frac{7x-6}{3} \Leftrightarrow$
$3(2x - 4) = 2(7x - 6) \Leftrightarrow$
$6x -12 = 14x - 12 \Leftrightarrow$
$8x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Задача 8 Дана функция $f(x) = x + 4$. Решите уравнение:
$\frac{3f(x-2)}{f(0)} + 4 = f(2x + 1)$

Решение:

Мы вычисляем $f(0), f(x -2), f(2x +1)$. То есть, $f(0) = 0 + 4 = 4$;
$f(x - 2) = x - 2 + 4 = x + 2$;
$f(2x + 1) = 2x + 1 + 4 = 2x + 5$. Тогда уравнение принимает такой вид
$\frac{3(x+2)}{4} + 4 = 2x + 5 \Leftrightarrow$
$3(x + 2) +16 = 4(2x + 5) \Leftrightarrow$
$3x + 6 +16 = 8x + 20 \Leftrightarrow$
$22 - 20 = 8x - 3x \Leftrightarrow$
$2 = 5x \Leftrightarrow x = 0,4$

Задача 9 Решите уравнение:
$(2x - 1)^2 – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x)^3$

Решение:

$(2x - 1)^2 – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x)^3 \Leftrightarrow$
$4x^2 - 4x + 1 -10x^2 – x = x – x^3 - 8 + 12x - 6x^2 + x^3 \Leftrightarrow$
$18x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Задача 10 Решите уравнение:
$(2x + 3)^2 –x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1)^2 + 4x^3 - 1$

Решение:

$(2x + 3)^2 – x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1)^2 + 4x^3 -1 \Leftrightarrow
4x^2 + 12x + 9 – x(1 - 4x^2) = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^3 - 1 \Leftrightarrow$
$12x + 9 – x + 4x^3 = - 4x + 4x^3 \Leftrightarrow$
$15x = -9 \Leftrightarrow x = -\frac{3}{5}$

Задача 11 Решите уравнение:
$(2x - 1)^3 + 2x(2x - 3)\cdot(3 - 2x) – (3x - 1)^2 = 3x^2 - 2$

Решение:

Открываем скобки, используя формулы для умножения:
$8x^3 - 3(2x)^2\cdot1 + 3\cdot2x(1)^2 – 1^3 - 2x(2x - 3)^2 – (9x^2 - 6x + 1) = 3x^2 - 2 \Leftrightarrow$
$8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 - 2x(4x^2 - 12x + 9) - 9x^2 + 6x - 1 = 3x^2 - 2 \Leftrightarrow$
$8x^3 - 21x^2 + 12x - 8x^3 + 24x^2 - 9x = 3x^2 \Leftrightarrow$
$3x^2 + 3x = 3x^2 \Leftrightarrow$
$3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Задача 12 Решите уравнение:
$\left(2x - \frac{1}{2}\right)^2 – (2x - 3)(2x + 3) = x + \frac{1}{4}$

Решение:

Используя формулы для умножения, открываем скобки и получаем:
$4x^2 - 2x + \frac{1}{4} – (4x - 9) = x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow$
$4x^2 - 2x + \frac{1}{4} - 4x^2 + 9 = x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow$
$9 = x + 2x \Leftrightarrow$
$9 = 3x \Leftrightarrow x = 3$

Задача 13 Докажите, что уравнения эквивалентны:
A) $\frac{x-5}{2} + \frac{x-1}{8} = \frac{1,5x-10}{4}$ и $\frac{x+6}{2} – \frac{5,5-0,5x}{3} = 1,5$
B) $x – \frac{8x+7}{6} + \frac{x}{3} = -1.\left(\frac{1}{6}\right)$ и $2x – \frac{6-x}{3} - 2\left(\frac{1}{3}\right)x = -2$

Решение:

A) Для первого уравнения получаем:
$4(x - 5) + x - 1 = 2(1,5x - 10) \Leftrightarrow$
$4x - 20 + x - 1 = 3x - 20 \Leftrightarrow$
$5x – 3x = - 20 + 21 \Leftrightarrow$
$2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$,
для второго уравнения получаем
$3(x + 6) - 2(5,5 - 0,5y) = 6 \cdot 1,5 \Leftrightarrow$
$3x + 18 - 11 + x = 9 \Leftrightarrow$
$4y = 9 - 7 \Leftrightarrow$
$x = \frac{2}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ Поэтому, уравнения являются эквивалентными (равными).

B) Aналогично A), попробуйте решить это самостоятельно

Задача 14 Решите уравнение:
A) $(2x + 1)^2 – x(1 - 2x)(1 + 2x) = (2x - 1)^2 + 4x^3 - 3$
B) $(2x - 1)^2 + (x - 2)^3 = x^2(x - 2) + 8x - 7$
C) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) + x(1 – x)(1 + x) = x - 4$
D) $\frac{8x+5}{4} – \frac{1}{2}\left[2 – \frac{3-x}{3}\right] = 2x + \frac{5}{6}$
E) $\frac{x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x-\frac{1}{3}\left[1 - \frac{3 - 24x}{8}\right]$
F) $\frac{x}{5}- \left[\frac{(2x - 3)^2}{3}\right] = \frac{1}{5}\left[ 5 - \frac{(20x - 43x)}{3}\right]$

Решение:

A) $4x^2 + 4x + 1 – x(1 - 4x^2) = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^3 - 3 \Leftrightarrow$
$4x – x + 4x^3 = -4x + 4x^3 -3 \Leftrightarrow$
$3x + 4x = -3 \Leftrightarrow$
$7x = - 3 \Leftrightarrow x = -\frac{3}{7}$

B) $4x^2 - 4x + 1 + x^3 - 3x^2\cdot2 + 3x\cdot2^2 - 8 = x^3 -2x^2 + 8x - 7 \Leftrightarrow$
$4x^2 - 6x^2 - 4x + 1 + 12x - 8 = - 2x^2 + 8x -7 \Leftrightarrow$
$-2x^2 + 8x - 7 = - 2x^2 + 8x - 7 \Leftrightarrow$
$0 = 0 \Rightarrow$ любое x есть решением;

C) $x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + 4x + 8 + x(1 – x^2) = x - 4 \Leftrightarrow$
$x^3 + 8 + x – x^3 = x - 4 \Leftrightarrow$
$8 = -4$, что невозможно. Поэтому, уравнение не имеет решения;

D) $\frac{8x + 5}{4} - 1 + \frac{3 - x}{6} = 2x + \frac{5}{6} \Leftrightarrow$
$3(8x + 5) - 12 + 2(3 – x) = 24x + 2\cdot5 \Leftrightarrow$
$24x + 15 - 12 + 6 - 2x = 24x + 10 \Leftrightarrow$
$-2x = 10 - 9 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}$

E) $\frac{x}{3}-\frac{x + 3}{4} = x - \frac{1}{3} + \frac{3 - 24x}{24} \Leftrightarrow$
$8x - 6(x + 3) = 24x - 8 + 3 - 24x \Leftrightarrow$
$8x - 6x - 18 = -5 \Leftrightarrow$
$2x = 18 - 5 \Leftrightarrow$
$2x = 13 \Leftrightarrow x = 6,5$

F) $\frac{x}{5}-\left[\frac{2x - 3}{3}\right]^2 = 1-\frac{20x^2 - 43x}{15} \Leftrightarrow$
$3x - 5(4x^2 -12x + 9) = 15 - 20x^2 + 43x \Leftrightarrow$
$3x - 20x^2 + 60x - 45 = 15 - 20x^2 + 43x \Leftrightarrow$
$63x - 43x = 15 + 45 \Leftrightarrow$
$20x = 60 \Leftrightarrow x = 3$