Как строить графики квадратичных функций (Парабол)?

Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются "координатными осями", и нужна единица измерения.

У точки в этой системе есть две координаты.
M(x, y): M это название точки, x это абсцисса и она измеряется по Ox, а y это ордината и мерится по Oy.
Две координаты отображают расстояние от точки до двух осей.

Если мы рассмотрим функцию f: A -> B (где A - область определения, B - область значений функции), тогда точку на графике данной функции можно представить в форме P(x, f(x)).

Пример
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
If x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) ∈ Gf (где Gf это график данной функции).

Квадратичная функция

Стандартная форма: f(x) = ax² + bx + c

Вершинная форма: $f(x)=(a+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$
где Δ = b² - 4ac

Если a > 0, то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет выпуклая парабола, вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Если a < 0, то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет вогнутая парабола, вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется "осью симметрии".
Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x, то вибираем их симметричными относительно $-\frac{b}{2a}$.
При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.

|. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0), потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox, мы должны решить уравнение f(x)=0. Мы получаем уравнение a² + bx + c = 0.

Решение уравнения зависит от знака Δ = b² - 4ac.

Иммем следующие варианты:

1) Δ < 0,
тогда у уравнения нет решений в R (множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox. Форма графика будет:

или

2) Δ = 0,
тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика будет:

или

3) Δ > 0,
тогда у уравнения два разных решения.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x¹ и Ox. Форма графика будет:

или

||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y), потому что расстояние от Oy равно 0. Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

В случае квадратичной функции,
f(0) = a×0² + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции

f: R → R
f(x) = ax² + bx + c

1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x.

2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac{b}{2a}$.

или

4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox,решая уравнение f(x)=0 и записываем корни x₁ и x₂ в таблице.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac{b}{2a}$. Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для x, но они должны быть симметричны $-\frac{b}{2a}$.

5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.

Пример 1
f: R → R
f(x) = x² - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b² - 4×a×c = (-2)² - 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

2. f(0) = -3
Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2.
f(2) = -3

$x_1=\frac{2+4}{2}=3$

Мы нашли точки:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

График будет иметь вид:

Пример 2
f: R → R
f(x) = -x² - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b² - 4×a×c = (-2)² - 4×(-1)×8 = 36
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x² - 2x + 8 = 0
Δ = 36
x₁ = 2 и x₂ = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Пример 3
f: R → R
f(x) = x² - 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b² - 4×a×c = (-4)² - 4×1×4 = 0
$-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x² - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x₁ = x₂ = $-\frac{b}{2a}$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Пример 4
f: R → R
f(x) = -x² + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b² - 4×a×c = 4² - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x² + 4x - 5 = 0, Δ < 0
У этого уравнения нет решений. Мы выбрали симметричные значения вокруг 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.

Пример 5
f: [0; +∞) → R
f(x) = x² - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b² - 4×a×c = (-2)² - 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-4$

2. f(0) = -3
f(2) = -3 симметричное 0 значение относительно 1 равно 2)

3. f(x) = 0 ⇒ x² - 2x - 3 = 0, Δ = 16
x₁ = -1 ∉ [0; ∞)
x₂ = 3

A(0; -3)
V(1; -4)
B(2; -3)
C(3; 0)