Решение задач с помощью уравнений

Текстовая задача описывает ситуацию словами и спрашивает о каком-то числе: цене, возрасте, расстоянии. Алгебра решает её в два этапа. Сначала условие переводят на язык уравнений, затем уравнение решают. Как решать уравнения, рассказано в уроке Решение линейных уравнений. Эта страница — о том, как перевести условие в уравнение: именно здесь обычно и возникают трудности.

Главная идея алгебры проста: искомое число получает имя, обычно $x$, и мы записываем всё, что о нём сказано в задаче, так, будто оно уже известно. Остальное сделает уравнение.

На этой странице: Как решать текстовую задачу · Перевод на язык алгебры · Задачи на числа · Части целого · Возраст · Раздел и сравнение · Отношения · Движение · Отрицательные ответы · Типичные ошибки

Как решать текстовую задачу

1. Выберите неизвестное. Решите, что нужно найти, и обозначьте это буквой: «Пусть $x$ — цена часов в рублях». Запишите это предложение.
2. Выразите остальные величины через $x$. Каждая величина в задаче должна быть либо числом, либо выражением с $x$.
3. Составьте уравнение. Найдите два выражения, которые по условию равны, и поставьте между ними знак равенства.
4. Решите уравнение.
5. Проверьте и запишите ответ. Проверяйте ответ по условию задачи, а не только по своему уравнению, и отвечайте на заданный вопрос, с единицами измерения.

Пример. Человека спросили, сколько он заплатил за часы. Он ответил: «Если умножить цену на 4, прибавить 7000, а затем вычесть 5000, получится 22 000 рублей». Сколько стоили часы?

Решение: Пусть цена равна $x$ рублей. Переведём ответ по частям:

Слова	Алгебра
цена	$x$
умножить цену на 4	${4x}$
прибавить 7000	${4x+7000}$
затем вычесть 5000	${4x+7000-5000}$
получится 22 000	${4x+7000-5000=22\,000}$

Теперь решим уравнение:

${{4x+2000}={22\,000}}$, откуда ${4x=20\,000}$ и ${x=5000}$

Проверка по условию: ${4\cdot 5000=20\,000}$, затем ${20\,000+7000=27\,000}$, затем ${27\,000-5000=22\,000}$ ✓

Ответ: часы стоили 5000 рублей.

Перевод условия на язык алгебры

Эти выражения встречаются постоянно. Здесь $x$ — неизвестное число.

Слова	Алгебра
на 7 больше числа, число, увеличенное на 7	${x+7}$
на 7 меньше числа, число, уменьшенное на 7	${x-7}$
7 минус число	${7-x}$
удвоенное число, вдвое больше числа	${2x}$
число, умноженное на 3, плюс 10	${3x+10}$
сумма числа и 10, умноженная на 3	${3(x+10)}$
половина числа	${\frac{x}{2}}$
две трети числа	${\frac{2x}{3}}$
число, делённое на 12	${\frac{x}{12}}$
есть, равно, получится, будет, составляет	$=$
$A$ на 20 больше $B$, $A$ превышает $B$ на 20	${A=B+20}$
три последовательных натуральных числа	$x$, ${x+1}$, ${x+2}$

«На 7 меньше числа» — это ${x-7}$, а не ${7-x}$: берём число и отнимаем от него 7. При вычитании и делении порядок важен, поэтому читайте такие выражения внимательно.

Несколько величин — одна буква

Во многих задачах говорится о двух или более неизвестных величинах. Если известно, как они связаны, все их можно записать с помощью одной буквы:

В задаче сказано	Запишите величины как
сумма двух чисел равна 48	$x$ и ${48-x}$
два числа отличаются на 40	$x$ и ${x+40}$
у Бориса втрое больше, чем у Ани	$x$ у Ани и ${3x}$ у Бориса
две величины относятся как ${9:7}$	${9x}$ и ${7x}$

Обозначьте буквой ту величину, через которую описаны остальные; обычно это наименьшая из них. Так удаётся избежать дробей: если у Ани $x$, то у Бориса ${3x}$, а если через $x$ обозначить сумму Бориса, у Ани получится ${\frac{x}{3}}$.

Задачи на числа

В этих задачах неизвестное — просто число, а в условии сказано, что с ним делают.

Пример 1. Если к числу прибавить его половину и из суммы вычесть 20, получится четверть этого числа. Найдите число.

Решение: Пусть число равно $x$. Его половина равна ${\frac{x}{2}}$, а четверть — ${\frac{x}{4}}$, поэтому

${{x+\frac{x}{2}-20}={\frac{x}{4}}}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

${{4x+2x-80}={x}}$, откуда ${5x=80}$ и ${x=16}$

Проверка: ${16+8-20=4}$, а четверть числа 16 равна 4 ✓

Пример 2. Разделите 48 на две части так, чтобы меньшая часть, делённая на 4, плюс бо́льшая часть, делённая на 6, давали 9.

Решение: Пусть меньшая часть равна $x$. Сумма частей равна 48, поэтому бо́льшая часть равна ${48-x}$:

${{\frac{x}{4}+\frac{48-x}{6}}={9}}$

Умножим на 12:

${{3x+2(48-x)}={108}}$

${{3x+96-2x}={108}}$, откуда ${x=12}$

Части равны 12 и 36. Проверка: ${{\frac{12}{4}+\frac{36}{6}}={3+6}={9}}$ ✓

Решите сами. Откройте задачу, чтобы увидеть решение.

1. Если число разделить на 12, то частное, само число и 12 в сумме дают 64. Найдите число.

Пусть число равно $x$: ${{\frac{x}{12}+x+12}={64}}$. Умножим на 12: ${{x+12x+144}={768}}$, откуда ${13x=624}$ и ${x=48}$.

Проверка: ${4+48+12=64}$ ✓

2. Число настолько меньше 500, насколько его пятая часть больше 40. Найдите число.

Пусть число равно $x$. Оно меньше 500 на ${500-x}$, а его пятая часть больше 40 на ${\frac{x}{5}-40}$, поэтому

${{500-x}={\frac{x}{5}-40}}$

Умножим на 5: ${{2500-5x}={x-200}}$, откуда ${2700=6x}$ и ${x=450}$.

Проверка: ${500-450=50}$ и ${90-40=50}$ ✓

3. Шестая часть числа на 20 больше его восьмой части. Найдите число.

${{\frac{x}{6}-\frac{x}{8}}={20}}$. Умножим на 24: ${4x-3x=480}$, откуда ${x=480}$.

Проверка: ${80-60=20}$ ✓

4. Четверть числа на 96 больше его пятой части. Найдите число.

${{\frac{x}{4}-\frac{x}{5}}={96}}$. Умножим на 20: ${5x-4x=1920}$, откуда ${x=1920}$.

Проверка: ${480-384=96}$ ✓

5. Треть, четверть и две седьмых числа в сумме дают 73. Найдите число.

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{2x}{7}}={73}}$. Умножим на 84: ${28x+21x+24x}={73\cdot 84}$, откуда ${73x=73\cdot 84}$ и ${x=84}$.

Проверка: ${28+21+24=73}$ ✓

6. Если к числу прибавить 10, то три пятых суммы равны 66. Найдите число.

${{\frac{3}{5}(x+10)}={66}}$. Умножим на 5 и разделим на 3: ${x+10=110}$, откуда ${x=100}$.

Проверка: ${\frac{3}{5}\cdot 110=66}$ ✓

7. Если к числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, получится то же, что при делении 7392 на 462. Найдите число.

Сначала вычислим известную часть: ${{7392:462}={16}}$. Тогда ${{\frac{x+720}{125}}={16}}$, откуда ${x+720=2000}$ и ${x=1280}$.

Проверка: ${\frac{2000}{125}=16}$ ✓

8. Разделите 68 на две части так, чтобы разность числа 84 и бо́льшей части была втрое больше разности числа 40 и меньшей части.

Пусть бо́льшая часть равна $x$; меньшая равна ${68-x}$:

${84-x}={3\left(40-(68-x)\right)}$

${{84-x}={3x-84}}$, откуда ${168=4x}$ и ${x=42}$

Части равны 42 и 26. Проверка: ${84-42=42}$ и ${3(40-26)=42}$ ✓

9. Разделите 36 на три части так, чтобы половина первой части, треть второй и четверть третьей были равны.

Обозначим это общее значение через $x$. Тогда части равны ${2x}$, ${3x}$ и ${4x}$, откуда ${2x+3x+4x=36}$, ${9x=36}$ и ${x=4}$.

Части равны 8, 12 и 16. Проверка: половина 8, треть 12 и четверть 16 равны 4 ✓

Части целого

Если в задаче говорится о долях целого, обозначьте через $x$ целое. Части, выраженные через $x$, в сумме дают $x$.

Пример. Трое наследников делят наследство. Первый получает на 100 000 рублей меньше половины наследства, второй — на 80 000 рублей меньше трети, а третий — на 60 000 рублей меньше четверти. Каково наследство?

Решение: Пусть наследство равно $x$ рублей. Три доли равны

${\frac{x}{2}-100\,000}$, ${\frac{x}{3}-80\,000}$ и ${\frac{x}{4}-60\,000}$

и вместе составляют всё наследство:

${\frac{x}{2}-100\,000}+{\frac{x}{3}-80\,000}+{\frac{x}{4}-60\,000}={x}$

Умножим на 12:

${6x-1\,200\,000}+{4x-960\,000}+{3x-720\,000}={12x}$

${13x-2\,880\,000}={12x}$, откуда ${x=2\,880\,000}$

Наследство равно 2 880 000 рублей, а доли — 1 340 000, 880 000 и 660 000 рублей. Проверка: ${1\,340\,000+880\,000+660\,000}={2\,880\,000}$ ✓

Решите сами.

10. Треть, четверть и пятая часть некоторой суммы денег вместе составляют 9400 рублей. Какова эта сумма?

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}}={9400}}$. Умножим на 60: ${20x+15x+12x}={564\,000}$, откуда ${47x=564\,000}$ и ${x=12\,000}$.

Сумма равна 12 000 рублей. Проверка: ${4000+3000+2400=9400}$ ✓

11. Иван прожил треть жизни в Москве, четверть — в Казани, а остальные 20 лет — в Новосибирске. Сколько ему лет?

Пусть Ивану $x$ лет: ${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+20}={x}}$. Умножим на 12: ${{4x+3x+240}={12x}}$, откуда ${240=5x}$ и ${x=48}$.

Ивану 48 лет. Проверка: ${16+12+20=48}$ ✓

12. Столб стоит в пруду. Пятая часть его длины находится в грунте, три седьмых — в воде, а над водой выступает 13 дм. Какова длина столба?

Пусть длина столба $x$ дм: ${{\frac{x}{5}+\frac{3x}{7}+13}={x}}$. Умножим на 35: ${{7x+15x+455}={35x}}$, откуда ${455=13x}$ и ${x=35}$.

Длина столба 35 дм, т. е. 3,5 м. Проверка: ${7+15+13=35}$ ✓

13. В саду три четверти деревьев — яблони, десятая часть — груши, а остальные — вишни, которых на 20 больше, чем восьмая часть всех деревьев. Сколько деревьев в саду?

Пусть в саду $x$ деревьев. Вишен ${x-\frac{3x}{4}-\frac{x}{10}}={\frac{3x}{20}}$, поэтому

${{\frac{3x}{20}}={\frac{x}{8}+20}}$

Умножим на 40: ${6x=5x+800}$, откуда ${x=800}$.

Проверка: 600 яблонь, 80 груш и 120 вишен, и ${\frac{800}{8}+20=120}$ ✓

14. Четверо детей делят наследство. Первый получает на 20 000 рублей больше четверти наследства, второй — на 34 000 больше пятой части, третий — на 30 000 больше шестой части, а четвёртый — на 40 000 больше восьмой части. Каково наследство?

Пусть оно равно $x$ рублей. Четыре доли составляют всё наследство:

${\frac{x}{4}+20\,000}+{\frac{x}{5}+34\,000}+{\frac{x}{6}+30\,000}+{\frac{x}{8}+40\,000}={x}$

Умножим на 120:

${30x+2\,400\,000}+{24x+4\,080\,000}+{20x+3\,600\,000}+{15x+4\,800\,000}={120x}$

${89x+14\,880\,000}={120x}$, откуда ${14\,880\,000=31x}$ и ${x=480\,000}$

Наследство равно 480 000 рублей. Доли — 140 000, 130 000, 110 000 и 100 000 рублей, всего 480 000 рублей ✓

15. Потратив на 10 000 рублей больше трети месячной зарплаты, Лиза оставила на 3500 рублей больше половины зарплаты. Какова её зарплата?

Пусть зарплата равна $x$ рублей. Лиза потратила ${\frac{x}{3}+10\,000}$, поэтому

${x-\left(\frac{x}{3}+10\,000\right)}={\frac{x}{2}+3500}$

Умножим на 6: ${6x-2x-60\,000}={3x+21\,000}$, откуда ${x=81\,000}$.

Зарплата Лизы — 81 000 рублей. Проверка: она потратила ${27\,000+10\,000=37\,000}$, и у неё осталось ${81\,000-37\,000=44\,000}$, что равно ${40\,500+3500}$ ✓

16. Из полного бака с водой через течь вытекла треть воды. Затем отлили 21 литр, и бак оказался заполнен наполовину. Сколько литров вмещает бак?

Пусть он вмещает $x$ литров: ${{x-\frac{x}{3}-21}={\frac{x}{2}}}$. Умножим на 6: ${{6x-2x-126}={3x}}$, откуда ${x=126}$.

Бак вмещает 126 литров. Проверка: ${126-42-21=63}$ — это половина от 126 ✓

17. В школе половина учеников и ещё 36 человек приходят пешком, восьмая часть учеников и ещё 6 человек приезжают на велосипеде, а остальные, которых пятая часть всех учеников, приезжают на автобусе. Сколько учеников в школе?

Пусть в школе $x$ учеников. Три группы составляют всю школу:

${\frac{x}{2}+36}+{\frac{x}{8}+6}+{\frac{x}{5}}={x}$

Умножим на 40: ${20x+1440}+{5x+240}+{8x}={40x}$, откуда ${{33x+1680}={40x}}$, ${1680=7x}$ и ${x=240}$.

В школе 240 учеников. Проверка: 156 приходят пешком, 36 приезжают на велосипеде и 48 — на автобусе, ${156+36+48=240}$ ✓

18. Пакет ореховой смеси содержит орехи, изюм и шоколадные капли. Орехи весят на 10 г больше двух третей всего пакета, изюм — на 4,5 г меньше шестой части пакета, а шоколадные капли — на 2 г меньше седьмой части орехов. Сколько весит пакет?

Пусть пакет весит $x$ граммов. Орехи весят ${\frac{2x}{3}+10}$, изюм ${\frac{x}{6}-4{,}5}$, а шоколадные капли

${\frac{1}{7}\left(\frac{2x}{3}+10\right)-2}={\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}$

Три части составляют весь пакет:

${\frac{2x}{3}+10}+{\frac{x}{6}-4{,}5}+{\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}={x}$

Умножим на 42:

${28x+420}+{7x-189}+{4x+60-84}={42x}$

${{39x+207}={42x}}$, откуда ${207=3x}$ и ${x=69}$

Пакет весит 69 г: 56 г орехов, 7 г изюма и 6 г шоколадных капель. Проверка: ${56+7+6=69}$ ✓

Задачи на возраст

Обозначьте через $x$ возраст одного человека, обычно младшего, и выразите через него остальные возрасты. Все становятся старше одинаково: через 5 лет каждый возраст увеличится на 5.

Пример. Шестеро братьев и сестёр родились с интервалом в 4 года, и старший втрое старше младшего. Сколько лет каждому?

Решение: Пусть младшему $x$ лет. Возрасты равны

$x$, ${x+4}$, ${x+8}$, ${x+12}$, ${x+16}$, ${x+20}$

Старший втрое старше младшего:

${{x+20}={3x}}$, откуда ${20=2x}$ и ${x=10}$

Им 10, 14, 18, 22, 26 и 30 лет. Проверка: ${30=3\cdot 10}$ ✓

Решите сами.

19. Дедушка вдвое старше папы, а папа втрое старше Саши. Вместе им 140 лет. Сколько лет каждому?

Пусть Саше $x$ лет. Тогда папе ${3x}$, а дедушке ${2\cdot 3x=6x}$:

${{x+3x+6x}={140}}$, откуда ${10x=140}$ и ${x=14}$

Саше 14 лет, папе 42, дедушке 84. Проверка: ${14+42+84=140}$ ✓

20. Мама на 30 лет старше дочери. Через 5 лет она будет втрое старше дочери. Сколько им лет сейчас?

Пусть дочери $x$ лет; маме ${x+30}$. Через 5 лет им будет ${x+5}$ и ${x+35}$:

${{x+35}={3(x+5)}}$

${{x+35}={3x+15}}$, откуда ${20=2x}$ и ${x=10}$

Дочери 10 лет, маме 40. Проверка: через 5 лет им будет 15 и 45, и ${45=3\cdot 15}$ ✓

Раздел и сравнение величин

Если величины описаны через сравнение друг с другом («на 15 больше», «столько же, сколько две другие вместе»), обозначьте буквой ту величину, через которую выражены остальные, и выразите остальные по очереди.

Пример 1. Для школьного праздника приготовили 146 литров фруктового пунша из апельсинового сока, яблочного сока и воды. Яблочного сока на 15 литров больше, чем апельсинового, а воды столько же, сколько обоих соков вместе. Сколько литров каждого?

Решение: Пусть апельсинового сока $x$ литров. Тогда яблочного ${x+15}$ литров, а воды

${x+(x+15)}={2x+15}$

Всего получается 146 литров:

${x+(x+15)+(2x+15)}={146}$

${{4x+30}={146}}$, откуда ${4x=116}$ и ${x=29}$

Апельсинового сока 29 литров, яблочного 44 литра, воды 73 литра. Проверка: ${29+44+73=146}$ и ${29+44=73}$ ✓

Пример 2. Бабушка разделила деньги между четырьмя внуками. Третий получил на 900 рублей больше четвёртого, второй — на 1200 рублей больше третьего, а первый — на 1800 рублей больше второго. Всего она раздала на 600 рублей больше, чем семикратная сумма, которую получил четвёртый. Сколько денег раздала бабушка?

Решение: Пусть четвёртый внук получил $x$ рублей. Тогда третий получил ${x+900}$, второй ${x+2100}$, а первый ${x+3900}$, всего ${4x+6900}$. В задаче вся сумма описана ещё одним способом — как ${7x+600}$. Эти выражения равны:

${{4x+6900}={7x+600}}$, откуда ${6300=3x}$ и ${x=2100}$

Внуки получили 6000, 4200, 3000 и 2100 рублей, так что бабушка раздала 15 300 рублей. Проверка: ${7\cdot 2100+600=15\,300}$ ✓

Решите сами.

21. Четверо друзей купили парусную лодку за 475 500 рублей. Борис заплатил втрое больше Ани, Вика — столько же, сколько Аня и Борис вместе, а Гена — столько же, сколько Борис и Вика вместе. Сколько заплатил каждый?

Пусть Аня заплатила $x$ рублей. Тогда Борис заплатил ${3x}$, Вика ${x+3x=4x}$, а Гена ${3x+4x=7x}$:

${{x+3x+4x+7x}={475\,500}}$, откуда ${15x=475\,500}$ и ${x=31\,700}$

Аня заплатила 31 700 рублей, Борис 95 100, Вика 126 800, Гена 221 900. Проверка: ${31\,700+95\,100}+{126\,800+221\,900}={475\,500}$ ✓

22. Женя купил велосипед, шлем и замок за 36 000 рублей. Шлем стоил вдвое дороже замка, а велосипед — вдвое дороже шлема и замка вместе. Сколько стоила каждая покупка?

Пусть замок стоил $x$ рублей. Шлем стоил ${2x}$, а велосипед ${2(x+2x)=6x}$:

${{x+2x+6x}={36\,000}}$, откуда ${9x=36\,000}$ и ${x=4000}$

Замок стоил 4000 рублей, шлем 8000, велосипед 24 000. Проверка: ${4000+8000+24\,000=36\,000}$ ✓

23. У фермера было два одинаковых по численности стада овец. После того как из первого стада продали 39 овец, а из второго 93, в первом стаде стало вдвое больше овец, чем во втором. Сколько овец было в каждом стаде?

Пусть в каждом стаде было $x$ овец:

${{x-39}={2(x-93)}}$

${{x-39}={2x-186}}$, откуда ${x=147}$

В каждом стаде было 147 овец. Проверка: ${147-39=108}$, ${147-93=54}$ и ${108=2\cdot 54}$ ✓

24. В первом баке втрое больше воды, чем во втором. После того как из каждого бака отлили по 4 литра, в первом стало вчетверо больше воды, чем во втором. Сколько воды было в каждом баке?

Пусть во втором баке было $x$ литров; в первом ${3x}$:

${{3x-4}={4(x-4)}}$

${{3x-4}={4x-16}}$, откуда ${x=12}$

В баках было 36 и 12 литров. Проверка: после переливания в них 32 и 8 литров, и ${32=4\cdot 8}$ ✓

25. Лёва купил краску за 9400 рублей. 7 литров он израсходовал, а четверть остатка продал соседу за 2000 рублей по той же цене за литр, по которой покупал. Сколько литров краски он купил?

Пусть Лёва купил $x$ литров. Литр стоил ${\frac{9400}{x}}$ рублей, а продал он ${\frac{x-7}{4}}$ литров за 2000 рублей:

${{\frac{x-7}{4}\cdot\frac{9400}{x}}={2000}}$

Умножим на ${4x}$: ${{9400(x-7)}={8000x}}$, откуда ${9400x-65\,800}={8000x}$, ${1400x=65\,800}$ и ${x=47}$.

Он купил 47 литров по 200 рублей за литр. Проверка: он продал ${\frac{47-7}{4}=10}$ литров за ${10\cdot 200=2000}$ рублей ✓

26. Владелец магазина каждый год забирает из дела 5000 рублей на жизнь. В конце каждого года, после того как эти 5000 рублей изъяты, оставшиеся в деле деньги увеличиваются на треть. Через три года деньги удвоились. С какой суммы начиналось дело?

Пусть вначале было $x$ рублей. Каждый год изымают 5000, а остаток умножается на ${\frac{4}{3}}$:

через 1 год: ${\frac{4}{3}(x-5000)}={\frac{4x-20\,000}{3}}$

через 2 года: ${\frac{4}{3}\left(\frac{4x-20\,000}{3}-5000\right)}={\frac{16x-140\,000}{9}}$

через 3 года: ${\frac{4}{3}\left(\frac{16x-140\,000}{9}-5000\right)}={\frac{64x-740\,000}{27}}$

Это вдвое больше начальной суммы: ${{\frac{64x-740\,000}{27}}={2x}}$, откуда ${64x-740\,000}={54x}$, ${10x=740\,000}$ и ${x=74\,000}$.

Дело начиналось с 74 000 рублей. Проверка по годам:

${74\,000-5000=69\,000}$ и ${69\,000\cdot\frac{4}{3}=92\,000}$

${92\,000-5000=87\,000}$ и ${87\,000\cdot\frac{4}{3}=116\,000}$

${116\,000-5000=111\,000}$ и ${111\,000\cdot\frac{4}{3}=148\,000}$, что равно ${2\cdot 74\,000}$ ✓

Задачи на отношения

Если две величины относятся как ${a:b}$, запишите их как ${ax}$ и ${bx}$, где $x$ — величина одной части. Если в задаче дано отношение двух выражений, запишите его как равенство двух дробей и перемножьте крест-накрест. Оба приёма объяснены в уроке отношения и пропорции.

Пример 1. Разделите премию в 200 000 рублей на две части в отношении ${9:7}$.

Решение: Пусть части равны ${9x}$ и ${7x}$ рублей:

${{9x+7x}={200\,000}}$, откуда ${16x=200\,000}$ и ${x=12\,500}$

Части равны ${9\cdot 12\,500=112\,500}$ и ${7\cdot 12\,500=87\,500}$ рублей. Проверка: ${112\,500+87\,500=200\,000}$ ✓

Пример 2. Два числа относятся как ${2:3}$. Если к каждому из них прибавить 4, отношение станет равным ${5:7}$. Найдите эти числа.

Решение: Пусть числа равны ${2x}$ и ${3x}$. После прибавления 4 к каждому

${{\frac{2x+4}{3x+4}}={\frac{5}{7}}}$

Перемножим крест-накрест:

${{7(2x+4)}={5(3x+4)}}$

${{14x+28}={15x+20}}$, откуда ${x=8}$

Числа равны 16 и 24. Проверка: ${{\frac{16+4}{24+4}}={\frac{20}{28}}={\frac{5}{7}}}$ ✓

Решите сами.

27. Два числа отличаются на 40 и относятся как ${6:5}$. Найдите их.

Пусть числа равны ${6x}$ и ${5x}$: ${6x-5x=40}$, откуда ${x=40}$.

Числа равны 240 и 200. Проверка: ${240-200=40}$ и ${\frac{240}{200}=\frac{6}{5}}$ ✓

28. Отношение числа к его утроенному значению, увеличенному на 12, равно ${2:9}$. Найдите число.

${{\frac{x}{3x+12}}={\frac{2}{9}}}$. Перемножим крест-накрест: ${{9x}={2(3x+12)}}$, откуда ${9x=6x+24}$, ${3x=24}$ и ${x=8}$.

Проверка: ${{\frac{8}{3\cdot 8+12}}={\frac{8}{36}}={\frac{2}{9}}}$ ✓

29. Какое число нужно прибавить и к 36, и к 52, чтобы суммы относились как ${3:4}$?

${{\frac{36+x}{52+x}}={\frac{3}{4}}}$. Перемножим крест-накрест: ${{4(36+x)}={3(52+x)}}$, откуда ${{144+4x}={156+3x}}$ и ${x=12}$.

Проверка: ${\frac{48}{64}=\frac{3}{4}}$ ✓

30. Разделите 49 на две части так, чтобы бо́льшая часть, увеличенная на 6, и меньшая часть, уменьшенная на 11, относились как ${9:2}$.

Пусть бо́льшая часть равна $x$. Меньшая часть равна ${49-x}$, а меньшая часть, уменьшенная на 11, равна ${38-x}$:

${{\frac{x+6}{38-x}}={\frac{9}{2}}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, откуда ${11x=330}$ и ${x=30}$

Части равны 30 и 19. Проверка: ${{\frac{30+6}{19-11}}={\frac{36}{8}}={\frac{9}{2}}}$ ✓

31. Два куска ткани с одинаковой ценой за метр стоят 5000 и 6500 рублей. Если бы каждый кусок был на 10 метров длиннее, их длины относились бы как ${5:6}$. Какова длина каждого куска?

Цена метра одинакова, поэтому длины относятся так же, как цены: ${{5000:6500}={10:13}}$. Пусть длины равны ${10x}$ и ${13x}$ метров:

${{\frac{10x+10}{13x+10}}={\frac{5}{6}}}$

${6(10x+10)}={5(13x+10)}$

${{60x+60}={65x+50}}$, откуда ${10=5x}$ и ${x=2}$

Длины кусков 20 м и 26 м. Проверка: ${{\frac{20+10}{26+10}}={\frac{30}{36}}={\frac{5}{6}}}$ ✓

32. Четыре города A, B, C и D расположены в этом порядке вдоль прямой дороги, от A до D 34 км. Расстояния AB и CD относятся как ${2:3}$, а четверть AB плюс половина CD втрое больше BC. Найдите AB, BC и CD.

Пусть ${AB=2x}$ и ${CD=3x}$. Тогда ${BC=34-5x}$, и

${{\frac{2x}{4}+\frac{3x}{2}}={3(34-5x)}}$

${{2x}={102-15x}}$, откуда ${17x=102}$ и ${x=6}$

AB = 12 км, BC = 4 км, CD = 18 км. Проверка: ${12+4+18=34}$, и ${3+9=12}$, что равно ${3\cdot 4}$ ✓

Задачи на движение

В задачах на движение используется одна формула: расстояние = скорость × время. Небольшая таблица со строкой для каждого участника помогает выразить расстояния через неизвестное.

Пример. Грузовик выезжает со склада со скоростью 60 км/ч. Через час с того же склада вслед за ним выезжает легковой автомобиль со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов автомобиль догонит грузовик?

Решение: Пусть автомобиль едет $t$ часов. Грузовик выехал на час раньше, поэтому он в пути ${t+1}$ часов.

Когда автомобиль догонит грузовик, они проедут одинаковое расстояние:

${{75t}={60(t+1)}}$

${{75t}={60t+60}}$, откуда ${15t=60}$ и ${t=4}$

Автомобиль догонит грузовик через 4 часа, в 300 км от склада. Проверка: ${75\cdot 4=300}$ и ${60\cdot 5=300}$ ✓

Решите сами.

33. Группа туристов отправляется по длинной тропе и проходит 20 км в день. Через пять дней по той же тропе из того же места выходит вторая группа, которая проходит 25 км в день. Через сколько дней вторая группа догонит первую?

Пусть вторая группа идёт $t$ дней; к этому моменту первая группа идёт ${t+5}$ дней:

${{25t}={20(t+5)}}$

${{25t}={20t+100}}$, откуда ${5t=100}$ и ${t=20}$

Вторая группа догонит первую через 20 дней, в 500 км от начала тропы. Проверка: ${25\cdot 20=500}$ и ${20\cdot 25=500}$ ✓

34. Корабль и лодка плывут вниз по реке. Когда корабль проходит под мостом, лодка находится на 13 км ниже по течению. Пока корабль проходит 5 км, лодка проходит 3 км. На каком расстоянии ниже моста корабль догонит лодку?

Пусть они встретятся в $d$ км ниже моста. От моста корабль пройдёт $d$ км, а лодка ${d-13}$ км за то же время. Скорость корабля относится к скорости лодки как 5 к 3, поэтому

${{\frac{d}{5}}={\frac{d-13}{3}}}$

${{3d}={5d-65}}$, откуда ${65=2d}$ и ${d=32{,}5}$

Корабль догонит лодку в 32,5 км ниже моста. Проверка: к этому моменту лодка пройдёт ${32{,}5-13=19{,}5}$ км, и ${\frac{32{,}5}{19{,}5}=\frac{5}{3}}$ ✓

Отрицательные и нулевые ответы

Если в задаче есть величины противоположных направлений, например прибыль и убыток или север и юг, одно направление считайте положительным, а другое — отрицательным. Тогда отрицательный ответ означает противоположное направление.

Пример 1. В январе магазин получил прибыль или понёс убыток. В феврале он получил прибыль 35 000 рублей, а в марте понёс убыток 6000 рублей. За три месяца прибыль составила 20 000 рублей. Что было в январе?

Решение: Будем считать прибыль положительной, а убыток отрицательным, и пусть $x$ — результат января:

${{x+35\,000-6000}={20\,000}}$, откуда ${x=-9000}$

Знак минус означает убыток: в январе магазин потерял 9000 рублей. Проверка: ${-9000+35\,000-6000=20\,000}$ ✓

Пример 2. Корабль прошёл 4° на север, затем 13° на юг, затем 17° на север, затем 19° на юг и оказался на 11° южной широты. Откуда он отправился?

Решение: Будем считать север положительным направлением, а юг отрицательным, и пусть $x$ — начальная широта:

${{x+4-13+17-19}={-11}}$

${{x-11}={-11}}$, откуда ${x=0}$

Широта 0 — это экватор: корабль отправился с экватора.

Если ответ не может быть верным — например, отрицательное число людей, дробное число овец или возраст 300 лет, — не записывайте его в ответ. Вернитесь к уравнению: скорее всего, какое-то выражение переведено неправильно.

Типичные ошибки

Неверно	Верно
✗ «На 7 меньше $x$» записано как ${7-x}$	✓ ${x-7}$
✗ Два числа с суммой 48 записаны как $x$ и ${x+48}$	✓ $x$ и ${48-x}$
✗ Скорость в км/ч умножена на время в минутах	✓ Используйте одни и те же единицы: 20 минут — это ${\frac{1}{3}}$ часа
✗ Решение остановлено на ${x=12\,500}$, хотя спрашивали части ${9x}$ и ${7x}$	✓ Отвечайте на заданный вопрос: части равны 112 500 и 87 500 рублей
✗ Ответ проверен только по своему уравнению	✓ Проверяйте по условию задачи: если уравнение составлено неверно, ответ всё равно ему удовлетворяет

Ещё об уравнениях: Решение линейных уравнений · Задачи с линейными уравнениями · Линейные уравнения с параметром · Уравнения с модулем