Функции и пределы

Функции встречаются в математике на каждом шагу: площадь квадрата зависит от его стороны, цена поездки на такси зависит от расстояния, высота брошенного мяча зависит от времени. В этом уроке мы ответим на четыре вопроса: что такое функция, как записывают функции, какие числа можно подставлять в функцию (её область определения) и какие значения она принимает (её множество значений). В конце мы познакомимся с понятием предела: что происходит с функцией вблизи точки, даже такой, в которой она не определена.

На этой странице: Что такое функция · Обозначение функции · Область определения · Множество значений · Кусочно-заданные функции · Первое знакомство с пределами · Решённые задачи · Упражнения

Что такое функция?

Переменную $x$ называют независимой переменной, или аргументом: её значение мы выбираем сами. Переменная $y$ — зависимая: её значение зависит от выбранного $x.$ Функцию можно представить как машину: на вход подаём число $x,$ а на выходе получаем одно число $y.$

Пример. Равенство ${y=4x+1}$ задаёт $y$ как функцию $x\text{:}$ каждое $x$ умножаем на 4 и прибавляем 1, и всегда получаем ровно одно число.

$x$	${y=4x+1}$
$2$	$9$
$1$	$5$
$0$	$1$
${-\frac14}$	$0$
$\sqrt3$	${4\sqrt3+1}$

Зависимость, которая не является функцией. В равенстве ${y=\pm\sqrt x}$ величина $y$ не является функцией $x,$ потому что каждому положительному $x$ соответствуют два значения $y.$ При ${x=4}$ получаем ${y=\pm\sqrt4},$ то есть ${y=2}$ и ${y=-2}.$ Ту же зависимость можно записать как ${y^2=x}.$

Если оставить только неотрицательный корень, ${y=\sqrt x},$ то снова получится функция: при ${x=4}$ она даёт только ${y=2}.$

График функции и вертикальные прямые

График функции — это множество всех точек $(x;\,y)$ координатной плоскости, у которых $x$ принадлежит области определения, а $y$ — значение функции при этом $x.$ Каждому $x$ соответствует только одно $y,$ поэтому вертикальная прямая пересекает график функции не более одного раза:

Прямая ${x=4}$ пересекает график ${y=\sqrt x}$ один раз, а кривую ${y^2=x}$ — два раза.

Заметьте: определение не запрещает разным значениям $x$ давать одно и то же $y.$ Для ${y=x^2}$ и ${x=2},$ и ${x=-2}$ дают ${y=4},$ и всё же ${y=x^2}$ — функция: каждому $x$ соответствует одно $y.$ (Горизонтальная прямая может пересекать график много раз.)

Обозначение функции

Функции обозначают буквами. Если функция обозначена буквой $f,$ то пишут

$$y=f(x)$$

и читают «$y$ равно $f$ от $x$». Выражение $f(x)$ — это значение функции $f$ в точке $x$. Поэтому вместо ${y=x^2}$ можно написать ${f(x)=x^2}\text{:}$ обе записи задают одну и ту же функцию.

Чаще всего используют букву $f,$ но функцию можно обозначить любой буквой или символом: ${y=F(x)},$ ${y=g(x)},$ ${y=h(x)},$ ${y=\varphi(x)}.$ Разные буквы удобны, когда мы работаем сразу с несколькими функциями.

Запись $f(x)$ не означает «$f$ умножить на $x$». Это число, которое функция $f$ даёт для входного значения $x.$

Как вычислить значение функции

Чтобы найти $f(a),$ заменим в формуле каждое $x$ на $a$ (в скобках) и упростим.

Пример 1. Пусть ${\varphi(x)=\frac{1}{x^3-1}}.$ Тогда

${\varphi\left(\sqrt[3]{7}\right)}={\frac{1}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^3-1}}={\frac{1}{7-1}}={\frac16}$

а $\varphi(1)$ не существует: после подстановки получаем ${\frac{1}{1^3-1}},$ и знаменатель равен 0. На 0 делить нельзя, поэтому функция $\varphi$ не определена при ${x=1}.$

Пример 2. Пусть ${F(x)=2x^2-1}.$ В скобки можно подставить число, другую букву или целое выражение:

${F(3)=2\cdot 3^2-1=17}$

${F(d)=2d^2-1}$

${F(t-1)}={2(t-1)^2-1}={2(t^2-2t+1)-1}={2t^2-4t+1}$

Пример 3. Буква, которой обозначен аргумент, роли не играет. Формулы

${g(c)=c^2-4c}$   и   ${g(x)=x^2-4x}$

задают одну и ту же функцию: «возвести число в квадрат и вычесть это число, умноженное на 4». Например, обе дают ${g(5)=25-20=5}.$

Область определения функции

Естественная область определения

Иногда область определения указывают вместе с формулой, например ${f(x)=x^2},$ ${0\le x\le 5}.$ Если функция задана формулой, а область определения не указана, то она состоит из всех действительных чисел, при которых формула имеет смысл и даёт действительное значение. Это естественная область определения функции. На практике из множества действительных чисел исключают:

• числа, при которых знаменатель равен 0;
• числа, при которых выражение под квадратным корнем (или корнем любой чётной степени) отрицательно.

Позже появятся и другие условия, например аргумент логарифма должен быть положительным. Области определения записывают с помощью промежутков: «все действительные числа, кроме 1» — это ${(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)}.$

Пример 4. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Знаменатель равен 0 при ${x=1},$ поэтому естественная область определения — все действительные числа, кроме 1: ${(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)}.$

Пример 5. ${y=\sqrt{x-2}}.$ Нужно ${x-2\ge 0},$ то есть ${x\ge 2}.$ Область определения — ${[2;\,+\infty)}.$ Число 2 в неё входит, потому что ${\sqrt0=0}.$

Пример 6. Дробь внутри дроби:

${h(x)=\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x-3}}}$

Внутренней дроби нужно ${x\ne 3}.$ У внешней дроби знаменатель должен быть отличен от 0: ${\frac{x-1}{x-3}\ne 0},$ то есть ${x\ne 1}.$ Значит, область определения

$$(-\infty;\,1)\cup(1;\,3)\cup(3;\,+\infty)$$

При таких $x$ можно упростить: ${h(x)=\frac{x-3}{x-1}}.$ Но упрощённая формула при ${x=3}$ даёт 0, а $h(3)$ не существует. Сначала найдите область определения, потом упрощайте.

Пример 7. ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}.$ Область определения — все действительные числа, кроме 2. При ${x\ne 2}$ дробь можно сократить:

${h(x)}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2,\quad x}\ne{2}$

Значит, график $h$ — это прямая ${y=x+2},$ из которой удалена точка $(2;\,4).$ Мы вернёмся к этой функции в разделе о пределах.

Множество значений функции

На графике область определения — это «тень» графика на оси $x,$ а множество значений — его «тень» на оси $y.$ Например, ${y=\sqrt{4-x^2}}$ — верхняя половина окружности с центром в начале координат и радиусом 2. Её область определения ${[-2;\,2]},$ а множество значений $[0;\,2].$

Чтобы найти множество значений по формуле, спросите себя: при каких $y$ уравнение ${f(x)=y}$ имеет решение $x$ из области определения?

Пример 8. ${f(x)=x^2}.$ Квадрат числа не бывает отрицательным, а любое число ${y\ge 0}$ является квадратом: ${y=\left(\sqrt y\right)^2}.$ Поэтому множество значений ${[0;\,+\infty)}.$

Пример 9. ${y=4x+1}.$ При любом $y$ уравнение ${4x+1=y}$ имеет решение ${x=\frac{y-1}{4}}.$ Множество значений — все действительные числа.

Пример 10. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Выразим $x$ через $y\text{:}$

${y(x-1)}={x+1\ \Rightarrow\ yx-y}={x+1\ \Rightarrow\ x(y-1)}={y+1}$

Если ${y\ne 1},$ то ${x=\frac{y+1}{y-1}},$ и такое $x$ никогда не равно 1 (из ${\frac{y+1}{y-1}=1}$ получилось бы ${y+1=y-1},$ что невозможно). Если ${y=1},$ уравнение принимает вид ${0=2}$ и решений не имеет. Значит, множество значений — все действительные числа, кроме 1: ${(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)}.$

Пример 11. Функция ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ из примера 7 равна ${x+2}$ при ${x\ne 2}.$ Любое число $y$ достигается при ${x=y-2},$ кроме ${y=4}\text{:}$ для него нужно ${x=2},$ а 2 не входит в область определения. Поэтому множество значений — все действительные числа, кроме 4: ${(-\infty;\,4)\cup(4;\,+\infty)}.$

Кусочно-заданные функции

Функция может задаваться разными формулами на разных частях области определения. Такую функцию называют кусочно-заданной. Самый известный пример — модуль числа:

$$|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{cases}$$

При ${x\ge 0}$ используем первую формулу: ${|5|=5}.$ При ${x\lt 0}$ — вторую: ${|{-3}|=-(-3)=3}.$ График состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. Область определения $|x|$ — все действительные числа, множество значений — ${[0;\,+\infty)}.$

Чтобы вычислить значение кусочно-заданной функции, сначала определите, какому условию удовлетворяет данное $x,$ и используйте только эту формулу. Подробнее о модуле: уравнения с модулем.

Первое знакомство с пределами

Вернёмся к функции ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ из примера 7. Значения $h(2)$ не существует: при ${x=2}$ и числитель, и знаменатель равны 0. Но мы можем вычислить $h(x)$ для чисел $x,$ близких к 2:

$x$	$h(x)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2$	не определено
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

Чем ближе $x$ к 2 (с любой стороны), тем ближе $h(x)$ к 4. Говорят, что предел $h(x)$ при $x,$ стремящемся к 2, равен 4, и пишут

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$$

На графике: когда $x$ приближается к 2 с любой стороны, точки графика приближаются к «выколотой» точке $(2;\,4),$ хотя сама точка $(2;\,4)$ графику не принадлежит. Предел описывает значения функции вблизи точки, а не в самой точке. Этот предел можно подтвердить упрощением: при ${x\ne 2}$ имеем ${h(x)=x+2},$ а ${x+2}$ приближается к ${2+2=4}.$

Подробно пределы разбираются в уроках Пределы (интуитивное введение) и Пределы и методы вычисления. О пределе последовательности рассказано в уроке Пределы последовательностей.

Решённые задачи

Задача 1. Какие из равенств задают $y$ как функцию $x?$ а) ${y=3x-5};$   б) ${y^2=x+1};$   в) ${y=x^2-1};$   г) ${x^2+y^2=25}$

Решение: а) Да: каждому $x$ соответствует одно число ${3x-5}.$ б) Нет: при ${x=3}$ получаем ${y^2=4},$ то есть ${y=2}$ или ${y=-2}.$ в) Да: каждому $x$ соответствует одно число ${x^2-1}.$ То, что ${x=1}$ и ${x=-1}$ дают одно и то же ${y=0},$ допустимо. г) Нет: при ${x=3}$ получаем ${y^2=16},$ то есть ${y=4}$ или ${y=-4}.$ Это окружность, и вертикальная прямая может пересечь её дважды.

Задача 2. Пусть ${f(x)=x^2-3x+2}.$ Найдите $f(0),$ ${f(-2)}$ и ${f(a+1)}.$

Решение:

${f(0)=0-0+2=2}$

${f(-2)}={(-2)^2-3\cdot(-2)+2}={4+6+2}={12}$

${f(a+1)}={(a+1)^2-3(a+1)+2}={a^2+2a+1-3a-3+2}={a^2-a}$

Задача 3. Найдите область определения функции ${f(x)=\frac{2x+1}{x^2-9}}.$

Решение: Знаменатель не должен равняться 0: ${x^2-9=0}$ при ${x=3}$ и ${x=-3}.$ Область определения

$$(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,3)\cup(3;\,+\infty)$$

Задача 4. Найдите область определения функции ${g(x)=\sqrt{6-2x}}.$

Решение: Нужно ${6-2x\ge 0},$ то есть ${2x\le 6},$ откуда ${x\le 3}.$ Область определения ${(-\infty;\,3]}.$

Задача 5. Найдите область определения функции ${h(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-1}}.$

Решение: Условий два: ${x+4\ge 0}$ (квадратный корень) и ${x-1\ne 0}$ (знаменатель). Значит, ${x\ge -4}$ и ${x\ne 1}.$ Область определения ${[-4;\,1)\cup(1;\,+\infty)}.$

Задача 6. Найдите множество значений функции а) ${f(x)=x^2+3};$   б) ${g(x)=2-\sqrt x}.$

Решение: а) ${x^2\ge 0},$ поэтому ${x^2+3\ge 3}.$ Любое ${y\ge 3}$ достигается: при ${x=\sqrt{y-3}}$ получаем ${f(x)=y}.$ Множество значений ${[3;\,+\infty)}.$
б) Область определения ${[0;\,+\infty)}.$ Корень $\sqrt x$ принимает все значения ${\ge 0},$ поэтому ${2-\sqrt x}$ принимает все значения ${\le 2}.$ Множество значений ${(-\infty;\,2]}.$

Задача 7. Найдите множество значений функции ${y=\frac{2x-1}{x+3}}.$

Решение: Область определения — все действительные числа, кроме ${-3}.$ Выразим $x$ через $y\text{:}$

${y(x+3)}={2x-1\ \Rightarrow\ yx+3y}={2x-1\ \Rightarrow\ x(y-2)}={-3y-1}$

Если ${y\ne 2},$ то ${x=\frac{3y+1}{2-y}}$ (оно никогда не равно ${-3}\text{:}$ из ${\frac{3y+1}{2-y}=-3}$ получаем ${1=-6}$). Если ${y=2},$ получаем ${0=-7}$ — решений нет. Множество значений — все действительные числа, кроме 2: ${(-\infty;\,2)\cup(2;\,+\infty)}.$

Задача 8. Найдите ${f(-3)},$ $f(1)$ и $f(2)$ для функции

$$f(x)=\begin{cases}2x+1, & x\lt 1\\ x^2, & x\ge 1\end{cases}$$

Решение: ${-3\lt 1},$ поэтому используем первую формулу: ${f(-3)}={2\cdot(-3)+1}={-5.}$ При ${x=1}$ выполняется условие ${x\ge 1},$ поэтому ${f(1)=1^2=1}.$ Наконец, ${f(2)=2^2=4}.$

Задача 9. Пусть ${f(x)=x^2}.$ Упростите ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ при ${h\ne 0}$ (здесь $h$ — число, а не функция).

Решение:

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(x+h)^2-x^2}{h}}={\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}={\frac{h(2x+h)}{h}}={2x+h}$

Когда $h$ стремится к 0, это выражение стремится к $2x.$ Этот предел — производная функции $x^2.$

Задача 10. Угадайте ${\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}}$ по таблице значений, а затем проверьте, упростив дробь.

Решение: При ${x=2{,}9};$ $2{,}99;$ $3{,}01;$ $3{,}1$ дробь равна соответственно $5{,}9;$ $5{,}99;$ $6{,}01;$ $6{,}1,$ значит, предел, по-видимому, равен 6. Проверка: при ${x\ne 3}$

${\frac{x^2-9}{x-3}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}}={x+3,}$   а   ${x+3}$ стремится к ${3+3=6}.$

Упражнения

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

1. Пусть ${f(x)=3x-7}.$ Найдите $f(2),$ ${f(-1)}$ и $f(0).$

${f(2)=-1},$ ${f(-1)=-10},$ ${f(0)=-7}.$

2. Пусть ${g(x)=x^2+x}.$ Найдите ${g(-3)}$ и ${g(t+1)}.$

${g(-3)=9-3=6}$ и ${g(t+1)}={(t+1)^2+(t+1)}={t^2+3t+2.}$

3. Является ли $y$ функцией $x,$ если ${x=y^2-1}?$

Нет. При ${x=3}$ получаем ${y^2=4},$ то есть ${y=2}$ или ${y=-2}\text{:}$ одному $x$ соответствуют два значения $y.$

4. Найдите область определения функции ${y=\frac{5}{x+4}}.$

Все действительные числа, кроме ${-4}\text{:}$ ${(-\infty;\,-4)\cup(-4;\,+\infty)}.$

5. Найдите область определения функции ${y=\sqrt{2x+6}}.$

${2x+6\ge 0},$ то есть ${x\ge -3}.$ Область определения ${[-3;\,+\infty)}.$

6. Найдите область определения функции ${y=\frac{x}{x^2-5x+6}}.$

${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}\ne{0,}$ поэтому область определения ${(-\infty;\,2)\cup(2;\,3)\cup(3;\,+\infty).}$

7. Найдите область определения функции ${y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}}.$

Для корня нужно ${x-1\ge 0},$ а для знаменателя ${\sqrt{x-1}\ne 0},$ поэтому ${x-1\gt 0}.$ Область определения ${(1;\,+\infty)}.$

8. Найдите множество значений функции ${y=4-x^2}.$

${x^2\ge 0},$ поэтому ${4-x^2\le 4},$ и любое ${y\le 4}$ достигается при ${x=\sqrt{4-y}}.$ Множество значений ${(-\infty;\,4]}.$

9. Найдите множество значений функции ${y=\frac{x}{x-2}}.$

Из ${y(x-2)=x}$ получаем ${x(y-1)=2y}.$ При ${y\ne 1}\text{:}$ ${x=\frac{2y}{y-1}}$ (никогда не равно 2, так как ${2y=2y-2}$ невозможно); при ${y=1}\text{:}$ ${0=2}$ — решений нет. Множество значений ${(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)}.$

10. Найдите ${f(-2)},$ $f(0)$ и $f(3),$ если $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\lt 0\\ x+1, & x\ge 0\end{cases}$

${f(-2)=(-2)^2=4},$ ${f(0)=0+1=1},$ ${f(3)=3+1=4}.$

11. Найдите ${\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}}.$

При ${x\ne 1}\text{:}$ ${\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={x+1,}$ а это выражение стремится к 2. Предел равен 2.

12. Пусть ${f(x)=2x+3}.$ Упростите ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ при ${h\ne 0}.$

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(2(x+h)+3)-(2x+3)}{h}}={\frac{2h}{h}}={2.}$

Следующий урок: Операции с функциями.