Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращённого умножения — это готовые результаты умножений, которые встречаются очень часто. Вместо того чтобы каждый раз умножать каждый член на каждый, мы сразу записываем ответ. Их изучают в 7 классе, а потом используют во всей алгебре. Формулы работают в обе стороны:

• слева направо, чтобы раскрыть скобки: ${{(x+3)^2}={x^2+6x+9}}$;
• справа налево, чтобы разложить многочлен на множители: ${{x^2-9}={(x-3)(x+3)}}$.

В формулах $a$ и $b$ могут быть любыми числами или выражениями, например $2x$, $5y^2$ или ${x+1}$.

Таблица формул

Название	Формула
Квадрат суммы	${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
Квадрат разности	${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
Разность квадратов	${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$
Куб суммы	${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
Куб разности	${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
Сумма кубов	${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Разность кубов	${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Каждая из этих формул доказывается перемножением скобок. Ниже показано, как это сделать и как применять каждую формулу.

Квадрат суммы и квадрат разности

Почему это так? Возвести в квадрат значит умножить выражение само на себя:

${(a+b)^2}={(a+b)(a+b)}={a^2+ab+ba+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

Два одинаковых члена $ab$ и $ba$ дают удвоенное произведение $2ab$. То же самое видно на рисунке: квадрат со стороной ${a+b}$ состоит из квадрата $a^2$, двух прямоугольников площадью $ab$ и квадрата $b^2$.

${(a+b)^2}={a^2+ab+ab+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

Квадрат разности вычисляется так же. Отличается только знак перед удвоенным произведением:

${(a-b)^2}={(a-b)(a-b)}={a^2-ab-ba+b^2}={a^2-2ab+b^2}$

Примеры

Пример 1. В ${(x+3)^2}$ первое выражение равно $x$, а второе равно $3$:

${(x+3)^2}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={x^2+6x+9}$

Пример 2. Если выражение является произведением, например $2a$, заключаем его в скобки, чтобы возвести в квадрат и число, и букву:

${(2a-5)^2}={(2a)^2-2\cdot 2a\cdot 5+5^2}={4a^2-20a+25}$

Пример 3.

${(3x+2y)^2}={(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2y+(2y)^2}={9x^2+12xy+4y^2}$

Пример 4. При возведении степени в квадрат показатель удваивается:

${(1-x^2)^2}={1^2-2\cdot 1\cdot x^2+(x^2)^2}={1-2x^2+x^4}$

Противоположные выражения имеют равные квадраты, поэтому ${{(b-a)^2}={(a-b)^2}}$ и ${{(-a-b)^2}={(a+b)^2}}$. Например, ${(-x-3)^2}={(x+3)^2}={x^2+6x+9}$.

Внимание: ${{(a+b)^2}\ne {a^2+b^2}}$. Не забывайте удвоенное произведение! Проверка на числах: ${(3+4)^2}=7^2=49$, а ${3^2+4^2}={9+16}=25$. Разность ${{49-25}=24}$ как раз равна ${2\cdot 3\cdot 4}$.

Устный счёт

Формулы помогают возводить в квадрат числа, близкие к круглым:

$51^2={(50+1)^2}={2500+100+1}=2601$

$99^2={(100-1)^2}={10\,000-200+1}=9801$

Разность квадратов

Если перемножить скобки, два средних члена взаимно уничтожаются:

${(a-b)(a+b)}={a^2+ab-ba-b^2}={a^2-b^2}$

Геометрически: вырежем из угла квадрата $a^2$ квадратик $b^2$. Оставшуюся часть разрежем на два прямоугольника и сложим из них один прямоугольник со сторонами ${a+b}$ и ${a-b}$.

${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$

Примеры

${(x-7)(x+7)}={x^2-7^2}={x^2-49}$

${(2y+1)(2y-1)}={(2y)^2-1^2}={4y^2-1}$

В обратную сторону формула раскладывает разность квадратов на множители:

${9a^2-25b^2}={(3a)^2-(5b)^2}={(3a-5b)(3a+5b)}$

И устный счёт: ${51\cdot 49}={(50+1)(50-1)}={2500-1}=2499$, ${102\cdot 98}={100^2-2^2}=9996$.

Внимание: для суммы квадратов ${a^2+b^2}$ такой формулы нет: на множители с действительными числами она не раскладывается. Поэтому ${x^2+9}$ так и остаётся. Сумму квадратов можно только выразить через квадрат суммы или разности: ${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={(a-b)^2+2ab}$.

Куб суммы и куб разности

Доказательство: умножим ${(a+b)^2}$ ещё раз на ${(a+b)}$:

${(a+b)^3}={(a^2+2ab+b^2)(a+b)}={a^3+a^2b+2a^2b}+{2ab^2+ab^2+b^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

Примеры

${(2x-1)^3}={(2x)^3-3\cdot(2x)^2\cdot 1}+{3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3}={8x^3-12x^2+6x-1}$

${(1+a^2)^3}={1+3\cdot a^2+3\cdot(a^2)^2+(a^2)^3}={1+3a^2+3a^4+a^6}$

Устно: $11^3={(10+1)^3}={1000+300+30+1}=1331$.

Внимание: ${{(a+b)^3}\ne {a^3+b^3}}$. Например, ${{(1+2)^3}=27}$, а ${{1^3+2^3}=9}$.

Сумма и разность кубов

Выражение ${a^2-ab+b^2}$ называется неполным квадратом разности: оно похоже на ${(a-b)^2}$, но средний член равен $ab$, а не $2ab$. Аналогично ${a^2+ab+b^2}$ называется неполным квадратом суммы. Как запомнить знаки:

• в первой скобке тот же знак, что и в левой части;
• средний член второй скобки имеет противоположный знак;
• последний знак всегда плюс.

Проверка умножением: все средние члены взаимно уничтожаются.

${(a+b)(a^2-ab+b^2)}={a^3-a^2b+ab^2}+{a^2b-ab^2+b^3}={a^3+b^3}$

Примеры

${x^3-8}={x^3-2^3}={(x-2)(x^2+2x+4)}$

${27a^3+1}={(3a)^3+1^3}={(3a+1)(9a^2-3a+1)}$

Неполные квадраты дальше на множители с действительными числами не раскладываются.

Обратное направление: разложение на множители

Часто нужно узнать формулу в данном многочлене. Трёхчлен вида ${a^2\pm 2ab+b^2}$ является полным квадратом. Как его распознать:

1. Два члена являются квадратами: ${x^2=(x)^2}$, ${9=3^2}$, ${4a^2=(2a)^2}$.
2. Третий член равен удвоенному произведению их оснований: ${{2\cdot x\cdot 3}=6x}$.
3. Знак удвоенного произведения и есть знак в скобке.

${x^2+6x+9}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={(x+3)^2}$

${25+20a+4a^2}={5^2+2\cdot 5\cdot 2a+(2a)^2}={(5+2a)^2}$

${4y^2-12y+9}={(2y)^2-2\cdot 2y\cdot 3+3^2}={(2y-3)^2}$

А ${x^2+5x+9}$ не является полным квадратом, потому что ${2\cdot x\cdot 3}=6x\ne 5x$.

Иногда формулу применяют несколько раз. Сначала выносим общий множитель за скобки, если он есть:

${2x^3-18x}={2x(x^2-9)}={2x(x-3)(x+3)}$

${x^4-16}={(x^2-4)(x^2+4)}={(x-2)(x+2)(x^2+4)}$

Ещё полезные формулы

${(a+b+c)^2}={a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$

${(a-b-c)^2}={a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc}$

${(a+b)^2+(a-b)^2}={2(a^2+b^2)}$

${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$

${(a-b)^2}={(a+b)^2-4ab}$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}$

${a^4-b^4}={(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}$

С их помощью можно найти значение выражения, не находя самих чисел. Если ${{a+b}=5}$ и ${ab=6}$, то

${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={25-12}=13$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}={125-90}=35$

Формулы для степени n

Разность квадратов и разность кубов являются частными случаями формулы, верной для любого натурального ${n\ge 2}$:

${a^n-b^n}={(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

Во второй скобке степени $a$ убывают, степени $b$ возрастают, а все знаки плюс. Например:

${a^4-b^4}={(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)}$

Если $n$ нечётное, сумма ${a^n+b^n}$ делится на ${a+b}$ (знаки во второй скобке чередуются):

${a^n+b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

${a^5+b^5}={(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)}$

Если $n$ чётное, на ${a+b}$ делится разность ${a^n-b^n}$, а не сумма:

${a^n-b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-b^{n-1})}$

При чётном $n$ сумма ${a^n+b^n}$ на ${a+b}$ не делится. Например, ${a^2+b^2}$ вообще не раскладывается на множители.

Треугольник Паскаля

Коэффициенты в ${(a+b)^n}$ берутся из треугольника Паскаля. Каждая строка начинается и заканчивается единицей, а каждое другое число равно сумме двух чисел над ним:

Строка $1;\ 2;\ 1$ даёт ${(a+b)^2}$, строка $1;\ 3;\ 3;\ 1$ даёт ${(a+b)^3}$, а следующая строка даёт

${(a+b)^4}={a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$

Степени $a$ убывают от $n$ до 0, а степени $b$ возрастают от 0 до $n$. В ${(a-b)^n}$ знаки чередуются, начиная с плюса.

Частые ошибки

Неверно	Верно
✗ ${(a+b)^2}={a^2+b^2}$	✓ ${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
✗ ${(a-b)^2}={a^2-b^2}$	✓ ${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
✗ ${(x-3)^2}={x^2-6x-9}$	✓ ${(x-3)^2}={x^2-6x+9}$
✗ $(2x)^2=2x^2$	✓ $(2x)^2=4x^2$
✗ ${-(x-2)^2}={-x^2-4x+4}$	✓ ${-(x-2)^2}={-x^2+4x-4}$
✗ ${x^2+9}={(x-3)(x+3)}$	✓ ${x^2-9}={(x-3)(x+3)}$
✗ ${(a+b)^3}={a^3+b^3}$	✓ ${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

Самая надёжная проверка — подставить вместо букв небольшие числа, например ${x=1}$, и сравнить обе части.

Задачи с формулами сокращенного умножения

Задача 1. Решите уравнение ${{x^2-25}=0}$.

Решение: Левая часть является разностью квадратов: ${{x^2-25}={(x-5)(x+5)}}$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: ${{x-5}=0}$ или ${{x+5}=0}$. Уравнение имеет два корня: ${x_1=5}$ и ${x_2=-5}$.

Задача 2. Упростите выражение ${(a-b)^2}-{2(a-b)(a+b)}+{(a+b)^2}$.

Решение: Раскроем каждую часть:

${(a^2-2ab+b^2)}-{2(a^2-b^2)}+{(a^2+2ab+b^2)}={2a^2+2b^2-2a^2+2b^2}={4b^2}$

Быстрее: выражение имеет вид ${{A^2-2AB+B^2}={(A-B)^2}}$, где ${A={a-b}}$ и ${B={a+b}}$, поэтому оно равно ${((a-b)-(a+b))^2}={(-2b)^2}={4b^2}$.

Задача 3. Упростите выражение ${(x^2+2)^2}-{(x-2)(x+2)(x^2+4)}$.

Решение: Дважды применим разность квадратов: ${{(x-2)(x+2)}={x^2-4}}$ и ${(x^2-4)(x^2+4)}={x^4-16}$. Тогда

${(x^2+2)^2-(x^4-16)}={x^4+4x^2+4-x^4+16}={4x^2+20}$

Задача 4. Упростите выражение ${(x+2)^2-(x-2)^2}$.

Решение: ${(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)}=8x$. Ещё быстрее по формуле ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$, где ${a=x}$ и ${b=2}$, поэтому результат равен ${{4\cdot x\cdot 2}=8x}$.

Задача 5. Решите уравнение ${{(x+3)^2-(x-1)^2}=24}$.

Решение: ${(x^2+6x+9)-(x^2-2x+1)}=24$, т.е. ${{8x+8}=24}$, откуда ${x=2}$. Проверка: ${{5^2-1^2}=24}$.

Задача 6. Вычислите ${1001^2-999^2}$.

Решение: ${1001^2-999^2}={(1001-999)(1001+999)}={2\cdot 2000}=4000$.

Задача 7. Разложите на множители ${3x^3-12x}$.

Решение: ${3x^3-12x}={3x(x^2-4)}={3x(x-2)(x+2)}$.

Задача 8. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Решение: Два последовательных нечётных числа можно записать как ${2k-1}$ и ${2k+1}$. По формуле ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$ при ${a=2k}$ и ${b=1}$: ${(2k+1)^2-(2k-1)^2}={4\cdot 2k\cdot 1}=8k$, а $8k$ делится на 8. Например, ${7^2-5^2}=24={8\cdot 3}$.

Задачи для самостоятельного решения

Решите задачу, а затем откройте её, чтобы проверить ответ.

1. ${(x+5)^2}$

${x^2+10x+25}$

2. ${(3a-2b)^2}$

${(3a)^2-2\cdot 3a\cdot 2b+(2b)^2}={9a^2-12ab+4b^2}$

3. ${(2y-7)(2y+7)}$

${{(2y)^2-7^2}={4y^2-49}}$

4. Вычислите устно $49^2$

${(50-1)^2}={2500-100+1}=2401$

5. ${(a+2)^3}$

${a^3+3\cdot a^2\cdot 2+3\cdot a\cdot 2^2+2^3}={a^3+6a^2+12a+8}$

6. Разложите на множители ${16x^2-1}$

${(4x)^2-1^2}={(4x-1)(4x+1)}$

7. Разложите на множители ${x^2-14x+49}$

${x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2}={(x-7)^2}$

8. Разложите на множители ${8m^3-125}$

${(2m)^3-5^3}={(2m-5)(4m^2+10m+25)}$

9. Если ${{a-b}=3}$ и ${ab=10}$, найдите ${a^2+b^2}$

${a^2+b^2}={(a-b)^2+2ab}={9+20}=29$

10. Решите уравнение ${{(x-4)^2}=x^2}$

${{x^2-8x+16}=x^2}$, т.е. ${{-8x+16}=0}$ и ${x=2}$.