Решение линейных неравенств

Неравенство это выражение с <, >, ≤, или ≥. Например, 3x - 5 < 6 - 2x является неравенством. Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами.

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b, и c:
Принцип прибавления неравенств: Если a < b верно, тогда a + c < b + c также верно.
Принцип умножения для неравенств: Если a < b и c > 0 верно, тогда ac < bc также верно.
Если a < b и c < 0 верно, тогда ac > bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами.

Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x - 5 < 6 - 2x
b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Решение
3x - 5 < 6 - 2x Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 2x
5x - 5 < 6 Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 5
5x < 11 Используя принцип умножения для неравенств, умножаем или делим на 5
x < 11/5
Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x < 11/5}, или (-∞; 11/5). Изображение множества решений показано ниже.

Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y1 = 3x - 5 и y2 = 6 - 2x. Тогда отсюда видно, что для x < 2,2, или x < 11/5, график y1 находится ниже графика y2, или y1 < y2.

13 - 7x ≥ 10x - 4 вычитаем 10x
13 - 17x ≥ -4 вычитаем 13
-17x ≥ -17 Делим на 17 и меняем знак неравенства
x ≤ 1
Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и, или, тогда формируется двойное неравенство. Двойное неравенство, как
-3 < 2x + 5
и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым, потому что в нём использовано и. Запись -3 < 2x + 5 ≤ 7 является сокращением для предыдущего неравенства.
Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 < 2x + 5 ≤ 7. Постройте график множества решений.
Решение У нас есть

Множество решений есть {x| - 4 < x ≤ 1}, или (-4, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойное неравенство, как 2x - 5 ≤ -7 или называется разделённым, потому что оно содержит или. В отличие от некоторых соединённых неравенств, оно не может быть сокращено; поэтому, оно не может быть записано без или.

Пример 3 Решите 2x - 5 ≤ -7 или 2x - 5 > 1. Постройте график множества решений.
Решение У нас есть

-3 < 2x + 5 ≤ 7 Вычитаем 5
-8 < 2x ≤ 2 Делим на 2
-4 < x ≤ 1.
2x - 5 ≤ -7 или 2x - 5 > 1. Прибавляем 5
2x ≤ -2 или 2x > 6 Делим на 2
x ≤ -1 или x > 3.

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y1 = 2x - 5, y2 = -7, и y3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y1 ≤ y2 или y1 > y3.

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x| < a эквивалентно -a < x < a.
|x| > a эквивалентно x < -a или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x| < 3 эквивалентно -3 < x < 3;
|y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| < 5
b) |5 - 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2| < 5

-5 < 3x + 2 < 5 Вычитаем 2
-7 < 3x < 3 Делим на 3
-7/3 < x < 1
Множеством решением есть {x|-7/3 < x < 1}, или (-7/3, 1). График множества решений изображен ниже.

b) |5 - 2x| ≥ 1
|5 - 2x| ≤ -1 или 5 - 2x ≥ 1 Вычитаем 5
-2x ≤ -6 или -2x ≥ -4 Делим на -2 и меняем знак неравенства
x ≥ 3 или x ≤ 2
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] [3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Использование неравенств

Пример 5 Планы выплат. За выполнение малярных работ, Эрику может быть выплачена заработная плата одним из двух способов:
План A: \$250 плюс \$10 в час;
План B: $20 в час.
Предположим, что работа занимает n часов. Для каких значений n план B лучше для Эрика?

Решение

1. Понимание задачи. Предположим, что работа отнимет 20 часов. Тогда n = 20, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,20, или \$250 + \$200, или \$450. Его заработок согласно плану B составит \$20,20, или \$400. Это показывает, что план A лучше для Эрика, если он будет работать 20 часов. Подобным образом, если он будет работать 30 часов, тогда n = 30, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,30, или \$250 + \$300, или \$550. При плане B, он заработает \$20,30, или \$600, поэтому план B лучше в этом смысле. Чтобы определить все значения n, для которых план B является лучшим для Эрика, составим и решим неравенство.

2. Составление неравенства. Запишем это в виде неравенства.
Доход от плана B больше, чем доход от плана A.

20n > 250 + 10n

3. Решим неравенство:

20n > 250 + 10n Вычитаем 10n из двух сторон
10n > 250 Делим на 10 обе стороны
n > 25
4. Проверка. Для n = 25 выплаты согласно плану A составят: \$250 + \$10,25, или \$250 + \$250, или \$500, и выплаты согласно плану B составят \$20,25, или \$500. То есть, для работы длительностью менее 25 часов, доход одинаков для каждого плана. Согласно плану B выплаты больше для работы, которая занимает больше 30-и часов. Так как 30 > 25, это обеспечивает частичную проверку результата, но мы не можем проверить все значения n.
5. Вывод . Для значений, n больше, чем 25 часов, план B является лучшим.


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.