МенюСвойства непрерывных функций
- Математическое определение непрерывности функций
- Свойства непрерывных функций
- Непрерывность полиномов и рациональных функций
- Непрерывность сложной функции
- Теорема о промежуточной функции
Непрерывность функции становится очевидной из этого графика
Разрывная функция: если f(x) не определена в x = c
Разрывная функция: если f(x) имеет разрыв x = c.
Разрывная функция: не определена x = c.
Функция имеет различные функциональные и предельные значения в x =c.
- f(x) не определена в c
- Предел limx → c f(x) не существует.
- Значения f(x) и значения предела различны в точке c
Определение
Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке c если выполняются следующие условия
-f(c) определена
-limx → c f(x) существует
-limx → c f(x) = f(c)
- Если f(x) непрерывна во всех точках на интервале (a, b), тогда f(x) есть непрерывной на (a, b)
- Функция, являющаяся непрерывной на интервале (-∞; +∞) называется непрерывной функцией
Пример
- f(x) разрывается в x = 2 потому что f(2) не определена
По условию для g g(2) = 3
limx → 2 g(x) = limx → 2 (x2 - 4)/(x - 2) = limx → 2 (x + 2) = 4
g(x) разрывная потому что
limx → 2 g(x) ≠ g(2)
Пример
f(x) = x2 - 2x + 1
limx → c f(x) = limx → c (x2 - 2x + 1)
f(x) = c2 - 2c + 1
f(x) = f(c)
Так, f непрерывная в x = c
Tеорема 2.7.2
Полиномы являются непрерывными функциями
Если P есть полином и c есть любым действительным числом, тогда
limx → c p(x) = p(c)
Пример
Если c < 0
f(c) = -c
limx → c f(x) = limx → c |x| = -c
-x может быть сначала отрицательным, но так как он стремится к c, которое положительно или равно нулю, мы используем первую часть определения f(x), чтобы вычислить предел
TЕОРЕМА 2.7.3
Если функции f и g непрерывны в c тогда
- f + g есть непрерывной в c;
- f - g есть непрерывной в c;
- f.g есть непрерывной в c;
- f/g есть непрерывной в c если g(c) ≠ 0 и разрывной в c если g(c)=0
Докажите
Пусть f и g есть непрерывной функцией в числе c
limx → c f(x) = f(c)
limx → c g(x) = g(c)
limx → c [f(x).g(x)] = limx → c f(x).limx → c g(x) = f(c).g(c)
Пример
h(x) = (x2 - 9)/(x2 - 5x + 6) = f(x)/g(x)
h(x) будет непрерывной во всех точках c если g(c) ≠ 0
h(x) есть непрерывной везде, кроме точек x = 2 и x = 3
(a) F разрывна в x = a
(b) F разрывна в x = b
(c) F разрывна в x = a, b
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f(x) называется непрерывной слева в точке c если выполняются условия в левом столбце (см. ниже) и называется непрерывной справа в точке c если выполняются условия в правом столбце (см. ниже).
| f(c) определена | f(c) определена | |
| limx → c- f(x) существует | limx → c+ f(x) существует | |
| limx → c- f(x) = f(c) | limx → c+ f(x) = f(c) |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Говорят, что функция f(x) непрерывна на закрытом интервале [a, b] если выполняются следующие условия:
-f(x) есть непрерывной на [a, b];
-f(x) есть непрерывной справа в a;
-f(x) есть непрерывной слева в b.
Пример
Покажем, что f(x) непрерывна на [-3, 3]
f(x) = √9 - x2
для c in (-3, 3)
limx → c f(x) = limx → c √9 - x2 = √limx → c 9 - x2 = √9 - c2 = f(c)
Тогда f(x) есть непрерывной на (-3, 3)
Также
limx → 3- f(x) = limx → 3- √9 - x2 = √limx → 3- 9 - x2 = 0 = f(3) limx → 3+ f(x) = limx → 3+ √9 - x2 = √limx → 3+ 9 - x2 = 0 = f(3)
Тогда f(x) есть непрерывной на [-3, 3]
Теорема о промежуточной функции
Если f(x) есть непрерывной на закрытом интервале [a, b] и c есть любым числом f(x) и f(b) включительно, тогда существует, по крайней мере, одно число x на интервале [a, b] такое, что f(x) = c
TЕОРЕМА 2.7.10
Если f(x) есть непрерывной на [a, b], и если f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, тогда существует, по крайней мере, одно решение уравнения f(x) = 0 в интервале (a, b)
Пример
x3 - x - 1 = 0
f(1) = -1 f(2) = 5
Это уравнение не может быть решено разложением на множители, потому что левая часть не имеет простых множителей.
