Уравнения с модулями. Модули

Модуль (абсолютное значение) позитивного числа или нуля есть это число, а модуль отрицательного числа есть противоположное ему число, то есть

|a| = a если a ≥ = 0 and
|a| = -a если a < 0

Из определения понятно, что абсолютная величина любого рационального числа, отличного от нуля, есть положительное число. Поэтому противоположные числа имеюь равные модули. Рассмотрим следующие уравнения |ax + b| = c


Задача 1 Решите уравнения:
A) |x| = 5
B) |3x + 4| = 7
C) |1 / 3x + 4| = 0
D) |2 - 5x| = - 3
E) –|3x – 1| = - 11
F) |3x - 3(x - 1)| = 3

Решение:

Для решения этих уравнений мы будем использовать определение модуля рационального числа.

A) Если |x| = 5, тогда x = 5 или x = - 5, потому что модуль 5 и -5 есть 5.
Кроме того, больше нет других чисел с таким модулем;

B) Из |3x + 4| = 7 мы получаем, что 3x + 4 = 7 или 3x + 4 = -7
Из первого уравнения мы находим, что 3x = 7 - 4 <=> 3x = 3 <=> x = 1,
а их второго уравнения: 3x = - 7 - 4 <=> 3x = -11 <=> x = -11/3

C) |1/3x + 4| = 0 означает, что
1/3x + 4 = 0 <=>
1/3x = -4 <=> x = -12

D) |2 - 5x| = -3 не имеет решения, потому что из теории мы знаем, что не существует числа, модуль которого является отрицательным значением

E) -|3x – 1| = - 11 <=> |3x - 1| = 11,
отсюда 3x - 1 = 11 или 3x - 1 = -11
Из решения последних двух уравнений
x = 4 или x = -10/3

F) |3x - 3x + 3| = 3 <=>|3| = 3.
Поэтому любое x есть решением


Задача 2 Решите уравнения:
A) 3|5x|+ 4|5x| = 35
B) |2x|/3 + 3|2x|/2 = 1/2
C) 3.7|x| – 2.2|x| = 22.5
D) |(x + 1)/3| = 5

Решение:

A) 3|5x| + 4|5x| = 35 <=>
(3 + 4)|5x| = 35 <=>
7 |5x| = 35 <=>
|5x| = 35/7 <=> |5x| = 5
Из последнего уравнения мы получаем 5x = 5 или 5x = - 5.
И мы находим, что x = 1 или x = -1

B) |2x|/3 + 3|2x|/2 = 1/2 <=>
2|2x| + 9|2x| = 3 <=>
11|2x| = 3 равно <=> |2x| = 3/11
Поэтому 2x = 3/11 или 2x = - 3/11,
откуда x = 3/22 или x = - 3/22

C) 3.7|x| – 2,2|x| = 22.5 <=>
(3.7 - 2,2)|x| = 22.5 <=>
1.5|x| = 22.5 <=>
|x| = 22.5/1.5 <=> |x| = 15,
откуда x = 15 или x = - 15

D) |(x + 1)/3| = 5, отсюда (x + 1)/3 = 5 или (x + 1)/3 = -5.
Поэтому x + 1 = 15 <=> x = 14 или x + 1 = -15 <=> x = -16


Задача 3 Докажите, что уравнение не имеет решения:
A) -|(2x + 3)/14| = 5
B) |8x – 4(2x + 3)| = 15

Решение:

A) -|(2x + 3)/14| = 5 <=> |(2x + 3)/14| = -5
, что не имеет решения, потому что не существует числа с отрицательным модулем.

B) |8x - 4(2x + 3)| = 15 <=> |8x - 8x - 12| = 15 <=>
|-12| = 15 <=> 12 = 15, откуда видно, что это невозможно для любого x


Задача 4 Решите уравнение:
A) 2|x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|;
B) 3|x| – (x + 1)2 = 4|x| – (x2 -1) – 2(x - 5);
C) |-3 - 5x| = 3;
D) 2|x – 1| = 9 – |x – 1|;
E) |x| – (3 – x)/4 = (2x - 1)/8

Решение:

A) 2|x – 1| + |x -1| = 9 - 3 <=> (2 + 1)|x -1| = 6 <=>
3|x – 1| = 6 <=> |x - 1| = 2
Поэтому x - 1 = 2 или x - 1 = - 2,
откуда x = 3 или x = - 1

B) 3|x| – (x + 1)2 = 4|x| – (x2 - 1) - 2(x - 5)<=>
x2 - 1 + 2(x – 5) – (x + 1)2 = 4|x| – 3 |x| <=>
x2 - 1 + 2x - 10 – (x2 + 2x + 1) = (4 - 3)|x| <=>
x2 + 2x - 11 – x2 - 2x - 1 = |x| <=>
-12 = |x|, что не имеет решения;

C) Из |-3 - 5x| = 3 мы получаем -3 - 5x = 3 или -3 - 5x = - 3.
Поэтому -3 - 3 = 5x <=> x = - 6/5 или -3 + 3 = 5x <=>
0 = 5x <=> x = 0;

D) 2 |x – 1| = 9 – |x – 1| <=>
2 |x – 1| + |x – 1| = 9 <=>
(2 + 1)|x – 1| = 9 <=> 3|x – 1| = 9 <=>
|x – 1| = 3 мы получаем x - 1 = 3 или x - 1 = -3,
т.e. x = 4 или x = - 2

E) |x| = (2x - 1)/8 + (3 – x)/4 <=>
|x| = [2x - 1 +2(3 – x)]/8 <=>
|x| = 5/8, откуда x = 5/8 или x = -5/8


Задача 5 Решите уравнение:
A) |4 – |x|| = 2
B) |9 + |x|| = 5

Решение:

A) |4 – |x|| = 2 мы получаем 4 – |x| = 2 или 4 – |x| = -2
Мы находим: 4 - 2 = |x| <=>
|x| = 2 или 4 + 2 = |x| <=> |x| = 6
Поэтому, решениями есть x = 2, -2; 6, -6

B) |9 + |x|| = 5 мы получаем 9 + |x| = 5 или 9 + |x| = - 5
Находим, что |x| = -4 или |x| = -13, но для этих равенств нет решения.


Задача 6 Решите уравнение:
|(2x + 1)2 - 4x2 - 2| - 3|4x – 1| = - 6

Решение:

|(2x + 1)2 - 4x2 - 2| – 3|4x -1| = - 6 <=>
|4x2 + 4x + 1 - 4x2 - 2 | - 3|4x - 1| = - 6 <=>
|4x – 1| - 3|4x – 1| = - 6 <=> -2|4x – 1| = - 6 <=>
|4x – 1| = 3 <=> 4x - 1 = 3 or 4x - 1 = -3
Поэтому x = 1 или x = -1/2


Задача 7 Решите уравнение:
A) |2x – (3x + 2)| = 1
B) |x|/3 – 2|x|/2 = - 1
C) |3x – 1| = 2|3x – 1| - 2

Решение:

A) |2x – 3x – 2| = 1 <=> |-x – 2| = 1 <=>
-x - 2 = 1 или –x - 2 = -1
Из первого уравнения мы получаем -2 - 1 = x <=> x = -3,
а из второго: -2 + 1 = x <=> x = -1

B) |x|/3 – 2 |x|/2 = -1. После сокращений общего знаменателя мы получаем
2|x| – 3.2.|x| = - 6 <=>
2|x| - 6|x| = - 6 <=>
- 4|x| = -6 <=> |x| = 3/2 <=>
x = 3/2 или x = - 3/2

C) |3x – 1| = 2|3x – 1| – 2 <=>
2 = 2|3x – 1| – |3x – 1| <=>
2 = |3x – 1| <=>
3x - 1 = 2 или 3x - 1 = - 2,
откуда 3x = 3 <=> x = 1 или 3x = - 1 <=> x = - 1/3

Подробнее об уравнениях на страницах математического форума

Форум об уравнениях


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.