Уравнения с модулем

Модуль числа (его абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль положительного числа или нуля равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу:

${|a|=a}$ при ${a\ge 0}$,   и   ${|a|=-a}$ при ${a<0}$

Поэтому модуль любого числа, отличного от нуля, положителен, а противоположные числа имеют равные модули: ${|5|=|{-5}|=5}$. Отсюда правило для основного уравнения ${|X|=c}$, где $X$ — выражение с неизвестным:

Правая часть	Уравнение ${|X|=c}$ означает
${c>0}$	${X=c}$ или ${X=-c}$
${c=0}$	${X=0}$
${c<0}$	решений нет, потому что модуль не бывает отрицательным

Ниже — задачи с подробными решениями. Уравнения, в правой части которых есть параметр, разобраны в теме линейные уравнения с параметром.

Задача 1

Решите уравнение:

А) ${|x|=5}$   Б) ${|3x+4|=7}$   В) ${\left|\frac{1}{3}x+4\right|=0}$
Г) ${|2-5x|=-3}$   Д) ${-|3x-1|=-11}$   Е) ${|3x-3(x-1)|=3}$

Решение:

А) ${x=5}$ или ${x=-5}$: модуль и 5, и $-5$ равен 5, а других чисел с таким модулем нет.

Б) ${3x+4=7}$ или ${3x+4=-7}$. Из первого уравнения ${3x=3}$ и ${x=1}$, из второго ${3x=-11}$ и ${x=-\frac{11}{3}}$.

В) Модуль равен 0 только у числа 0, поэтому ${\frac{1}{3}x+4=0}$, ${\frac{1}{3}x=-4}$ и ${x=-12}$.

Г) Решений нет: правая часть отрицательна, а модуль не бывает отрицательным.

Д) Умножим на $-1$: ${|3x-1|=11}$. Тогда ${3x-1=11}$ или ${3x-1=-11}$, откуда ${x=4}$ или ${x=-\frac{10}{3}}$.

Е) Под знаком модуля ${3x-3x+3=3}$, т. е. уравнение имеет вид ${|3|=3}$, что верно при любом $x$. Любое число является решением.

Задача 2

Решите уравнение:

А) ${3|5x|+4|5x|=35}$   Б) ${{\frac{|2x|}{3}+\frac{3|2x|}{2}}={\frac{1}{2}}}$
В) ${3{,}7|x|-2{,}2|x|=22{,}5}$   Г) ${\left|\frac{x+1}{3}\right|=5}$

Решение:

А) Приведём подобные члены: ${7|5x|=35}$, т. е. ${|5x|=5}$. Тогда ${5x=5}$ или ${5x=-5}$, откуда ${x=1}$ или ${x=-1}$.

Б) Умножим на 6: ${2|2x|+9|2x|=3}$, т. е. ${11|2x|=3}$ и ${|2x|=\frac{3}{11}}$. Тогда ${2x=\frac{3}{11}}$ или ${2x=-\frac{3}{11}}$, откуда ${x=\frac{3}{22}}$ или ${x=-\frac{3}{22}}$.

В) ${1{,}5|x|=22{,}5}$, т. е. ${|x|=15}$, и ${x=15}$ или ${x=-15}$.

Г) ${\frac{x+1}{3}=5}$ или ${\frac{x+1}{3}=-5}$, т. е. ${x+1=15}$ или ${x+1=-15}$, откуда ${x=14}$ или ${x=-16}$.

Задача 3

Докажите, что уравнение не имеет решений:

А) ${-\left|\frac{2x+3}{14}\right|=5}$   Б) ${|8x-4(2x+3)|=15}$

Решение:

А) Умножим на $-1$: ${\left|\frac{2x+3}{14}\right|=-5}$. Модуль числа не бывает отрицательным, поэтому решений нет.

Б) Под знаком модуля ${8x-8x-12=-12}$, т. е. уравнение имеет вид ${|{-12}|=15}$, или ${12=15}$, что неверно ни при каком $x$. Решений нет.

Задача 4

Решите уравнение:

А) ${{2|x-1|+3}={9-|x-1|}}$
Б) ${3|x|-(x+1)^2}={4|x|-(x^2-1)-2(x-5)}$
В) ${|{-3-5x}|=3}$
Г) ${{2|x-1|}={9-|x-1|}}$
Д) ${{|x|-\frac{3-x}{4}}={\frac{2x-1}{8}}}$

Решение:

А) Соберём модули в одной части:

${{2|x-1|+|x-1|}={9-3}}$, откуда ${3|x-1|=6}$ и ${|x-1|=2}$

Тогда ${x-1=2}$ или ${x-1=-2}$, откуда ${x=3}$ или ${x=-1}$.

Б) Перенесём ${3|x|}$ в правую часть, а всё остальное — в левую:

${x^2-1+2(x-5)-(x+1)^2}={4|x|-3|x|}$

${x^2-1+2x-10-x^2-2x-1}={|x|}$

${-12=|x|}$ — решений нет.

В) ${-3-5x=3}$ или ${-3-5x=-3}$. Из первого ${-6=5x}$ и ${x=-\frac{6}{5}}$, из второго ${0=5x}$ и ${x=0}$.

Г) ${{2|x-1|+|x-1|}={9}}$, т. е. ${3|x-1|=9}$ и ${|x-1|=3}$. Тогда ${x-1=3}$ или ${x-1=-3}$, откуда ${x=4}$ или ${x=-2}$.

Д) Перенесём дробь в правую часть и сложим:

${{|x|}={\frac{2x-1}{8}+\frac{3-x}{4}}}$

${{|x|}={\frac{2x-1+2(3-x)}{8}}}$, откуда ${|x|=\frac{5}{8}}$

и ${x=\frac{5}{8}}$ или ${x=-\frac{5}{8}}$.

Задача 5

Решите уравнение:

А) ${\left|4-|x|\right|=2}$   Б) ${\left|9+|x|\right|=5}$

Решение:

А) ${4-|x|=2}$ или ${4-|x|=-2}$, т. е. ${|x|=2}$ или ${|x|=6}$. Уравнение имеет четыре решения: ${x=2}$, ${x=-2}$, ${x=6}$ и ${x=-6}$.

Б) ${9+|x|=5}$ или ${9+|x|=-5}$, т. е. ${|x|=-4}$ или ${|x|=-14}$. Ни одно из этих уравнений не имеет решений, поэтому исходное уравнение решений не имеет. (Быстрее: ${9+|x|}$ не меньше 9, поэтому его модуль не может равняться 5.)

Задача 6

Решите уравнение

${\left|(2x+1)^2-4x^2-2\right|-3|4x-1|}={-6}$

Решение: Упростим выражение под первым модулем:

${(2x+1)^2-4x^2-2}={4x^2+4x+1-4x^2-2}={4x-1}$

Уравнение принимает вид

${{|4x-1|-3|4x-1|}={-6}}$, откуда ${-2|4x-1|=-6}$ и ${|4x-1|=3}$

Тогда ${4x-1=3}$ или ${4x-1=-3}$, откуда ${x=1}$ или ${x=-\frac{1}{2}}$.

Задача 7

Решите уравнение:

А) ${|2x-(3x+2)|=1}$   Б) ${{\frac{|x|}{3}-\frac{2|x|}{2}}={-1}}$   В) ${{|3x-1|}={2|3x-1|-2}}$

Решение:

А) ${|2x-3x-2|=1}$, т. е. ${|{-x-2}|=1}$. Тогда ${-x-2=1}$ или ${-x-2=-1}$, откуда ${x=-3}$ или ${x=-1}$.

Б) Умножим на 6: ${2|x|-6|x|=-6}$, т. е. ${-4|x|=-6}$ и ${|x|=\frac{3}{2}}$. Тогда ${x=\frac{3}{2}}$ или ${x=-\frac{3}{2}}$.

В) ${{2}={2|3x-1|-|3x-1|}}$, т. е. ${|3x-1|=2}$. Тогда ${3x-1=2}$ или ${3x-1=-2}$, откуда ${x=1}$ или ${x=-\frac{1}{3}}$.

Ещё об уравнениях: Решение линейных уравнений · Текстовые задачи на уравнения · Задачи с линейными уравнениями · Линейные уравнения с параметром