Координатные плоскости и графики

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость. В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости.

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую - перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x²

x	y = x²	(x,y)
0	0	(0,0)
1	1	(1,1)
2	4	(2,4)
3	9	(3,9)
-1	1	(-1,1)
-2	4	(-2,4)
-3	9	(-3,9)

Это приближении к графику y = x²

Пример: нарисовать график y = 1/x

X	y=1/x	(x,y)
1/3	3	(1/3,3)
1/2	2	(1/2,2)
1	1	(1 ,1)
2	1/2	(2,1/2)
3	1/3	(3,1/3)
-1/3	-3	(-1/3 , -3)
-1/2	-2	(-1/2 , -2)
-1	-1	(-1 , -1)
-2	-1/2	(-2, -1/2)
-3	-1/3	(-3,-1/3)

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y²-2y
(c) y = 1/x

Решение:

Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

y = 1/x

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

• график симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

• график симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

• график симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функциина координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Пример 1

Постройте график f(x) = x + 2

y = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

y = |x|

|x| =

x если x ≥ 0, т.e. x - не отрицательно

-x если x < 0, т.e. x - отрицательно

График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x

для x < 0 .

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x²- 4)/(x - 2) =

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2 x ≠ 2

График h(x)= x² - 4 Or x - 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

g(x) =

1 если x ≤ 2

x + 2 если x > 2

Графики функций с перемещением

- Предположим, что график функции f(x) известен

- Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c

y = f(x) - c

y = f(x + c)

y = f(x - c)

y = f(x) + c - график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) - c - график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c) - график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x - c) - график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x - 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

y = |x-3|

Переместим график y = |x - 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x - 3| + 2

Пример 8

Постройте график

y = x² - 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x² - 4x + 5) + 4 y = (x² - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2)² + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x² вправо на 2 значения, потому что x - 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x² - 4x + 5