МенюНепрерывная пропорция
392. Для величин непрерывной пропорции, все соотношения равны. (Статья 368.) Если
a:b = b:c = c:d = d:e,
то соотношение a:b такое же, как и b:c, и c:d, и of d:e. Соотношение первых из этих величин с последними, равно произведению всех промежуточных соотношений; (Статья 348,) то есть, соотношение a:e равно $\frac{a}{b}\frac{b}{c}.\frac{c}{d}.\frac{d}{e} $
$\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a^4}{b^4} $
Когда некоторые величины находятся в непрерывной пропорции, количество пар, и, конечно, количество соотношений, на одно меньше количества величин. Таким образом пять пропорциональных величин a, b, c, d, e, образуют четыре пары и четыре соотношения и соотношение a:e равно соотношению a4:b4, то есть, соотношения первой величины в четвертой степени к второй величине в четвертой степени. Отсюда,
393. Если три величины пропорциональны, то первая пропорциональна третьей, так же как и квадрат первой к квадрату второй; или квадрат второй к квадрату третьей. Другими словами, отношение первой величины к третьей в два раза больше, чем соотношение первой ко второй. И наоборот, если первая из трёх величин относится к третьей, также как квадрат первой к квадрату второй, то при величины пропорциональны.
Если a:b = b:c, то a:c = a2:b2. Всегда,
394. Если несколько величин находятся в постоянной пропорции, то отношение первой величины к последней равно одному из промежуточных соотношений в степени с показателем степени на один меньше, чем количество величин.
Так, если имеются четыре члена пропорции a, b, c, d, то a:d = a3:b3
А если пять a, b, c, d, e; a:e = a4:b4, etc.
395. Если несколько величин находятся в непрерывной пропорции, то они будут также пропорциональны когда общий порядок будет обратным. Это уже было доказано относительно четырёх пропорциональных величин. (Статья 376.) Это может распространяться на любое количество величин.
Отношения между числами, 64, 32, 16, 8, 4,
равны 2, 2, 2, 2,
При размещении их в обратном порядке 4, 8, 16, 32, 64,
отношения равны ½, ½, ½, ½.
Поэтому если порядок любых пропорциональных величин инвертирован, то соотношения в первой последовательности будут обратными величинами к соотношениям во второй. Так при инверсии каждый предыдущий член соотношения становится последующим, и наоборот и отношение последующего к предыдущему члену обратно отношению предыдущего к последующему. (Статья 346.) То, что величины обратные равным между собой равны следует из Аксиомы 4.
396. Гармоническая пропорция это подвид геометрической пропорции. Она состоит из равных геометрических соотношений, но один или более членов является разностью двух величин.
Три или четыре величины называются гармонической пропорцией, то отношение первой к последней величины равно отношению разниц двух первых и двух последних величин.
Так, если три величины a, b, и c, составляют гармоническую пропорцию, то a:c = a-b:b-c.
Если величины a, b, c, и d are находятся в гармонической пропорции, то a:d = a-b:c-d.
Из этого следует, что числа 12, 8, 6, находятся в гармонической пропорции.
И четыре числа 20, 16, 12, 10, также составляют гармоническую пропорцию.
397. Если четыре величины находятся в гармонической пропорции и даны три из них, то последнюю можно найти. Так из пропорции
a:d = a-b:c-d,
при произведении крайних членов получаем ac - ad = ad - bd.
И это уравнение может быть упрощено для нахождения значения одной из переменных.
Таким образом, перенеся -ad, и разделив на a,
$c=\frac{2ad-bd}{a}$.
Примеры, в которых принципы пропорций применяются к решению задач.
1. Разделить число 49 на две такие части так, чтобы большая часть увеличенная на 6, относилась к меньшей уменьшеной на 11, как 9 к 2.Пусть x= большая, и 49-x = меньшая.
Согласно предложенным условиям, x+6:38-x = 9:2
Сложим члены, (Статья. 385, 2.) x+6:44 = 9:11
Разделим знаменатели, (Статья. 378, 8.) x+6:4 = 9:1
Перемножим крайние члены и получается, что x+6 = 36. И x = 30.
2. Что за число, при добавлении порознь к которому 1, 5, и 13, первая сумма будет относится ко второй, как вторая к третьей?
Пусть x= нужное число.
Согласно предложенным условиям, x+1:x+5 = a+5:x+13
Отняв члены, (Статья. 385,2.) x+1:4 = x+5:8
Поэтому 8x+8 = 4x+20. И x = 3.
3. Разделить число 18 на две части таким образом, чтобы квадраты этих частей были бы в отношении 25 к 16.
Пусть x= большая часть, а 18 - x= меньшая часть.
Согласно условию, x2:(18-x)2 = 25:16
Квадратный корень, (Статья. 387,) x:18-x = 5:4
Сложив члены, x:18 = 5:9
Разделив члены, x:2 = 5:1
Поэтому, x = 10.
4. Если число разделено на две части так, что одна относится к другой в удвоенном соотношении 3 к 1, то какое число является средним пропорциональным между этими частями?
Пусть x= большая часть, и 20-x= меньшая.
Согласно условиям, x:20-x = 32:12 = 9:6
Сложив члены, x:20 = 9:10
Поэтому, x= 18. И 20-x = 2
Среднее пропорциональное между 18 и 2(Статья. 372.) =√2.18 = 6.
5. Есть два числа, произведение которых 135, а разница их корней относится к корню их разности, как 4 к 1. Найти числа?
Ответ: 15 и 9.
6. Найти числа, чья разность, сумма и произведение относятся как 2, 3, и 5, соответственно?
Ответ: 10 и 2.
7. Разделить число 24 на две такие части, что их произведение относилось к сумме их квадратов, как 3 к 10.
Ответ: 18 и 6.
8. В смеси рома и бренди, разница в количестве каждого относится к количеству бренди, как 100 относится к количеству галлонов рома и та же самая разность относится к количеству рома, как число 4 относится к количеству галлонов бренди. Сколько галлонов каждого компонента?
Ответ: 25 рома и 5 бренди.
9. Есть два числа, которые относятся друг к другу, как 3 к 2. Если прибавить 6 к большему числу и отнять от меньшего, тогда отношение суммы и разности будет 3 к 1. Найти эти числа.
Ответ: 24 и 16.
10. Есть два числа, произведение которых равно 320, а разница их кубов относится к кубу их разности, как 61 к 1. Каковы эти числа?
Ответ: 20 и 16.
11. Есть два числа, которые относятся друг к другу, как удвоенное отношение 4 к 3 и их среднее пропорциональное равно 24. Найти эти числа.
Ответ: 32 и 18.
