Пределы последовательностей (Lim)

Мы уже знаем, что арифметическая и геометрическая прогрессии - это последовательность чисел. Давайте возьмем последовательность an = 1/n, если k и m натуральные числа, тогда для каждого k < mверно ak > am, поэтому, чем больше становится n тем меньше становится an и это число всегда позитивно, но никогда не становится равным нулю. В этом случае, мы говорим, что 0 есть
пределом lim an->∞ если n->∞, или, если записать по-другому: limn->∞ an = 0.

Определение предела

Число a называется пределом последовательности, если для каждого ε > 0 может быть найдено число nε, то для всех членов последовательности an with index n > nε верно, что a - ε < an < a + ε.

Основное правило

Если limn->∞ an = a, an -> a <=> an - a -> 0 <=> |an - a| -> 0

Последовательность не всегда имеет предел, а иногда имеет предел бесконечности ( -∞ or +∞ ). Пределы +∞ and -∞ называются соответсвенно пределом плюс бесконечности и минус бесконечности.

Если обе последовательности an and bn имеют действительные пределы, тогда последовательности
an + bn, an - bn, an.bn и an / bn также имеют действительный предел и:

limn -> ∞(an + bn) = limn -> ∞an + limn -> ∞bn
limn -> ∞(an - bn) = limn -> ∞an - limn -> ∞bn
limn -> ∞(an . bn) = limn -> ∞an . limn -> ∞bn
limn -> ∞(an/ bn) = limn -> ∞an / limn -> ∞bn
если bn ≠ 0 and limn->∞bn ≠ 0

Если an < bn для каждого натурального n и limn->∞an = a,
limn->∞bn = b тогда a ≤ b

Если an ≤ bn ≤ cn или каждое действительное n и если limn->∞an = limn->∞cn = A
тогда limn->∞bn = A.

Если an ≥ 0 и limn->∞an = a, тогда последовательность bn = √an также имеет предел и limn->∞an = √an.

Если an = 1/nk и k ≥ 1 тогда limn->∞an = 0.

Если -1 < q < 1 тогда limn->∞qn = 0.
limn->∞(1 - 1/n)n = limn->∞(1 + 1/n)n+1 = e
(1+1/n)n < e < (1 + 1/n)n-1

e is the number of Neper.

Если последовательность an имеет предел бесконечность ( -∞ или +∞ ) тогда последовательность 1/an имеет предел и limn->∞1/an = 0

Если последовательности an иbn имеют бесконечные пределы и limn->∞an=+∞, limn->∞bn=+∞ тогда:

limn->∞(an + bn) = +∞
limn->∞(an . bn) = +∞
limn->∞ank = +∞ если k > 0
limn->∞ank = 0; если k < 0
limn->∞-an = -∞

Упражнения с пределами

Упражнение 1:
Если an = 5.4n, limn->0an = ?

Ответ:
limn->0an = limn->05 . limn->04n = 5 . 40 = 5.1 = 5

Упражнение 2:

Если an =
3n2 + 1
2n - n2
then limn->∞an = ?

Ответ:

limn->∞
3n2 + 1
2n - n2
= limn->∞
n2
n2
.
3 + 1/n2
2/n - 1
= limn->∞
3 + 0
0 - 1
= -3

Упражнение 3:

Если liman->1 =
2an2 - an - 1
an - 1
= ?

Ответ:

liman->1 =
2an2 - an - 1
an - 1
= liman->∞
(an - 1)(2an + 1)
an - 1
=
= liman->1(2an + 1) = 3

Больше о пределах на страницах математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!

Высылайте нам математические уроки, лекции, тесты на:

© 2005-2015
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.