Пределы последовательностей

Последовательность — это бесконечный ряд чисел $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots$ Член $a_n$ имеет номер $n.$ Арифметическая и геометрическая прогрессии являются примерами последовательностей.

Рассмотрим последовательность ${a_n=\frac1n}$:

$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots,$ $\frac{1}{100},\ \ldots,\ \frac{1}{1000},\ \ldots$

Её члены всегда положительны и никогда не равны 0, но с ростом $n$ они подходят к 0 сколь угодно близко: $a_{100}$ отличается от 0 на ${0{,}01},$ $a_{1000}$ на ${0{,}001}$ и так далее. Говорят, что последовательность стремится к 0, или что её предел равен 0, и пишут

Читается: «предел $\frac1n$ при $n,$ стремящемся к бесконечности, равен 0». Короче это записывают так: ${\frac1n\to 0}.$

На этой странице: Определение · Бесконечные пределы · Важные пределы · Свойства пределов · Теорема о двух милиционерах · Как находить пределы · Решённые задачи · Упражнения

Определение предела

Неравенство ${|a_n-a|\lt\varepsilon}$ означает ${a-\varepsilon\lt a_n\lt a+\varepsilon}$: член $a_n$ лежит в полосе ширины $2\varepsilon$ вокруг $a.$ Как бы узка ни была полоса, начиная с некоторого номера все члены лежат в ней. Вне полосы может остаться лишь конечное число членов, с номерами до $n_\varepsilon.$

${a_n=1+\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$ и ${\varepsilon=0{,}25}$: все члены после четвёртого лежат между ${1-\varepsilon}$ и ${1+\varepsilon},$ то есть здесь ${n_\varepsilon=4}.$

Последовательность, у которой есть предел (число), называется сходящейся, иначе она расходящаяся. У сходящейся последовательности только один предел, и она ограничена: все её члены лежат между двумя фиксированными числами.

Пример. Докажите, что ${\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1}.$

Пусть ${a_n=\frac{n+1}{n}}.$ Тогда

${|a_n-1|}={\left|\frac{n+1}{n}-1\right|}={\frac1n}$

и ${\frac1n\lt\varepsilon}$ при всех ${n\gt\frac1\varepsilon},$ поэтому можно взять ${n_\varepsilon=\frac1\varepsilon}.$ Например, при ${\varepsilon=0{,}01}$ все члены с ${n\gt 100}$ отличаются от 1 меньше чем на ${0{,}01}.$

Из определения следует также, что ${a_n\to a}$ означает то же самое, что ${a_n-a\to 0},$ и то же самое, что ${|a_n-a|\to 0}.$

Бесконечные пределы

Члены последовательности ${a_n=n^2}$ неограниченно растут: $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$ Для любого числа $M,$ как бы велико оно ни было, все члены начиная с некоторого номера больше $M.$ Тогда пишут ${\lim_{n\to\infty}n^2=+\infty}$ и говорят, что последовательность стремится к плюс бесконечности. Аналогично ${\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty}.$

Последовательность с пределом $+\infty$ или $-\infty$ всё равно расходящаяся, потому что $+\infty$ и $-\infty$ не числа. У некоторых последовательностей предела нет вообще, ни числа, ни $\pm\infty.$ Например, ${b_n=(-1)^n}$ принимает значения $-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ \ldots$ и не приближается ни к какому одному значению.

Важные пределы

Члены последовательности ${\left(1+\frac1n\right)^n}$ возрастают: ${2;\ 2{,}25;\ 2{,}370\ldots;\ 2{,}441\ldots}$ Они никогда не достигают $e,$ и при любом $n$

${\left(1+\frac1n\right)^n}\lt{e}\lt{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}$

поэтому и ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=e}.$ В общем случае ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac kn\right)^n=e^k}$ для любого числа $k.$ В частности, ${\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e}.$

Свойства пределов

Пусть ${\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ и ${\lim_{n\to\infty}b_n=b},$ где $a$ и $b$ — числа. Тогда

Словами: предел суммы, разности, произведения или частного равен сумме, разности, произведению или частному пределов, если оба предела — числа и мы не делим на 0.

Пример.

${\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac2n+\frac{5}{n^2}\right)}={3-2\cdot 0+5\cdot 0}={3}$

Правила для бесконечных пределов

Если ${a_n\to+\infty}$ и ${b_n\to+\infty},$ то

${a_n+b_n\to+\infty},$   ${a_n\cdot b_n\to+\infty},$   ${-a_n\to-\infty},$   ${\frac{1}{a_n}\to 0}$

${a_n^k\to+\infty}$ при ${k\gt 0},$   ${a_n^k\to 0}$ при ${k\lt 0}$

Кроме того, если ${a_n\to+\infty},$ а у $b_n$ есть предел, равный числу, то ${a_n+b_n\to+\infty}.$ Если ${a_n\to 0}$ и ${a_n\gt 0},$ то ${\frac{1}{a_n}\to+\infty}.$

Выражения ${\infty-\infty},$ ${\frac{\infty}{\infty}},$ ${0\cdot\infty},$ ${\frac00}$ и $1^\infty$ называются неопределённостями. Правила ничего о них не говорят: такой предел может быть любым числом, $\pm\infty$ или вообще не существовать. Последовательность сначала нужно преобразовать, как показано ниже.

Сравнение и теорема о двух милиционерах

Пусть ${\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ и ${\lim_{n\to\infty}b_n=b}.$ Если ${a_n\le b_n}$ при всех $n,$ то ${a\le b}.$

Даже если ${a_n\lt b_n}$ при всех $n,$ можно заключить только ${a\le b},$ а не ${a\lt b}.$ Например, ${0\lt\frac1n}$ при всех $n,$ но пределы обеих последовательностей равны 0.

Пример. Так как ${-1\le\sin n\le 1},$ то ${-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n}.$ Обе крайние последовательности стремятся к 0, поэтому ${\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0}.$

Как находить пределы

Частное многочленов от $n.$ Делим числитель и знаменатель на старшую степень $n$ в знаменателе и пользуемся тем, что ${\frac{1}{n^k}\to 0}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-n+3}{5n^2+4}}={\lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac1n+\frac{3}{n^2}}{5+\frac{4}{n^2}}}={\frac{2-0+0}{5+0}}={\frac25}$

В общем случае для многочленов $P(n)$ и $Q(n)$: если степень $P$ меньше степени $Q,$ то ${\frac{P(n)}{Q(n)}\to 0};$ если степени равны, предел равен отношению старших коэффициентов; если степень $P$ больше, предел равен $+\infty$ или $-\infty.$

Разность квадратных корней (${\infty-\infty}$). Умножаем и делим на сумму корней, чтобы получить ${(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)}={{A-B}.}$ См. задачи 7 и 8.

Степени вида $2^n$ и $3^n.$ Делим на степень с наибольшим основанием и пользуемся тем, что ${q^n\to 0}$ при ${-1\lt q\lt 1}.$ См. задачу 10.

Неопределённость $1^\infty.$ Приводим последовательность к виду ${\left(1+\frac1n\right)^n}$ или ${\left(1+\frac kn\right)^n}.$ См. задачу 9.

Решённые задачи

Задача 1. Найдите ${\lim_{n\to\infty}5\cdot\left(\frac14\right)^n}.$

Решение: Так как ${-1\lt\frac14\lt 1},$ то ${\left(\frac14\right)^n\to 0}$ и

${\lim_{n\to\infty}5\cdot\left(\frac14\right)^n}={5\cdot 0}={0}$

Для сравнения: у ${5\cdot 4^n}$ основание больше 1, поэтому ${5\cdot 4^n\to+\infty}.$

Задача 2. Найдите ${\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n-n^2}}.$

Решение: Делим числитель и знаменатель на $n^2$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n-n^2}}={\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{1}{n^2}}{\frac2n-1}}={\frac{3+0}{0-1}}={-3}$

Задача 3. Последовательность $(a_n)$ стремится к 1, и ${a_n\ne 1}$ при всех $n.$ Найдите ${\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^2-a_n-1}{a_n-1}}.$

Решение: Числитель и знаменатель стремятся к 0, поэтому правило для частного сразу применить нельзя. Разложим числитель на множители: ${2a_n^2-a_n-1}={{(a_n-1)(2a_n+1)}.}$ Так как ${a_n\ne 1},$ можно сократить на ${a_n-1}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^2-a_n-1}{a_n-1}}={\lim_{n\to\infty}\frac{(a_n-1)(2a_n+1)}{a_n-1}}={\lim_{n\to\infty}(2a_n+1)}={2\cdot 1+1}={3}$

Задача 4. Докажите по определению, что ${\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}=2}.$

Решение: Пусть ${a_n=\frac{2n+1}{n+3}}.$ Тогда

${|a_n-2|}={\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|}={\left|\frac{2n+1-2n-6}{n+3}\right|}={\frac{5}{n+3}}$

и ${\frac{5}{n+3}\lt\varepsilon}$ при всех ${n\gt\frac5\varepsilon-3}.$ Поэтому можно взять ${n_\varepsilon=\frac5\varepsilon-3}.$ Например, при ${\varepsilon=0{,}1}$ получаем ${n_\varepsilon=47}$: начиная с 48-го члена все члены отличаются от 2 меньше чем на ${0{,}1}.$

Задача 5. Найдите ${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{4n^3+n^2+5}}.$

Решение: Делим на $n^3$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{4n^3+n^2+5}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{2}{n^2}}{4+\frac1n+\frac{5}{n^3}}}={\frac{1-0}{4+0+0}}={\frac14}$

Задача 6. Найдите а) ${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^3+1}};$   б) ${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^2+3}}.$

Решение: а) Делим на $n^3$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^3+1}}={\lim_{n\to\infty}\frac{\frac2n+\frac{3}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}}}={\frac{0+0}{1+0}}={0}$

б) Делим на $n^2.$ Числитель стремится к $+\infty,$ а знаменатель к 2, поэтому

${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^2+3}}={\lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n^2}}}={+\infty}$

Задача 7. Найдите ${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}.$

Решение: Это неопределённость ${\infty-\infty}.$ Умножаем и делим на ${\sqrt{n+1}+\sqrt n}$:

${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}={\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={0}$

так как знаменатель стремится к $+\infty.$

Задача 8. Найдите ${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)}.$

Решение: Снова ${\infty-\infty}.$ Умножаем и делим на ${\sqrt{n^2+n}+n},$ затем делим на $n$:

${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)}={\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}}={\frac{1}{1+1}}={\frac12}$

Задача 9. Найдите ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{3n}}.$

Решение: Это неопределённость $1^\infty.$ Запишем степень как куб:

${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{3n}}={\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^3}={e^3}$

Задача 10. Найдите ${\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^{n+1}-2^n}}.$

Решение: Делим числитель и знаменатель на $3^n$ и пользуемся тем, что ${\left(\frac23\right)^n\to 0}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^{n+1}-2^n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac23\right)^n+1}{3-\left(\frac23\right)^n}}={\frac{0+1}{3-0}}={\frac13}$

Упражнения

Найдите пределы. Сначала решите сами, затем откройте ответ.

См. также: Формулы для первой производной (производная определяется через предел).