Пределы последовательностей (Lim)

Мы уже знаем, что арифметическая и геометрическая прогрессии - это последовательность чисел. Давайте возьмем последовательность a_n = 1/n, если k и m натуральные числа, тогда для каждого k < mверно a_k > a_m, поэтому, чем больше становится n тем меньше становится a_n и это число всегда позитивно, но никогда не становится равным нулю. В этом случае, мы говорим, что 0 есть
пределом lim a_n->∞ если n->∞, или, если записать по-другому: lim_n->∞ a_n = 0.

Определение предела

Число a называется пределом последовательности, если для каждого ε > 0 может быть найдено число n_ε, то для всех членов последовательности a_n with index n > n_ε верно, что a - ε < a_n < a + ε.

Основное правило

Последовательность не всегда имеет предел, а иногда имеет предел бесконечности ( -∞ or +∞ ). Пределы +∞ and -∞ называются соответсвенно пределом плюс бесконечности и минус бесконечности.

Если обе последовательности a_n and b_n имеют действительные пределы, тогда последовательности
a_n + b_n, a_n - b_n, a_n.b_n и a_n / b_n также имеют действительный предел и:

Если a_n < b_n для каждого натурального n и lim_n->∞a_n = a,
lim_n->∞b_n = b тогда a ≤ b

Если a_n ≤ b_n ≤ c_n или каждое действительное n и если lim_n->∞a_n = lim_n->∞c_n = A
тогда lim_n->∞b_n = A.

Если a_n ≥ 0 и lim_n->∞a_n = a, тогда последовательность b_n = √a_n также имеет предел и lim_n->∞√a_n = √a_n.

Если a_n = ¹/_nk и k ≥ 1 тогда lim_n->∞a_n = 0.

e is the number of Neper.

Если последовательность a_n имеет предел бесконечность ( -∞ или +∞ ) тогда последовательность 1/a_n имеет предел и lim_n->∞¹/_an = 0

Если последовательности a_n иb_n имеют бесконечные пределы и lim_n->∞a_n=+∞, lim_n->∞b_n=+∞ тогда:

Упражнения с пределами

Упражнение 1:
Если aⁿ = 5.4ⁿ, lim_n->0a_n = ?

Ответ:
lim_n->0a_n = lim_n->05 . lim_n->04ⁿ = 5 . 4⁰ = 5.1 = 5

Упражнение 2:

Ответ:

Упражнение 3:

Ответ:

Больше о пределах на страницах математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!