Признак делимости на 3 и 9

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Примеры

Большая сумма цифр? Сложите ещё раз

987 654 → 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39 → 3 + 9 = 12 → делится на 3, но не на 9
99 999 → 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 → 4 + 5 = 9 → делится и на 9, и на 3

Почему это работает

Каждая разрядная единица — это число, записанное девятками, плюс 1:

10 = 9 + 1,   100 = 99 + 1,   1000 = 999 + 1, …

Поэтому число раскладывается на «часть из девяток» и сумму своих цифр:

324 = 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 4 = 3 ⋅ 99 + 2 ⋅ 9 + (3 + 2 + 4)

Часть из девяток всегда делится на 9 (и на 3), поэтому 324 делится на 9 или на 3 тогда и только тогда, когда на это число делится 3 + 2 + 4. Здесь используется свойство делимости суммы.

Внимание: каждое число, которое делится на 9, делится и на 3, но не наоборот: 12, 21 и 4512 делятся на 3, но не делятся на 9.
Последняя цифра здесь ничего не говорит: 13 и 23 оканчиваются на 3, но не делятся на 3, а 27 оканчивается на 7 и делится.

Проверьте себя

Нажмите на вопрос, чтобы увидеть ответ.

1. Какие из этих чисел делятся на 3: 111, 205, 7002, 9871, 12 345?

111, 7002 и 12 345 – суммы их цифр равны 3, 9 и 15. У чисел 205 и 9871 суммы цифр равны 7 и 25.

2. Какие из этих чисел делятся на 9: 7002, 12 345, 4536, 70 120?

7002 и 4536 – суммы их цифр равны 9 и 18. У чисел 12 345 и 70 120 суммы цифр равны 15 и 10.

3. Какую цифру можно поставить в клетку, чтобы число 47 делилось на 9?

4 + 7 = 11, а сумма цифр должна дойти до 18, поэтому ответ: 7 (477).

4. Какие цифры можно поставить в клетку, чтобы число 52 делилось на 3?

5 + 2 = 7, а сумма цифр должна быть 9, 12 или 15, поэтому ответ: 2, 5 или 8 (522, 552 и 582).

5. Делится ли 111 111 111 на 9?

В нём девять единиц, поэтому сумма его цифр равна 9. Да

6. Верно или неверно: число, которое оканчивается на 3, делится на 3.

Неверно. 13 и 23 оканчиваются на 3, но суммы их цифр равны 4 и 5.