Решение линейных уравнений

Уравнение — это равенство двух выражений, например ${3x+5=20}$. Буква $x$ обозначает неизвестное число, и решить уравнение — значит найти число, при котором равенство верно. Уравнения, в которые неизвестное входит только в первой степени, например ${3x+5=20}$ или ${2(x-1)=\frac{x}{3}+4}$, называются линейными уравнениями (или уравнениями первой степени). Это первые уравнения, которые учатся решать, и почти любая текстовая задача в алгебре сводится к такому уравнению.

На этой странице: Что такое уравнение · Правило весов · Уравнения в одно действие · Перенос слагаемых · Умножение и деление · Решение по шагам · Дроби · Пропорции · Нет корней или любое число · Выражение буквы · Решённые задачи · Проверьте себя

Что такое уравнение?

Два выражения в уравнении — это его части: в ${3x+5=20}$ левая часть — ${3x+5}$, а правая — $20$. Число, при котором обе части равны, называется корнем (решением) уравнения.

Пример. Является ли ${x=5}$ корнем уравнения ${3x+5=20}$? Подставим 5 вместо $x$:

${3\cdot 5+5}={15+5}={20}$ ✓

Обе части равны, значит, ${x=5}$ — корень. А число 4 — нет: ${3\cdot 4+5=17}$, а не 20.

Подстановка ответа обратно в уравнение называется проверкой. Она занимает несколько секунд и выявляет большинство ошибок.

Правило весов

Представьте уравнение как весы в равновесии. Обе чаши весят одинаково, и весы остаются в равновесии, пока вы делаете одно и то же с обеими частями.

Если снять по 3 гири с обеих чаш, равновесие сохранится: ${x+3=7}$ превращается в ${x=4}$.

Чтобы решить уравнение, с помощью этих действий оставьте $x$ одно в одной из частей. Тогда другая часть и будет решением.

Никогда не умножайте обе части на 0. Равенство ${x=3}$ верно только для одного числа, а ${0\cdot x=0\cdot 3}$ — для любого, и решение теряется.

Уравнения в одно действие

Если с $x$ выполнено только одно действие, отмените его обратным действием: вычитание отменяет сложение, деление отменяет умножение, и наоборот.

Уравнение	Что сделать с обеими частями	Решение
${x+7=12}$	вычесть 7	${x=5}$
${x-7=9}$	прибавить 7	${x=16}$
${5x=35}$	разделить на 5	${x=7}$
${\frac{x}{4}=3}$	умножить на 4	${x=12}$

Пример. Решите ${x-7=9}$. Прибавим 7 к обеим частям:

${{x-7+7}={9+7}}$, откуда ${x=16}$

Проверка: ${16-7=9}$ ✓

Перенос слагаемых из одной части в другую

Посмотрите, что произошло в последнем примере: $-7$ исчезло из левой части, а $+7$ появилось в правой. Прибавление или вычитание одного и того же числа всегда работает именно так, поэтому можно действовать короче.

Пример 1. Решите ${5x-4=3x+10}$. Перенесём ${3x}$ влево, а ${-4}$ вправо, изменив их знаки:

${{5x-3x}={10+4}}$

${{2x}={14}}$, откуда ${x=7}$

Проверка: ${5\cdot 7-4=31}$ и ${3\cdot 7+10=31}$ ✓

Неважно, в какой части окажется $x$: если ${7=x}$, то ${x=7}$. Обычно удобнее собирать члены с $x$ в той части, где они остаются положительными.

Пример 2. Одинаковые слагаемые в обеих частях можно просто вычеркнуть — это то же самое, что вычесть их из обеих частей:

${{x+3+2x}={7+2x}}$, откуда ${x+3=7}$ и ${x=4}$

Пример 3. Можно изменить знаки всех слагаемых в обеих частях — это то же самое, что умножить обе части на $-1$:

${-x+5=-3}$ — то же, что ${x-5=3}$, откуда ${x=8}$

Умножение и деление обеих частей

Если $x$ умножен на число, разделите обе части на это число. Если $x$ разделён на число, умножьте обе части на него.

Пример 1. В уравнении ${-4x=-5}$ разделим обе части на $-4$: ${x=\frac{5}{4}}$.

Пример 2. В уравнении ${\frac{x}{6}=-2}$ умножим обе части на 6: ${x=-12}$.

Пример 3. В уравнении ${\frac{2}{3}x=8}$ умножим обе части на число, обратное $\frac{2}{3}$:

${x}={8\cdot\frac{3}{2}}={12}$

Пример 4. Если $x$ входит в несколько слагаемых, сначала приведите их, а затем разделите на весь коэффициент:

${{7x-2x+x}={42}}$, откуда ${6x=42}$ и ${x=7}$

Делите каждое слагаемое. В уравнении ${2x+6=10}$ нельзя разделить на 2 только $2x$. Либо сначала вычтите 6, тогда ${2x=4}$ и ${x=2}$, либо разделите на 2 каждое слагаемое: ${x+3=5}$ и ${x=2}$.

Решение по шагам

Большинство уравнений требует нескольких действий. Этот порядок подходит для любого линейного уравнения:

Пример 1. Решите ${16x+10-32=35-10x-5}$. Сначала сложим числа в каждой части:

${{16x-22}={30-10x}}$

${{16x+10x}={30+22}}$

${{26x}={52}}$, откуда ${x=2}$

Пример 2. Решите ${7(3x-6)}+{5(x-3)}-{2(x-7)}={5}$.

${21x-42+5x-15-2x+14}={5}$

${{24x-43}={5}}$

${{24x}={48}}$, откуда ${x=2}$

Проверка: ${7\cdot 0+5\cdot(-1)-2\cdot(-5)}={0-5+10}={5}$ ✓

Пример 3. Квадраты могут взаимно уничтожиться. Решите ${(x-3)(x+4)}-{2(3x-2)}={(x-4)^2}$.

${x^2+x-12-6x+4}={x^2-8x+16}$

${x^2-5x-8}={x^2-8x+16}$

Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются, так что уравнение всё-таки линейное:

${{-5x+8x}={16+8}}$, откуда ${3x=24}$ и ${x=8}$

Уравнения с дробями

Пример 1. Решите ${\frac{3x}{4}+6=\frac{5x}{8}+7}$. Наименьший общий знаменатель равен 8:

${{6x+48}={5x+56}}$, откуда ${x=8}$

Пример 2. Решите ${x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=11}$. Умножим на 6:

${{6x+3x+2x}={66}}$, откуда ${11x=66}$ и ${x=6}$

Пример 3. Если в числителе несколько слагаемых, перед умножением заключите его в скобки. Решите ${\frac{x-5}{4}+6x=\frac{284-x}{5}}$. Умножим на 20:

${5(x-5)+120x}={4(284-x)}$

${5x-25+120x}={1136-4x}$

${{129x}={1161}}$, откуда ${x=9}$

Минус перед дробью меняет знак всего числителя. В уравнении ${3x-\frac{x-4}{4}-4=\frac{5x+14}{3}-\frac{1}{12}}$ умножение на 12 даёт ${36x-3(x-4)-48}={4(5x+14)-1}$, и ${-3(x-4)}$ равно ${-3x+12}$, а не ${-3x-12}$. Решение: ${x=7}$.

Неизвестное в знаменателе

Если $x$ стоит в знаменателе, умножьте и на этот знаменатель. Значение $x$, при котором знаменатель обращается в нуль, не может быть решением, поэтому всегда делайте проверку.

Пример 4. Решите ${\frac{6}{10-x}+7=8}$. Умножим на ${10-x}$:

${6+7(10-x)}={8(10-x)}$

${{6+70-7x}={80-8x}}$, откуда ${x=4}$

Проверка: ${\frac{6}{6}+7=8}$ ✓, и знаменатель ${10-4}$ не равен нулю.

Десятичные дроби

От десятичных дробей можно избавиться так же — умножив на 10, 100, …

Пример 5. Решите ${0{,}5x+1{,}2=0{,}3x+2}$. Умножим на 10:

${{5x+12}={3x+20}}$, откуда ${2x=8}$ и ${x=4}$

Уравнения в виде пропорции

Уравнение вида ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ — это пропорция. Быстрее всего решать его по основному свойству пропорции, перемножив крест-накрест: ${ad=bc}$.

Пример. Решите ${\frac{x+2}{5}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={5(x-1)}}$

${{2x+4}={5x-5}}$, откуда ${9=3x}$ и ${x=3}$

Проверка: ${\frac{3+2}{5}=1}$ и ${\frac{3-1}{2}=1}$ ✓

Нет корней или любое число

Любое линейное уравнение можно привести к виду ${ax=b}$. Обычно $a$ не равно нулю, и корень один: ${x=\frac{b}{a}}$. Но иногда $x$ полностью сокращается:

После упрощения	Корни
${ax=b}$, где $a\ne 0$	ровно один, ${x=\frac{b}{a}}$
верное равенство, например ${0=0}$ или ${3=3}$	любое число является корнем
неверное равенство, например ${0=5}$	корней нет

Пример 1. В уравнении ${5-3x=7-3x}$ после переноса слагаемых получаем ${0=2}$, что неверно при любом $x$. Уравнение не имеет корней.

Пример 2. В уравнении ${3(x+1)^2-(3x+5)x=x+3}$ левая часть упрощается до ${3x^2+6x+3-3x^2-5x}$, т. е. до ${x+3}$. Уравнение принимает вид ${x+3=x+3}$, что верно для любого числа.

${0=0}$ не означает ${x=0}$: это значит, что любое число является корнем. А уравнение ${4x=0}$ имеет корень ${x=0}$, это не «нет корней».

Выражение одной буквы через другие

Кроме неизвестного, уравнение может содержать и другие буквы — например, если это формула. Чтобы выразить одну букву, считайте остальные числами и выполняйте те же действия.

Пример 1. Выразите $x$ из ${\frac{x}{c}+a=b}$. Вычтем $a$, затем умножим на $c$:

${{\frac{x}{c}}={b-a}}$, откуда ${x=c(b-a)}$

Пример 2. Площадь треугольника ${S=\frac{1}{2}ah}$. Выразите $h$: умножим на 2, затем разделим на $a$:

${{2S}={ah}}$, откуда ${h=\frac{2S}{a}}$

Пример 3. Выразите $x$ из ${ax+x=h-4}$. Вынесем $x$ за скобки, затем разделим:

${{(a+1)x}={h-4}}$, откуда ${x=\frac{h-4}{a+1}}$

На последнем шаге мы делим на ${a+1}$, а это можно делать только при ${a\ne -1}$. Если коэффициент при $x$ содержит буквы, проверьте, что будет, когда он равен нулю. Много таких примеров на странице уравнения с параметром.

Типичные ошибки

Неверно	Верно
✗ ${x+5=12}$, значит ${x=12+5}$	✓ Перенесённое слагаемое меняет знак: $x=12-5=7$
✗ ${\frac{x}{2}+3=5}$, значит ${x+3=10}$	✓ Умножайте каждое слагаемое: ${x+6=10}$, значит ${x=4}$
✗ ${2x+6=10}$, значит ${x+6=5}$	✓ Делите каждое слагаемое: ${x+3=5}$, значит ${x=2}$
✗ ${-3x=12}$, значит ${x=4}$	✓ Делим на $-3$: ${x=-4}$
✗ $1-\frac{x-3}{5}$ превращается в $5-x-3$	✓ Минус относится ко всему числителю: ${5-(x-3)=5-x+3}$
✗ ${4x=0}$ не имеет корней	✓ Его корень ${x=0}$
✗ ${0=0}$, значит ${x=0}$	✓ Любое число является корнем

Решённые задачи

Задача 1. Решите ${7u-9-3u+5=11u-6-4u}$.

Решение: Приведём подобные слагаемые в каждой части:

${{4u-4}={7u-6}}$

${{6-4}={7u-4u}}$, откуда ${2=3u}$ и ${u=\frac{2}{3}}$

Задача 2. Решите ${(x+1)^3}-{(x-1)^3}={6(x^2+x+1)}$.

Решение: Раскроем кубы:

${x^3+3x^2+3x+1}-{(x^3-3x^2+3x-1)}={6x^2+6x+6}$

${{6x^2+2}={6x^2+6x+6}}$

${{2}={6x+6}}$, откуда ${6x=-4}$ и ${x=-\frac{2}{3}}$

Задача 3. Решите ${\frac{x+1}{3}-\frac{2x+5}{2}=-3}$.

Решение: Умножим на 6:

${2(x+1)-3(2x+5)}={-18}$

${{2x+2-6x-15}={-18}}$

${{-4x-13}={-18}}$, откуда ${-4x=-5}$ и ${x=\frac{5}{4}}$

Задача 4. Решите ${\frac{6x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}=\frac{12x+49}{10}}$.

Решение: Умножим на 10:

${2(6x-1)-5(1-2x)}={12x+49}$

${12x-2-5+10x}={12x+49}$

${{10x}={56}}$, откуда ${x=5{,}6}$

Задача 5. Решите ${(2x-1)^2}-{x(10x+1)}={x(1-x)(1+x)}-{(2-x)^3}$.

Решение: Упростим каждую часть отдельно:

${4x^2-4x+1-10x^2-x}={-6x^2-5x+1}$

${x-x^3-(8-12x+6x^2-x^3)}={-6x^2+13x-8}$

Уравнение принимает вид

${-6x^2-5x+1}={-6x^2+13x-8}$, откуда ${9=18x}$ и ${x=\frac{1}{2}}$

Задача 6. Решите ${\frac{6x+7}{9}+\frac{7x-13}{6x+3}=\frac{2x+4}{3}}$.

Решение: Умножим обе части на ${9(6x+3)}$:

${(6x+7)(6x+3)+9(7x-13)}={3(2x+4)(6x+3)}$

${36x^2+60x+21+63x-117}={36x^2+90x+36}$

${{123x-96}={90x+36}}$, откуда ${33x=132}$ и ${x=4}$

Знаменатель ${6\cdot 4+3=27}$ не равен нулю, поэтому ${x=4}$ — решение.

Задача 7. Дана функция ${f(x)=x+4}$. Решите уравнение ${\frac{3f(x-2)}{f(0)}+4=f(2x+1)}$.

Решение: Здесь ${f(0)=4}$, ${f(x-2)=x+2}$ и ${f(2x+1)=2x+5}$, поэтому уравнение имеет вид

${{\frac{3(x+2)}{4}+4}={2x+5}}$

${{3x+6+16}={8x+20}}$, откуда ${2=5x}$ и ${x=\frac{2}{5}}$

Задача 8. Человека спросили, сколько он заплатил за часы. Он ответил: «Если умножить цену на 4, прибавить 7000 и вычесть 5000, получится 22 000 рублей». Сколько стоили часы?

Решение: Пусть цена равна $x$ рублей:

${{4x+7000-5000}={22\,000}}$, откуда ${4x=20\,000}$ и ${x=5000}$

Часы стоили 5000 рублей. Больше таких задач — на странице текстовые задачи на уравнения.

Проверьте себя

Решите каждую задачу, а затем откройте её, чтобы проверить ответ.

1. Решите ${x+9=4}$.

${x=4-9=-5}$

2. Решите ${-7x=42}$.

Разделим на $-7$: ${x=-6}$

3. Решите ${\frac{x}{5}=-3}$.

Умножим на 5: ${x=-15}$

4. Решите ${3x-7=2x+5}$.

${{3x-2x}={5+7}}$, откуда ${x=12}$

5. Решите ${5(x-2)=3(x+4)}$.

${{5x-10}={3x+12}}$, откуда ${2x=22}$ и ${x=11}$

6. Решите ${40-6x-16=120-14x}$.

${{24-6x}={120-14x}}$, откуда ${8x=96}$ и ${x=12}$

7. Решите ${\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7}$.

Умножим на 12: ${4x+3x=84}$, откуда ${7x=84}$ и ${x=12}$

8. Решите ${3x+\frac{2x+6}{5}=5+\frac{11x-37}{2}}$.

Умножим на 10: ${30x+2(2x+6)}={50+5(11x-37)}$, откуда ${{34x+12}={55x-135}}$, ${147=21x}$ и ${x=7}$

9. Решите ${\frac{6x-4}{3}-2=\frac{18-4x}{3}+x}$.

Умножим на 3: ${{6x-4-6}={18-4x+3x}}$, откуда ${{6x-10}={18-x}}$, ${7x=28}$ и ${x=4}$

10. Решите ${2(3x-1)-3(2x+1)=6}$.

${{6x-2-6x-3}={6}}$ даёт ${-5=6}$, что неверно: уравнение не имеет корней.

11. Решите ${\frac{x+2}{3}=\frac{2x-1}{5}}$.

Перемножим крест-накрест: ${{5(x+2)}={3(2x-1)}}$, откуда ${{5x+10}={6x-3}}$ и ${x=13}$

12. Периметр прямоугольника ${P=2(a+b)}$. Выразите $b$.

Разделим на 2: ${\frac{P}{2}=a+b}$, откуда ${b=\frac{P}{2}-a}$

Ещё больше упражнений, каждый раз с новыми уравнениями:

Ещё об уравнениях: Текстовые задачи на уравнения · Задачи с линейными уравнениями · Линейные уравнения с параметром · Уравнения с модулем