Признаки делимости

2, 5 и 10. Любое число — это некоторое количество десятков плюс последняя цифра, например 258 = 250 + 8. Десятки всегда делятся на 2, 5 и 10, потому что 10 = 2 ⋅ 5. Поэтому важна только последняя цифра.

4, 25 и 8. 100 = 4 ⋅ 25, поэтому сотни всегда делятся на 4 и на 25. В 316 = 300 + 16 важно только 16. Точно так же 1000 = 8 ⋅ 125, поэтому для 8 важны только три последние цифры.

3 и 9. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 и 1000 = 999 + 1. Поэтому
246 = 2 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 6 = (2 ⋅ 99 + 4 ⋅ 9) + (2 + 4 + 6).
Первая скобка всегда делится на 9, а значит, и на 3, поэтому число и сумма его цифр дают одинаковый ответ.

11. 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1 и 1000 = 1001 − 1, где 1001 = 11 ⋅ 91. Каждая разрядная единица на 1 больше или на 1 меньше числа, кратного 11, поэтому цифры поочерёдно прибавляются и вычитаются.

7. Запишем число как 10a + b, где b — последняя цифра, а a — число, образованное остальными цифрами. Тогда
2 ⋅ (10a + b) = 21a − (a − 2b).
21a всегда делится на 7, поэтому 10a + b делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится a − 2b. (Удвоение числа не влияет на то, делится ли оно на 7.)

6 и 12. Число, которое делится на 2 и на 3, содержит оба множителя, поэтому делится на 2 ⋅ 3 = 6. То же верно для 3 и 4, что даёт 12. Это работает только потому, что у 2 и 3 (а также у 3 и 4) нет общих делителей, кроме 1; поэтому для 12 нельзя использовать 2 и 6.