Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — это полиномиальное уравнение четвёртой степени, содержащее только чётные степени переменной.

Определение

Общий вид:

$ax^4 + bx^2 + c = 0$

где:
$(a \neq 0)$ $a, b, c$ — действительные числа

В уравнении нет членов $x^3$ или $x$. Поскольку присутствуют только чётные степени, уравнение можно свести к квадратному.

Основная идея: замена переменной

Положим:

$u = x^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$au^2 + bu + c = 0$

Это обычное квадратное уравнение.

После его решения возвращаемся к:
$x^2 = u$

Так как мы работаем с действительными числами, необходимо помнить:
$x^2 \ge 0$
Отрицательные значения $u$ не дают действительных решений.

Общий алгоритм решения

Шаг 1: Выполните замену $u = x^2$

Шаг 2: Решите квадратное уравнение относительно $u$

Шаг 3: Оставьте только решения, для которых $u \ge 0$

Шаг 4: Решите
$x = \pm \sqrt{u}$

Пример 1 — Четыре действительных решения

Решите:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Замена: $u^2 - 5u + 4 = 0$

Разложите на множители:
$(u - 4)(u - 1) = 0$
$u = 4 \quad \text{или} \quad u = 1$

Оба значения неотрицательны.

Обратная замена:
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Решения:
$x = -2, -1, 1, 2$

Пример 2 — Два действительных решения (одно положительное и одно отрицательное значение $u$)

Решите:
$x^4 - x^2 - 6 = 0$

Замена: $u^2 - u - 6 = 0$

Разложите на множители: $ (u - 3)(u + 2) = 0$

$u = 3 \quad \text{или} \quad u = -2$

Так как $x^2 \ge 0$, значение $u = -2$ отбрасываем.

Решаем допустимый случай: $x^2 = 3$
$x = \pm \sqrt{3}$

Решения: $x = -\sqrt{3}, \quad \sqrt{3}$

Пример 3 — Три действительных решения (один кратный корень)

Решите: $x^4 - 4x^2 = 0$

Разложите на множители: $x^2(x^2 - 4) = 0$
$x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 4$

Решите:
$x = 0$
$x = \pm 2$

Решения:
$x = -2, 0, 2$

Здесь $x = 0$ — кратный корень.
Все корни: $-2, 0, 0, 2$

Пример 4 — Нет действительных решений

Решите: $x^4 + 4x^2 + 5 = 0$

Замена: $u^2 + 4u + 5 = 0$

Дискриминант: $\Delta = 16 - 20 = -4$

Так как квадратное уравнение не имеет действительных решений, исходное уравнение также не имеет действительных решений.

Использование формулы корней квадратного уравнения

Когда квадратное уравнение относительно $u$ не раскладывается на множители с целыми числами, применяем формулу корней:

$u = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Пример 5 — Иррациональные решения

Решите:
$x^4 - 6x^2 + 4 = 0$

Замена: $u^2 - 6u + 4 = 0$

Это не раскладывается на множители с целыми числами, поэтому применяем формулу:
$u = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$

Оба значения положительны, так как $\sqrt{5} \approx 2.24$ даёт $u \approx 5.24$ и $u \approx 0.76$.

Обратная замена:
$x = \pm\sqrt{3 + \sqrt{5}} \quad \text{и} \quad x = \pm\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

Решения: четыре действительных решения (все иррациональные).

Сводка всех возможных случаев

Пусть квадратное уравнение относительно $u$ имеет решения $u_1$ и $u_2$.

Графическая интерпретация

Функция $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$

симметрична относительно оси y, поскольку:
$f(x) = f(-x)$

Действительные решения соответствуют точкам пересечения графика с осью x.

Задачи для самостоятельного решения

Решите каждое биквадратное уравнение. Попробуйте сами, затем проверьте ответы ниже.

1.   $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
2.   $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
3.   $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$
4.   $x^4 - 9x^2 = 0$
5.   $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$

Ответы

1.   $x = -3, -1, 1, 3$
2.   $x = -3, -2, 2, 3$
3.   $x = -2, 2$
4.   $x = -3, 0, 3$
5.   нет действительных решений