Квадратные уравнения

Квадратные уравнения имеют вид: ax2 + bx + c = 0
где a,b,c являются действительными числами, и a ≠ 0. Каждое квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 решения, которые находятся по формуле:

Формула квадратного уравнения

Число D = b2 - 4ac называется дискриминантом.
Если D < 0 тогда квадратное уравнение не имеет решения. Если D = 0 тогда квадратное уравнение имеет одно решение - $x = - \frac{b}{2a}$. Если D > 0 тогда квадратное уравнение имеет два решения.

Example:
Если мы имеем уравнение: x2 + 3x - 4 = 0
a = 1, b = 3, c = -4
$x=\frac{-(3) \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = $
$ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = $
$\frac{-3 \pm 5}{2} = \begin{cases} \frac{-3 - 5}{2} = -4 \\ \frac{-3 + 5}{2} = 1\end{cases}$

Парабола

График квадратного уравнения называется параболой.
Если a > 0 тогда ветви параболы направлены вниз:

парабола
если a < 0 тогда ветви параболы направлены вверх:
парабола

Середина любой параболы есть точкой $x = - \frac{b}{2a}$.

Задачи с квадратными уравнениями

1) x2 - 4 = 0; x = ?
Решение: x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
x = 2 or x = -2

2) 3x2 + 4x + 5 = 0; x = ?
Решение: Дискриминант это уравнения равен 42 - 4⋅3⋅5 = 16 - 60 = -44 < 0 Поэтому, квадратное уравнение не имеет действительных решений.

3) x2 + 4x - 5 = 0; x = ?
Решение: Дискриминант это уравнения равен 42 - (-4⋅1⋅5) = 16 + 20 = 36 > 0 Поэтому, здесь есть два решения: $\frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$
x = 1 или x = -5

4) x2 + 4x + 4 = 0; x = ?
Решение: Дискриминант это уравнения равен 42 - (4⋅1⋅4) = 16 - 16 = 0 Поэтому, здесь есть одно решение: $x = \frac{-4}{2}$
x = -2

5) x2 - 13x + 12 = 0
Решение: 1; 12
Построить график функции: f(x) = x2 - 13x + 12

6) 8x2 - 30x + 7 = 0
Решение: 3,5; 0,25
Построить график функции: f(x) = 8x2 - 30x + 7

Программа для решения квадратных уравнений

x2 x = 0
a = 1, b = 1, c = 1
D = (1)2 - 4⋅1⋅1 = -3
Нет решения.

Вывод квадратичной формулы

$ax^2 + bx + c = 0$
$ax^2 + bx = -c$
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Добавьте обе стороны $\frac{b^2}{4a^2}$

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}= -\frac{c}{a}+ \frac{b^2}{4a^2}$

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}= -\frac{4ac}{4a^2}+ \frac{b^2}{4a^2}$

$(x + \frac{b}{2a})^2= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

$x + \frac{b}{2a}= \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x = -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Квадратные уравнения на страницах математического форума

Форум о квадратных уравнениях


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.