Квадратные уравнения

Числа $a,$ $b$ и $c$ — коэффициенты уравнения: $a$ — коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент), $b$ — коэффициент при $x,$ а $c$ — свободный член. Условие ${a\ne 0}$ важно: при ${a=0}$ остаётся уравнение ${bx+c=0},$ а оно линейное.

Примеры. Прежде чем определять коэффициенты, переносим все члены в левую часть. Знак перед каждым членом входит в его коэффициент.

• ${2x^2-5x-3=0}$:   ${a=2},$ ${b=-5},$ ${c=-3}$
• ${x^2-9=0}$:   ${a=1},$ ${b=0},$ ${c=-9}$
• ${-x^2+4x=0}$:   ${a=-1},$ ${b=4},$ ${c=0}$
• ${3x^2=2x+1}$ записываем как ${3x^2-2x-1=0}$:   ${a=3},$ ${b=-2},$ ${c=-1}$

Если ${a=1},$ уравнение ${x^2+px+q=0}$ называется приведённым. Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым, разделив обе его части на $a.$

Число, которое удовлетворяет уравнению, называется его корнем (решением). Например, ${x=3}$ — корень уравнения ${2x^2-5x-3=0},$ потому что ${2\cdot 3^2-5\cdot 3-3}={18-15-3}={0}.$

На этой странице: Неполные уравнения · Формула корней · Калькулятор · Вывод формулы · Теорема Виета · Разложение на множители · Парабола · Сведение к квадратным · Решённые задачи · С параметром · Типичные ошибки · Упражнения

Неполные квадратные уравнения

Если ${b=0}$ или ${c=0},$ уравнение называется неполным. Такие уравнения решаются быстро и без формулы корней.

Вид	Как решать	Корни
${c=0}$:   ${ax^2+bx=0}$	выносим $x$ за скобки: ${x(ax+b)=0}$	${x_1=0},$ ${x_2=-\frac{b}{a}}$
${b=0}$:   ${ax^2+c=0}$	${x^2=-\frac{c}{a}}$	${x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}},$ если ${-\frac{c}{a}\gt 0};$ нет действительных корней, если ${-\frac{c}{a}\lt 0}$
${b=c=0}$:   ${ax^2=0}$	${x^2=0}$	${x=0}$

Примеры

• ${3x^2-12x=0},$ т.е. ${3x(x-4)=0}.$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: ${x_1=0},$ ${x_2=4}.$
• ${2x^2-18=0},$ т.е. ${x^2=9},$ откуда ${x_{1,2}=\pm 3}.$
• ${4x^2-3=0},$ т.е. ${x^2=\frac34},$ откуда ${x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt3}{2}}.$
• ${x^2+9=0},$ т.е. ${x^2=-9}.$ Квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому уравнение не имеет действительных корней.
• ${5x^2=0},$ т.е. ${x=0}.$

Не делите на $x.$ Если разделить ${3x^2=12x}$ на $x,$ получится только ${x=4},$ а корень ${x=0}$ потеряется. Правильно так: ${3x^2-12x=0},$ ${3x(x-4)=0},$ откуда ${x_1=0},$ ${x_2=4}.$

Формула корней. Дискриминант

Любое квадратное уравнение решается по одной и той же формуле.

Дискриминант	Число действительных корней	Корни
${D\gt 0}$	два различных	${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}$
${D=0}$	один (двукратный)	${x_1=x_2=-\frac{b}{2a}}$
${D\lt 0}$	нет	—

Почему при ${D=0}$ корень называют двукратным, станет ясно при разложении на множители: тогда ${ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2}.$

Как решать квадратное уравнение

1. Записываем уравнение в виде ${ax^2+bx+c=0}$ и определяем $a,$ $b$ и $c$ вместе с их знаками.
2. Вычисляем дискриминант ${D=b^2-4ac}.$
3. По знаку $D$ находим корни или делаем вывод, что действительных корней нет.
4. Делаем проверку: подставляем корни в уравнение или пользуемся теоремой Виета.

Пример 1. ${x^2+3x-4=0}.$ Здесь ${a=1},$ ${b=3},$ ${c=-4}.$

${D}={3^2-4\cdot 1\cdot(-4)}={9+16}={25}$

${x_{1,2}}={\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot 1}}={\frac{-3\pm 5}{2}}$

${x_1=\frac{-3-5}{2}=-4},$   ${x_2=\frac{-3+5}{2}=1}$

Проверка: ${(-4)^2+3\cdot(-4)-4}={16-12-4}={0}$ и ${1^2+3\cdot 1-4=0}.$

Пример 2. ${4x^2-12x+9=0}.$ Здесь ${a=4},$ ${b=-12},$ ${c=9}$ и

${D}={(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9}={144-144}={0}$

Уравнение имеет один корень: ${x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{8}=\frac32}.$ Действительно, ${4x^2-12x+9=(2x-3)^2},$ а это выражение равно нулю только при ${x=\frac32}.$

Пример 3. ${x^2-2x+5=0}.$ Здесь ${D}={(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5}={4-20}={-16}\lt{0},$ поэтому уравнение не имеет действительных корней. Это видно и так: ${x^2-2x+5=(x-1)^2+4},$ а квадрат плюс 4 не меньше 4, т.е. никогда не равен нулю.

Пример 4. ${x^2-4x+1=0}.$ Здесь ${D}={(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1}={12}$ и ${\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3}$:

${x_{1,2}}={\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}}={\frac{2(2\pm\sqrt3)}{2}}={2\pm\sqrt3}$

На 2 делим оба слагаемых числителя. Корни: ${x_1=2-\sqrt3\approx 0{,}27}$ и ${x_2=2+\sqrt3\approx 3{,}73}.$

Пример 5. ${-2x^2+x+6=0}.$ Удобно сначала умножить уравнение на $-1,$ чтобы старший коэффициент стал положительным: ${2x^2-x-6=0}.$ Корни от этого не меняются.

${D}={(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)}={1+48}={49},$   ${x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}},$   ${x_1=-\frac32},$   ${x_2=2}$

Если коэффициенты дробные или десятичные, умножаем уравнение на подходящее число, чтобы они стали целыми. Например, ${0{,}5x^2-1{,}5x+1=0}$ после умножения на 2 превращается в ${x^2-3x+2=0}$ с корнями 1 и 2.

Формула для чётного коэффициента при x

Если ${b=2k},$ формула упрощается. Тогда ${D}={4k^2-4ac}={4(k^2-ac)},$ и двойка сокращается:

Например, для ${x^2-4x+1=0}$ имеем ${k=-2},$ ${D_1=4-1=3}$ и сразу ${x_{1,2}=2\pm\sqrt3},$ без сокращения. Для ${3x^2+10x+3=0}$ имеем ${k=5},$ ${D_1=25-9=16}$ и ${x_{1,2}=\frac{-5\pm 4}{3}},$ т.е. ${x_1=-3},$ ${x_2=-\frac13}.$

Калькулятор квадратных уравнений

Введите коэффициенты $a,$ $b$ и $c.$ Это могут быть целые числа, десятичные дроби (например, 0,5) или обыкновенные дроби (например, 1/3). Пустое поле для $b$ или $c$ означает 0. Калькулятор точно вычисляет дискриминант и корни, проверяет их по теореме Виета, раскладывает трёхчлен на множители и находит вершину параболы.

Вывод формулы корней

Формула получается выделением полного квадрата. Делим уравнение ${ax^2+bx+c=0}$ на ${a\ne 0}$ и переносим свободный член вправо:

${x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$

Член ${\frac{b}{a}x}$ — это удвоенное произведение ${2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}}.$ Прибавляем к обеим частям ${\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}},$ и левая часть становится полным квадратом:

${x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}}={\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}$

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Знаменатель ${4a^2}$ положителен, поэтому правая часть имеет тот же знак, что и ${D=b^2-4ac}.$

• Если ${D\lt 0},$ правая часть отрицательна, а квадрат не может быть отрицательным. Действительных корней нет.
• Если ${D=0},$ получаем ${x+\frac{b}{2a}=0},$ т.е. ${x=-\frac{b}{2a}}.$
• Если ${D\gt 0},$ извлекаем корень: ${x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}}.$ (Строго говоря, ${\sqrt{4a^2}=2|a|},$ но знак $\pm$ и так включает оба знака.) Следовательно, ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}.$

Теорема Виета

Корни квадратного уравнения очень просто связаны с его коэффициентами. Эти связи носят имя французского математика Франсуа Виета (1540–1603). Он первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные числа в уравнениях. Это и сделало возможными общие формулы вроде приведённых ниже.

Словами: у приведённого уравнения сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство. Пусть ${x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$ и ${x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}.$ Сложим и перемножим их (числители произведения дают разность квадратов):

${x_1+x_2}={\frac{-b-\sqrt{D}-b+\sqrt{D}}{2a}}={\frac{-2b}{2a}}={-\frac{b}{a}}$

${x_1x_2}={\frac{(-b-\sqrt{D})(-b+\sqrt{D})}{4a^2}}={\frac{b^2-D}{4a^2}}={\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}}={\frac{4ac}{4a^2}}={\frac{c}{a}}$

При ${D=0}$ оба корня совпадают, и формулы всё равно верны: ${x_1+x_2}={2\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)}={-\frac{b}{a}},$ а ${x_1x_2=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{c}{a}},$ поскольку ${b^2=4ac}.$

Пример. Корни уравнения ${2x^2-5x-3=0}$ — это ${x_1=3}$ и ${x_2=-\frac12}.$ Действительно,

${x_1+x_2}={3-\frac12}={\frac52}={-\frac{-5}{2}},$   ${x_1x_2}={3\cdot\left(-\frac12\right)}={-\frac32}={\frac{-3}{2}}$

Сначала проверьте, есть ли корни. Теорема Виета говорит о корнях, которые существуют. Для ${x^2+2x+5=0}$ мы «получили» бы сумму $-2$ и произведение 5, но ${D=4-20=-16\lt 0},$ и действительных корней нет. Не существует и двух действительных чисел с суммой $-2$ и произведением 5.

Теорема, обратная теореме Виета

Почему это верно. Раскроем скобки: ${(x-x_1)(x-x_2)}={x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}={x^2+px+q}.$ Значит, уравнение ${x^2+px+q=0}$ — это то же самое, что ${(x-x_1)(x-x_2)=0},$ и его корни — в точности $x_1$ и $x_2.$

То же верно и в общем виде: если ${x_1+x_2=-\frac{b}{a}}$ и ${x_1x_2=\frac{c}{a}},$ то $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения ${ax^2+bx+c=0}$ (разделите уравнение на $a$).

Подбор корней в уме

Если приведённое уравнение ${x^2+px+q=0}$ имеет целые корни, их часто удаётся сразу угадать: ищем два числа, произведение которых равно $q,$ а сумма равна $-p.$

• ${x^2-7x+10=0}$: произведение 10 и сумма 7. Это ${x_1=2}$ и ${x_2=5}.$
• ${x^2+x-12=0}$: произведение $-12$ отрицательно, поэтому корни разных знаков, а их сумма равна $-1.$ Это ${x_1=-4}$ и ${x_2=3}.$
• ${x^2+8x+15=0}$: произведение 15 положительно (знаки одинаковые), а сумма $-8$ отрицательна (оба корня отрицательны). Это ${x_1=-5}$ и ${x_2=-3}.$

Два частных случая верны для любого квадратного уравнения:

Действительно, при ${x=1}$ левая часть равна ${a+b+c},$ а при ${x=-1}$ она равна ${a-b+c}.$ Второй корень находим из произведения ${x_1x_2=\frac{c}{a}}.$ Например, у ${5x^2-3x-2=0}$ корни 1 и ${-\frac25},$ так как ${5-3-2=0},$ а у ${2x^2+7x+5=0}$ корни $-1$ и ${-\frac52},$ так как ${2-7+5=0}.$

Если известен один корень, второй находится по теореме Виета. Например, ${x_1=2}$ — корень уравнения ${3x^2-7x+2=0},$ так как ${3\cdot 4-7\cdot 2+2=0}.$ Из ${x_1x_2=\frac23}$ следует ${x_2=\frac13}.$

Составление уравнения по его корням

По обратной теореме числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения ${x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}={0}.$

• Корни 3 и $-5$: сумма равна $-2,$ а произведение $-15.$ Уравнение: ${x^2+2x-15=0}.$
• Корни $\frac12$ и $-3$: сумма равна ${-\frac52},$ а произведение ${-\frac32}.$ Уравнение ${x^2+\frac52x-\frac32=0}$ умножаем на 2: ${2x^2+5x-3=0}.$
• Корни ${2+\sqrt3}$ и ${2-\sqrt3}$: сумма равна 4, а произведение ${4-3=1}.$ Уравнение: ${x^2-4x+1=0}$ (см. пример 4).

Выражения от корней без решения уравнения

Выражение, которое не меняется, если поменять местами $x_1$ и $x_2,$ можно выразить через сумму ${S=x_1+x_2}$ и произведение ${P=x_1x_2}.$ Чаще всего встречаются такие:

Выражение	Через $S$ и $P$
${x_1^2+x_2^2}$	${S^2-2P}$
${(x_1-x_2)^2}$	${S^2-4P}$
${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}$	${\frac{S}{P}}$
${x_1^2x_2+x_1x_2^2}$	${SP}$
${x_1^3+x_2^3}$	${S^3-3SP}$
${\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}$	${\frac{S^2-2P}{P}}$

Например, ${x_1^2+x_2^2}={(x_1+x_2)^2-2x_1x_2},$ потому что ${(x_1+x_2)^2}={x_1^2+2x_1x_2+x_2^2},$ а ${x_1^3+x_2^3}={(x_1+x_2)^3}-{3x_1x_2(x_1+x_2)}.$

Пример. Не решая уравнения ${x^2-6x+4=0},$ найдите ${x_1^2+x_2^2},$ ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}},$ ${x_1^3+x_2^3}$ и ${|x_1-x_2|}.$

Решение. ${D=36-16=20\gt 0},$ поэтому корни существуют. ${S=6},$ ${P=4}$ и

${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={36-8}={28}$

${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=\frac64=\frac32}$

${x_1^3+x_2^3}={S^3-3SP}={216-72}={144}$

${(x_1-x_2)^2}={S^2-4P}={36-16}={20},$ поэтому ${|x_1-x_2|=\sqrt{20}=2\sqrt5}$

Проверка: корни равны ${3\pm\sqrt5},$ и, например, ${(3+\sqrt5)^2+(3-\sqrt5)^2}={(14+6\sqrt5)}+{(14-6\sqrt5)}={28}.$

Вообще ${|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}}$: расстояние между корнями зависит только от дискриминанта и от $a.$

Знаки корней

Пусть уравнение имеет действительные корни (${D\ge 0}$). Их знаки определяются по $S$ и $P,$ без вычисления самих корней:

Условие	Корни
${P\lt 0}$	разных знаков
${P\gt 0},$ ${S\gt 0}$	оба положительны
${P\gt 0},$ ${S\lt 0}$	оба отрицательны
${P=0}$	один равен 0, другой равен $S$

Если ${P=\frac{c}{a}\lt 0},$ то $a$ и $c$ разных знаков, ${-4ac\gt 0}$ и ${D=b^2-4ac\gt 0}.$ Поэтому такое уравнение всегда имеет два корня разных знаков.

Пример. Для ${2x^2-9x+4=0}$ имеем ${D=81-32=49\gt 0},$ ${P=2\gt 0}$ и ${S=\frac92\gt 0}.$ Оба корня положительны (это 4 и $\frac12$). Для уравнения ${x^2+5x-3=0}$ имеем ${P=-3\lt 0},$ поэтому его корни разных знаков. Так как ${S=-5\lt 0},$ модуль отрицательного корня больше.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Выражение ${ax^2+bx+c}$ называется квадратным трёхчленом. Корни уравнения ${ax^2+bx+c=0}$ позволяют разложить его на множители:

Почему это верно. По теореме Виета

${a(x-x_1)(x-x_2)}={a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)}={a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)}={ax^2+bx+c}$

Пример 1. У ${2x^2-5x-3}$ корни 3 и ${-\frac12},$ поэтому ${2x^2-5x-3}={2(x-3)\left(x+\frac12\right)}={(x-3)(2x+1)}.$

Пример 2. Сократите дробь ${\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}.$

Решение. Корни уравнения ${x^2-5x+6=0}$ равны 2 и 3, поэтому ${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}.$ Кроме того, ${x^2-9=(x-3)(x+3)}.$ При ${x\ne\pm 3}$

${\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\frac{x-2}{x+3}}$

Квадратичная функция и парабола

Функция ${y=ax^2+bx+c},$ где ${a\ne 0},$ называется квадратичной функцией, а её график — параболой. Корни уравнения ${ax^2+bx+c=0}$ — это абсциссы общих точек параболы с осью $Ox.$

График ${y=x^2-2x-3}$: корни $-1$ и 3, вершина ${(1;\ -4)},$ ось симметрии ${x=1}.$

• При ${a\gt 0}$ ветви параболы направлены вверх, и вершина — её самая низкая точка. При ${a\lt 0}$ ветви направлены вниз, и вершина — самая высокая точка.
• Вершина: ${\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{D}{4a}\right)}.$ Ось симметрии: прямая ${x=-\frac{b}{2a}}.$
• Парабола пересекает ось $Oy$ в точке ${(0;\ c)}.$
• Ось симметрии проходит точно посередине между корнями: ${\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}}.$ Это снова формула Виета для суммы.

Общих точек у параболы с осью $Ox$ столько же, сколько корней у уравнения, т.е. их число зависит от знака $D$:

При ${D\gt 0}$ парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках, при ${D=0}$ касается её своей вершиной, а при ${D\lt 0}$ не имеет с ней общих точек.

Три вида записи квадратичной функции

Квадратичную функцию можно записать тремя способами. Каждый из них показывает своё свойство графика:

Запись	Что видно	Пример
Общий вид ${y=ax^2+bx+c}$	точка пересечения с осью $Oy$: ${(0;\ c)}$	${y=2x^2+4x-30},$ точка ${(0;\ -30)}$
Через вершину ${y=a(x-m)^2+n}$	вершина ${(m;\ n)}$ и ось ${x=m}$	${y=2(x+1)^2-32},$ вершина ${(-1;\ -32)}$
Через корни ${y=a(x-x_1)(x-x_2)}$	корни $x_1$ и $x_2$	${y=2(x-3)(x+5)},$ корни 3 и $-5$

Все три примера — одна и та же функция: ${2(x+1)^2-32}={2x^2+4x+2-32}={2x^2+4x-30}$ и ${2(x-3)(x+5)}={2(x^2+2x-15)}={2x^2+4x-30}.$ Подробнее о графике: Парабола.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Многие уравнения высших степеней или с дробями решаются так: подходящей заменой или преобразованием их сводят к квадратному уравнению.

Пример 1. ${3x^4-2x^2-1=0}.$ Это уравнение четвёртой степени, но в нём есть только $x^4$ и $x^2$ (биквадратное уравнение). Сделаем замену ${x^2=u},$ где ${u\ge 0}$:

${3u^2-2u-1=0}$

Так как ${3-2-1=0},$ корни равны ${u_1=1}$ и ${u_2=-\frac13}.$ Второй отрицателен и не подходит, потому что ${x^2\ge 0}.$ Из ${x^2=1}$ получаем ${x_{1,2}=\pm 1}.$

Пример 2. ${(x^2-2x+3)^2}-{5(x^2-2x+3)+4}={0}.$ Сделаем замену ${x^2-2x+3=u}$ и получим ${u^2-5u+4=0}$ с корнями ${u_1=1}$ и ${u_2=4}$ (произведение 4 и сумма 5).

• ${x^2-2x+3=4},$ т.е. ${x^2-2x-1=0}.$ Здесь ${D_1=1+1=2}$ и ${x_{1,2}=1\pm\sqrt2}.$
• ${x^2-2x+3=1},$ т.е. ${x^2-2x+2=0}.$ Здесь ${D_1=1-2=-1\lt 0},$ действительных корней нет.

Ответ: ${x_{1,2}=1\pm\sqrt2}.$ Второй случай можно было отбросить сразу: ${x^2-2x+3}={(x-1)^2+2}\ge{2},$ поэтому это выражение не может равняться 1.

Пример 3. ${\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}}.$ Область допустимых значений: ${x\ne\pm 1}.$ Умножаем на общий знаменатель ${x^2-1=(x-1)(x+1)}$:

${x(x+1)-2(x-1)=4},$   ${x^2-x-2=0}$

Корни: ${x_1=2}$ и ${x_2=-1}$ (${a-b+c=1+1-2=0}$). Число $-1$ недопустимо, потому что обращает в нуль знаменатели ${x+1}$ и ${x^2-1}.$ Ответ: ${x=2}.$

Решённые задачи

Задача 1. Решите уравнение ${x^2-4=0}.$

Решение. Раскладываем разность квадратов: ${(x-2)(x+2)=0},$ откуда ${x_1=2}$ и ${x_2=-2}.$ То же даёт и формула: ${a=1},$ ${b=0},$ ${c=-4},$ ${D}={0^2-4\cdot 1\cdot(-4)}={16}$ и ${x_{1,2}=\frac{0\pm 4}{2}=\pm 2}.$

Задача 2. Решите уравнение ${3x^2+4x+5=0}.$

Решение. ${D}={4^2-4\cdot 3\cdot 5}={16-60}={-44}\lt{0}.$ Уравнение не имеет действительных корней.

Задача 3. Решите уравнение ${x^2+4x-5=0}.$

Решение. ${D}={4^2-4\cdot 1\cdot(-5)}={16+20}={36}$ и ${x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}},$ т.е. ${x_1=1},$ ${x_2=-5}.$ Быстрее: ${a+b+c=1+4-5=0},$ поэтому ${x_1=1}$ и ${x_2=\frac{c}{a}=-5}.$

Задача 4. Решите уравнение ${x^2+4x+4=0}.$

Решение. ${D=4^2-4\cdot 1\cdot 4=0},$ поэтому уравнение имеет один корень: ${x=-\frac{4}{2}=-2}.$ Действительно, ${x^2+4x+4=(x+2)^2}.$

Задача 5. Решите уравнение ${x^2-13x+12=0}$ и постройте эскиз графика функции ${f(x)=x^2-13x+12}.$

Решение. ${a+b+c=1-13+12=0},$ поэтому ${x_1=1}$ и ${x_2=12}.$ Для графика: ${a=1\gt 0},$ поэтому ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось $Ox$ в точках ${(1;\ 0)}$ и ${(12;\ 0)},$ а ось $Oy$ — в точке ${(0;\ 12)}.$ Вершина лежит посередине между корнями: ${x=\frac{1+12}{2}=6{,}5},$ а ${D=169-48=121}$ и ${f(6{,}5)}={-\frac{D}{4a}}={-\frac{121}{4}}={-30{,}25}.$

Задача 6. Решите уравнение ${8x^2-30x+7=0}.$

Решение. Коэффициент при $x$ чётный: ${k=-15},$ ${D_1}={(-15)^2-8\cdot 7}={225-56}={169}$ и

${x_{1,2}=\frac{15\pm 13}{8}},$   ${x_1=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25},$   ${x_2=\frac{28}{8}=\frac72=3{,}5}$

Задача 7. Площадь прямоугольника равна 40 см², а его периметр — 26 см. Найдите его стороны.

Решение. Пусть стороны равны $x$ и $y.$ Тогда ${x+y=13}$ и ${xy=40}.$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения

${t^2-13t+40=0},$   ${D=169-160=9},$   ${t_{1,2}=\frac{13\pm 3}{2}}$

т.е. ${t_1=5}$ и ${t_2=8}.$ Стороны равны 5 см и 8 см.

Задача 8. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 156. Найдите эти числа.

Решение. Пусть числа равны $n$ и ${n+1}.$ Тогда ${n(n+1)=156},$ т.е. ${n^2+n-156=0}.$

${D=1+624=625},$   ${n_{1,2}=\frac{-1\pm 25}{2}},$   ${n_1=-13},$   ${n_2=12}$

Число $-13$ не натуральное. Искомые числа — 12 и 13. Проверка: ${12\cdot 13=156}.$

Задача 9. Мяч бросили вертикально вверх. Через $t$ секунд он находится на высоте ${h=20t-5t^2}$ метров. Когда мяч находится на высоте 15 м? Когда он упадёт на землю? На какую высоту он поднимется?

Решение. ${20t-5t^2=15},$ т.е. ${5t^2-20t+15=0},$ а после деления на 5: ${t^2-4t+3=0}.$ Корни: ${t_1=1}$ и ${t_2=3}$ (${1-4+3=0}$). Мяч оказывается на высоте 15 м дважды: через 1 с при подъёме и через 3 с при падении.

Мяч на земле, когда ${h=0}$: ${5t(4-t)=0},$ т.е. при ${t=0}$ (в момент броска) и при ${t=4}$ с. Наивысшая точка — вершина параболы: ${t=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2}$ с и ${h=20\cdot 2-5\cdot 2^2=20}$ м.

Задача 10. Сумма числа и обратного ему числа равна ${\frac{10}{3}}.$ Найдите это число.

Решение. ${x+\frac1x=\frac{10}{3}},$ ${x\ne 0}.$ Умножаем на $3x$: ${3x^2+3=10x},$ т.е. ${3x^2-10x+3=0}.$ Здесь ${k=-5},$ ${D_1=25-9=16}$ и ${x_{1,2}=\frac{5\pm 4}{3}},$ т.е. ${x_1=\frac13}$ и ${x_2=3}.$ Оба числа подходят: ${3+\frac13=\frac{10}{3}}.$

Квадратные уравнения с параметром

В уравнении с параметром некоторые коэффициенты зависят от буквы (параметра). Решить такое уравнение — значит указать, каковы его корни при каждом значении параметра. Если от параметра зависит старший коэффициент, отдельно рассматриваем случай, когда он равен нулю: тогда уравнение не квадратное.

Задача 1. Решите уравнение ${x^2-3x+p+1=0}$ с параметром $p.$

Решение. ${D}={(-3)^2-4(p+1)}={9-4p-4}={5-4p}.$

• При ${p\lt\frac54}$ дискриминант ${D\gt 0},$ и уравнение имеет два корня: ${x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5-4p}}{2}}.$
• При ${p=\frac54}$ дискриминант ${D=0},$ и уравнение имеет один корень: ${x=\frac32}.$
• При ${p\gt\frac54}$ дискриминант ${D\lt 0},$ и уравнение не имеет действительных корней.

Задача 2. Найдите значения $k,$ при которых уравнение ${kx^2-x+2=0}$ имеет ровно один действительный корень или не имеет действительных корней.

Решение. При ${k=0}$ уравнение линейное: ${-x+2=0},$ и у него один корень ${x=2}.$ Это значение подходит.

При ${k\ne 0}$ уравнение квадратное. Оно имеет один корень или не имеет корней тогда и только тогда, когда ${D\le 0}$:

${D}={(-1)^2-4\cdot k\cdot 2}={1-8k}\le{0},$   т.е. ${k\ge\frac18}$

Ответ: ${k=0}$ или ${k\ge\frac18},$ т.е. ${k\in\{0\}\cup\left[\frac18;\ +\infty\right)}.$ Значение ${k=\frac18}$ входит в ответ: тогда ${D=0},$ и уравнение ${\frac18x^2-x+2=0}$ имеет один корень ${x=4}.$

Задача 3. Найдите $m,$ если один из корней уравнения ${x^2+mx+12=0}$ равен другому, умноженному на 3.

Решение. Пусть корни равны $x_2$ и ${x_1=3x_2}.$ По теореме Виета ${x_1x_2=3x_2^2=12},$ откуда ${x_2^2=4}$ и ${x_2=\pm 2}.$

• При ${x_2=2}$: ${x_1=6}$ и ${m=-(x_1+x_2)=-8}.$ Уравнение ${x^2-8x+12=0}$ имеет корни 2 и 6.
• При ${x_2=-2}$: ${x_1=-6}$ и ${m=8}.$ Уравнение ${x^2+8x+12=0}$ имеет корни $-2$ и $-6.$

Ответ: ${m=-8}$ или ${m=8}.$

Задача 4. Найдите $k,$ если корни уравнения ${x^2+(k-2)x+4-2k=0}$ удовлетворяют условию ${x_1^2+x_2^2=5}.$

Решение. ${S=x_1+x_2=2-k}$ и ${P=x_1x_2=4-2k}.$ Тогда

${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={(2-k)^2-2(4-2k)}={k^2-4}$

Из ${k^2-4=5}$ получаем ${k=3}$ или ${k=-3}.$ Но теорема Виета верна только тогда, когда корни существуют, поэтому проверяем дискриминант:

• ${k=3}$: уравнение ${x^2+x-2=0}$ и ${D=1+8=9\gt 0}.$ Корни 1 и $-2,$ и действительно ${1^2+(-2)^2=5}.$
• ${k=-3}$: уравнение ${x^2-5x+10=0}$ и ${D=25-40=-15\lt 0}.$ Действительных корней нет.

Ответ: ${k=3}.$

Задача 5. Решите уравнение ${\frac{x+k}{k}+\frac{x}{x-k}=\frac{x-k}{2k}}$ с параметром $k.$

Решение. Уравнение имеет смысл при ${k\ne 0}$ и ${x\ne k}.$ Умножаем на ${2k(x-k)}$:

${2(x+k)(x-k)+2kx}={(x-k)^2}$

${2x^2-2k^2+2kx}={x^2-2kx+k^2}$

${x^2+4kx-3k^2=0}$

Коэффициент при $x$ чётный: ${D_1}={(2k)^2+3k^2}={7k^2}\gt{0},$ так как ${k\ne 0}.$ Поэтому

${x_{1,2}}={-2k\pm\sqrt{7k^2}}={-2k\pm\sqrt7\,|k|}={(-2\pm\sqrt7)k}$

(знак $\pm$ поглощает знак $k$: $\pm|k|$ и $\pm k$ дают одни и те же два числа). Остаётся проверить условие ${x\ne k}$: из ${(-2\pm\sqrt7)k=k}$ следует ${(-3\pm\sqrt7)k=0},$ а это невозможно, так как ${k\ne 0}$ и ${\sqrt7\ne 3}.$

Ответ: при ${k=0}$ уравнение не имеет смысла, а при любом ${k\ne 0}$ его корни ${x_{1,2}=(-2\pm\sqrt7)k}.$

Типичные ошибки

Ошибка	Неверно	Верно
Коэффициенты определены до переноса членов в левую часть	${x^2=2x+3}$: ${a=1},$ ${b=2},$ ${c=3}$	${x^2-2x-3=0}$: ${a=1},$ ${b=-2},$ ${c=-3}$
Потерян знак $b$	${x^2-5x+6=0}$: ${x_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2}}$	${-b=5},$ поэтому ${x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}}$
Квадрат отрицательного числа	${b=-3},$ ${b^2=-9}$	${b^2=(-3)^2=9}$
Неверный знак перед $4ac$	${x^2+3x-4=0}$: ${D=9-16}$	${D}={9-4\cdot 1\cdot(-4)}={9+16}={25}$
На $2a$ разделён только квадратный корень	${x_{1,2}=-b\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}}$	${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}$
Сокращено только одно слагаемое числителя	${\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=4\pm\sqrt3}$	${\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3}$
Корень потерян при делении на $x$	${3x^2=12x},$ значит ${x=4}$	${3x(x-4)=0}$: ${x_1=0},$ ${x_2=4}$
Забыт отрицательный корень	${x^2=9},$ значит ${x=3}$	${x_{1,2}=\pm 3}$
Сумма корней с неверным знаком	${x^2-7x+10=0}$: ${x_1+x_2=-7}$	${x_1+x_2=7},$ ${x_1x_2=10}$
Формулы для ${a=1}$ применены при ${a\ne 1}$	${2x^2-5x-3=0}$: ${x_1x_2=-3}$	${x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac32}$
Теорема Виета применена, когда корней нет	${x^2+2x+5=0}$: ${x_1+x_2=-2},$ ${x_1x_2=5}$	${D=-16\lt 0},$ действительных корней нет

Упражнения

Попробуйте решить сами, а затем откройте ответ.

1. Решите уравнение ${x^2-8x+15=0}.$

Ищем два числа с произведением 15 и суммой 8: ${x_1=3},$ ${x_2=5}.$ По формуле: ${D=64-60=4}$ и ${x_{1,2}=\frac{8\pm 2}{2}}.$

2. Решите уравнение ${2x^2+3x-2=0}.$

${D=9+16=25},$ ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}},$ т.е. ${x_1=-2},$ ${x_2=\frac12}.$

3. Решите уравнение ${9x^2-6x+1=0}.$

${D=36-36=0},$ и уравнение имеет один корень ${x=\frac{6}{18}=\frac13}.$ Действительно, ${9x^2-6x+1=(3x-1)^2}.$

4. Решите уравнение ${x^2+x+1=0}.$

${D=1-4=-3\lt 0}.$ Уравнение не имеет действительных корней.

5. Решите уравнение ${5x^2-20=0}.$

${x^2=4},$ откуда ${x_{1,2}=\pm 2}.$

6. Решите уравнение ${x^2-6x+7=0}.$

${k=-3},$ ${D_1=9-7=2}$ и ${x_{1,2}=3\pm\sqrt2}.$

7. Не решая уравнения ${x^2-3x-7=0},$ найдите ${x_1^2+x_2^2}$ и ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}.$

${D=9+28=37\gt 0},$ ${S=3}$ и ${P=-7}.$ Тогда ${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={9+14}={23}$ и ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=-\frac37}.$

8. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны $-2$ и ${\frac53}.$

${S=-2+\frac53=-\frac13}$ и ${P=-2\cdot\frac53=-\frac{10}{3}}.$ Уравнение ${x^2+\frac13x-\frac{10}{3}=0}$ умножаем на 3: ${3x^2+x-10=0}.$

9. Один из корней уравнения ${x^2+px-12=0}$ равен 4. Найдите $p$ и второй корень.

${x_1x_2=-12},$ поэтому ${x_2=-3}.$ Из ${x_1+x_2=1=-p}$ получаем ${p=-1}.$ Проверка: ${4^2-4-12=0}.$

10. При каком значении $m$ уравнение ${x^2-6x+m=0}$ имеет один (двукратный) корень?

${D=36-4m=0}$ при ${m=9}.$ Тогда ${x^2-6x+9=(x-3)^2},$ и корень равен ${x=3}.$

11. Длина прямоугольника на 3 см больше ширины, а его площадь равна 54 см². Найдите стороны прямоугольника.

Если ширина равна $x$ см, то ${x(x+3)=54},$ т.е. ${x^2+3x-54=0}.$ ${D=9+216=225}$ и ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 15}{2}}.$ Положительный корень ${x=6}.$ Стороны равны 6 см и 9 см.

См. также: Биквадратные уравнения · Квадратные неравенства · Парабола

Проверить ответы можно также на странице «Решение математических задач онлайн».