Задачи и их решения - дорога, скорость, время и пропорции
Задача 1
В одном магазине после обеда было продано в два раза больше груш, чем утром. В течение всего дня магазин продал 360 кг груш. Сколько килограммов груш продано утром и после обеда?
Решение:
Давайте предположим, что утром продано х кг груш, тогда после обеда было продано 2х кг груш. Их сумма х + 2x = 3х является общим количеством проданных груш, т.е. 360 кг. Итак, мы получаем следующее уравнение 3x = 360 <=> x = 360/3 <=> x = 120 Поэтому, утром было продано 120 кг груш, а после обеда 2.120 = 240 кг.
Задача 2
Иван собрал в два раза больше каштанов, чем Пётр, а Борис собрал на 2 кг больше, чем Пётр. Вместе они собрали 26 кг каштанов. Сколько килограммов собрал каждый из них?
Решение:
Давайте предположим, что Пётр собрал x кг каштанов, тогда Иван собрал 2x кг, а Борис
(x +2) кг. Все собранные каштаны: x + 2x +x +2 = 4x +2 и, согласно условию, это количество равно 26 кг. Мы получаем уравнение: 4x +2 = 26 <=> 4x = 24 <=> x = 6
Поэтому Пётр собрал 6 кг, Иван - 12 кг, а Борис: 6+2 = 8 кг каштанов.
Задача 3
Николай прочитал 2/3 книги и подсчитал, что он прочитал часть книги, которая на 90 страниц больше непрочитанной части. Сколько страниц в целой книге?
Решение:
Давайте обозначим число страниц в книге как x .Прочитанная часть книги равна 2/3 от x, т.e. 2/3x Мы получим часть, когда из всей книги мы вычтем прочитанную часть, т.e. x - 2/3 . x = 3/3x - 2/3x = 1/3x. Прочитанная часть 2/3x на 90 страниц больше, чем непрочитанная, которая равна 1/3x. Поэтому
2/3x – 1/3x = 90 <=> 1/3x =90 <=>
x = 90.3 = 270.
Задача 4
Поле может быть вспахано 6-ю тракторами в течение 4 дней, если они вспашут 120 гектаров в день. Два трактора переехали на другое поле. Остальные 4 вспахивали то же поле в течение 5 дней. Сколько гектаров в среднем в день вспахивали 4 трактора?
Решение:
Если 6 тракторов вспахивали 120 гектаров поля в день, и они вспахали поле за 4 дня, тогда площадь поля равна: 120.6.4 = 720.4 = 2880 гектаров. Давайте предположим, что каждый из четырёх тракторов за 5 дней вспахал x гектаров. Поэтому вся работа:
5.4.x = 20.x гектаров и все поле – 2880 гектаров Мы получаем 20x = 2880 <=>
x = 2880/20 = 144 гектаров в день вспахивал каждый из четырех тракторов.
Задача 5
Ученик задумал число и умножил его на 2. Из полученного числа он вычел 138 и получил 102. Какое число задумал ученик?
Решение:
Давайте обозначим задуманное число как x. Когда он его умножил его на 2, он получил (2x); из этого числа он вычел 138 т.e. 2x - 138 и, согласно условию он получил 102 <=> 2x - 138 = 102. Для нахождения задуманного числа решим это уравнение
2.x -138 = 102 <=> 2x = 240 <=> x = 240/2 <=> x = 120
Задача 6
Я задумал число, разделил его на 5 , из полученного результата я вычел 154 и получил 6. Какое число я задумал?
Подсказка: Задуманное число - x и уравнение имеет вид: x/5 -154 = 6
Решите уравнение самостоятельно. Ответ x = 800
Задача 7
Расстояние между двумя городами равно 380 км. Автомобиль и грузовик выехали с двух городов одновременно.
С какой скоростью они двигались, если скорость автомобиля на 5 км/ч больше, чем скорость грузовика, и они встретились через 4 часа?
Решение:
Основное уравнение этой задачи, это то, что расстояние равно скорости, умноженной на время: S = V.t
V км/ч.
t ч
S км
Автомобиль
x + 5
4
4(x +5)
Грузовик
X
4
4x
4(x + 5) + 4x = 380 <=> 4x + 4x = 380 - 20 <=> 8x = 360 <=> x = 360/8 <=> x = 45
Поэтому, грузовик двигался со скоростью 45 км/ч, а автомобиль - со скоростью 50 км/ч.
Задача 8
Одна из сторон прямоугольника на 3 см короче другой. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что, увеличив каждую сторону на 1 см, площадь прямоугольника увеличиться на 18 см.2
Решение:
Обозначим длину одной из сторон прямоугольника x см (x > 3), тогда длина другой будет равна x – 3 см. Площадь равна S1 = x(x - 3) см 2. Если мы увеличим стороны на 1 см, эти стороны будут равны (x + 1) см и (x - 3 + 1 ) = (x - 2) см. Тогда с увеличенными сторонами площадь будет равна S2 = (x + 1).(x - 2) см 2 и, согласно условию на 18 см 2 больше чем первая площадь. Тогда мы получим следующее уравнение:
S1 + 18 = S2 <=> x(x - 3) + 18 = (x + 1)(x - 2) <=> x2 - 3x + 18 = x2 + x - 2x - 2 <=> 2x = 20 <=> x = 10. Тогда стороны прямоугольника равны 10 см и (10 - 3) = 7 см.
Задача 9
В течение одного года две коровы дали 8100 литров молока. В следующем удой от первой коровы увеличился на 15%, а второй - на 10%, при этом общий удой за этот год составил 9100 л молока. Сколько литров молока давала каждая корова в течение первого и второго года?
Решение:
Если в течение первого года первая корова дала x л молока, тогда вторая корова дала (8100 – x) л.
Увеличение удоя молока составило 15% от x, т.e. 15/100.x и
10% от (8100 – x), т.e. 10/100.(8100 – x) . Тогда в течение второго года две коровы дали количество молока за первый год + увеличение удоя за второй год
Получаем следующее уравнение: 8100 + 15/100.x + 10/100.(8100 – x) = 9100
Поэтому 8100 + 3/20x + 1/10 (8100 – x) = 9100 <=> 1/20 . x = 190 <=> x = 3800
В первый год коровы давали 3800 л и 4300 л молока, а во второй год 4370 л и 4730 л.
Задача 10
Расстояние между станциями А и В составляет 148 км. От станции А к станции B отправляется поезд типа "экспресс", который движется со скоростью 80 км/ч. В то же самое время от станции Б к станции А отправляется грузовой поезд со скоростью 36 км/ч. Мы знаем, что, прежде чем встретиться на станции C экспресс сделал 10 минутную остановку, а грузовой поезд - 5 минутную установку. Найдите:
а) Расстояние между станцией C и станцией B
b) В какое время грузовой поезд отправился со станции В, если он встретился с экспрессом на станции C в 12 часов.
Решение
a) Обозначим расстояние от станции В до станции C как х км. Тогда расстояние от станции С до станции А равно (148 - х) км. К моменту встречи на станции C экспресс добирался (148-х) / 80 + 10/60 часов, а и грузовой поезд x/36 +5/60 часов. Поскольку поезда отправились в поездку в одно и то же время, то эти времена равны.:
(148 - х)/80 + 1/6 = x/36 + 1/12. После приведения к общему знаменателю, который для 6, 12, 36, 80 равен 720 и его сокращения, получаем:
9(148 – x) +120 = 20x +60 <=> 1332 – 9x + 120 = 20x + 60 <=> 29x = 1392 <=> x = 48
Поэтому расстояние между станциями B и C равно 48 км.
b) К моментy встречи на станции C грузовой поезд добирался в течение 48/36 + 5/60 часов, т.e. 1 час и 25 мин. Поэтому, он отправился со станции B в 12 - 1.25/60 = 10.35/60 часов, т.e. в 10 ч и 35 мин.
Задача 11
Мотоциклист должен преодолеть расстояние от города А до города Б за определённое время. Через два часа после того как он выехал, он заметил, что он преодолел 80 км, и если он будет продолжать двигаться с такой же скоростью, он прибудет в город Б с опозданием на 15 минут. Поэтому увеличил скорость на 10 км/ч, и прибыл в город B на 36 минут раньше запланированного времени. Найдите:
а) Расстояние между двумя городами;
b) Время, за которое мотоциклист должен был проехать от города A к городу B
Решение:
Обозначим расстояние от А до Б в х км. Мотоциклист за первые два час проехал 80 км, поэтому его скорость была равна V = 80/2 = 40 км/ч. С такой скоростью он преодолел бы все расстояние за x/40 часов, опоздав на 15 минут, то есть точное время составило бы x/40 - 15/60 часов. Оставшийся путь (х - 80) км он проехал со скоростью V = 40 + 10 = 50 км/ч . Поэтому, время, за которое он проехал полное расстояние от А до В составило: 2 + (х - 80)/50 часов и это на 36 мин. раньше, чем ожидалось. Поэтому запланированное время было: 2 + (х -80)/ 50 + 36/60 Когда мы приравняем выражения для ожидаемого времени, мы получим уравнение:
x/40 – 15/60 = 2 + (x -80)/50 + 36/60 <=> (x - 10)/40 = (100 + x - 80 + 30)/50 <=> (x - 10)/4 = (x +50)/5 <=> 5x - 50 = 4x + 200 <=> x = 250
Итак, искомое расстояние равно 250 км. Время возможно найти, заменив x на 250 в первом выражении, например:
x/40 – 15/60 = 250/40 – 1/4 = 25/4 – 1/4 = 24/4 = 6 часов.
Задача 12
Для того, чтобы своевременно выполнить заказ на изготовление деталей, бригада должна производить 25 деталей в день. Через 3 дня бригада увеличила производительность работы на 5 деталей и произвела 100 деталей сверх заказа в заданное время. Найдите, сколько деталей сделала бригада и за сколько дней?
Решение:
Обозначим число искомых дней как x. Тогда 25.x это число деталей, которое они дожны были сделать. С повышенной производительность они произвели:
1.25 + (x - 3)(25 + 5) = 75 + 30.(x - 3) и это количество было больше, чем запланированное, на
100 штук.
Тогда: 25. x = 75 + 30(x -3) – 100; 25x = 75 +30x -90 – 100 <=>
190 -75 = 30x -25 <=> 115 = 5x <=> x = 23
Таким образом, количество дней - 23 и количество произведенных деталей 23.25 = 575
Задача 13
В 7а классе - 24 ученика. Во время субботника они посадили в общей сложности 24 берёз и роз, и каждая девушка посадила 3 розы, а каждые три мальчика посадили 1 берёзу. Найдите, сколько берёз и роз посадили ученики 7а класса?
Решение:
Обозначим число высаженных роз как x, тогда количество берёз составило (24 – x). Если каждая девочка посадила 3 розы, то девочек в классе было x/3 . Из того факта, что 3 мальчика посадили одну берёзу, следует, что мальчиков было 3(24 - x). Общее число учеников в классе 24, т.e. x/3 + 3(24 – x) = 24 <=> x + 9(24 – x) = 3.24 <=> x +216 – 9x = 72 <=> 216 – 72 = 8x <=> 144/8 = x <=> x = 18 Поэтому было посажено 18 роз; число берёз было:
24 – x = 24 - 18 = 6.
Задача 14
Из города А в город B выехал автомобиль со скоростью V = 32км/ч. Спустя 3 часа после отъезда водитель сделал 15 минутную остановку в городе С. Из-за повреждений дороги он изменил маршрут в городе Б на другой, который был длиннее на 28 км от первоначального, и он поехал со скоростью V = 40км/ч. С условием, что автомобиль прибыл в город с опозданием на 30 минут, найдите:
a) Расстояние, которое проехал автомобиль
b) Время, которое потратил водитель, чтобы добраться из города C в город B
Решение:
Из условия задачи мы не знаем, была ли 15-минутная остановка в городе C запланированной или это было сделано из-за повреждения дороги. Таким образом, мы рассмотрим оба случая. Первый случай. Остановка была запланированная и водитель двигался прямо к городу В. Для обоих случаев мы будет рассматривать только движение от С к Б. Действительное движение (по длинному маршруту) мы будем принимать в качестве х ч.
Тогда, пройденное расстояние от С до В будет: S = 40.x км.
Время от C к B, если ехать по первоначальной дороге: x - 30/60 = x - 1/2 часа. Тогда расстояние которое водитель должен был проехать от C к B, если бы не было повреждения дороги, составило бы:
(x - 1/2).32 км, что на 28 км короче, чем 40.x км. Поэтому, мы получаем уравнение:
(x - 1/2).32 +28 = 40x <=> 32x -16 +28 = 40x <=> 8x = 12 <=> $x = \frac{12}{8}$
$x = 1\frac{4}{8} = 1\frac{1}{2} = 1\frac{30}{60} =$ 1 час и 30 мин.
Итак, автомобиль проехал расстояние от C к B за 1 час и 30 мин.
И пройденное расстояние от А к В: 3.32 + 12/8.40 = 96 + 60 = 156 km.
Второй случай Давайте предположим, что 15-минутная остановка была незапланированной, т. е. из-за необходимости двигаться более длинной дорогой. Давайте еще раз обозначим время, которое фактически потрачено на путь от С к В, как х часов. Тогда расстояние снова будет: S = 40.x км.
Время от C к B, если ехать по первоначальной дороге:
$x - \frac{30}{60} + \frac{15}{60} = x - \frac{15}{60} = x - \frac{1}{4}$ часов.
Тогда расстояние, которое водитель должен был проехать от C к B, если бы не было повреждения дороги, составило бы $32(x - \frac{1}{4})$ км, что на 28 км короче, чем 40.x км т.e.
$32(x - \frac{1}{4}) + 28 = 40x$ $32x - 8 +28 = 40x$ $20= 8x$
$x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2 \text{ч. } 30$ мин.
Пройденное расстояние: $40 \times 2,5 = 100 km$.
Задача 15
Для того, чтобы вспахать поле вовремя, трактор должны вспахивать 120 га в день. По техническим причинам он вспахивал 85 га в день, и из-за этого он пахал на 2 дня дольше, чем требуемое время, и ещё 40 га остались невспаханными. Найдите площадь всего поля, и сколько дней было запланировано на его вспахивание?
Решение:
Давайте обозначим количество запланированных дней для вспахивания поля как х. Тогда площадь всего поля 12.x га. Если взять реальное количество дней, потраченное на вспахивание, то выйдет х + 2. Но вспахивалось 85 га в день, поэтому было вспахано 85(х + 2) га, что на 40 га меньше, чем всё поле. Тогда уравнение следующее:
120.x = 85(x + 2) + 40 <=> 35x = 210 <=> x = 6. Таким образом, на вспахивание поля было запланировано 6 дней и площадь поля составилa 120.6 = 720 га.
Задача 16
В течение 24 дней токарь должен выточить определённое количество деталей. За счет увеличения количества вытачиваемых деталей на 5 штук в день он работал 22 дня и выточил на 80 деталей больше, чем было запланировано. Найдите, сколько деталей вытачивал токарь за день, и сколько надо было выточить деталей?
Решение:
Обозначим количество деталей, изготавливаемых в день как x. За 24 дня он выточит 24.x детали. Он делал x + 5 в день и за 22 дня он изготовил 22.(x + 5) деталей, что 80 больше, чем 24x. Тогда уравнение будет иметь вид: 24. x + 80 = 22.(x +5) <=> 30 = 2x <=> x = 15
Продуктивность работы токаря - 15 деталей в день, и всего он изготовил 15.24 = 360 деталей.
Задача 17
Мотоциклист проехал половину расстояния между двумя городами за 2 часа 30 мин и после этого он увеличил скорость на 2 км/ч. Он преодолел вторую часть пути за 2 часа 20 мин. Найдите расстояние между двумя городами и исходную скорость мотоциклиста.
Решение:
Если на первой половине пути скорость была х км/ч, то на второй половине скорость составила х + 2 км/ч. Расстояние, пройденное со скоростью $2\frac{30}{60}.x$ км и $2\frac{20}{60}.(x+2)$ км и по условию они равны.
Из уравнения: $2\frac{30}{60}.x = 2\frac{20}{60}(х + 2)$ получим х = 28 км/ч
Тогда, расстояние между двумя городами: $2.(2\frac{30}{60}).28 = 2.\frac{150}{60}.28 = 140$ км.
Задача 18
Поезд, проехав половину расстояния между двумя станциями А и Б со скоростью 48 км / ч, сделал 15-минутную остановку.
После этого он увеличил свою скорость на 5/3 м/с и прибыл на станцию B вовремя.
Найдите расстояние между двумя станциями и скорость поезда после остановки?
Решение:
Сначала определим скорость поезда после остановки. Увеличение на 5/3 м/c =
5.60.60/3.1000 км/ч = 6 км/ч. Тогда скорость после увеличения: 48 + 6 = 54 км/ч. Если первая половина расстояния пройдена за х часов, тогда вторая за х - 15/60 = х - 0,25 часов. Уравнение будет иметь вид: 48.х = 54(х - 0,25)
48x = 54x - 54 . 0,25
48x - 54x = -13.5
-6x = -13,5
х = 2,25 ч.
Искомое расстояние находится как: 2.48.2,25 = 216 км.
Задача 19
Работник может закончить запланированную работу за 15 дней, другой работник может закончить только 75% от этой же работы за того же времени. Сначала второй работник работал несколько дней, а затем первым присоединился к нему, и вместе они закончили остальную часть работы за 6 дней.
Сколько дней работал каждый работник, и какой процент работы сделал каждый из них?
Решение:
Сначала найдем производительность каждого работника. Если мы возьмем всю работу в качестве единицы (1), то первый работник сделал 1/15 работы, и производительность второго составила 75% от 1/15, т.е. 75/100.1/15 = 1 / 20 Давайте, предположим, что второй работник работал один х дней. Тогда он закончил бы работу за Х/20. За 6 дней работы, проделанной совместно, они сделали 6(1 / 15 +1 / 20) = 6.7/20 = 7/10 Сумма Х/20 и 7/10 дает всю работу, то есть 1 . Итак, мы получаем уравнение:
Х/20 +7 / 10 = 1 <=> х = 6. Второй работник работал 6 +6 = 12 дней, а первый только 6 дней.
Процент работы, сделанной вторым работником: 12.1/20 = 60/100 = 60%, а первым: 6.1/15 = 40/100 = 40%
Задача 20
Трактористы планируют вспахать поле, вспахивая 120 га в день. После первых двух дней они увеличили площадь дневной вспашки на 25%, и поэтому они закончили на два дня раньше запланированного срока.
Найдите:
а) Сколько гектаров составляет площадь поля?
b) Сколько дней заняла вспашка всего поля?
c) Сколько дней заняла бы вспашка всего поля, если бы трактористы следовали запланированным нормам?
Решение:
Прежде всего мы найдем ежедневную производительность работы трактористов в гектарах. 25% из 120 гектаров являются 25/100.120 = 30 гектаров, поэтому 120 + 30 = 150 га это ежедневная производительность работы после повышения. Давайте обозначим запланированное количество дней для вспашки как х. Тогда площадь поля будет 120.x гектаров. То же можно найти, если к 120.2 га добавить 150.(х -4) га. Тогда уравнение будет иметь вид 120x = 120,2 + 150.(х -4) <=>
х = 12. То есть 12 дней были необходимы, чтобы вспахать поле согласно плану, но на самом деле поле было вспахано за: 12 -2 = 10 дней.
Площадь поля: 120.12 = 1440 га
Задача 21
Чтобы скосить траву на поле в запланированное время, бригада рабочих должна скашивать
15 га ежедневно. Первые 4 дней они работали, как запланировано, а затем увеличили площадь дневного скашивания на 33,1/3%. Они закончили работу на 1 день раньше. Найдите:
A) Сколько гектаров составляет площадь поля?
B) Сколько дней заняло скашивание всего поля?
C) Сколько дней заняло бы скашивание всего поля, если бы рабочие следовали запланировованным нормам?
Подсказка: Смотрите решение задачи 20, и решите эту задачу самостоятельно. Ответ: A) 120 га B) 7 дней C) 8 дней
Задача 22
Поезд должен был проехать расстояние от А до Б в соответствии с графиком в определённое время. Если поезд отправиться со станции А со скоростью 75 км/ч он прибудет в пункт Б на 48 минут раньше расписния. Если он будет двигаться со скоростью 50 км/ч, за планируемое время он не доедет 40 км до станции Б. Найдите:
A) Расстояние между двумя станциями;
Б) Время, которое необходимо поезду, чтобы преодолеть расстояние в соответствии с графиком;
B) Скорость, необходимая для прибытия по расписанию;
Решение:
Давайте обозначим время для движения от А к Б как х часов. Тогда расстояние от А до Б можно найти двумя способами. Первый способ: 75 (х - 48/60) км; второй: 50x + 40 км. Итак, мы получаем уравнение: 75 (х - 48/60) = 50x + 40 <=> х = 4 и это время по расписанию. Расстояние между двумя станциями 50.4 + 40 = 240 км. Тогда скорость, с которой должен двигаться поезд, чтобы придерживаться графика, составляет 240 / 4 = 60 км/ч.
Задача 23
Из двух городов А и В, расстояние между которыми 300 км, в одно и то же время отправились два поезда. Мы знаем, что скорость одного из поездов на 10 км/ч больше, чем скорость другого. Найти скорость двух поездов, если через 2 часа после их отъезда расстояние между ними составило 40 км.
Решение:
Давайте скорость поезда, который двигался медленее, обозначим как х км/ч. Тогда скорость другого будет х + 10 км/ч. Через 2 часа они проедут 2x км и 2(x +10) км. Тогда весь путь от А к Б: 2x + 2 (х +10) +40 = 4x +60 км, если поезда еще не встретились или 2x +2 (х +10) -40 = 4 км -20, если они встретились. Итак, мы получаем два уравнения: 4x + 60 = 300 <=> 4x = 240 <=> х = 60 или
4x - 20 = 300 <=> 4x = 320 <=> х = 80
Так, скорость медленного поезда 60 км/ч или 80 км/ч, а скорость другого составляет 70 км/ч или 90 км/ч.
Задача 24
Автобус преодолевает расстояние между двумя городами А и Б за определенное время. Если автобус двигается со скоростью 50 км/ч, он прибудет в Б с опозданием 42 мин, а если он увеличит скорость на 5,5/9 м/с, то он прибудет в Б на 30 минут раньше времени по расписанию. Найдите:
А) расстояние между двумя городами;
Б) время движения автобуса по расписанию;
С) скорость автобуса, необходимую для прибытия по расписанию.
Решение:
Сначала определим скорость автобуса после увеличения. Увеличение составило 5,5/9 м/с = 50/9 м/с = 50.60.60/9.1000 км/ч = 20 км/ч. Поэтому, увеличенная скорость V = 50 +20 = 70 км/ч. Если по расписанию время для поездки х часов, то при скорости 50 км/ч он двигался от А к Б (х +42/60) часов, а при скорости V = 70 км/ч он потратил (х - 30/60) часов. Тогда 50 (х +42 / 60) = 70 (х -30/60 ) <=>
5 (х + 7/10) = 7(х - 1/2) <=>
7/2 + 7/2 = 7x - 5x <=>
2x = 7 <=> х = 7/2 Таким образом, время движению по расписанию 3 часа 30 мин.
Расстояние от А до Б: 70(7/2 - 1/2) = 70.3 = 210 км и скоростью по расписанию 210/(7/2) = 60 км/ч.
Меню