МенюПределы (Интуитивное введение)
Задача с касательнойДана функция f(x) и точка P(x0, y0) на графике этой функции. Найдите уравнение прямой, касательной к графику функции в точке P
Задача с площадью
Дана функция f, найдите площадь между графиком f и отрезеом [a,b] на x-axis
Прямая называется касательной к окружности, если она касается окружности только в одной точке.
Но это определение не является удовлетворительным для другого вида кривых, таких как
Прямая, являющаяся касательной, касается кривой более чем один раз.
Прямую, которая занимает эту позицию, мы рассматриваем как касательную в точке P.
Площади некоторых плоских фигур могут быть вычислены путем разделения их на конечное число прямоугольников или треугольников, а затем сложением площадей этих фигур.
Для многих площадей нужен более общий подход.
Аппроксимируем площадь этого области, вписывая прямоугольники одинаковой ширины под кривую и складывая площади этих прямоугольников.
Наша аппроксимация будет приближаться к точной площади под кривой как "предельное значение".
Давайте возьмем
f(x) = sin(x)/x
Где x - в радианах.
Предел справа
limx → 0+ sin(x)/x "Пределы функции f(x) когда x стремится к 0 справа"
limx → 0+ sin(x)/x
"Пределы функции f(x) когда x стремится к 0 слева."
Переключив калькулятор в режим "радианы", мы получим
|
|
Когда x стремится к 0 слева или справа, f(x) стремится 1.
В таблице приведено несколько примеров пределов функций.
| ЗАПИСЬ | КАК ЧИТАТЬ ЗАПИСЬ |
| limx→ x0+ = L1 | Предел f(x) когда x стремится x0 справа, равен L1 |
| limx→ x0- = L2 | Предел f(x) когда x стремится x0 слева, равен L2 |
| limx→ x0 = L | Предел f(x) когда x стремится x0 равен L |
Числовые ловушки
f(x) = sin(φ/x)
limx → 0 sin(φ/x) = limx → 0+ sin(φ/x) = limx → 0- sin(φ/x)
Таблица 2.4.4
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1 | 0 | -1 | 0 |
| 0.1 | 0 | -0.1 | 0 |
| 0.01 | 0 | -0.01 | 0 |
| 0.001 | 0 | -0.001 | 0 |
| 0.0001 | 0 | -0.0001 | 0 |
Существование пределов
limx→ x0- f(x) = limx→ x0+ f(x) = limx→ x0 f(x) = +∞
x стремится к x0 слева
limx→ x0- f(x) = limx→ x0+ f(x) = limx→ x0 f(x) = -∞
x стремится к x0 справа
Пример
limx→ x0- f(x) = -∞ limx→ x0+ f(x) = +∞
Предел функции не существует в X0
Пример
Here
limx→ -∞ f(x) = -1 limx → +∞ f(x) = 4
So, limit of function does not exist.
Example
Здесь
as x → -∞, f(x) → +∞
as x → +∞, f(x) → -2
Поэтому, предела функции не существует.
Пример
Здесь
as x → -∞, f(x) → -∞
as x → +∞, f(x) → oscillates
Поэтому, предела функции не существует.
