МенюПределы (Интуитивное введение)
Предел является центральным понятием математического анализа. Грубо говоря, предел функции в точке — это значение, к которому приближается функция, когда $x$ приближается к этой точке. На этой странице мы увидим, откуда возникают пределы (из двух старых геометрических задач), как угадать предел по таблице или по графику, где при этом можно ошибиться и что означают бесконечные пределы и пределы на бесконечности. Как точно вычислять пределы, объясняется в следующем уроке «Пределы и методы вычисления».
На этой странице: Две задачи · Касательные · Площади · Предел по таблице · Односторонние пределы · Ловушки численных расчётов · Бесконечные пределы · Пределы на бесконечности · Сводка · Задачи
Две задачи, которые приводят к пределам
Задача о касательной. Дана функция $f$ и точка $P(x_0;\,y_0)$ на её графике. Найти уравнение касательной к графику в точке $P.$
Задача о площади. Дана функция $f,$ причём ${f(x)\ge0}.$ Найти площадь фигуры между графиком функции $f$ и отрезком $[a;\,b]$ оси $x.$
Обе задачи выглядят простыми, но ни одну из них нельзя решить одними только средствами алгебры и геометрии прямых и многоугольников. Обе решаются с помощью одной и той же новой идеи — предела.
Задача о касательной
Для окружности касательную определить легко: прямая называется касательной к окружности, если она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такая прямая перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Для других кривых это определение не подходит. На первом рисунке ниже горизонтальная прямая имеет с параболой ${x=y^2}$ только одну общую точку $P,$ но не является касательной: она не касается кривой в точке $P,$ а пересекает её. Кривой в точке $P$ касается вертикальная прямая. На втором рисунке прямая касается кривой в точке $P$ и является там касательной, но при этом имеет с кривой ещё две общие точки.
Определение, которое подходит и для других кривых, использует секущие. Возьмём на кривой вторую точку $Q$ и проведём прямую $PQ.$ Теперь пусть точка $Q$ движется по кривой к точке $P.$ Секущая поворачивается, и когда $Q$ подходит всё ближе и ближе к $P,$ она стремится к некоторому предельному положению, если такое положение существует. Прямая в этом предельном положении и есть касательная в точке $P.$
Пример 1. Найдите касательную к параболе ${y=x^2}$ в точке $P(1;\,1).$
Возьмём на параболе точку $Q(x;\,x^2),$ где ${x\ne1}.$ Угловой коэффициент секущей $PQ$ равен
${m_{PQ}}={\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={{x+1}.}$
Вот угловые коэффициенты для точек $Q,$ которые подходят всё ближе и ближе к $P$ с обеих сторон:
| $Q$ справа от $P$ | $Q$ слева от $P$ | ||
|---|---|---|---|
| $x$ | ${m_{PQ}}$ | $x$ | ${m_{PQ}}$ |
| 3 | 4 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | 0,5 | 1,5 |
| 1,5 | 2,5 | 0,9 | 1,9 |
| 1,1 | 2,1 | 0,99 | 1,99 |
| 1,01 | 2,01 | 0,999 | 1,999 |
| 1,001 | 2,001 | 0,9999 | 1,9999 |
Чем ближе $Q$ к $P,$ тем ближе угловой коэффициент к $2.$ Говорят, что угловой коэффициент касательной есть предел угловых коэффициентов секущих при $x,$ стремящемся к $1,$ и пишут
$$m=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$Касательная проходит через точку $P(1;\,1)$ и имеет угловой коэффициент $2,$ поэтому её уравнение имеет вид ${y-1=2(x-1)},$ то есть ${y=2x-1}.$ Заметим, что дробь ${\frac{x^2-1}{x-1}}$ не имеет значения при ${x=1}$ (она превращается в ${\frac{0}{0}}$). Предел использует только значения вблизи точки $1$ и никогда не использует значение в самой точке $1.$ Угловой коэффициент касательной в точке называется производной функции в этой точке.
Задача о площади
Площади некоторых плоских фигур можно найти, разрезав их на конечное число прямоугольников или треугольников и сложив площади частей: ${A=A_1+A_2}$ на левом рисунке и ${A=A_1+A_2+A_3}$ на правом.
Для фигуры с криволинейной стороной, например для фигуры под графиком $f$ между ${x=a}$ и ${x=b},$ так сделать нельзя: никакое конечное число прямоугольников или треугольников не заполнит её точно.
Вместо этого площадь находят приближённо. Разделим отрезок $[a;\,b]$ на $n$ частей одинаковой ширины и на каждой части построим прямоугольник, как можно более высокий, но всё ещё лежащий под кривой (вписанный прямоугольник). Сумма площадей этих прямоугольников немного меньше площади фигуры. С ростом $n$ прямоугольники становятся уже, промежутки между ними и кривой уменьшаются, и суммы приближаются к точной площади как к предельному значению.
Пример 2. Найдите площадь под графиком ${y=x^2}$ между ${x=0}$ и ${x=1}.$
Разделим отрезок $[0;\,1]$ на $n$ частей шириной ${\frac{1}{n}}.$ Вписанные прямоугольники имеют высоты ${(k/n)^2}$ при ${k=0},$ $1,$ …, ${n-1}.$ Прямоугольники, покрывающие фигуру, имеют высоты ${(k/n)^2}$ при ${k=1},$ $2,$ …, $n;$ их общая площадь немного больше площади фигуры. С помощью формулы
${1^2+2^2+\ldots+m^2}={{\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}},}$
находим сумму $s_n$ площадей вписанных прямоугольников и сумму $S_n$ площадей покрывающих прямоугольников:
${s_n=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}}$ и ${S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}}.$
| $n$ | $s_n$ (под кривой) | $S_n$ (покрывают фигуру) |
|---|---|---|
| 4 | 0,21875 | 0,46875 |
| 10 | 0,285 | 0,385 |
| 100 | 0,32835 | 0,33835 |
| 1000 | 0,3328335 | 0,3338335 |
При любом $n$ площадь заключена между $s_n$ и $S_n,$ а обе суммы стремятся к ${\frac{1}{3}}.$ Значит, площадь равна в точности ${\frac{1}{3}}.$ Число, полученное как такой предел сумм, называется (определённым) интегралом; здесь это интеграл от $x^2$ в пределах от $0$ до $1.$
Предел по таблице значений
Рассмотрим функцию
$$f(x)=\frac{\sin x}{x},$$где $x$ измеряется в радианах. Эта функция не определена при ${x=0},$ так как там дробь превращается в ${\frac{0}{0}}.$ Что происходит с $f(x),$ когда $x$ близко к $0?$ С помощью калькулятора в режиме радиан получаем:
| $x$ | ${\frac{\sin x}{x}}$ | $x$ | ${\frac{\sin x}{x}}$ |
|---|---|---|---|
| 1,0 | 0,84147 | −1,0 | 0,84147 |
| 0,8 | 0,89670 | −0,8 | 0,89670 |
| 0,6 | 0,94107 | −0,6 | 0,94107 |
| 0,4 | 0,97355 | −0,4 | 0,97355 |
| 0,2 | 0,99335 | −0,2 | 0,99335 |
| 0,01 | 0,99998 | −0,01 | 0,99998 |
Значения при $x$ и $-x$ равны, так как ${\frac{\sin(-x)}{-x}}={\frac{-\sin x}{-x}}={\frac{\sin x}{x}}.$ Когда $x$ приближается к $0$ слева или справа, $f(x)$ приближается к $1.$
Говорят, что предел $f(x)$ при $x,$ стремящемся к $0,$ равен $1,$ и пишут
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$Таблица лишь подсказывает этот результат; он доказывается в математическом анализе, и это один из важнейших пределов. В русскоязычных учебниках его называют «первым замечательным пределом». Заметим, что значение $f(0)$ не определено: у графика выколотая точка $(0;\,1).$ Предел описывает значения $f$ вблизи точки $0,$ а не в самой точке $0.$
Предел (нестрогое определение). Пишут ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ и говорят «предел $f(x)$ при $x,$ стремящемся к $a,$ равен $L$», если значения $f(x)$ можно сделать сколь угодно близкими к $L,$ беря $x$ достаточно близким к $a,$ но не равным $a.$
Функция даже не обязана быть определена в точке $a\text{:}$ достаточно, чтобы она была определена в точках вблизи $a.$ А если она там определена, то значение $f(a)$ не играет никакой роли: изменение $f(a)$ не меняет предела.
Односторонние и двусторонние пределы
Иногда важно, с какой стороны $x$ приближается к $a.$ Если $x$ приближается к $a,$ принимая значения, большие $a$ (справа), пишут ${x\to a+0}.$ Если $x$ приближается к $a,$ принимая значения, меньшие $a$ (слева), пишут ${x\to a-0}.$ Пределы справа и слева называют также правосторонним и левосторонним.
| Обозначение | Как читается запись |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a+0}f(x)}={L_1}$ | Предел $f(x)$ при $x,$ стремящемся к $a$ справа, равен $L_1$ (предел справа) |
| ${\lim_{x\to a-0}f(x)}={L_2}$ | Предел $f(x)$ при $x,$ стремящемся к $a$ слева, равен $L_2$ (предел слева) |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | Предел $f(x)$ при $x,$ стремящемся к $a,$ равен $L$ (двусторонний предел) |
Для функции, рассмотренной выше, таблица подсказывает, что ${\lim_{x\to+0}\frac{\sin x}{x}=1}$ (предел справа) и ${\lim_{x\to-0}\frac{\sin x}{x}=1}$ (предел слева).
Двусторонний предел ${\lim_{x\to a}f(x)}$ существует и равен $L$ тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны $L.$
Пример 3. Пусть ${f(x)=\frac{|x|}{x}}.$ При ${x\gt0}$ имеем ${|x|=x},$ поэтому ${f(x)=1}.$ При ${x\lt0}$ имеем ${|x|=-x},$ поэтому ${f(x)=-1}.$ Следовательно,
${\lim_{x\to+0}\frac{|x|}{x}=1},$ ${\lim_{x\to-0}\frac{|x|}{x}=-1}.$
Односторонние пределы различны, поэтому предел ${\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}}$ не существует. В точке $0$ график делает «скачок».
Ловушки численных расчётов
Таблица значений может только подсказать предел, и эта подсказка может оказаться неверной. Рассмотрим
$$f(x)=\sin\frac{\pi}{x}.$$При ${x=1};$ $0{,}1;$ $0{,}01;$ … число ${\frac{\pi}{x}}$ равно $\pi,$ $10\pi,$ $100\pi,$ …, то есть является целым кратным числа $\pi,$ а синус такого числа равен $0\text{:}$
| $x$ | $f(x)$ | $x$ | $f(x)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | −1 | 0 |
| 0,1 | 0 | −0,1 | 0 |
| 0,01 | 0 | −0,01 | 0 |
| 0,001 | 0 | −0,001 | 0 |
| 0,0001 | 0 | −0,0001 | 0 |
Таблица подсказывает, что ${\lim_{x\to0}\sin\frac{\pi}{x}=0}.$ Это неверно. При ${x=\frac{2}{5}},$ ${\frac{2}{9}},$ ${\frac{2}{13}},$ …, то есть при ${x=\frac{2}{4k+1}},$ получаем ${\frac{\pi}{x}}={\frac{\pi}{2}+2k\pi},$ и синус этого числа равен $1.$ Эти значения $x$ (${k=1},$ $2,$ $3,$ …) тоже сколь угодно близко подходят к $0.$ То же самое происходит и слева от $0\text{:}$ при ${x=-\frac{2}{4k+3}}$ (${-\frac{2}{3}},$ ${-\frac{2}{7}},$ …) получаем ${\frac{\pi}{x}}={-\frac{3\pi}{2}-2k\pi},$ и синус снова равен $1.$ Таким образом, вблизи $0$ функция снова и снова принимает и значение $0,$ и значение $1$ (а также $-1$): её график бесконечно много раз колеблется между $-1$ и $1.$ Значения не приближаются ни к какому одному числу, поэтому ${\lim_{x\to+0}\sin\frac{\pi}{x}},$ ${\lim_{x\to-0}\sin\frac{\pi}{x}}$ и ${\lim_{x\to0}\sin\frac{\pi}{x}}$ не существуют.
В красных точках (${x=\pm1},$ ${\pm\frac{1}{2}},$ ${\pm\frac{1}{3}},$ ${\pm\frac{1}{10}}$) значение ${f(x)=0},$ как в таблице; в зелёных точках ${f(x)=1}.$ Вблизи $0$ колебания слишком часты, чтобы их нарисовать.
Таблица, калькулятор или компьютерный график могут ввести нас в заблуждение. Догадку, полученную по таблице, нужно проверять алгебраически или внимательно изучив функцию.
Бесконечные пределы
Рассмотрим ${f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}}.$ Когда $x$ близко к $2$ (с любой стороны), ${(x-2)^2}$ является малым положительным числом, поэтому $f(x)$ является большим положительным числом. Например, ${f(2{,}01)}={f(1{,}99)}={10\,000}$ и ${f(2{,}001)}={1\,000\,000}.$ Значения неограниченно возрастают, и пишут
${\lim_{x\to2-0}f(x)}={\lim_{x\to2+0}f(x)}={\lim_{x\to2}f(x)}={{+\infty}.}$
Аналогично, для ${g(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}}$ значения неограниченно убывают по обе стороны от $2,$ и ${\lim_{x\to2}g(x)=-\infty}.$
Функция ${h(x)=\frac{1}{x-2}}$ ведёт себя по-разному с двух сторон. При $x,$ немного большем $2,$ разность ${x-2}$ является малым положительным числом, а $h(x)$ большим положительным числом. При $x,$ немного меньшем $2,$ разность ${x-2}$ является малым отрицательным числом, а $h(x)$ большим по модулю отрицательным числом:
${\lim_{x\to2-0}h(x)=-\infty},$ ${\lim_{x\to2+0}h(x)=+\infty}.$
Символы $+\infty$ и $-\infty$ не являются числами. Запись ${\lim_{x\to2}f(x)=+\infty}$ не означает, что предел существует; она говорит о том, как именно он не существует: значения становятся больше любого наперёд заданного числа. Для $h$ односторонние пределы различны, поэтому ${\lim_{x\to2}h(x)}$ не равен ни $+\infty,$ ни $-\infty;$ мы говорим только, что он не существует.
На всех трёх рисунках штриховая прямая ${x=2}$ является вертикальной асимптотой. В общем случае прямая ${x=a}$ является вертикальной асимптотой графика функции $f,$ если хотя бы один из односторонних пределов $f$ в точке $a$ равен $+\infty$ или $-\infty.$
Пределы на бесконечности
Можно также спросить, что происходит с $f(x),$ когда $x$ неограниченно возрастает (${x\to+\infty}$) или неограниченно убывает (${x\to-\infty}$). Пишут ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L},$ если значения $f(x)$ можно сделать сколь угодно близкими к $L,$ беря $x$ достаточно большим; аналогично для ${x\to-\infty}.$ Тогда прямая ${y=L}$ является горизонтальной асимптотой графика.
Пример 4. Для функции на рисунке ниже
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=4}.$
Оба предела существуют. Они различны, но в этом нет ничего страшного: они описывают два разных конца графика. Прямые ${y=-1}$ и ${y=4}$ являются горизонтальными асимптотами.
Пример 5. Для функции, график которой изображён ниже, при ${x\to-\infty}$ имеем ${f(x)\to+\infty},$ то есть ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}.$ При ${x\to+\infty}$ график колеблется около прямой ${y=-2},$ но размах колебаний становится всё меньше и меньше, поэтому $f(x)$ приближается к $-2\text{:}$
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2}.$
Прямая ${y=-2}$ является горизонтальной асимптотой, хотя график пересекает её снова и снова.
Пример 6. Для функции, график которой изображён ниже, при ${x\to-\infty}$ имеем ${f(x)\to-\infty}.$ При ${x\to+\infty}$ значения $f(x)$ всё время колеблются между $-3$ и $3$ и не приближаются ни к какому числу. Поэтому ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty},$ а ${\lim_{x\to+\infty}f(x)}$ не существует (он не равен ни $+\infty,$ ни $-\infty$). У этого графика нет горизонтальной асимптоты.
Сводка обозначений
| Обозначение | Смысл |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | $f(x)$ сколь угодно близко к $L$ при всех ${x\ne a},$ достаточно близких к $a$ |
| ${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}$ | то же самое, но только при ${x\gt a}$ |
| ${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ | то же самое, но только при ${x\lt a}$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ | $f(x)$ больше любого заданного числа при всех ${x\ne a},$ достаточно близких к $a$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=-\infty}$ | $f(x)$ меньше любого заданного числа при всех ${x\ne a},$ достаточно близких к $a$ |
| ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ сколь угодно близко к $L$ при всех достаточно больших $x$ |
| ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ сколь угодно близко к $L$ при всех отрицательных $x$ с достаточно большим $|x|$ |
Задачи для самостоятельного решения
1. С помощью калькулятора в режиме радиан угадайте ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}$ по значениям при ${x=0{,}5};$ $0{,}1$ и $0{,}01.$
Ответ
Значения примерно равны $0{,}489670;$ $0{,}499583$ и $0{,}499996$ (те же самые для $-x$). Похоже, что предел равен ${\frac{1}{2}},$ и это действительно так.
2. С помощью секущих найдите угловой коэффициент касательной к параболе ${y=x^2}$ в точке $P(3;\,9)$ и уравнение этой касательной.
Ответ
При ${x\ne3}$ угловой коэффициент $PQ$ равен ${\frac{x^2-9}{x-3}}={x+3}$ и стремится к $6$ при ${x\to3}.$ Уравнение касательной имеет вид ${y-9=6(x-3)},$ то есть ${y=6x-9}.$
3. Найдите приближённо площадь под графиком ${y=x}$ между ${x=0}$ и ${x=1}$ с помощью $n$ вписанных прямоугольников. Их общая площадь равна ${\frac{n-1}{2n}}.$ Вычислите её при ${n=10},$ $100,$ $1000.$ Чему равен предел?
Ответ
$0{,}45;$ $0{,}495;$ $0{,}4995.$ Предел равен ${\frac{1}{2}},$ то есть площади прямоугольного треугольника с катетами $1$ и $1.$
4. Пусть ${f(x)=\frac{x^2-x}{|x-1|}}.$ Найдите ${\lim_{x\to1+0}f(x)}$ и ${\lim_{x\to1-0}f(x)}.$ Существует ли ${\lim_{x\to1}f(x)}?$
Ответ
${x^2-x=x(x-1)}.$ При ${x\gt1}$ имеем ${f(x)=x},$ и это выражение стремится к $1.$ При ${x\lt1}$ имеем ${f(x)=-x},$ и это выражение стремится к $-1.$ Односторонние пределы равны $1$ и $-1,$ поэтому предел не существует.
5. Функция $g$ задана так: ${g(x)=x+1}$ при ${x\lt2},$ ${g(x)=5-x}$ при ${x\gt2}$ и ${g(2)=7}.$ Найдите ${\lim_{x\to2-0}g(x)},$ ${\lim_{x\to2+0}g(x)},$ ${\lim_{x\to2}g(x)}$ и $g(2).$
Ответ
$3,$ $3,$ $3$ и $7.$ Предел существует и равен $3,$ хотя ${g(2)=7}\text{:}$ значение функции в самой точке на предел не влияет.
6. Найдите ${\lim_{x\to3-0}\frac{1}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3+0}\frac{1}{x-3}}$ и ${\lim_{x\to3}\frac{1}{(x-3)^2}}.$
Ответ
$-\infty,$ $+\infty$ и $+\infty.$ Прямая ${x=3}$ является вертикальной асимптотой обоих графиков.
7. Найдите ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$ и ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}}.$ Какая прямая является горизонтальной асимптотой графика ${y=\frac{1}{x}}?$
Ответ
Оба предела равны $0$ (например, ${\frac{1}{1000}=0{,}001}$ и ${\frac{1}{-1000}=-0{,}001}$). Горизонтальной асимптотой является ось $x,$ то есть прямая ${y=0}.$
8. Угадайте ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x}}$ по значениям при ${x=10},$ $100,$ $1000,$ а затем объясните результат.
Ответ
$2{,}1;$ $2{,}01;$ $2{,}001\text{:}$ предел равен $2,$ так как ${\frac{2x+1}{x}}={2+\frac{1}{x}},$ а ${\frac{1}{x}}$ стремится к $0.$
9. Существует ли ${\lim_{x\to0}\cos\frac{\pi}{x}}?$
Ответ
Нет. При ${x=\frac{1}{2k}}$ значение равно ${\cos2k\pi=1},$ а при ${x=\frac{1}{2k+1}}$ оно равно ${\cos(2k+1)\pi=-1}.$ Значения $x$ обоих видов сколь угодно близко подходят к $0,$ поэтому значения функции не приближаются ни к какому одному числу.
Следующий урок: «Пределы и методы вычисления», в нём пределы вычисляются точно с помощью свойств пределов. О пределах последовательностей рассказано в уроке «Предел последовательности».
Пределы функций