Формулы геометрической прогрессии

В математике геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на определённое число (знаменатель прогрессии).

Геометрическую прогрессию можно записать в виде:

aq0=a, aq1=aq, aq2, aq3, ...
где q ≠ 0, q это знаменатель прогрессии и а первый член.

Примеры

Геометрическая последовательность со знаменателем прогрессии 2 и первым членом 1 это:
1, 2, 4, 8, 16, 32 ....

Геометрическая последовательность со знаменателем прогрессии 4 и первым членом 3 это:
4, 12, 36, 108, 324...

Геометрическая последовательность со знаменателем прогрессии -1 и первым членом 5 это:
5, -5, 5, -5, 5, -5,...

Формулы

Формула для n-го члена может быть записана как:

an = an-1.q
an = a1.qn-1

Знаменатель прогрессии тогда равен:

q =
ak
ak-1

Если знаменатель прогресии:

  • Отрицательный, члены прогрессии будут чередоваться между позитивными и отрицатесльными.
    Пример:
    1, -2, 4, -8, 16, -32... - знаменатель -2 и первы член 1.
  • Больше, чем 1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (позитивной).
    Пример:
    1, 5, 25, 125, 625 ... - знаменатель 5.
  • Меньше чем -1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (отрицательную и позитивную сторону).
    Пример:
    1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 ... - знаменатель -5.
  • Между 1 и -1, тогда прогрессия будет экспоненциально приближаться к 0.
    Пример:
    4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 ... - знаменатель $\frac{1}{2}$
    4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 ... - знаменатель $-\frac{1}{2}$.
  • Ноль, тогда прогрессия будет оставаться нулевой.
    Пример:
    4, 0, 0, 0, 0 ... - знаменатель 0 и первы член 4.

Geometric Progression Properties

a2k = ak-1.ak+1
a1.an = a2.an-1 =...= ak.an-k+1

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии

Sn = a1 - anq 1  -  q  = a1. 1 - qn 1 - q

Бесконечные геометрической прогрессии, где |q| < 1

Если |q| < 1 тогда an -> 0, где n -> ∞.
Тогда сумма S такой бесконечной прогрессии равна:

S = a1
1
1 - x
что верно только для |x| < 1
a1 - первый член геометрической прогрессии.

Задачи с геометрической прогрессией

Задача 1) Является ли последовательность 2, 4, 6, 8... геометрической прогрессией?
Решение: Нет. (2, 4, 8 есть геометрической прогрессией )


Задача 2) Если есть геометрическая прогрессия 2, 4, 8... Чему равен ее 10-й член?
Решение: Мы можем использовать формулу an = a1 . qn-1
a10 = 2 . 210-1 = 2 . 512 = 1024


3) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогресии, если
a5 - a1 = 15
a4 - a2 = 6
Решение: Здесь две геометрические прогрессии; одна из с первым членом = 1 знаменателем = 2
и вторая прогрессия с первым членом = -16 и знаменателем = 1/2 ,

Геометрические прогрессии в темах нашего математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!
Форум о прогрессиях


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.