Геометрическая прогрессия

Числа 3, 6, 12, 24, 48 образуют последовательность, в которой каждое следующее число вдвое больше предыдущего. Последовательность, в которой каждый член получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называется геометрической прогрессией.

Отношение любых двух соседних членов одно и то же: ${\frac{b_2}{b_1}}={\frac{b_3}{b_2}}={\frac{b_4}{b_3}}=\ldots={q}$. Арифметическая прогрессия строится прибавлением одного и того же числа, а геометрическая — умножением. В школьных учебниках члены геометрической прогрессии обычно обозначают буквой $b$, а арифметической — буквой $a$.

Содержание: Примеры · Формула n-го члена · Роль знаменателя · Свойства · Сравнение с арифметической · Сумма n членов · Бесконечно убывающая · Калькулятор · Типичные ошибки · Задачи с решениями · Задачи для самостоятельного решения

Примеры

• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots$ — первый член $1$, знаменатель ${q=2}$.
• $81,\ 27,\ 9,\ 3,\ 1,\ \ldots$ — первый член $81$, знаменатель ${q=\frac{1}{3}}$: каждый член втрое меньше предыдущего.
• $5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots$ — первый член $5$, знаменатель ${q=-1}$.
• $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ \ldots$ — знаменатель ${q=-2}$, знаки чередуются.
• $7,\ 7,\ 7,\ 7,\ \ldots$ — знаменатель ${q=1}$, все члены равны.

Последовательность $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ не является геометрической прогрессией: ${\frac{4}{2}}={2}$, но ${\frac{6}{4}}={1{,}5}$. Это арифметическая прогрессия: разность соседних членов постоянна и равна 2.

Почему члены и знаменатель должны быть отличны от нуля? Если ${q=0}$, последовательность имеет вид $4,\ 0,\ 0,\ 0,\ \ldots$, и отношение ${\frac{b_3}{b_2}}={\frac{0}{0}}$ не имеет смысла. Поэтому последовательность $4,\ 0,\ 0,\ \ldots$ геометрической прогрессией не считается.

Формула n-го члена

Начнём с $b_1$ и будем умножать на $q$:

${b_2}={b_1q},\quad {b_3}={b_2q}={b_1q^2},\quad {b_4}={b_1q^3},\quad \ldots$

Чтобы дойти до $n$-го члена, нужно умножить на $q$ ровно $n-1$ раз. Получаем формулу n-го члена:

Пример. У прогрессии $3,\ 6,\ 12,\ \ldots$ ${b_1}={3}$ и ${q}={2}$. Её восьмой член ${b_8}={3\cdot 2^7}={3\cdot 128}={384}$.

Если известен не первый член, а какой-то член $b_k$, можно отсчитывать от него: ${b_n}={b_k\cdot q^{\,n-k}}$. Например, ${b_{10}}={b_7\cdot q^3}$.

Как найти знаменатель

Знаменатель равен любому члену, делённому на предыдущий:

${q}={\frac{b_{n+1}}{b_n}}$

Если даны два члена, которые не стоят рядом, используем ${b_n}={b_k\cdot q^{\,n-k}}$.

• ${b_3}={12}$ и ${b_6}={96}$: ${b_6}={b_3\cdot q^3}$, то есть ${12q^3}={96}$, ${q^3}={8}$ и ${q}={2}$.
• ${b_2}={6}$ и ${b_4}={54}$: ${6q^2}={54}$, ${q^2}={9}$. Здесь две возможности: ${q}={3}$ (прогрессия $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$) или ${q}={-3}$ (прогрессия $-2,\ 6,\ -18,\ 54,\ \ldots$).

Как ведёт себя прогрессия в зависимости от знаменателя

Поведение членов зависит от знаменателя $q$ и от знака первого члена.

Знаменатель	Что происходит с членами	Пример
${q\gt 1}$	При ${b_1\gt 0}$ прогрессия возрастает, и её члены неограниченно растут. При ${b_1\lt 0}$ она убывает.	$1,\ 5,\ 25,\ 125,\ \ldots$ $-1,\ -2,\ -4,\ -8,\ \ldots$
${q}={1}$	Все члены равны (постоянная последовательность).	$7,\ 7,\ 7,\ \ldots$
${0\lt q\lt 1}$	При ${b_1\gt 0}$ прогрессия убывает, при ${b_1\lt 0}$ — возрастает. В обоих случаях члены стремятся к $0$.	$16,\ 8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \ldots$
${-1\lt q\lt 0}$	Знаки чередуются, а члены стремятся к $0$.	$4;\ -2;\ 1;\ -0{,}5;\ 0{,}25;\ \ldots$
${q}={-1}$	Члены чередуются: $b_1,\ -b_1,\ b_1,\ \ldots$	$5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots$
${q\lt -1}$	Знаки чередуются, а модули членов неограниченно растут. Члены на чётных местах уходят в одну бесконечность, на нечётных — в другую.	$1,\ -5,\ 25,\ -125,\ \ldots$

Коротко: при ${|q|\lt 1}$ члены стремятся к нулю, а при ${|q|\gt 1}$ их модули неограниченно растут. При отрицательном знаменателе знаки всегда чередуются.

Свойства

Характеристическое свойство

Каждый член, кроме первого, связан со своими соседями так:

Почему это верно: ${b_{k-1}\cdot b_{k+1}}={\frac{b_k}{q}\cdot b_kq}={b_k^2}$.

Если члены положительны, ${b_k}={\sqrt{b_{k-1}\cdot b_{k+1}}}$: каждый член равен среднему геометрическому соседних. Отсюда и название «геометрическая» прогрессия. Например, в $4,\ 6,\ 9$ имеем ${6}={\sqrt{4\cdot 9}}$.

Верно и обратное: если числа $a$, $b$, $c$ отличны от нуля и ${b^2}={ac}$, то $a$, $b$, $c$ — последовательные члены геометрической прогрессии. Например, числа $2$, $x$, $18$ являются последовательными членами геометрической прогрессии, когда ${x^2}={36}$, то есть при ${x}={6}$ или ${x}={-6}$.

Члены, равноудалённые от концов

Произведения членов, одинаково удалённых от концов, равны:

${b_1\cdot b_n}={b_2\cdot b_{n-1}}={b_3\cdot b_{n-2}}=\ldots={b_k\cdot b_{n-k+1}}$

В общем виде: если ${m+n}={p+s}$, то ${b_m\cdot b_n}={b_p\cdot b_s}$, потому что оба произведения равны ${b_1^2\,q^{\,m+n-2}}$.

Пример. В геометрической прогрессии ${b_2\cdot b_8}={36}$. Тогда ${b_4\cdot b_6}={36}$ (так как ${4+6}={2+8}$) и ${b_5^2}={36}$, то есть ${b_5}={6}$ или ${b_5}={-6}$.

Сравнение с арифметической прогрессией

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Правило	${a_{n+1}}={a_n+d}$	${b_{n+1}}={b_n\cdot q}$
Формула n-го члена	${a_n}={a_1+(n-1)d}$	${b_n}={b_1\cdot q^{n-1}}$
Средний член	${a_k}={\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}}$ — среднее арифметическое	${b_k^2}={b_{k-1}\cdot b_{k+1}}$ — среднее геометрическое
Сумма $n$ членов	${S_n}={\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}}$	${S_n}={b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}}$

Арифметическая прогрессия растёт «линейно», каждый раз на одну и ту же величину, а геометрическая — «показательно», каждый раз в одно и то же число раз. Поэтому при ${q\gt 1}$ геометрическая прогрессия рано или поздно обгоняет любую арифметическую.

Сумма первых n членов

Обозначим ${S_n}={b_1+b_2+\ldots+b_n}={b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-1}}$.

Вывод формулы. Умножим сумму на $q$ и вычтем:

${qS_n}={b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-1}+b_1q^n}$

${qS_n-S_n}={b_1q^n-b_1}$

Все средние слагаемые сокращаются. Остаётся ${S_n(q-1)}={b_1(q^n-1)}$. Если ${q\ne 1}$, делим на ${q-1}$:

Обе дроби равны: числитель и знаменатель умножены на $-1$. Первую удобно применять при ${q\gt 1}$, вторую — при ${q\lt 1}$. Так как ${b_1q^n}={b_n q}$, формулу можно записать и через последний член: ${S_n}={\frac{b_nq-b_1}{q-1}}$.

Пример 1. ${1+2+4+\ldots+2^9}={1\cdot\frac{2^{10}-1}{2-1}}={1023}$.

Пример 2. ${3-6+12-24+48-96}=\,?$ Здесь ${b_1}={3}$, ${q}={-2}$, ${n}={6}$: ${S_6}={3\cdot\frac{(-2)^6-1}{-2-1}}={3\cdot\frac{63}{-3}}={-63}$.

Легенда о шахматной доске. Изобретатель шахмат попросил в награду 1 зерно пшеницы за первую клетку, 2 — за вторую, 4 — за третью и так далее, каждый раз вдвое больше, до 64-й клетки. Число зёрен равно

${1+2+2^2+\ldots+2^{63}}={2^{64}-1}={18\,446\,744\,073\,709\,551\,615}.$

Это намного больше всей пшеницы, которую мир выращивает за год.

Деньги. Если в начале каждого года класть 100 000 рублей на вклад под 4% годовых с капитализацией раз в год, то в конце пятого года на счёте будет

${100\,000\cdot 1{,}04}+{100\,000\cdot 1{,}04^2}+{\ldots+100\,000\cdot 1{,}04^5}={104\,000\cdot\frac{1{,}04^5-1}{0{,}04}}\approx{563\,298}$ рублей.

Слагаемые образуют геометрическую прогрессию с ${b_1}={104\,000}$ и ${q}={1{,}04}$. Сложные проценты можно посчитать в калькуляторе сложных процентов. С помощью этой же суммы рассчитывается ежемесячный платёж по кредиту: смотрите, откуда берётся формула платежа.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия, у которой ${|q|\lt 1}$, называется бесконечно убывающей. Модули её членов уменьшаются и стремятся к нулю. Хотя членов бесконечно много, их сумма — конечное число.

${\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots}={1}$: части заполняют весь квадрат.

Откуда берётся формула. Мы знаем, что ${S_n}={b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}}$. Когда ${|q|\lt 1}$ и $n$ растёт, $q^n$ стремится к $0$. Поэтому $S_n$ стремится к ${\frac{b_1}{1-q}}$.

Примеры.

• ${1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots}={\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}={2}$.
• ${1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\ldots}={\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}}={\frac{2}{3}}$.
• Бесконечные периодические дроби — это суммы таких прогрессий: ${0{,}(3)}={\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\ldots}={\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{3}}$.
• Точно так же ${0{,}(27)}={\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{27}{99}}={\frac{3}{11}}$, а ${0{,}(9)}={\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={1}$.

Формула ${S}={\frac{b_1}{1-q}}$ верна только при ${|q|\lt 1}$. Сумма ${1+2+4+8+\ldots}$ не имеет конечного значения, а формула дала бы ${\frac{1}{1-2}}={-1}$, что абсурдно.

Калькулятор геометрической прогрессии

Введите первый член, знаменатель и число членов. Знаменатель может быть дробью, например $1/2$, или десятичным числом, например $0{,}5$. Калькулятор покажет члены прогрессии, $n$-й член, сумму первых $n$ членов и, если ${|q|\lt 1}$, сумму бесконечно убывающей прогрессии.

Типичные ошибки

Задачи с решениями

Задача 1. Является ли последовательность $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ геометрической прогрессией?

Решение. Нет. ${\frac{4}{2}}={2}$, но ${\frac{6}{4}}={1{,}5}$: отношения соседних членов не равны. (Это арифметическая прогрессия с разностью 2.)

Задача 2. Числа $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите её десятый член.

Решение. ${b_1}={2}$, ${q}={2}$, поэтому ${b_{10}}={b_1q^9}={2\cdot 2^9}={2\cdot 512}={1024}$.

Задача 3. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если ${b_5-b_1}={15}$ и ${b_4-b_2}={6}$.

Решение. Выразим члены через $b_1$ и $q$:

${b_1q^4-b_1}={15}\ \Rightarrow\ {b_1(q^2-1)(q^2+1)}={15}$

${b_1q^3-b_1q}={6}\ \Rightarrow\ {b_1q(q^2-1)}={6}$

Разделим первое равенство на второе (${q^2-1}\ne{0}$, иначе первое дало бы ${0}={15}$): ${\frac{q^2+1}{q}}={\frac{5}{2}}$, то есть ${2q^2-5q+2}={0}$, откуда ${q}={2}$ или ${q}={\frac{1}{2}}$.

• При ${q}={2}$: ${b_1\cdot 2\cdot 3}={6}$, ${b_1}={1}$. Прогрессия: $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$
• При ${q}={\frac{1}{2}}$: ${b_1\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)}={6}$, ${b_1}={-16}$. Прогрессия: $-16,\ -8,\ -4,\ -2,\ -1,\ \ldots$

Ответ: ${b_1}={1}$, ${q}={2}$ или ${b_1}={-16}$, ${q}={\frac{1}{2}}$. Проверка второго ответа: ${-1-(-16)}={15}$ и ${-2-(-8)}={6}$.

Задача 4. При каких значениях $x$ числа ${x-1}$, ${x+1}$ и ${2x+5}$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Решение. По характеристическому свойству ${(x+1)^2}={(x-1)(2x+5)}$, то есть ${x^2+2x+1}={2x^2+3x-5}$ и ${x^2+x-6}={0}$. Корни: ${x}={2}$ и ${x}={-3}$.

• ${x}={2}$: числа $1,\ 3,\ 9$, знаменатель $3$.
• ${x}={-3}$: числа $-4,\ -2,\ -1$, знаменатель $\frac{1}{2}$.

В обоих случаях ни одно из чисел не равно нулю, поэтому ответ: ${x}={2}$ или ${x}={-3}$.

Задача 5. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна 21, а произведение равно 216. Найдите эти числа.

Решение. Обозначим числа $\frac{b}{q}$, $b$, $bq$. Их произведение ${b^3}={216}$, то есть ${b}={6}$. Тогда ${\frac{6}{q}+6q}={15}$, то есть ${2q^2-5q+2}={0}$, откуда ${q}={2}$ или ${q}={\frac{1}{2}}$. Ответ: $3,\ 6,\ 12$ или $12,\ 6,\ 3$.

Задача 6. Число бактерий в колонии удваивается каждые 20 минут. Вначале была 1 бактерия. Сколько бактерий будет через 3 часа?

Решение. За 3 часа происходит ${\frac{180}{20}}={9}$ удвоений. Вначале ${b_1}={1}$, после первого удвоения — $b_2$, после девятого — $b_{10}$: ${b_{10}}={1\cdot 2^9}={512}$ бактерий.

Задача 7. Мяч падает с высоты 8 м. После каждого удара о землю он подскакивает на $\frac{3}{4}$ предыдущей высоты. Какой путь пройдёт мяч, пока не остановится?

Решение. Вниз мяч проходит ${8+6+4{,}5+\ldots}$, а вверх — ${6+4{,}5+\ldots}$ Сумма ${6+4{,}5+\ldots}$ — это бесконечно убывающая прогрессия с ${b_1}={6}$ и ${q}={\frac{3}{4}}$: ${\frac{6}{1-\frac{3}{4}}}={24}$. Весь путь равен ${8+2\cdot 24}={56}$ м.

Задача 8. Запишите $0{,}(36)$ в виде обыкновенной дроби.

Решение. ${0{,}(36)}={\frac{36}{100}+\frac{36}{10\,000}+\ldots}={\frac{\frac{36}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{36}{99}}={\frac{4}{11}}$.

Задачи для самостоятельного решения

Решите сами, а потом откройте решение.

1. ${b_1}={5}$, ${q}={3}$. Найдите $b_6$.

${b_6}={5\cdot 3^5}={5\cdot 243}={1215}$.

2. ${b_1}={64}$, ${q}={-\frac{1}{2}}$. Найдите $b_7$.

${b_7}={64\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^6}={64\cdot\frac{1}{64}}={1}$.

3. ${b_2}={6}$ и ${b_5}={162}$. Найдите $b_1$ и $q$.

${b_5}={b_2q^3}$, то есть ${q^3}={\frac{162}{6}}={27}$ и ${q}={3}$. Тогда ${b_1}={\frac{6}{3}}={2}$.

4. ${b_3}={4}$ и ${b_5}={36}$. Найдите $b_4$.

${q^2}={\frac{36}{4}}={9}$, поэтому ${q}={3}$ или ${q}={-3}$. Тогда ${b_4}={12}$ или ${b_4}={-12}$. Это видно и из равенства ${b_4^2}={b_3\cdot b_5}={144}$.

5. Вычислите ${3+6+12+\ldots+768}$.

${b_1}={3}$, ${q}={2}$. Из ${3\cdot 2^{n-1}}={768}$ следует ${2^{n-1}}={256}$, то есть ${n}={9}$. ${S_9}={3\cdot\frac{2^9-1}{2-1}}={3\cdot 511}={1533}$.

6. ${b_1}={2}$, ${q}={3}$ и ${S_n}={242}$. Найдите $n$.

${2\cdot\frac{3^n-1}{3-1}}={242}$, то есть ${3^n-1}={242}$, ${3^n}={243}$ и ${n}={5}$.

7. Вычислите ${9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots}$

${b_1}={9}$, ${q}={-\frac{1}{3}}$ и ${|q|\lt 1}$. ${S}={\frac{9}{1+\frac{1}{3}}}={\frac{9}{\frac{4}{3}}}={\frac{27}{4}}$.

8. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12, а её первый член равен 8. Найдите знаменатель и третий член.

${\frac{8}{1-q}}={12}$, то есть ${1-q}={\frac{2}{3}}$ и ${q}={\frac{1}{3}}$. ${b_3}={8\cdot\frac{1}{9}}={\frac{8}{9}}$.

9. Запишите $0{,}1(6)$ в виде обыкновенной дроби.

${0{,}1(6)}={\frac{1}{10}+\frac{6}{100}+\frac{6}{1000}+\ldots}={\frac{1}{10}+\frac{\frac{6}{100}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{10}+\frac{1}{15}}={\frac{1}{6}}$.

10. Население города 50 000 человек и каждый год увеличивается на 10%. Каким оно будет через 3 года?

Каждый год население умножается на $1{,}1$: ${50\,000\cdot 1{,}1^3}={50\,000\cdot 1{,}331}={66\,550}$ человек.

11. Члены геометрической прогрессии положительны, и ${b_3\cdot b_9}={144}$. Найдите $b_6$.

${3+9}={6+6}$, поэтому ${b_6^2}={b_3\cdot b_9}={144}$. Члены положительны, значит ${b_6}={12}$.

Смотрите также: Арифметическая прогрессия