Формулы геометрической прогрессии

В математике геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на определённое число (знаменатель прогрессии).

Геометрическую прогрессию можно записать в виде:

$aq^0=a,\ aq^1=aq,\ aq^2,\ aq^3,\ aq^4,...$
где q ≠ 0, q это знаменатель прогрессии и а первый член.

Примеры

Геометрическая последовательность со знаменателем прогрессии 2 и первым членом 1 это:
1, 2, 4, 8, 16, 32 ....

Геометрическая последовательность со знаменателем прогрессии 4 и первым членом 3 это:
4, 12, 36, 108, 324...

Геометрическая последовательность со знаменателем прогрессии -1 и первым членом 5 это:
5, -5, 5, -5, 5, -5,...

Формулы

Формула для n-го члена может быть записана как:

$a_n = a_{n-1} \cdot q$
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Знаменатель прогрессии тогда равен:

$q = \frac{a_k}{a_{k-1}}$

Если знаменатель прогресии:

Отрицательный, члены прогрессии будут чередоваться между позитивными и отрицатесльными.
Пример:
1, -2, 4, -8, 16, -32... - знаменатель -2 и первы член 1.
Больше, чем 1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (позитивной).
Пример:
1, 5, 25, 125, 625 ... - знаменатель 5.
Меньше чем -1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (отрицательную и позитивную сторону).
Пример:
1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 ... - знаменатель -5.
Между 1 и -1, тогда прогрессия будет экспоненциально приближаться к 0.
Пример:
4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 ... - знаменатель $\frac{1}{2}$
4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 ... - знаменатель $-\frac{1}{2}$.
Ноль, тогда прогрессия будет оставаться нулевой.
Пример:
4, 0, 0, 0, 0 ... - знаменатель 0 и первы член 4.

Свойства геометрической прогрессии

$a^2_k = a_{k-1} \cdot a_{k+1}$
$a_1 \cdot a_n = a_{2} \cdot a_{n-1} = ... = a_k \cdot a_{n-k+1}$

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии

$a + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}= \frac{ a_1-a_n q}{1-q} = a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

или
$a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1}= a\frac{1-q^n}{1-q}$

Бесконечные геометрической прогрессии, где |q| < 1

Если |q| < 1 тогда a_n -> 0, где n -> ∞.
Тогда сумма S такой бесконечной прогрессии равна:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots = a_1\frac{1}{1-q}$

или
$a + aq + aq^2 + aq^3 + \cdots = a\frac{1}{1-q}$

что верно только для |q| < 1

Калькулятор геометрической прогрессии

Задачи с геометрической прогрессией

Задача 1) Является ли последовательность 2, 4, 6, 8... геометрической прогрессией?
Решение: Нет. (2, 4, 8 есть геометрической прогрессией )

Задача 2) Если есть геометрическая прогрессия 2, 4, 8... Чему равен ее 10-й член?
Решение: Мы можем использовать формулу a_n = a₁ . q^n-1
a₁₀ = 2 . 2^10-1 = 2 . 512 = 1024

3) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогресии, если
a₅ - a₁ = 15
a₄ - a₂ = 6
Решение: Здесь две геометрические прогрессии; одна из с первым членом = 1 знаменателем = 2
и вторая прогрессия с первым членом = -16 и знаменателем = 1/2 ,

Геометрические прогрессии в темах нашего математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!
Форум о прогрессиях

Первой член
Знаменатель
Количество членов(n=?)