Рациональные выражения: задачи с решениями (часть 2)

Задачи 17–28 с полными решениями. В большинстве из них используются формулы сокращённого умножения, например ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$ и ${a^2-b^2=(a-b)(a+b)};$ все они собраны в уроке Формулы сокращённого умножения. Задачи 1–16 находятся в части 1, а теория — в уроке Рациональные выражения.

Задачи: 17 Выделение полного квадрата · 18 Разложение на множители · 19 Упрощение · 20 Тождества · 21 Неизвестный многочлен · 22 Наибольшее значение · 23 Параметр · 24 Наименьшее значение · 25 Тождества · 26 Упрощение · 27 Тождества · 28 Разложение на множители

Задача 17. Выделение полного квадрата

Представьте трёхчлен в виде суммы квадрата двучлена и числа:

а) ${x^2+8x+25};$ б) ${4x^2-4x+10};$ в) ${16x^2-24x+30};$ г) ${81x^2+6x+32}.$

Решение. Ищем квадрат ${{(p\pm q)^2=p^2\pm2pq+q^2}\text{:}}$ по первым двум членам находим $p$ и $q,$ а свободный член представляем в виде суммы $q^2$ и оставшегося числа.

а) ${x^2+8x+25}={x^2+2\cdot x\cdot4+4^2+9}={{(x+4)^2+9}.}$

б) ${4x^2-4x+10}={(2x)^2}-{2\cdot2x\cdot1+1^2+9}={{(2x-1)^2+9}.}$

в) ${16x^2-24x+30}={(4x)^2}-{2\cdot4x\cdot3+3^2+21}={{(4x-3)^2+21}.}$

г) Здесь ${6x=2\cdot9x\cdot\frac{1}{3}},$ поэтому квадрат имеет вид $\left(9x+\frac{1}{3}\right)^2\text{:}$

${81x^2+6x+32}={(9x)^2+2\cdot9x\cdot\frac{1}{3}}+{\left(\frac{1}{3}\right)^2+32-\frac{1}{9}}$

$=\left(9x+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{287}{9}.$

Задача 18. Разложите на множители

а) ${4ax-2ay};$ б) ${a^2+ab-a-b};$ в) ${9x+9y+ax+ay};$ г) ${28a^2b^3-4ab^4};$ д) ${a^4+2a^2+1};$ е) ${(a+b)^4-(a-b)^4}.$

Решение. а) ${4ax-2ay}={2a(2x-y)}.$

б) Группируем слагаемые: ${a^2+ab-a-b}={a(a+b)-(a+b)}={{(a+b)(a-1)}.}$

в) ${9x+9y+ax+ay}={9(x+y)+a(x+y)}={{(x+y)(9+a)}.}$

г) ${28a^2b^3-4ab^4}={{4ab^3(7a-b)}.}$

д) Это квадрат суммы: ${a^4+2a^2+1}={(a^2)^2+2\cdot a^2\cdot1+1^2}={{(a^2+1)^2}.}$

е) Один раз применяем формулу разности квадратов. В скобках получаем ${(a+b)^2+(a-b)^2}={2a^2+2b^2}$ и ${(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}$ (см. пример 14 в уроке):

$(a+b)^4-(a-b)^4$

$={\left[(a+b)^2+(a-b)^2\right]}\cdot {\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]}$

$={(2a^2+2b^2)\cdot4ab}={8ab(a^2+b^2).}$

Задача 19. Упростите выражение

а) ${(x-3)^2-x(x+9)};$ б) ${(2a+5)^2-5(4a+5)};$ в) ${b^2+49-(b-7)^2};$ г) ${(y-10)(y-6)}-{(y-8)^2.}$

Решение. а) ${(x-3)^2-x(x+9)}={x^2-6x+9-x^2-9x}={{9-15x}.}$

б) ${(2a+5)^2-5(4a+5)}={4a^2+20a+25}-{20a-25}={{4a^2}.}$

в) ${b^2+49-(b-7)^2}={b^2+49}-{(b^2-14b+49)}={b^2+49-b^2+14b-49}={{14b}.}$

г) ${(y-10)(y-6)}-{(y-8)^2}={y^2-16y+60}-{(y^2-16y+64)}={{-4}.}$

Задача 20. Докажите тождество

а) ${(-a-b)^2=(a+b)^2};$ б) ${a^3-3ab(a-b)-b^3}={(a-b)^3;}$ в) ${(x-a)(x-b)}={x^2-(a+b)x+ab;}$ г) ${(a^2+b^2)(c^2+d^2)}={(ac-bd)^2}+{(bc+ad)^2.}$

Решение. Чтобы доказать тождество, преобразуем одну из его частей, пока не получим другую.

а) ${(-a-b)^2}={\left(-(a+b)\right)^2}={{(a+b)^2},}$ так как противоположные выражения имеют равные квадраты.

б) Начнём с правой части: ${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}={{a^3-3ab(a-b)-b^3}.}$

в) ${(x-a)(x-b)}={x^2-bx-ax+ab}={{x^2-(a+b)x+ab}.}$

г) Начнём с правой части:

${(ac-bd)^2}+{(bc+ad)^2}={a^2c^2-2abcd+b^2d^2}+{b^2c^2+2abcd+a^2d^2}$

$={a^2(c^2+d^2)}+{b^2(c^2+d^2)}={(a^2+b^2)(c^2+d^2).}$

Задача 21. Найдите многочлен A

а) ${(a-b)^2+A=(a+b)^2};$ б) ${x^2+x+1+A}={(x-1)^2+1;}$ в) ${2z^2-5z+6+A}={(z+1)^2+(z-1)^2;}$ г) ${(z-1)(z+1)+A}={2z^2+5.}$

Решение. Многочлен $A$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, вычитаем из суммы известное слагаемое.

а) ${A}={(a+b)^2-(a-b)^2}={a^2+2ab+b^2}-{(a^2-2ab+b^2)}={{4ab}.}$

б) ${A}={(x-1)^2+1}-{(x^2+x+1)}={x^2-2x+2-x^2-x-1}={{1-3x}.}$

в) ${A}={(z+1)^2+(z-1)^2}-{(2z^2-5z+6)}={2z^2+2-2z^2+5z-6}={{5z-4}.}$

г) ${A}={2z^2+5}-{(z-1)(z+1)}={2z^2+5-(z^2-1)}={{z^2+6}.}$

Задача 22. Наибольшее значение

Дано выражение ${A=k-(x+1)^2}.$

а) Найдите $k,$ если наибольшее значение $A$ равно $4.$

б) Подставьте это значение $k$ в $A$ и разложите выражение на множители.

Решение. а) ${(x+1)^2\ge0}$ при любом $x,$ поэтому ${A\le k},$ причём ${A=k}$ при ${x=-1}.$ Значит, наибольшее значение $A$ равно $k,$ откуда ${k=4}.$

б) По формуле разности квадратов:

${A}={4-(x+1)^2}={2^2-(x+1)^2}={(2-x-1)(2+x+1)}$

$=(1-x)(x+3).$

Задача 23. Выражение с параметром

Дано выражение ${x^2-2kx+k+2}.$

а) Найдите $k,$ если при ${x=1}$ значение выражения равно $0.$

б) Подставьте это значение $k$ и разложите выражение на множители.

Решение. а) При ${x=1}\text{:}$ ${1^2-2k\cdot1+k+2=0},$ то есть ${3-k=0},$ откуда ${k=3}.$

б) При ${k=3}$ выражение имеет вид ${x^2-2\cdot3x+3+2}={{x^2-6x+5}.}$ Тогда ${x^2-6x+5}={x^2-x-5x+5}={x(x-1)-5(x-1)}={{(x-1)(x-5)}.}$

Задача 24. Наименьшее значение

Дано выражение ${A=(2x-3)^2+5}.$

а) Найдите наименьшее значение $A.$

б) Запишите ${A-(x-3)^2}$ в виде многочлена от $x.$

в) Разложите на множители ${9-A}.$

Решение. а) ${(2x-3)^2\ge0},$ поэтому ${A\ge5},$ причём ${A=5}$ при ${x=\frac{3}{2}}.$ Наименьшее значение $A$ равно $5.$

б) ${A-(x-3)^2}={4x^2-12x+9+5}-{(x^2-6x+9)}={{3x^2-6x+5}.}$

в) ${9-A}={9-\left[(2x-3)^2+5\right]}={4-(2x-3)^2}={(2-2x+3)(2+2x-3)}={{(5-2x)(2x-1)}.}$

Задача 25. Докажите тождество

а) ${(a^2+2)^2}-{(a-2)(a+2)(a^2+4)}={4(a^2+5);}$ б) ${(a+b)^3}={a(a-3b)^2}+{b(b-3a)^2;}$ в) ${5(a+b)^2-4a^2-4ab}={(a+b)(a+5b).}$

Решение. а) ${(a-2)(a+2)(a^2+4)}={(a^2-4)(a^2+4)}={{a^4-16},}$ поэтому

${(a^2+2)^2}-{(a-2)(a+2)(a^2+4)}={a^4+4a^2+4-(a^4-16)}$

$=4a^2+20=4(a^2+5).$

б) Преобразуем правую часть:

${a(a-3b)^2}+{b(b-3a)^2}={a(a^2-6ab+9b^2)}+{b(b^2-6ab+9a^2)}$

$={a^3-6a^2b+9ab^2}+{b^3-6ab^2+9a^2b}$

$={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}={(a+b)^3.}$

в)

${5(a+b)^2-4a^2-4ab}={5a^2+10ab}+{5b^2-4a^2-4ab}$

$={a^2+6ab+5b^2}={a^2+ab+5ab+5b^2}$

$={a(a+b)+5b(a+b)}={(a+b)(a+5b).}$

Задача 26. Упростите выражение

а) ${4(a-6)}-{a^2(2+3a)}+{a(5a-4)+3a^2(a-1);}$ б) ${(a^2-1)^2}-{(a-1)(a^2+1)(a+1);}$ в) ${(a+1)^3+(a-1)^3}-{2a(a+1)(a-1);}$ г) ${(a+5)^3}-{a(a-5)^2-25(a+1)^2.}$

Решение. а)

${4(a-6)-a^2(2+3a)}+{a(5a-4)+3a^2(a-1)}$

$={4a-24-2a^2-3a^3}+{5a^2-4a+3a^3-3a^2}={-24.}$

б) ${(a-1)(a+1)(a^2+1)}={(a^2-1)(a^2+1)}={{a^4-1},}$ поэтому

${(a^2-1)^2}-{(a-1)(a^2+1)(a+1)}={a^4-2a^2+1-(a^4-1)}$

$=2-2a^2.$

в)

${(a+1)^3+(a-1)^3}-{2a(a+1)(a-1)}$

$={a^3+3a^2+3a+1+a^3-3a^2}+{3a-1-2a(a^2-1)}$

$={2a^3+6a-2a^3+2a}={8a.}$

г)

${(a+5)^3}-{a(a-5)^2-25(a+1)^2}$

$={a^3+15a^2+75a+125}-{(a^3-10a^2+25a)}-{25(a^2+2a+1)}$

$={a^3+15a^2+75a+125}-{a^3+10a^2-25a}-{25a^2-50a-25}$

$=100.$

Задача 27. Докажите тождество

а) ${(a+b+c)(a+b-c)}={a^2+b^2-c^2+2ab;}$ б) ${(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}={a^4+a^2b^2+b^4.}$

Решение. В обоих произведениях группируем слагаемые так, чтобы получилась разность квадратов.

а) ${(a+b+c)(a+b-c)}={\left[(a+b)+c\right]\left[(a+b)-c\right]}={(a+b)^2-c^2}={{a^2+2ab+b^2-c^2}.}$

б)

${(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}={\left[(a^2+b^2)-ab\right]\left[(a^2+b^2)+ab\right]}$

$={(a^2+b^2)^2-(ab)^2}={a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2}$

$=a^4+a^2b^2+b^4.$

Задача 28. Разложите на множители

а) ${x^2y-y+xy^2-x};$ б) ${x-1+2ax-2a-y+xy};$ в) ${4x^2-12xy}+{9y^2-4x+6y;}$ г) ${x^2+6x-y^2-4y+5}.$

Решение. а) ${x^2y-y+xy^2-x}={xy(x+y)-(x+y)}={{(x+y)(xy-1)}.}$

б) ${x-1+2ax-2a-y+xy}={(x-1)}+{2a(x-1)+y(x-1)}={{(x-1)(1+2a+y)}.}$

в) Первые три члена образуют полный квадрат: ${4x^2-12xy+9y^2}={{(2x-3y)^2}.}$ Поэтому

${4x^2-12xy}+{9y^2-4x+6y}={(2x-3y)^2}-{2(2x-3y)}$

$={(2x-3y)(2x-3y-2).}$

г) Выделяем два полных квадрата: ${x^2+6x=(x+3)^2-9}$ и ${y^2+4y=(y+2)^2-4}.$ Тогда

${x^2+6x-y^2-4y+5}={(x+3)^2-9}-{(y+2)^2+4+5}$

$={(x+3)^2-(y+2)^2}={(x+3-y-2)(x+3+y+2)}$

$={(x-y+1)(x+y+5).}$

Ещё задачи

• Рациональные выражения: задачи с решениями (часть 1) (задачи 1–16).
• Рациональные выражения: теория.
• Формулы сокращённого умножения.
• Калькулятор разложения многочлена на множители (с пошаговым решением).