Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент (наклон) прямой — это число, которое показывает, насколько круто идёт прямая и поднимается она или опускается при движении слева направо. Зная угловой коэффициент, можно написать уравнение прямой, выяснить, параллельны две прямые или перпендикулярны, и описать, как быстро изменяется одна величина при изменении другой.

На этой странице: Крутизна прямой · Определение · Знак углового коэффициента · Угол наклона · Взаимное расположение прямых · Уравнения прямой · Примеры из жизни · Задачи

Крутизна прямой

Представим себе точку, которая движется по невертикальной прямой из точки $P_1(x_1; y_1)$ в точку $P_2(x_2; y_2).$ Её ордината $y$ изменяется на ${y_2-y_1},$ а абсцисса $x$ — на ${x_2-x_1}.$ Изменение по вертикали ${y_2-y_1}$ будем называть изменением $y$, а изменение по горизонтали ${x_2-x_1}$ будем называть изменением $x$ (говорят также: приращение $y$ и приращение $x$).

Чем круче прямая, тем больше изменение $y$ при одном и том же изменении $x.$ Поэтому крутизну измеряют отношением изменения $y$ к изменению $x.$ Например, если при сдвиге на $6$ единиц вправо прямая поднимается на $3$ единицы, то это отношение равно ${\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\text{:}$ на каждую единицу сдвига вправо прямая поднимается на половину единицы.

Определение

Иными словами, угловой коэффициент равен изменению $y,$ делённому на изменение $x.$ Формула имеет смысл только при ${x_1\ne x_2}.$ На вертикальной прямой у всех точек одна и та же абсцисса, так что изменение $x$ равно $0,$ а на нуль делить нельзя. Поэтому угловой коэффициент вертикальной прямой не определён. (Говорят также, что у вертикальной прямой нет углового коэффициента или что он не существует. Это не значит, что угловой коэффициент равен $0.$)

Порядок точек

Неважно, какую из двух точек назвать $P_1,$ а какую $P_2.$ Если поменять их местами, то и числитель, и знаменатель изменят знак, а значение дроби останется прежним:

$$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-(y_2-y_1)}{-(x_2-x_1)}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Порядок точек в числителе и в знаменателе должен быть одинаковым. Если числитель начинается с $y_2,$ то знаменатель должен начинаться с $x_2.$

Любые две точки дают один и тот же угловой коэффициент

Угловой коэффициент характеризует всю прямую, а не отдельную пару её точек. На рисунке точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ лежат на одной прямой. У каждого из двух закрашенных прямоугольных треугольников один катет горизонтален, а другой вертикален; их гипотенузы $AB$ и $CD$ лежат на этой прямой. Горизонтальные катеты параллельны, поэтому углы при вершинах $A$ и $C$ равны как соответственные. Кроме того, у обоих треугольников есть прямой угол, так что треугольники подобны по двум углам. Сходственные стороны подобных треугольников пропорциональны, значит, отношение вертикального катета к горизонтальному у них одинаково. Для маленького треугольника изменение $y$ равно $1,$ а изменение $x$ равно $2;$ для большого изменение $y$ равно $2,$ а изменение $x$ равно $4\text{:}$

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}.$$

Какие бы две точки этой прямой мы ни взяли, угловой коэффициент получится равным $\frac{1}{2}.$

Угловой коэффициент как скорость изменения

Изменения координат часто обозначают с помощью греческой буквы $\Delta$ (дельта): ${\Delta x=x_2-x_1}$ и ${\Delta y=y_2-y_1}.$ Тогда

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \Delta y=k\cdot\Delta x.$$

Если $x$ увеличивается на $1,$ то $y$ изменяется на $k.$ Значит, угловой коэффициент — это скорость изменения величины $y$ относительно $x\text{:}$ он показывает, на сколько единиц изменяется $y$ при увеличении $x$ на единицу. У прямой эта скорость всюду одна и та же.

Знак углового коэффициента. Вертикальная прямая

Будем смотреть на прямую слева направо, то есть в направлении возрастания $x.$

Угловой коэффициент	Прямая	Почему
Положительный, ${k\gt0}$	поднимается слева направо	с ростом $x$ растёт и $y\text{:}$ изменение $y$ положительно
Отрицательный, ${k\lt0}$	опускается слева направо	с ростом $x$ значение $y$ убывает: изменение $y$ отрицательно
Равен нулю, ${k=0}$	горизонтальна	у всех точек одна и та же ордината: изменение $y$ равно $0$
Не определён	вертикальна	у всех точек одна и та же абсцисса: изменение $x$ равно $0$

Крутизну прямой показывает модуль углового коэффициента: чем больше $|k|,$ тем круче прямая. Прямая с угловым коэффициентом $4$ круче прямой с угловым коэффициентом $\frac{1}{2},$ а прямая с угловым коэффициентом $-2$ круче прямой с угловым коэффициентом $1,$ хотя ${-2\lt1}.$

Пример 1. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки: а) $(6; 2)$ и $(9; 8);$ б) $(2; 9)$ и $(4; 3);$ в) $(-2; 7)$ и $(5; 7);$ г) $(3; 1)$ и $(3; 5).$

Решение. Применим формулу ${k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}.$

а) $k=\frac{8-2}{9-6}=\frac{6}{3}=2.$ При сдвиге на единицу вправо прямая поднимается на $2$ единицы.

б) $k=\frac{3-9}{4-2}=\frac{-6}{2}=-3.$ При сдвиге на единицу вправо прямая опускается на $3$ единицы.

в) $k=\frac{7-7}{5-(-2)}=\frac{0}{7}=0.$ Прямая горизонтальна.

г) У обеих точек ${x=3},$ поэтому изменение $x$ равно ${3-3=0}$ и угловой коэффициент не определён. Прямая вертикальна.

Пример 2. Прямая, проходящая через точки $(1; 2)$ и $(4; y),$ имеет угловой коэффициент $3.$ Найдите $y.$

Решение. По формуле углового коэффициента ${\frac{y-2}{4-1}=3}.$ Отсюда ${y-2=9}$ и ${y=11}.$

Пример 3. Лежат ли точки $A(-1; 1),$ $B(1; 5)$ и $C(4; 11)$ на одной прямой?

Решение. Угловой коэффициент прямой $AB$ равен ${\frac{5-1}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2},$ а угловой коэффициент прямой $BC$ равен ${\frac{11-5}{4-1}=\frac{6}{3}=2}.$ Прямые $AB$ и $BC$ имеют одинаковый угловой коэффициент и общую точку $B.$ Через данную точку проходит только одна прямая с данным угловым коэффициентом, значит, прямые $AB$ и $BC$ совпадают. Все три точки лежат на одной прямой.

Угол наклона прямой

Угол наклона прямой, пересекающей ось абсцисс, — это наименьший угол $\alpha,$ отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс до этой прямой. Для горизонтальной прямой полагают ${\alpha=0^\circ}.$

Таким образом, ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ}.$ Если прямая поднимается, то угол $\alpha$ острый; если прямая опускается, то угол $\alpha$ тупой; для вертикальной прямой ${\alpha=90^\circ}.$

Теорема. Угловой коэффициент $k$ невертикальной прямой равен тангенсу её угла наклона $\alpha\text{:}$ ${k=\operatorname{tg}\alpha}.$

Тангенс тупого угла отрицателен: ${\operatorname{tg}\alpha=-\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)}.$ Например, ${\operatorname{tg}135^\circ}={-\operatorname{tg}45^\circ}={-1}.$

Доказательство

Возьмём на прямой две точки $P_1$ и $P_2$ так, чтобы точка $P_2$ лежала правее точки $P_1,$ и построим прямоугольный треугольник, горизонтальный катет которого изображает изменение $x,$ а вертикальный катет изображает изменение $y.$

Если прямая поднимается, то угол треугольника при вершине $P_1$ равен $\alpha\text{:}$ горизонтальный катет параллелен оси абсцисс, поэтому эти углы равны как соответственные. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, поэтому ${\operatorname{tg}\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=k}.$

Если прямая опускается, то угол $\alpha$ тупой, а острый угол между прямой и осью абсцисс равен ${180^\circ-\alpha}.$ Ему равен угол треугольника при вершине $P_1$ (это снова соответственные углы). Тангенс этого угла равен отношению длины вертикального катета к длине горизонтального: ${\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)}={\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1}}={-k}.$ Поскольку ${\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha},$ получаем ${-\operatorname{tg}\alpha=-k},$ откуда снова ${k=\operatorname{tg}\alpha}.$

Для горизонтальной прямой ${k=0}$ и ${\operatorname{tg}0^\circ=0}.$

Угол $\alpha$	${k=\operatorname{tg}\alpha}$	Прямая
$0^\circ$	$0$	горизонтальна
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}58$	поднимается
$45^\circ$	$1$	поднимается
$60^\circ$	$\sqrt{3}\approx1{,}73$	поднимается
$90^\circ$	не определён	вертикальна
$120^\circ$	$-\sqrt{3}\approx-1{,}73$	опускается
$135^\circ$	$-1$	опускается
$150^\circ$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}58$	опускается

Тангенс угла $90^\circ$ не определён, и это согласуется с тем, что не определён и угловой коэффициент вертикальной прямой.

Пример 4. Найдите угол наклона прямой, у которой: а) ${k=1};$ б) ${k=-1}.$

Решение.

а) ${\operatorname{tg}\alpha=1},$ значит, ${\alpha=45^\circ}$ (в радианах $\frac{\pi}{4}$).

б) ${\operatorname{tg}\alpha=-1}.$ Так как ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ},$ получаем ${\alpha=135^\circ}$ (в радианах $\frac{3\pi}{4}$).

Пример 5. Найдите с точностью до градуса угол наклона прямой, проходящей через точки: а) $(1; 1)$ и $(4; 3);$ б) $(0; 5)$ и $(2; 1).$

Решение.

а) ${k=\frac{3-1}{4-1}=\frac{2}{3}}.$ Арктангенс (функцию $\operatorname{arctg}$) находим на калькуляторе в режиме градусов; на клавише обычно написано tan⁻¹. Получаем ${\alpha=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}\approx34^\circ}.$

б) ${k=\frac{1-5}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2}.$ Калькулятор даёт ${\operatorname{arctg}(-2)\approx-63^\circ},$ но угол наклона не может быть отрицательным. Тангенс не изменится, если к углу прибавить $180^\circ,$ поэтому прибавим $180^\circ$ и получим ${\alpha\approx-63^\circ+180^\circ=117^\circ}.$

Для отрицательного углового коэффициента калькулятор выдаёт отрицательный угол. Чтобы получить угол наклона, прибавьте к нему $180^\circ.$

Параллельные и перпендикулярные прямые

Второе условие можно записать в виде ${k_2=-\frac{1}{k_1}}\text{:}$ угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку. Например, прямые с угловыми коэффициентами $2$ и $-\frac{1}{2}$ перпендикулярны, как и прямые с угловыми коэффициентами $-\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}.$

Угловой коэффициент вертикальной прямой не определён, поэтому о вертикальных прямых теорема ничего не говорит. Любые две различные вертикальные прямые параллельны. Вертикальная прямая перпендикулярна любой горизонтальной прямой и не перпендикулярна никакой другой.

Доказательство для параллельных прямых

Сначала рассмотрим случай, когда ни одна из прямых не горизонтальна. Тогда каждая из них пересекает ось абсцисс; обозначим их углы наклона через $\alpha_1$ и $\alpha_2.$

Если прямые параллельны, то они пересекают ось абсцисс в двух различных точках, а углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ являются соответственными: секущей служит ось абсцисс. Соответственные углы при параллельных прямых равны, ${\alpha_1=\alpha_2},$ поэтому ${k_1=\operatorname{tg}\alpha_1=\operatorname{tg}\alpha_2=k_2}.$

Обратно, пусть ${k_1=k_2},$ то есть ${\operatorname{tg}\alpha_1=\operatorname{tg}\alpha_2}.$ Два различных угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ не могут иметь равных тангенсов, поэтому ${\alpha_1=\alpha_2}.$ Пересекать ось абсцисс в одной и той же точке прямые не могут: две прямые, которые проходят через одну точку оси и имеют один и тот же угол наклона, совпадают, а наши прямые различны. Значит, они пересекают ось в двух различных точках, соответственные углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ равны, и поэтому прямые параллельны.

Если одна из прямых горизонтальна, то её угловой коэффициент равен $0.$ Другая прямая параллельна ей тогда и только тогда, когда она тоже горизонтальна, то есть когда её угловой коэффициент тоже равен $0.$

Доказательство для перпендикулярных прямых

В обеих частях доказательства прямые пересекаются. Перпендикулярные прямые пересекаются всегда. Если же ${k_1k_2=-1},$ то ${k_1\ne k_2}$ (при равных угловых коэффициентах получилось бы ${k_1^2=-1},$ что невозможно), поэтому по первой части теоремы прямые не параллельны. Пусть $A$ — точка пересечения прямых. Если сдвинуть обе прямые вверх на одно и то же расстояние, то их угловые коэффициенты и угол между ними не изменятся, поэтому можно считать, что точка $A$ лежит выше оси абсцисс.

Если прямые перпендикулярны, то ${k_1k_2=-1}.$ Ни одна из прямых не вертикальна, поэтому ни одна из них и не горизонтальна (прямая, перпендикулярная горизонтальной, вертикальна). Значит, обе прямые пересекают ось абсцисс: прямая $l_1$ в точке $B,$ а прямая $l_2$ в точке $C.$ Обозначения выберем так, чтобы точка $B$ лежала левее точки $C.$ В треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, поэтому углы $B$ и $C$ острые. Следовательно, прямая $l_1$ поднимается, прямая $l_2$ опускается, а основание $H$ высоты $AH$ лежит между точками $B$ и $C.$ Пусть ${AH=h}$ и ${HC=c}.$

Угол треугольника при вершине $B$ равен $\alpha_1.$ Угол $HAC$ тоже равен $\alpha_1,$ так как каждый из этих углов дополняет угол $C$ до $90^\circ$ (в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $AHC$). Из прямоугольного треугольника $AHC$ находим ${\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{c}{h}},$ а тангенс угла $C$ равен $\frac{h}{c}.$ Угол наклона прямой $l_2$ равен $\alpha_2,$ а угол $C$ треугольника равен ${180^\circ-\alpha_2},$ поэтому ${\operatorname{tg}\alpha_2=-\frac{h}{c}}.$ Следовательно,

$$k_1k_2=\frac{c}{h}\cdot\left(-\frac{h}{c}\right)=-1.$$

Если ${k_1k_2=-1},$ то прямые перпендикулярны. Угловые коэффициенты имеют противоположные знаки; пусть ${k_1\gt0}$ и ${k_2\lt0}.$ Тогда прямая $l_1$ поднимается, а прямая $l_2$ опускается. Спускаясь из точки $A$ по прямой $l_1,$ мы движемся влево, а по прямой $l_2$ — вправо, поэтому прямая $l_1$ пересекает ось абсцисс в точке $B$ левее точки $A,$ а прямая $l_2$ пересекает её в точке $C$ правее точки $A.$ Значит, основание $H$ высоты $AH$ треугольника $ABC$ лежит между точками $B$ и $C.$ Пусть ${AH=h},$ ${BH=d}$ и ${HC=c}.$ Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $AHC$ получаем ${k_1=\frac{h}{d}}$ и ${k_2=-\frac{h}{c}}.$ Равенство ${k_1k_2=-1}$ принимает вид ${\frac{h}{d}\cdot\frac{h}{c}=1},$ то есть ${\frac{h}{d}=\frac{c}{h}}.$

Здесь $\frac{h}{d}$ равно тангенсу угла $ABH,$ а $\frac{c}{h}$ равно тангенсу угла $HAC.$ Два острых угла с равными тангенсами равны, поэтому ${\angle HAC=\angle ABH}.$ В прямоугольном треугольнике $ABH$ имеем ${\angle BAH=90^\circ-\angle ABH}.$ Следовательно, ${\angle BAC}={\angle BAH+\angle HAC}={90^\circ\text{:}}$ прямые перпендикулярны.

Уравнения прямой

Уравнение прямой — это уравнение с переменными $x$ и $y,$ которому удовлетворяют координаты каждой точки прямой и не удовлетворяют координаты никакой другой точки. С помощью углового коэффициента такие уравнения составлять легко.

Вертикальные и горизонтальные прямые

Теорема. Вертикальная прямая, проходящая через точку $(a; 0),$ имеет уравнение ${x=a}.$ Горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; b),$ имеет уравнение ${y=b}.$

На вертикальной прямой абсцисса каждой точки равна $a,$ какой бы ни была её ордината. На горизонтальной прямой ордината каждой точки равна $b.$ Например, уравнение ${x=3}$ задаёт вертикальную прямую, проходящую через точку $(3; 0),$ а уравнение ${y=-2}$ задаёт горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0; -2).$ Ось абсцисс задаётся уравнением ${y=0},$ а ось ординат задаётся уравнением ${x=0}.$

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Теорема. Прямая, которая проходит через точку $P_1(x_1; y_1)$ и имеет угловой коэффициент $k,$ задаётся уравнением ${y-y_1=k(x-x_1)}.$ Его называют уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

Доказательство

Пусть $P(x; y)$ — точка, отличная от $P_1.$

Если ${x\ne x_1},$ то точка $P$ лежит на прямой тогда и только тогда, когда угловой коэффициент прямой $P_1P$ равен $k\text{:}$

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=k.$$

Умножив обе части на ${x-x_1},$ получим равносильное уравнение ${y-y_1=k(x-x_1)}.$

Если ${x=x_1},$ то ${y\ne y_1}.$ Такая точка не лежит на прямой, так как прямая не вертикальна, и уравнению она не удовлетворяет: левая часть ${y-y_1}$ не равна $0,$ а правая равна $0.$

Координаты самой точки $P_1$ уравнению удовлетворяют: обе его части равны $0.$

Пример 6. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом $4,$ проходящей через точку $(2; 3).$

Решение. ${y-3=4(x-2)}.$ Раскроем скобки: ${y-3=4x-8},$ откуда ${y=4x-5}.$

Пример 7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $(1; 5)$ и $(3; 1).$

Решение. Сначала найдём угловой коэффициент: ${k=\frac{1-5}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2}.$ Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точку $(1; 5)$ с найденным угловым коэффициентом: ${y-5=-2(x-1)},$ откуда ${y=-2x+7}.$ Проверка по второй точке: ${-2\cdot3+7=1}.$

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Невертикальная прямая пересекает ось ординат в одной точке; ординату этой точки обозначим буквой $b.$ Тогда прямая проходит через точку $(0; b).$

Теорема. Прямая с угловым коэффициентом $k,$ которая пересекает ось ординат в точке с ординатой $b,$ задаётся уравнением ${y=kx+b}.$ Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Действительно, для точки $(0; b)$ уравнение из предыдущей теоремы принимает вид ${y-b=k(x-0)},$ то есть ${y=kx+b}.$ В таком уравнении оба числа видны сразу: коэффициент при $x$ равен угловому коэффициенту, а свободный член равен ординате точки, в которой прямая пересекает ось ординат. Например, прямая ${y=3x-2}$ имеет угловой коэффициент $3$ и пересекает ось ординат в точке $(0; -2).$

Пример 8. Найдите угловой коэффициент прямой ${3x+2y-6=0}$ и точку её пересечения с осью ординат.

Решение. Выразим $y$ из уравнения: ${2y=-3x+6},$ откуда ${y=-\frac{3}{2}x+3}.$ Угловой коэффициент равен $-\frac{3}{2},$ а ось ординат прямая пересекает в точке с ординатой $3.$

В общем случае, если ${B\ne0},$ прямая ${Ax+By+C=0}$ имеет угловой коэффициент ${k=-\frac{A}{B}}$ и пересекает ось ординат в точке с ординатой $-\frac{C}{B}.$ Если ${B=0}$ (тогда ${A\ne0}$), то уравнение принимает вид ${x=-\frac{C}{A}}\text{:}$ прямая вертикальна. Уравнение ${Ax+By+C=0}$ называется общим уравнением прямой.

Одну и ту же прямую можно задать разными уравнениями: уравнения ${y=2x+1}$ и ${2y=4x+2}$ дают один и тот же угловой коэффициент $2$ и одну и ту же точку пересечения с осью ординат (её ордината равна $1$). Две прямые с одинаковым угловым коэффициентом параллельны только в том случае, если они пересекают ось ординат в разных точках.

Пример 9. Постройте прямую ${y=-\frac{2}{3}x+4}.$

Решение. Свободный член равен $4,$ значит, прямая проходит через точку $(0; 4).$ Угловой коэффициент равен ${-\frac{2}{3}=\frac{-2}{3}}\text{:}$ при сдвиге на $3$ единицы вправо прямая опускается на $2$ единицы. От точки $(0; 4)$ сдвинемся на $3$ единицы вправо и на $2$ единицы вниз и получим точку $(3; 2);$ ещё один такой шаг даёт точку $(6; 0).$ Через эти точки проводим прямую.

Пример 10. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $(4; 1)\text{:}$ а) параллельно прямой ${y=2x-3};$ б) перпендикулярно этой прямой.

Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен $2.$

а) У параллельной прямой такой же угловой коэффициент $2\text{:}$ ${y-1=2(x-4)},$ откуда ${y=2x-7}.$

б) У перпендикулярной прямой угловой коэффициент равен $-\frac{1}{2},$ так как ${2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1}.$ Её уравнение: ${y-1=-\frac{1}{2}(x-4)},$ откуда ${y=-\frac{1}{2}x+3}.$

Угловой коэффициент в жизни

Дороги. Дорожный знак с надписью $8\%$ означает, что на каждые $100$ м пути по горизонтали дорога поднимается (или опускается) на $8$ м. Уклон дороги — это её угловой коэффициент, выраженный в процентах: ${\frac{8}{100}=0{,}08=8\%}.$ Угол наклона такой дороги невелик: ${\operatorname{arctg}0{,}08\approx4{,}6^\circ}.$

Уклон $100\%$ вовсе не означает отвесную стену: это угловой коэффициент $1,$ то есть угол наклона $45^\circ.$

Скорость. Если построить график зависимости пройденного пути от времени, то угловой коэффициент этого графика равен скорости. График движения автомобиля, который едет с постоянной скоростью и проезжает $150$ км за $3$ часа, представляет собой прямую, проходящую через точки $(0; 0)$ и $(3; 150).$ Её угловой коэффициент равен ${\frac{150-0}{3-0}=50}\text{:}$ скорость автомобиля равна $50$ км/ч.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки: а) $(1; 2)$ и $(5; 10);$ б) $(-3; 4)$ и $(1; -4);$ в) $(0; -5)$ и $(6; -5);$ г) $(2; -1)$ и $(2; 7).$

Ответ

а) $k=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2.$

б) ${k}={\frac{-4-4}{1-(-3)}}={\frac{-8}{4}}={-2.}$

в) $k=\frac{-5-(-5)}{6-0}=\frac{0}{6}=0.$

г) Угловой коэффициент не определён: это вертикальная прямая ${x=2}.$

2. Прямая с угловым коэффициентом $\frac{3}{4}$ проходит через точку $(2; 1).$ Найдите ординату той точки этой прямой, у которой ${x=10}.$

Ответ

Изменение $x$ равно ${10-2=8},$ поэтому изменение $y$ равно ${\frac{3}{4}\cdot8=6}$ и ${y=1+6=7}.$

3. Лежат ли три точки на одной прямой? а) $(0; -1),$ $(2; 3)$ и $(5; 9);$ б) $(1; 1),$ $(3; 4)$ и $(7; 9).$

Ответ

а) Да: ${\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac{4}{2}=2}$ и ${\frac{9-3}{5-2}=\frac{6}{3}=2}.$

б) Нет: ${\frac{4-1}{3-1}=\frac{3}{2}},$ но ${\frac{9-4}{7-3}=\frac{5}{4}}.$

4. Найдите угол наклона прямой, угловой коэффициент которой равен: а) $\sqrt{3};$ б) $-\frac{\sqrt{3}}{3};$ в) $0.$

Ответ

а) $60^\circ;$ б) $150^\circ;$ в) $0^\circ.$

5. Прямая проходит через точку $(0; 2),$ а её угол наклона равен $135^\circ.$ Напишите уравнение этой прямой.

Ответ

${k=\operatorname{tg}135^\circ=-1},$ а ось ординат прямая пересекает в точке с ординатой $2,$ поэтому ${y=-x+2}.$

6. Прямая проходит через точку $(-1; 4)$ и имеет угловой коэффициент $-3.$ Напишите её уравнение с угловым коэффициентом.

Ответ

${y-4=-3(x+1)},$ откуда ${y=-3x+1}.$

7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $(2; -1)$ и $(6; 7).$

Ответ

${k=\frac{7-(-1)}{6-2}=\frac{8}{4}=2}.$ Тогда ${y+1=2(x-2)},$ откуда ${y=2x-5}.$

8. Найдите угловой коэффициент прямой ${4x-2y+10=0}$ и точку её пересечения с осью ординат.

Ответ

${2y=4x+10},$ откуда ${y=2x+5}.$ Угловой коэффициент равен $2,$ а ось ординат прямая пересекает в точке с ординатой $5.$

9. Выясните, параллельны прямые, перпендикулярны или ни то ни другое: а) ${y=3x-1}$ и ${6x-2y+5=0};$ б) ${y=\frac{2}{5}x+1}$ и ${5x+2y=4};$ в) ${y=2x}$ и ${y=-2x+3}.$

Ответ

а) Параллельны: вторая прямая имеет уравнение ${y=3x+\frac{5}{2}}.$ Оба угловых коэффициента равны $3,$ а свободные члены $-1$ и $\frac{5}{2}$ различны, значит, это две разные прямые.

б) Перпендикулярны: вторая прямая имеет уравнение ${y=-\frac{5}{2}x+2},$ и ${\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-1}.$

в) Ни то ни другое: угловые коэффициенты $2$ и $-2$ не равны, а их произведение равно ${2\cdot(-2)=-4}.$

10. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $(3; -2)$ перпендикулярно прямой ${y=\frac{3}{4}x+1}.$

Ответ

Угловой коэффициент равен $-\frac{4}{3}.$ Тогда ${y+2=-\frac{4}{3}(x-3)},$ откуда ${y=-\frac{4}{3}x+2}.$

11. Докажите, что треугольник с вершинами $A(1; 1),$ $B(5; 3)$ и $C(3; 7)$ прямоугольный.

Ответ

Угловой коэффициент прямой $AB$ равен ${\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}},$ а угловой коэффициент прямой $BC$ равен ${\frac{7-3}{3-5}=\frac{4}{-2}=-2}.$ Так как ${\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1},$ стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны: угол $B$ прямой.

12. Пандус для инвалидных колясок поднимается на $1$ м на каждые $12$ м пути по горизонтали. Найдите уклон пандуса в процентах и его угол наклона. Оба результата округлите до десятых.

Ответ

Уклон равен ${\frac{1}{12}\approx0{,}083=8{,}3\%}.$ Угол наклона равен ${\operatorname{arctg}\frac{1}{12}\approx4{,}8^\circ}.$

См. также: Координатные плоскости и графики · Аналитическая геометрия · Пары углов · Тригонометрия