Линия и определение крутизны

      Наклон линии (крутизна)
Предствим, что частица движется вдоль участка не вертикальной прямой из точки p1( x1,y1 ) к точке p1( x1,y1 ). Вертикальное изменение y2 – y1 называется подъемом, а горизонтальное изменение x2 – x1 - расстоянием.


      ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если P(x1, y1) и P(x2, y2) есть точками на невертикальной прямой, тогда крутизна m прямой определяется как:


Не имеет значение, какая точка называется P1 и какая точка называется P2
      Slope of  P1P2

= (y2 - y1)/(x2 - x1)

= -(y1 - y2)/[-(x1 - x2)]

= (y1 - y2)/(x1 - x2) = Крутизна P1P2


Любые две различные точки на не вертикальной прямой могут быть использованы для расчета крутизны (наклона) прямой. Для измерения наклона, мы обычно двигаемся слева направо, когда измеряем дистанцию, пройденную горизонтально.
Из-за этого, иногда понятие падения подменяется подъемом!


      Пример
В каждой части найдите наклон линии, проходящей через
          (A)     (6, 2) и (9, 8)
          (B)     (2, 9) и (4, 3)
          (C)    (-2, 7) и (5, 7)


Решение:
Мы знаем, что наклон линии, проходящей через две точкиP1(x1, y1) иp1(x1, y1) , определяется как
m= (y2 - y1)/ (x2 - x1)
Отсюда
    a) m= (8 - 2)/(9 - 6) = 6/3 = 2
На координатной плоскости xy


Подобным образом
    b) m= (3 - 9)/(4 - 2) = -6/2 = -3
На координатной плоскости xy


Также
    c) m= (7 -7)/[5 - (-2)] = 0/7 = 0
На координатной плоскости xy


      Определение (Угол наклона)
Для прямой L не параллельной к оси абсцисс, угол наклона есть наименьший углом φ, измеренный против часовой стрелки от направления положительная оси х к L.
Для прямой, параллельной оси x, мы берём φ = 0
Как показано на следующих рисунках.
       


Если m есть наклоном прямой, тогда
m = rise/run
    = скорость изменения y относительно к x


      ТЕОРЕМА
Для не вертикальной прямой наклон m и угол наклона φ связаны отношением
            m = tan φ


      Пример:
Найдите угол наклона для прямой с наклоном m = 1 и угол наклона для прямой с наклоном m = -1


      Solution:
  Если m=1 tan φ = 1, и поэтому φ = π/4 = 45°

  Если m=-1 tan φ = -1, так как 0 < φ < π φ = 3π/4 = 135°


      Теорема Пусть L1 и L2 есть прямыми с наклонами m1 и m2, соответственно
  (a)   Прямые параллельны тогда и только тогда       m1 = m2
  (b)   Прямые параллельны тогда и только тогда       m1m2 = -1


      Доказательство: (a)
Если L1 и L2 не являются вертикальными прямыми, тогда их углы наклона φ1 и φ2 равны.
            φ12
Так,
    m1 = tanφ1 = tanφ2 = m2

И наоборот, если два наклона линий равны, т.e.
        M1 = M2
⇒     tan(φ1) = tan(φ2)
⇒         φ1 = φ2
То есть, прямые параллельны.


(b) Предположим, что φ1 < φ2
Тогда, обращаясь к рисунку
m1 = tanφ1 = c/h

m2 = tanφ2 = -h/c


Доказательства обратного предлагается сделать в качестве упражнения.


      TЕОРЕМА
Вертикальная прямая через (a, 0) и горизонтальная прямая через (0, b) представлены, соответственно, уравнением
x = a и y = b
      ТЕОРЕМА
Прямая, проходящая через P1(x1, y1) и имеющая наклон m, выражается уравнением
            y - y1 = m(x - x1)

      ТЕОРЕМА
Прямая с пересечением оси y в b и наклоном m выражается уравнением
            y = mx + b


Электронная почта:

© 2005 - 2021
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.