Линия и определение крутизны

      Наклон линии (крутизна)
Предствим, что частица движется вдоль участка не вертикальной прямой из точки p₁( x₁,y₁ ) к точке p₁( x₁,y₁ ). Вертикальное изменение y₂ – y₁ называется подъемом, а горизонтальное изменение x₂ – x₁ - расстоянием.

      ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если P(x₁, y₁) и P(x₂, y₂) есть точками на невертикальной прямой, тогда крутизна m прямой определяется как:

Любые две различные точки на не вертикальной прямой могут быть использованы для расчета крутизны (наклона) прямой. Для измерения наклона, мы обычно двигаемся слева направо, когда измеряем дистанцию, пройденную горизонтально.
Из-за этого, иногда понятие падения подменяется подъемом!

      Пример
В каждой части найдите наклон линии, проходящей через
          (A)     (6, 2) и (9, 8)
          (B)     (2, 9) и (4, 3)
          (C)    (-2, 7) и (5, 7)

Решение:
Мы знаем, что наклон линии, проходящей через две точкиP₁(x₁, y₁) иp₁(x₁, y₁) , определяется как
m= (y₂ - y₁)/ (x₂ - x₁)
Отсюда
    a) m= (8 - 2)/(9 - 6) = 6/3 = 2
На координатной плоскости xy

Подобным образом
    b) m= (3 - 9)/(4 - 2) = -6/2 = -3
На координатной плоскости xy

Также
    c) m= (7 -7)/[5 - (-2)] = 0/7 = 0
На координатной плоскости xy

Если m есть наклоном прямой, тогда
m = rise/run
    = скорость изменения y относительно к x

      ТЕОРЕМА
Для не вертикальной прямой наклон m и угол наклона φ связаны отношением
            m = tan φ

      Пример:
Найдите угол наклона для прямой с наклоном m = 1 и угол наклона для прямой с наклоном m = -1

      Solution:
  Если m=1 tan φ = 1, и поэтому φ = π/4 = 45°

  Если m=-1 tan φ = -1, так как 0 < φ < π φ = 3π/4 = 135°

      Теорема Пусть L₁ и L₂ есть прямыми с наклонами m₁ и m₂, соответственно
  (a)   Прямые параллельны тогда и только тогда       m₁ = m₂
  (b)   Прямые параллельны тогда и только тогда       m₁m₂ = -1

      Доказательство: (a)
Если L₁ и L₂ не являются вертикальными прямыми, тогда их углы наклона φ₁ и φ₂ равны.
            φ₁ =φ₂
Так,
    m₁ = tanφ₁ = tanφ₂ = m₂

И наоборот, если два наклона линий равны, т.e.
        M₁ = M₂
⇒     tan(φ₁) = tan(φ₂)
⇒         φ₁ = φ₂
То есть, прямые параллельны.

(b) Предположим, что φ₁ < φ₂
Тогда, обращаясь к рисунку
m₁ = tanφ₁ = c/h

m₂ = tanφ₂ = -h/c

Доказательства обратного предлагается сделать в качестве упражнения.