Тригонометрические и геометрические преобразования

Тригонометрические функции суммы углов

Как показывают примеры, иногда нужны углы, отличные от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. В этой главе вы должны усвоить две вещи:
1. $\sin(A + B)$ не равен $\sin A + \sin B$. Скобки здесь нельзя раскрыть, как в алгебре.
2. Формулу, которой на самом деле равен $\sin(A + B)$.

Сначала покажем, что раскрытие скобок «не работает». Пусть $A = 30^\circ$ и $B = 45^\circ$. $\sin 30^\circ$ равен 0,5, $\sin 45^\circ$ — примерно 0,7071. Их сумма равна 1,2071.

Вы знаете, что ни синус, ни косинус не может быть больше 1. Почему? В этих отношениях знаменатель — гипотенуза, а числитель может быть самое большее равен знаменателю. Синус или косинус никогда не бывает больше 1, поэтому значение 1,2071 неверно.

Нахождение синуса, косинуса или тангенса полного угла $(A + B)$

$\displaystyle \sin 30^\circ = 0{,}5$

$\displaystyle \sin 45^\circ \approx 0{,}707$

$\displaystyle \sin(30^\circ +\nobreak 45^\circ) = \sin 75^\circ = \,?$

$\displaystyle \sin 30^\circ + \sin 45^\circ \approx 0{,}5 + 0{,}707 = 1{,}207 > 1$

Синус угла никогда не бывает больше 1, поэтому $\sin(30^\circ + 45^\circ) \ne \sin 30^\circ + \sin 45^\circ$.

Нахождение $\sin(A + B)$

Проще всего найти $\sin(A + B)$ с помощью геометрического построения на рисунке. Большой угол $(A + B)$ состоит из двух меньших, $A$ и $B$. Построение (1) показывает, что противолежащий катет состоит из двух частей. Нижняя часть, делённая на линию между углами (2), — это $\sin A$. Линия между двумя углами, делённая на гипотенузу (3), — это $\cos B$. Перемножим их. Средняя линия входит и в числитель, и в знаменатель, поэтому она сокращается, и остаётся нижняя часть противолежащего катета, делённая на гипотенузу (4).

Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Заштрихованный угол равен $A$, потому что верхняя сторона этого треугольника параллельна основанию. Из подобия прямоугольных треугольников с углом $A$ следует, что верхний угол, отмеченный $A$, тоже равен исходному углу $A$. Верхняя часть противолежащего катета (6), делённая на гипотенузу этого заштрихованного треугольника, — это $\cos A$. Противолежащий катет, делённый на основную гипотенузу (7), — это $\sin B$. Сторона, отмеченная как «противолежащая» (7), входит и в числитель, и в знаменатель, когда $\cos A$ и $\sin B$ перемножаются. Поэтому $\cos A\sin B$ — это верхняя часть исходного противолежащего катета (для угла $A + B$), делённая на основную гипотенузу (8).

Теперь сложим всё вместе (9): $\sin(A + B)$ — это две части противолежащего катета, делённые на гипотенузу. В тригонометрической форме:

$\displaystyle \sin(A +\nobreak B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$

Нахождение $\cos(A + B)$

Очень похожее построение даёт формулу косинуса угла, составленного из двух углов.

В том же построении (1) прилежащий катет — это вся линия основания (для $\cos A$), из которой справа вычтена часть. У каждой части должен быть один и тот же знаменатель — гипотенуза треугольника с углом $(A + B)$.

Вся линия основания, делённая на разделяющую линию между углами $A$ и $B$, — это $\cos A$ (2). Эта разделяющая линия, делённая на гипотенузу треугольника с углом $(A + B)$, — это $\cos B$ (3). Значит, вся линия основания, делённая на гипотенузу, равна произведению $\cos A\cos B$ (4).

Теперь о небольшой части, которую нужно вычесть. Заштрихованная часть (5) — это $\sin A$; умноженная на заштрихованную часть (6), то есть на $\sin B$, она даёт второй нужный кусок (7). Вычитание даёт $\cos(A + B)$ (8), поэтому искомая формула:

$\displaystyle \cos(A +\nobreak B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$

Нахождение $\operatorname{tg}(A + B)$

Полный геометрический вывод формулы для $\operatorname{tg}(A + B)$ сложен. Проще вывести её из двух уже полученных формул. Для любого угла тангенс равен синусу, делённому на косинус:

$\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \div \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\displaystyle = \frac{\text{противолежащий катет}}{\cancel{\text{гипотенуза}}} \times \frac{\cancel{\text{гипотенуза}}}{\text{прилежащий катет}}$

$\displaystyle = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \operatorname{tg} A$

$\displaystyle \frac{\sin B}{\cos B} = \operatorname{tg} B,\quad\allowbreak \frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)} = \operatorname{tg}(A +\nobreak B)$

Поэтому $\operatorname{tg}(A + B) = \dfrac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)}$. Распишем числитель и знаменатель по двум полученным формулам и разделим их на $\cos A\cos B$ — все члены превратятся в тангенсы:

$\displaystyle \operatorname{tg}(A +\nobreak B) = \frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)} = \frac{\sin A\cos B + \cos A\sin B}{\cos A\cos B - \sin A\sin B}$

$\displaystyle = \frac{\dfrac{\sin A\,\cancel{\cos B}}{\cos A\,\cancel{\cos B}} + \dfrac{\cancel{\cos A}\,\sin B}{\cancel{\cos A}\,\cos B}}{\dfrac{\cancel{\cos A}\,\cancel{\cos B}}{\cancel{\cos A}\,\cancel{\cos B}} - \dfrac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}}$

$\displaystyle = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A\operatorname{tg} B}$

Синус, косинус и тангенс 75°

Найдём синус, косинус и тангенс 75°, подставив 30° и 45° в формулы суммы, а затем упростим каждый результат до простейшего вида, прежде чем вычислять корни.

$\displaystyle \sin 75^\circ = \sin(30^\circ +\nobreak 45^\circ) = \sin 30^\circ\cos 45^\circ + \cos 30^\circ\sin 45^\circ$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

$\displaystyle \approx \frac{1{,}414 + 2{,}449}{4} = \frac{3{,}863}{4} \approx 0{,}966$

$\displaystyle \cos 75^\circ = \cos(30^\circ +\nobreak 45^\circ) = \cos 30^\circ\cos 45^\circ - \sin 30^\circ\sin 45^\circ$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\displaystyle \approx \frac{2{,}449 - 1{,}414}{4} = \frac{1{,}035}{4} \approx 0{,}259$

$\displaystyle \operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(30^\circ +\nobreak 45^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 45^\circ}{1 - \operatorname{tg} 30^\circ\operatorname{tg} 45^\circ} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

$\displaystyle = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732$

Если вы считаете на карманном калькуляторе, то, скорее всего, неважно, упростите вы сначала выражение или сразу подставите числа. Всё зависит от калькулятора: у одних результат будет отличаться, у других — нет!

Тригонометрические функции углов больше 90°

До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции острых углов (от 0 до 90 градусов). В треугольниках бывают и тупые углы (больше 90 градусов), а в последующих задачах углы могут быть и больше 180 градусов. Чтобы классифицировать углы по величине, их делят на квадранты (четверти).

Квадрант — это четверть круга. Так как круг обычно делят на 360 градусов, квадранты соответствуют промежуткам по 90 градусов: от 0 до 90 градусов — первый квадрант, от 90 до 180 — второй, от 180 до 270 — третий и от 270 до 360 — четвёртый.

Проведём линии, изображающие границы квадрантов: 0 (или 360) — горизонтально вправо, 90 — вертикально вверх, 180 — горизонтально влево и 270 — вертикально вниз. Тот же способ используют при построении графиков.

Всё большие углы задаются вращающимся вектором, который начинает движение от нуля и вращается против часовой стрелки. Горизонтальные составляющие обозначим $x$: они положительны вправо и отрицательны влево. Вертикальные составляющие обозначим $y$: они положительны вверх и отрицательны вниз. Вращающийся вектор обозначим $r$. Тогда синус угла равен $y/r$, косинус равен $x/r$, а тангенс равен $y/x$. Вектор $r$ всегда положителен, поэтому знаки функций в разных квадрантах легко определить.

Здесь знаки трёх функций сведены в таблицу для четырёх квадрантов и показано, как «переключается» соответствующий угол первого квадранта, когда вектор переходит из одного квадранта в следующий. В первом квадранте стороны треугольника определяли синус, косинус и тангенс. При переходе к большим углам в остальных квадрантах противолежащая сторона — это всегда вертикаль ($y$), то, что называлось прилежащей стороной, — всегда горизонталь ($x$), а гипотенуза — всегда вращающийся вектор ($r$). Вы начнёте замечать закономерность в том, как меняются тригонометрические функции углов.

Тригонометрические функции в четырёх квадрантах

Тригонометрические функции разности углов

Для формул разности углов у вас теперь есть два пути. Первый — геометрическое построение, как для суммы углов, но развёрнутое так, что $(A - B)$ — это угол $A$, из которого вычтен угол $B$.

Рассуждая так же, как для суммы углов (здесь — немного сокращённо), получаем формулы синуса и косинуса:

$\displaystyle \sin(A -\nobreak B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$

и

$\displaystyle \cos(A -\nobreak B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$

      Геометрическое построение

Формулы суммы и разности

Второй способ получить формулы разности углов — взять уже полученные формулы суммы и сделать угол $B$ отрицательным. Из исследования знаков в разных квадрантах следует, что отрицательные углы первого квадранта лежат в четвёртом квадранте, поэтому $\sin(-B) = -\sin B$ и $\cos(-B) = \cos B$. Такая подстановка даёт те же результаты, что были получены геометрически в предыдущем разделе.

Формула тангенса находится тем же способом — либо подстановкой в формулы синуса и косинуса, либо сразу, с помощью $\operatorname{tg}(-B) = -\operatorname{tg} B$. Все три вывода:

$\displaystyle \sin(A -\nobreak B) = \sin(A +\nobreak (-B)) = \sin A\cos(-B) + \cos A\sin(-B)$

$\displaystyle = \sin A\cos B + \cos A(-\sin B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$

$\displaystyle \cos(A -\nobreak B) = \cos(A +\nobreak (-B)) = \cos A\cos(-B) - \sin A\sin(-B)$

$\displaystyle = \cos A\cos B - \sin A(-\sin B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$

$\displaystyle \operatorname{tg}(A -\nobreak B) = \operatorname{tg}(A +\nobreak (-B)) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg}(-B)}{1 - \operatorname{tg} A\operatorname{tg}(-B)}$

$\displaystyle = \frac{\operatorname{tg} A - \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A(-\operatorname{tg} B)} = \frac{\operatorname{tg} A - \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A\operatorname{tg} B}$

При $A = 45^\circ$ и $B = 30^\circ$ эти формулы дают значения для 15°:

$\displaystyle \sin 15^\circ = \sin(45^\circ -\nobreak 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ\sin 30^\circ$

$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \approx 0{,}259$

$\displaystyle \cos 15^\circ = \cos(45^\circ -\nobreak 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ$

$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \approx 0{,}966$

$\displaystyle \operatorname{tg} 15^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ -\nobreak 30^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ - \operatorname{tg} 30^\circ}{1 + \operatorname{tg} 45^\circ\operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}}$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268$

Функции углов во всех четырёх квадрантах

С помощью формул суммы и разности можно найти ещё несколько значений. Значения для 75 и 15 градусов у вас уже есть. Эти формулы дают значения для углов через каждые 15 градусов во всех четырёх квадрантах. Если построить их на всём промежутке в 360 градусов, видно, как меняются три функции, когда вектор проходит четыре квадранта.

— : не определён (при 90° и 270° тангенс уходит в бесконечность)

И синус, и косинус «колеблются» вверх и вниз между +1 и −1. Обратите внимание, что эти «волны» сдвинуты друг относительно друга на 90 градусов. Этот факт понадобится позже.

Тангенс сначала ведёт себя как синус, но быстро устремляется вверх, к бесконечности при 90 градусах (при самом 90° тангенс не определён). Уйдя «за шкалу» в положительную сторону, он «возвращается» из отрицательной области с другой стороны от 90 градусов. Проходя через 180 градусов, график тангенса повторяет то, что было при 0 (или 360) градусах. При 270 градусах он повторяет то, что было при 90 градусах.

Теорема Пифагора в тригонометрии

Формулу часто можно упростить, переходя от одних функций к другим, как мы сделали, выводя формулы тангенса из формул синуса и косинуса. Здесь очень удобна теорема Пифагора, записанная через тригонометрические функции.

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1. Тогда один катет равен $\sin A$, а другой равен $\cos A$. По теореме Пифагора $\cos^2 A + \sin^2 A = 1$. Это равенство верно при любом $A$.

Небольшое замечание о записи. $\cos^2 A$ означает $(\cos A)^2$. Если написать $\cos A^2$, выражение будет означать другое. $A$ — это число, выражающее угол в какой-либо угловой мере, а $A^2$ — квадрат этого числа. Его значение зависело бы от выбранной меры угла, поэтому такая запись здесь не подходит. Имеется в виду квадрат синуса или косинуса угла, а не квадрат самого угла.

Формулу Пифагора можно преобразовать к другим видам:

$\displaystyle \cos^2 A + \sin^2 A = 1$

$\displaystyle \cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\displaystyle \sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\displaystyle \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$ $[0^\circ \le A \le 90^\circ]$

$\displaystyle \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$ $[0^\circ \le A \le 90^\circ]$

Кратные углы

Формулы суммы вместе с теоремой Пифагора позволяют найти функции углов, которые в 2, 3 и более раз больше исходного угла. Здесь приведены формулы для $2A$ и $3A$.

Формула суммы верна и для одинаковых, и для разных углов: $\sin(A + B)$ или $\sin(A + A)$. Но $\sin(A + A)$ — это $\sin 2A$. Значит, $\sin 2A = \sin A\cos A + \cos A\sin A$. Оба слагаемых — одно и то же произведение, записанное в разном порядке, поэтому $\sin 2A = 2\sin A\cos A$.

Аналогично $\cos 2A = \cos A\cos A - \sin A\sin A$, что можно записать как $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$. С помощью теоремы Пифагора получаем $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$. Наконец, $\operatorname{tg} 2A = \dfrac{2\operatorname{tg} A}{1 - \operatorname{tg}^2 A}$.

Тройной угол ($3A$) разобран, чтобы показать, как получаются следующие кратные углы.

По сути, достаточно записать $3A = 2A + A$ и снова применить формулы суммы. Но чтобы получить формулу в удобном виде, нужно заменить функции угла $2A$ и выразить всё через функции простого угла $A$.

Разберите приведённые ниже выводы. Видно, что для $4A$ и больших кратных вычисления станут сложнее.

Кратные углы: вывод из формул суммы

$\displaystyle \sin 2A = \sin(A +\nobreak A) = \sin A\cos A + \cos A\sin A = 2\sin A\cos A$

$\displaystyle = 2\sin A\sqrt{1 - \sin^2 A}$ $[0^\circ \le A \le 90^\circ]$

$\displaystyle \cos 2A = \cos(A +\nobreak A) = \cos A\cos A - \sin A\sin A$

$\displaystyle = \cos^2 A - \sin^2 A = \cos^2 A - (1 -\nobreak \cos^2 A)$

$\displaystyle = 2\cos^2 A - 1$

$\displaystyle \operatorname{tg} 2A = \operatorname{tg}(A +\nobreak A) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} A}{1 - \operatorname{tg} A\operatorname{tg} A} = \frac{2\operatorname{tg} A}{1 - \operatorname{tg}^2 A}$

или

$\displaystyle \operatorname{tg} 2A = \frac{\sin 2A}{\cos 2A} = \frac{2\sin A\cos A}{\cos^2 A - \sin^2 A} = \frac{2\,\dfrac{\sin A\cos A}{\cos^2 A}}{\dfrac{\cos^2 A}{\cos^2 A} - \dfrac{\sin^2 A}{\cos^2 A}}$

$\displaystyle = \frac{2\operatorname{tg} A}{1 - \operatorname{tg}^2 A}$

Кратные углы: функции угла $3A$

$\displaystyle \sin 3A = \sin(A +\nobreak 2A) = \sin A\cos 2A + \cos A\sin 2A$

$\displaystyle = \sin A(\cos^2 A -\nobreak \sin^2 A) + 2\cos A\sin A\cos A$

$\displaystyle = \sin A(1 -\nobreak 2\sin^2 A) + 2(1 -\nobreak \sin^2 A)\sin A$

$\displaystyle = \sin A(3 -\nobreak 4\sin^2 A) = 3\sin A - 4\sin^3 A$

$\displaystyle \cos 3A = \cos(A +\nobreak 2A) = \cos A\cos 2A - \sin A\sin 2A$

$\displaystyle = \cos A(2\cos^2 A -\nobreak 1) - 2\sin^2 A\cos A$

$\displaystyle = \cos A(2\cos^2 A -\nobreak 1) - 2(1 -\nobreak \cos^2 A)\cos A$

$\displaystyle = 4\cos^3 A - 3\cos A$

$\displaystyle \operatorname{tg} 3A = \operatorname{tg}(A +\nobreak 2A) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} 2A}{1 - \operatorname{tg} A\operatorname{tg} 2A} = \frac{\operatorname{tg} A + \dfrac{2\operatorname{tg} A}{1 - \operatorname{tg}^2 A}}{1 - \dfrac{2\operatorname{tg}^2 A}{1 - \operatorname{tg}^2 A}}$

$\displaystyle = \frac{\operatorname{tg} A(1 - \operatorname{tg}^2 A) + 2\operatorname{tg} A}{1 - \operatorname{tg}^2 A - 2\operatorname{tg}^2 A} = \frac{3\operatorname{tg} A - \operatorname{tg}^3 A}{1 - 3\operatorname{tg}^2 A}$

Свойства равнобедренного треугольника

Вы уже видели, что прямоугольный треугольник — удобный «строительный блок» для других фигур. У равнобедренного треугольника немного другие применения. Все они основаны на том, что у равнобедренного треугольника две равные стороны и два равных угла, лежащих против этих сторон. Перпендикуляр, опущенный из третьего угла (не одного из равных) на третью сторону (не одну из равных), делит эту сторону пополам и разбивает весь треугольник на два зеркально равных прямоугольных треугольника.

С помощью равнобедренных треугольников любой треугольник, кроме прямоугольного, можно разбить на три прилегающих равнобедренных треугольника: разделим каждую сторону пополам и восставим перпендикуляры из середин сторон. Если из точки, где пересекаются два таких перпендикуляра, провести отрезки к вершинам исходного треугольника, эти три отрезка будут равны, потому что каждые два из них — боковые стороны равнобедренного треугольника. Поэтому перпендикуляр к третьей стороне исходного треугольника тоже проходит через эту точку.

Это верно, как показано на рисунке, и для остроугольного, и для тупоугольного треугольника. Разница лишь в том, что у тупоугольного треугольника точка пересечения лежит вне треугольника, а не внутри.

А что происходит в прямоугольном треугольнике? Перпендикуляры из середины гипотенузы к двум другим сторонам делят эти стороны пополам — получаем два из трёх! Точка пересечения лежит на гипотенузе.

Углы в окружности

Основное свойство окружности: её центр находится на одинаковом расстоянии от всех точек окружности. Это расстояние — радиус окружности.

Если вершины треугольника лежат на окружности, то перпендикуляры, восставленные из середин его сторон, пересекаются в центре окружности, а радиусы, проведённые к вершинам, делят треугольник на три равнобедренных треугольника.

Обозначим равные углы каждого равнобедренного треугольника $A, A$, $B, B$, $C, C$. Тогда у исходного треугольника один угол равен $A + B$, второй равен $B + C$, а третий равен $A + C$. Сумма трёх углов равна $2A + 2B + 2C$, а она, как вы знаете, составляет 180 градусов.

В любом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180 градусам минус удвоенный угол при основании. С учётом предыдущего абзаца, например, $180^\circ - 2A$ равно $2B + 2C$.

Рассмотрим углы, опирающиеся на ту часть окружности, к которой прилегает верхняя левая сторона треугольника. Центральный угол равен $2B + 2C$, как мы только что вывели. Угол с вершиной на окружности равен $B + C$. Для любой дуги окружности центральный угол всегда вдвое больше угла с вершиной на окружности, опирающегося на ту же дугу.

Доказанное приводит к интересному факту об углах в окружности. Вместо того чтобы связывать углы со стороной треугольника, возьмём дугу (часть окружности). Важен угол, под которым эта дуга видна из центра. Отрезок, соединяющий концы дуги, называется хордой окружности.

$\displaystyle 2A + 2B + 2C = 180^\circ$ (исходный треугольник)

Центральный угол, опирающийся на основание: $\displaystyle 180^\circ - 2C = 2A + 2B$

Угол с вершиной на окружности, опирающийся на то же основание: $\displaystyle A + B$

Центральный угол вдвое больше угла с вершиной на окружности

Любой угол с вершиной на окружности, стороны которого проходят через концы этой хорды (по одну сторону от неё), равен половине центрального угла. Поэтому все такие углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны. Например, если дуга видна из центра под углом 120 градусов, то все углы с вершиной на окружности, опирающиеся на неё, равны ровно 60 градусам.

Особый случай — полуокружность. Центральный угол здесь развёрнутый (180 градусов). Каждый угол, вписанный в полуокружность, равен ровно 90 градусам (прямой угол). Любой треугольник, вписанный в полуокружность так, что одна его сторона — диаметр, прямоугольный.

Определения

Выше мы часто использовали углы, которые в сумме дают прямой угол (90 градусов) или два прямых угла (180 градусов). Два угла, сумма которых равна 180 градусам (двум прямым углам), дополняют друг друга до развёрнутого угла; если у них общая сторона, как на рисунке, их называют смежными (по-английски supplementary). Два угла, сумма которых равна 90 градусам (одному прямому углу), называют дополнительными (по-английски complementary).

Вопросы и задачи

1. Синус угла $A$ равен 0,8, а синус угла $B$ равен 0,6. С помощью полученных соотношений найдите $\operatorname{tg} A$, $\operatorname{tg} B$, $\sin(A + B)$, $\cos(A + B)$, $\sin(A - B)$, $\cos(A - B)$, $\operatorname{tg}(A + B)$ и $\operatorname{tg}(A - B)$, не пользуясь таблицами и тригонометрическими клавишами калькулятора.

2. Радиус Земли на экваторе — около 6400 км. Положение точек на экваторе задают долготой, которую отсчитывают от меридиана, проходящего через Гринвич (Англия). Для наблюдения за Луной используют два места на экваторе: гору Кения (37,5° восточной долготы) и Суматру (100,5° восточной долготы). Каково расстояние между этими местами по воображаемой прямой, проходящей сквозь Землю?

3. Если провести горизонтальные линии визирования из точек наблюдения задачи 2 (из первой — строго на восток, из второй — строго на запад), под каким углом они пересекутся?

4. В определённый момент, точно синхронизированный в обоих местах, наблюдают спутник. В Кении линия визирования, направленная на спутник, поднята на 58 градусов над горизонтом в восточном направлении, на Суматре — на 58 градусов над горизонтом в западном направлении. На каком расстоянии находится спутник? Используйте расстояние между точками, найденное в задаче 2.

5. Косинус некоторого угла ровно вдвое больше синуса того же угла. Чему равен тангенс этого угла? Таблицы и калькулятор для ответа не нужны.

6. Синус некоторого угла равен ровно 0,28. Найдите косинус и тангенс этого угла, не пользуясь таблицами и тригонометрическими функциями калькулятора.

7. Синус некоторого угла равен 0,6. Найдите синус удвоенного и утроенного угла.

8. Найдите синус и косинус угла, ровно вдвое большего, чем угол из задачи 7.

9. Взяв за единичный угол 15 градусов и используя формулы для $2A$ и $3A$, найдите синусы 30 и 45 градусов.

10. Взяв за единичный угол 30 градусов, найдите синусы 60 и 90 градусов.

11. Взяв за единичный угол 45 градусов, найдите тангенсы 90 и 135 градусов.

12. Взяв за единичный угол 60 градусов, найдите косинусы 120 и 180 градусов.

13. Взяв за единичный угол 90 градусов, найдите косинусы 180 и 270 градусов.

14. С помощью формул тангенса кратных углов и таблиц найдите тангенсы утроенных углов 29, 31, 59 и 61 градус. Объясните смену знака между утроенными углами 29 и 31 градус и между утроенными углами 59 и 61 градус.

15. Синус угла равен 0,96. Найдите синус и косинус удвоенного угла.

16. Задача сводится к уравнению $8\cos^2 A + \cos A = 3$. Найдите $\cos A$ и укажите, в каком квадранте лежит угол для каждого решения. Приведите приближённые значения углов по таблицам или с помощью калькулятора.

Задачи

Задачи с тригонометрическими функциями
Тригонометрические уравнения

Тесты

Тригонометрия

Алгебра

Тригонометрия - синус, косинус, тангенс, котангенс
Тригонометрические задачи