Задачи на второй и третий признаки равенства треугольников

На этой странице мы решаем задачи на второй и третий признаки равенства и на следствие из второго признака. Задачи на первый признак — на странице Задачи на первый признак равенства, теория — на странице Признаки равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следствие: по стороне и двум углам

Если сторона, прилежащий к ней угол и противолежащий ей угол одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и противолежащему ей углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это следует из второго признака: третьи углы тоже равны, так как сумма углов каждого треугольника равна ${180^\circ}.$

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задачи

Задача 1

В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны ${AC=BC},$ а $AM$ и $BN$ — биссектрисы углов при основании. Докажите, что ${AM=BN}.$

Решение. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $BAN.$

1. $AB$ — общая сторона.
2. ${\angle ABM=\angle BAN},$ так как углы при основании равнобедренного треугольника равны.
3. ${\angle BAM=\angle ABN},$ так как каждый из них равен половине угла при основании.

В обоих треугольниках сторона $AB$ лежит между двумя этими углами, поэтому по второму признаку ${\triangle ABM=\triangle BAN}.$ Отрезки $AM$ и $BN$ — соответствующие стороны, поэтому ${AM=BN}.$

Задача 2

$CM$ — медиана треугольника $ABC.$ Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны прямой $CM$ (точки $A_1$ и $B_1$ лежат на этой прямой). Докажите, что ${AA_1=BB_1}.$

Решение. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1M$ и $BB_1M.$

1. ${AM=BM},$ так как $CM$ — медиана.
2. ${\angle AMA_1=\angle BMB_1}$ как вертикальные углы.
3. ${\angle AA_1M=\angle BB_1M=90^\circ}.$

Равные стороны $AM$ и $BM$ лежат против прямых углов, поэтому треугольники равны по гипотенузе и острому углу: ${\triangle AA_1M=\triangle BB_1M}$ и ${AA_1=BB_1}.$ (Если ${CM\perp AB},$ точки $A_1,$ $B_1$ и $M$ совпадают, и утверждение очевидно.)

Задача 3

Докажите, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Решение. Пусть $M$ — точка биссектрисы $OL$ угла $AOB,$ ${MP\perp OA}$ и ${MQ\perp OB}.$ Рассмотрим треугольники $OPM$ и $OQM.$

1. $OM$ — общая сторона.
2. ${\angle POM=\angle QOM},$ так как $OL$ — биссектриса.
3. ${\angle OPM=\angle OQM=90^\circ}.$

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу: ${\triangle OPM=\triangle OQM},$ поэтому ${MP=MQ}.$ Перпендикуляры отсекают на сторонах угла и равные отрезки: ${OP=OQ}.$

Задача 4

Докажите, что если высота и биссектриса, проведённые из одной вершины треугольника, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Решение. Пусть $CP$ — одновременно высота и биссектриса, проведённые из вершины $C.$ Рассмотрим треугольники $APC$ и $BPC.$

1. $CP$ — общая сторона.
2. ${\angle ACP=\angle BCP},$ так как $CP$ — биссектриса.
3. ${\angle APC=\angle BPC=90^\circ},$ так как $CP$ — высота.

Сторона $CP$ лежит между двумя этими углами, поэтому по второму признаку ${\triangle APC=\triangle BPC}$ и ${AC=BC}.$ Треугольник равнобедренный.

Задача 5

Докажите, что треугольник с двумя равными углами равнобедренный: если в треугольнике $ABC$ углы $A$ и $B$ равны, то ${AC=BC}.$

Решение. Проведём биссектрису $CD$ угла $C.$ Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCD.$

1. ${\angle A=\angle B}$ (по условию).
2. ${\angle ACD=\angle BCD},$ так как $CD$ — биссектриса.
3. $CD$ — общая сторона.

Сторона $CD$ лежит против угла $A$ в первом треугольнике и против равного ему угла $B$ во втором, поэтому треугольники равны по стороне и двум углам: ${\triangle ACD=\triangle BCD}.$ Следовательно, ${AC=BC}.$ Вместе с задачей 3 со страницы Задачи на первый признак это показывает, что треугольник равнобедренный тогда и только тогда, когда у него есть два равных угла.

Задача 6

В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что ${AB=A_1B_1},$ ${BC=B_1C_1},$ а медианы $AM$ и $A_1M_1,$ проведённые к сторонам $BC$ и $B_1C_1,$ равны. Докажите, что ${\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1}.$

Решение. $M$ и $M_1$ — середины сторон, поэтому ${BM}={\frac12\,BC}={\frac12\,B_1C_1}={B_1M_1}.$ Для треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ имеем:

1. ${AB=A_1B_1};$
2. ${BM=B_1M_1};$
3. ${AM=A_1M_1}.$

По третьему признаку ${\triangle ABM=\triangle A_1B_1M_1},$ поэтому ${\angle B=\angle B_1}.$ Теперь у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ имеем ${AB=A_1B_1},$ ${\angle B=\angle B_1}$ и ${BC=B_1C_1},$ значит, по первому признаку ${\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1}.$

Задача 7

В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны ${AC=BC},$ а $M$ — середина основания $AB.$ Докажите, что ${CM\perp AB}$ и $CM$ делит угол $C$ пополам.

Решение. У треугольников $AMC$ и $BMC$ стороны ${AC=BC}$ и ${AM=BM},$ а сторона $CM$ общая. По третьему признаку ${\triangle AMC=\triangle BMC}.$ Поэтому ${\angle ACM=\angle BCM}$ и ${\angle AMC=\angle BMC}.$ Последние два угла смежные и в сумме дают ${180^\circ},$ значит, каждый из них равен ${90^\circ}.$

Задача 8

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны: ${AB=CD}$ и ${BC=DA}.$ Докажите, что ${\angle B=\angle D}$ и ${AB\parallel CD}.$

Решение. Проведём диагональ $AC.$ У треугольников $ABC$ и $CDA$ стороны ${AB=CD}$ и ${BC=DA},$ а сторона $AC$ общая. По третьему признаку ${\triangle ABC=\triangle CDA}.$

Поэтому ${\angle B=\angle D},$ а также ${\angle BAC=\angle DCA}.$ Это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC,$ значит, ${AB\parallel CD}.$ Точно так же ${BC\parallel AD}:$ четырёхугольник — параллелограмм.

Задача 9

В четырёхугольнике $ABCD$ (дельтоиде) ${AB=AD}$ и ${CB=CD}.$ Докажите, что диагональ $AC$ делит углы $A$ и $C$ пополам.

Решение. У треугольников $ABC$ и $ADC$ стороны ${AB=AD}$ и ${CB=CD},$ а сторона $AC$ общая. По третьему признаку ${\triangle ABC=\triangle ADC},$ поэтому ${\angle BAC=\angle DAC}$ и ${\angle BCA=\angle DCA}.$

Задача 10

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O,$ которая является серединой $AB,$ причём ${AC\parallel BD}.$ Докажите, что $O$ — также середина $CD.$

Решение. Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD.$

1. ${AO=BO},$ так как $O$ — середина $AB.$
2. ${\angle OAC=\angle OBD}$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB.$
3. ${\angle AOC=\angle BOD}$ как вертикальные углы.

Сторона $AO$ лежит между углами при вершинах $A$ и $O,$ а $BO$ — между углами при вершинах $B$ и $O.$ По второму признаку ${\triangle AOC=\triangle BOD},$ поэтому ${OC=OD}.$

Задачи для самостоятельного решения

Решите их сами, затем откройте решение.

1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к боковым сторонам, равны.

Пусть ${AC=BC},$ а $AA_1$ и $BB_1$ — высоты, проведённые к боковым сторонам. У прямоугольных треугольников $ABA_1$ и $BAB_1$ общая гипотенуза $AB$ и равные углы ${\angle ABA_1=\angle BAB_1}.$ Они равны по гипотенузе и острому углу, поэтому ${AA_1=BB_1}.$

2. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответствующим сторонам, равны.

Если ${\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1},$ а $M$ и $M_1$ — середины $BC$ и $B_1C_1,$ то ${AB=A_1B_1},$ ${\angle B=\angle B_1}$ и ${BM=B_1M_1}.$ По первому признаку ${\triangle ABM=\triangle A_1B_1M_1},$ поэтому ${AM=A_1M_1}.$

3. Точка $M$ равноудалена от концов отрезка $AB,$ ${MA=MB}.$ Докажите, что $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB.$

Пусть $O$ — середина $AB.$ У треугольников $MOA$ и $MOB$ стороны ${MA=MB}$ и ${OA=OB},$ а сторона $MO$ общая. По третьему признаку они равны, поэтому равные смежные углы $MOA$ и $MOB$ прямые: прямая $MO$ — серединный перпендикуляр к $AB.$

4. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ известно, что ${\angle A=\angle D},$ ${\angle C=\angle F}$ и ${AB=DE}.$ Равны ли треугольники?

Да, по стороне и двум углам: стороны $AB$ и $DE$ лежат против равных углов $C$ и $F.$

Ещё: Признаки равенства треугольников · Задачи на первый признак · Треугольники