Задачи на признак равенства треугольников: второй и третий признак

Второй признак равенства треугольников

Второй признак
Если сторона треугольника и два прилежащие к ней углы равны стороне другого треугольника и двум прилежащим углам, то эти два треугольника равны.

Отсюда вытекает следующее теоремма:

Если сторона треугольника и два к ней углы равны стороне другого треугольника и двум углам, то эти два треугольника равны.

Третий признак равенства треугольников

3 признак
Если три стороны треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задачи

Задача 1
Дано:
ABC - равнобедренный треугольник.
АМ и BN биссектрисы угла.
Доказать: AM = BN.

равнобедрен треугольник

Доказательство:
Треугольники AMB и BNA - равны (по второму признаку - угол-сторона-угол) потому что:
1. ∠CAB = ∠CBA
2. AB – в обеих треугольниках.
3. ∠MAB = ∠NBA = 1/2 ∠CAB.
Отрезки AM и BN являются соответствующими в этих равных треугольниках, и, следовательно, AM = BN.


Задача 2
Дано:
ABC - треугольник,
CM - медиана,
AA1 ⊥ CM и BB1 ⊥ CM.
Доказать: АА1 = ВВ1.

Доказательство:
1. ∠BB1M = ∠AA1M = 90°,
2. ∠AMA1 = ∠BMB1 как вертикальные,
3. AM = BM.
Следовательно △AA1M = △BB1M (по второму признаку).
Тогда AA1 = BB1 как соответствующие стороны в этих треугольниках.


Задача 3
Докажите, что перпендикуляры, проведённые из любой точки биссектрисы угла по отношению к его сторонам, вырезают на них равные отрезки.

биссектриса

Доказательство:
Давайте предположим, что ∠AOB точка M - неопределённая точка на биссектрисе OL.(fig.40)
Возьмём, что MP ⊥ OA и MQ ⊥ OB. Для того, чтобы доказать, что OP = OQ, достаточно доказать что △OPM = △OQM.

Но △OPM = △OQM(по второму признаку), потому что
1. OM - общая сторона,
2. ∠QOM = ∠POM (OL есть биссектриса),
3. ∠OQM = ∠OPM = 90°, откуда OP = OQ

Задача 4
Докажите, что если в треугольнике высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, равны, то треугольник равнобедренный.

Доказательство:
Обозначим, что △ABC высота и биссектриса, проведённые из вершины C, совпадают (рис. 41).
Для того, чтобы доказать, что AC = BC, т.е. △ABC является равнобедренным, достаточно доказать, что △APC = △ BPC.
Но △APC = △BPC (по второму признаку) потому что
1. ∠ACP = ∠BCP (CP - биссектриса)
2. ∠ACP = ∠CPB = 90° (CP - высота)
3. CP - общая сторона
Следователвно AC = BC ⇒ ABC - равнобедренный


Задача 5

Дано:
AB = A1B1
BC = B1C1
AM = A1M1 - медианы
Докажите △ABC = △A1B1C1

Доказательство:
Давайте посмотрим на треугольники △ABM и △A1B1M1.
1. AB = A1B1
2. AM = A1M1
3. BM = $\frac{1}{2}$BC
B1M1 = $\frac{1}{2}$B1C1
Но BC = B1C1 следовательно
BM = B1M1

⇒ △ABM = △A1B1M1(по третьему признаку).
Следовательно, ∠ABC = ∠A1B1C1

Давайте посмотрим на треугольники △ABC и △A1B1C1
1. AB = A1B1
2. BC = B1C1
3. ъгълABC = ъгълA1B1C1
Тогда, △ABC = △A1B1C1 - равны по первому признаку.

Задачи на равенство треугольников по первому признаку


Электронная почта:

© 2005 - 2021
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.