МенюЗадачи на теорему Пифагора
Задача 1
Расстояния по прямой от Испериха до Тутракана и до Дулово равны 40 км и 28 км соответственно. Отрезки, соединяющие три города, образуют прямой угол в Исперихе. Найдите расстояние от Дулово до Тутракана.
Решение. Если искомое расстояние обозначить через $x,$ то $x^2 = 40^2 + 28^2 = 1600 + 784 = 2384,$ откуда ${x = \sqrt{2384} \approx 48{,}8}$ км.
Задача 2
Докажите, что треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см является прямоугольным.
Решение. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.$ Так как ${3^2 + 4^2 = 5^2},$ то треугольник с такими длинами сторон является прямоугольным (с гипотенузой 5 см).
Задача 3
В таблице ниже даны расстояния между точками $A,$ $B$ и $C.$ Проверьте, являются ли эти точки вершинами прямоугольного треугольника.
| $AB$ | $BC$ | $AC$ | |
|---|---|---|---|
| a) | $9$ | $12$ | $15$ |
| b) | $5$ | $11$ | $12$ |
| c) | $8{,}8$ | $11{,}7$ | $14{,}8$ |
| d) | $5$ | $9$ | $8$ |
| e) | $41$ | $9$ | $40$ |
| f) | $6$ | $4{,}5$ | $7{,}5$ |
Ответ:
a) да: ${9^2 + 12^2 = 225 = 15^2};$
b) нет: ${5^2 + 11^2 = 146},$ а ${12^2 = 144};$
c) нет: ${8{,}8^2 + 11{,}7^2 = 214{,}33},$ а ${14{,}8^2 = 219{,}04};$
d) нет: ${5^2 + 8^2 = 89},$ а ${9^2 = 81};$
e) да: ${9^2 + 40^2 = 1681 = 41^2};$
f) да: ${4{,}5^2 + 6^2 = 56{,}25 = 7{,}5^2}.$
Задача 4
Являются ли прямоугольными треугольники со следующими длинами сторон?
a) $\sqrt{2},$ $4,$ $3\sqrt{2};$
b) $\sqrt{3},$ $3,$ $2\sqrt{3};$
c) $\sqrt{3},$ $\sqrt{5},$ $\sqrt{8}.$
Ответ: a) да; b) да; c) да.
Задача 5
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если длины его катетов равны:
a) $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3};$
b) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7};$
c) $\sqrt{9}$ и $\sqrt{11}.$
Ответ: a) $\sqrt{5};$ b) ${\sqrt{12} = 2\sqrt{3}};$ c) ${\sqrt{20} = 2\sqrt{5}}.$
Задача 6
В параллелограмме $ABCD$ ${AB = 33}$ см, ${BC = 56}$ см и ${AC = 65}$ см. Проверьте, является ли этот параллелограмм прямоугольником.
Ответ: да.
Задача 7
Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Если длины сторон этого прямоугольника равны $a$ и $b,$ какова длина стороны ромба?
Ответ: $\sqrt{a^2 + b^2}.$
Задача 8
Стороны прямоугольника равны 10 см и 24 см. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника.
Ответ: 13 см.
Задача 9
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь треугольника.
Ответ: $24\ \text{см}^2.$
Задача 10
Одна из сторон прямоугольника равна 12 м, а его диагональ равна 13 м. Найдите площадь прямоугольника.
Ответ: $60\ \text{м}^2.$
Задача 11
Диагонали ромба равны 10 см и 4 см. Найдите сторону ромба.
Ответ: ${\sqrt{29} \approx 5{,}4}$ см.
Задачи на теорему Пифагора