Параллелограмм

Проведём диагональ $AC.$ У треугольников $ABC$ и $CDA$ сторона $AC$ общая, ${\angle BAC=\angle DCA}$ как накрест лежащие углы (${AB\parallel DC},$ $AC$ — секущая) и ${\angle BCA=\angle DAC}$ — тоже как накрест лежащие (${AD\parallel BC}$). Значит, ${\triangle ABC=\triangle CDA}$ по второму признаку равенства треугольников, поэтому ${AB=CD},$ ${BC=DA}$ и ${\angle B=\angle D}.$ Аналогично, проведя диагональ $BD,$ получим ${\angle A=\angle C}.$

Углы $A$ и $B$ — односторонние (${AD\parallel BC},$ $AB$ — секущая), поэтому ${\alpha+\beta=180^\circ}.$

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD.$ В них ${AB=CD},$ а ${\angle OAB=\angle OCD}$ и ${\angle OBA=\angle ODC}$ как накрест лежащие углы. По второму признаку равенства треугольников ${\triangle AOB=\triangle COD},$ поэтому ${AO=OC}$ и ${BO=OD}.$

Противоположные стороны попарно равны. Если ${AB=CD}$ и ${BC=DA},$ то ${\triangle ABC=\triangle CDA}$ по третьему признаку равенства треугольников. Тогда ${\angle BAC=\angle DCA},$ а это накрест лежащие углы, поэтому ${AB\parallel DC};$ аналогично ${AD\parallel BC}.$

Две противоположные стороны параллельны и равны. Если ${AB\parallel DC}$ и ${AB=DC},$ то ${\triangle ABC=\triangle CDA}$ по первому признаку равенства треугольников (${\angle BAC=\angle DCA}$ как накрест лежащие углы). Тогда ${\angle BCA=\angle DAC},$ поэтому ${AD\parallel BC}.$

Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Если ${AO=OC}$ и ${BO=OD},$ то ${\triangle AOB=\triangle COD}$ по первому признаку равенства треугольников (углы при вершине $O$ вертикальные), поэтому ${AB=CD}$ и ${\angle OAB=\angle OCD},$ то есть ${AB\parallel DC}.$ Итак, две противоположные стороны параллельны и равны, и можно применить предыдущий признак.

Противоположные углы попарно равны. Если ${\angle A=\angle C=\alpha}$ и ${\angle B=\angle D=\beta},$ то ${2\alpha+2\beta=360^\circ},$ поэтому ${\alpha+\beta=180^\circ}.$ Сумма односторонних углов $A$ и $B$ равна $180^\circ,$ поэтому ${AD\parallel BC};$ аналогично ${AB\parallel DC}.$

Отрежем прямоугольный треугольник $AED$ и приложим его к стороне $BC\text{:}$ параллелограмм превратится в прямоугольник со сторонами $a$ и $h_a,$ поэтому ${S=a\cdot h_a}.$ Высота $h_a$ — это катет, лежащий против угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $AED$ с гипотенузой ${AD=b},$ поэтому ${h_a=b\sin\alpha}$ и ${S=ab\sin\alpha}.$ Аналогично $h_b$ — катет, лежащий против ${\angle C=\alpha}$ в прямоугольном треугольнике $DFC$ с гипотенузой ${DC=a},$ поэтому ${h_b=a\sin\alpha}.$

Диагональ ${d_2=BD}$ лежит в треугольнике $ABD$ против угла $\alpha,$ а диагональ ${d_1=AC}$ лежит в треугольнике $ABC$ против угла ${\beta=180^\circ-\alpha}.$ Применяя к этим треугольникам теорему косинусов и учитывая, что ${\cos\beta=-\cos\alpha},$ получаем формулы длин диагоналей. Сложив их, находим ${d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)}.$

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника, у каждого из которых две стороны равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2},$ а угол между ними равен $\varphi$ или ${180^\circ-\varphi}.$ Площадь каждого треугольника равна ${\frac12\cdot\frac{d_1}{2}\cdot\frac{d_2}{2}\sin\varphi},$ так как ${\sin(180^\circ-\varphi)=\sin\varphi}.$ Площадь параллелограмма равна сумме площадей этих четырёх треугольников: ${S=\frac12d_1d_2\sin\varphi}.$

Противоположные углы равны, поэтому эти два угла соседние: ${x+(x+40^\circ)=180^\circ},$ ${x=70^\circ}.$ Углы параллелограмма равны $70^\circ,$ $110^\circ,$ $70^\circ$ и $110^\circ.$

${AB+AD=15},$ поэтому ${AD=6}$ см.

${S}={10\cdot 6\cdot\sin 150^\circ}={60\cdot\frac12}={30}$ см² (${\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac12}$).

Высота, проведённая к стороне длиной 8 см, равна ${\frac{48}{8}=6}$ см, а высота, проведённая к стороне длиной 12 см, равна ${\frac{48}{12}=4}$ см.

${S=\frac12\cdot 6\cdot 8\cdot\sin 30^\circ=12}$ см².

${d^2}={2(25+49)-36}={112},$ поэтому ${d=\sqrt{112}=4\sqrt7\approx 10{,}58}$ см.

Половина другой диагонали равна ${\sqrt{100-36}=8},$ поэтому сама диагональ равна 16 см, а площадь ромба равна ${\frac{12\cdot 16}{2}=96}$ см².

${d=\sqrt{36+64}=10}$ см; диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому искомое расстояние равно 5 см.

${a=\frac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2}$ см и ${S=\frac{8^2}{2}=32}$ см².

${\angle DMA=\angle MAB}$ как накрест лежащие углы (${AB\parallel DC}$), а ${\angle MAB=\angle DAM},$ так как $AM$ — биссектриса. Значит, треугольник $ADM$ равнобедренный, ${DM=AD=8}$ см и ${CM}={CD-DM}={12-8}={4}$ см.