Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если один из них можно переместить (сдвинуть, повернуть или перевернуть) так, чтобы он точно совпал с другим.

У равных треугольников одинаковые форма и размеры; различаться может только их положение. При наложении каждая вершина попадает на вершину, каждая сторона — на сторону, каждый угол — на угол. Это соответствующие вершины, стороны и углы, и соответствующие стороны и углы равны.

Пишут ${\triangle ABC=\triangle DEF}$ и читают «треугольник $ABC$ равен треугольнику $DEF$». Порядок букв важен, так как он показывает, какие вершины соответствуют друг другу: $A$ и $D,$ $B$ и $E,$ $C$ и $F.$ Поэтому эта короткая запись содержит шесть равенств:

$$AB=DE,\qquad BC=EF,\qquad CA=FD,$$ $$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle E,\qquad \angle C=\angle F.$$

В доказательствах это используют как правило «в равных треугольниках соответствующие элементы равны».

На этой странице: Признаки равенства · Первый признак · Второй признак · Третий признак · Две стороны и угол против большей · Прямоугольные треугольники · Как записать доказательство · Типичные ошибки · Задачи

Признаки равенства треугольников

Чтобы доказать равенство двух треугольников, не нужно проверять все шесть равенств: достаточно трёх удачно выбранных. Утверждения о том, каких трёх достаточно, называются признаками равенства треугольников. На рисунках данные равные элементы выделены красным.

Первый признак (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если ${AB=A_1B_1},$ ${AC=A_1C_1}$ и ${\angle A=\angle A_1},$ то ${\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1}.$ Угол должен быть именно между этими сторонами. Решённые задачи: Задачи на первый признак.

Второй признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если ${AB=A_1B_1},$ ${\angle A=\angle A_1}$ и ${\angle B=\angle B_1},$ то ${\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1}.$

Следствие: по стороне и двум углам

Если сторона, прилежащий к ней угол и противолежащий ей угол одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и противолежащему ей углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это следует из второго признака. Если два угла равны, то равны и третьи углы, ведь каждый из них равен ${180^\circ}$ минус два других. На рисунке ${\angle C=\angle C_1},$ поэтому сторона $BC$ с прилежащими к ней углами $B$ и $C$ позволяет применить второй признак. Важно, чтобы стороны были соответствующими: равные стороны должны лежать против равных углов.

Третий признак (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Значит, три стороны полностью определяют треугольник. Поэтому конструкция из трёх реек жёсткая, а из четырёх — может перекоситься. По этой причине мосты, крыши и подъёмные краны собирают из треугольников. Решённые задачи: Задачи на второй и третий признаки.

По двум сторонам и углу, лежащему против большей из них

Две стороны и угол, который не лежит между ними, в общем случае не определяют треугольник.

На рисунке у треугольников $ABC$ и $ABC'$ общая сторона $AB,$ общий угол $A$ и ${BC=BC'}.$ Тем не менее они не равны: окружность с центром $B$ и радиусом $BC$ пересекает луч из точки $A$ в двух точках.

Если две стороны и угол, лежащий против большей из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них, другого треугольника, то такие треугольники равны. Это верно и тогда, когда эти две стороны равны.

Если ${AB=A_1B_1},$ ${BC=B_1C_1},$ ${\angle A=\angle A_1}$ и ${BC\ge AB},$ то ${\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1}.$

На рисунке угол $A$ лежит против меньшей стороны: ${BC\lt AB}.$ Если бы сторона $BC$ была не меньше $AB,$ окружность пересекла бы луч из $A$ только в одной точке, и треугольник был бы определён однозначно.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

У прямоугольных треугольников прямые углы уже равны, поэтому достаточно ещё двух пар равных элементов. Прямоугольные треугольники равны:

по двум катетам (первый признак);
по катету и острому углу (второй признак или следствие из него);
по гипотенузе и острому углу (следствие из второго признака);
по гипотенузе и катету (это случай двух сторон и угла, лежащего против большей из них: прямой угол лежит против гипотенузы — наибольшей стороны).

Чего недостаточно

Трёх равных углов. Треугольники с равными углами имеют одинаковую форму, но могут иметь разные размеры. Они подобны, но не обязательно равны.
Двух сторон и угла против меньшей из них — как на рисунке выше.
Только двух пар равных элементов. Например, при двух равных сторонах угол между ними может быть любым.

Как записать доказательство равенства

Назовите два треугольника, записав вершины в соответствующем порядке.
Перечислите три пары равных элементов и обоснуйте каждую: по условию, общая сторона, вертикальные углы, свойство фигуры и т. д.
Укажите признак и проверьте, что элементы стоят на нужных местах, например что в первом признаке угол лежит между сторонами.
Запишите вывод ${\triangle\ldots=\triangle\ldots}$ и затем используйте равенство соответствующих элементов.

Пример 1. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Докажите, что ${AC=BD}.$

Решение. Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD.$

${AO=BO},$ так как $O$ — середина $AB.$
${\angle AOC=\angle BOD}$ как вертикальные углы.
${CO=DO},$ так как $O$ — середина $CD.$

Угол при вершине $O$ лежит между этими сторонами, поэтому по первому признаку ${\triangle AOC=\triangle BOD}.$ Стороны $AC$ и $BD$ соответствующие, значит, ${AC=BD}.$

Пример 2. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ известно, что ${AB=DE=5},$ ${BC=EF=7}$ и ${\angle B=\angle E=40^\circ}.$ Равны ли треугольники? Какой угол треугольника $DEF$ равен углу $C?$

Решение. Угол $B$ лежит между сторонами $AB$ и $BC,$ а угол $E$ — между $DE$ и $EF.$ По первому признаку ${\triangle ABC=\triangle DEF},$ а углу $C$ соответствует угол $F,$ поэтому ${\angle C=\angle F}.$

Пример 3. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ известно, что ${\angle A=\angle D=50^\circ},$ ${\angle B=\angle E=60^\circ}$ и ${BC=DF}.$ Равны ли треугольники?

Решение. По этим данным — нет. Сторона $BC$ лежит против угла ${50^\circ},$ а $DF$ — против угла $E,$ равного ${60^\circ},$ так что эти стороны не соответствующие. Стороне $BC$ соответствует сторона $EF.$ Углы треугольников равны, значит, треугольники подобны. Но ${BC=DF\gt EF},$ так как в треугольнике $DEF$ сторона $DF$ лежит против большего угла. Значит, треугольник $ABC$ больше треугольника $DEF,$ и они не равны.

Типичные ошибки

Ошибка	Неверно	Верно
Угол не лежит между сторонами	${AB=A_1B_1},$ ${BC=B_1C_1},$ ${\angle A=\angle A_1},$ значит, первый признак	Угол $A$ не лежит между $AB$ и $BC;$ это две стороны и угол против одной из них, а этого может не хватить
Три угла как признак равенства	Все углы равны, значит, треугольники равны	Они подобны; размеры могут отличаться
Не учтён порядок букв	${\triangle ABC=\triangle DEF},$ значит, ${AB=EF}$	Стороне $AB$ соответствует $DE,$ значит, ${AB=DE}$
Стороны не соответствующие	Два равных угла и одна равная сторона где угодно дают равенство	Равные стороны должны лежать против равных углов

Задачи для самостоятельного решения

Решите их сами, затем откройте ответ.

1. ${\triangle KLM=\triangle PQR}.$ Запишите шесть пар равных сторон и углов.

${KL=PQ},$ ${LM=QR},$ ${MK=RP},$ ${\angle K=\angle P},$ ${\angle L=\angle Q},$ ${\angle M=\angle R}.$

2. ${AB=DE},$ ${\angle A=\angle D},$ ${AC=DF}.$ По какому признаку ${\triangle ABC=\triangle DEF}?$

По первому признаку: угол $A$ лежит между сторонами $AB$ и $AC.$

3. ${\angle A=\angle D},$ ${AB=DE},$ ${\angle B=\angle E}.$ По какому признаку?

По второму признаку: сторона $AB$ лежит между углами $A$ и $B.$

4. ${\angle A=\angle D},$ ${\angle B=\angle E},$ ${BC=EF}.$ По какому признаку?

По стороне и двум углам (следствие из второго признака): $BC$ и $EF$ лежат против равных углов $A$ и $D.$

5. ${AB=DE},$ ${BC=EF},$ ${\angle A=\angle D}.$ Всегда ли треугольники равны?

Не всегда. Они равны, если угол лежит против большей стороны (или стороны равны), то есть если ${BC\ge AB}.$

6. У двух прямоугольных треугольников равны гипотенузы и по одному катету. Равны ли треугольники?

Да, по гипотенузе и катету.

7. Углы двух треугольников равны ${40^\circ},$ ${60^\circ},$ ${80^\circ}.$ Равны ли треугольники?

Не обязательно: они подобны, но один может быть больше другого.

8. $AB$ и $CD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Докажите, что ${AC=BD}.$

${OA=OB=OC=OD}$ как радиусы, а ${\angle AOC=\angle BOD}$ как вертикальные углы. По первому признаку ${\triangle AOC=\triangle BOD},$ поэтому ${AC=BD}.$

Решённые задачи на признаки: первый признак и второй и третий признаки.

Ещё о треугольниках: Треугольники · Классификация · Высота · Медиана · Подобные треугольники