Окружность

Калькулятор: длина окружности и площадь круга

Выберите, что вам известно (радиус, диаметр, длина окружности или площадь круга), и введите значение. Калькулятор пошагово найдёт остальные три величины: сначала точное значение, выраженное через $\pi,$ а затем приближённое. Длину окружности и площадь круга можно вводить как число, кратное $\pi\text{:}$ пишите pi, например 10pi. Если ввести ещё и центральный угол в градусах, калькулятор найдёт длину дуги, на которую опирается этот угол, и площадь соответствующего сектора. Калькулятор использует точное значение $\pi,$ поэтому последняя цифра ответа может отличаться от результата, полученного при ${\pi\approx 3{,}14}.$

Что такое окружность?

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на одном и том же расстоянии от данной точки $O$ — центра окружности. Это расстояние называется радиусом $r$ окружности.

Окружность — это только линия. Окружность вместе со всеми точками плоскости, лежащими внутри неё, называется кругом. Поэтому говорят «длина окружности», но «площадь круга»: у линии есть длина, но нет площади. Точка $X$ лежит внутри окружности, если ${OX\lt r},$ на окружности, если ${OX=r},$ и вне окружности, если ${OX\gt r}.$

На этой странице: Калькулятор · Элементы окружности и круга · Длина окружности, площадь круга · Дуги и секторы · Углы, связанные с окружностью · Хорды и касательные · Решённые задачи · Задачи

Элементы окружности и круга

На рисунке $O$ — центр окружности.

• Радиус — это отрезок, соединяющий центр с точкой окружности, здесь $OA.$ Все радиусы окружности равны, и их длину тоже называют радиусом $r.$
• Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности, здесь $DE.$
• Диаметр — это хорда, проходящая через центр, здесь $BC.$ Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому его длина ${d=2r}.$ Диаметр — самая длинная хорда окружности: по неравенству треугольника любая хорда $DE$ не больше ${DO+OE=2r}.$
• Дуга — это часть окружности между двумя её точками, здесь дуга $FG.$ Её обозначают так: ${\smile}FG.$ Две точки делят окружность на две дуги; диаметр делит её на две полуокружности.

Прямая и окружность могут иметь две общие точки, одну общую точку или не иметь общих точек. Это зависит от расстояния от центра окружности до прямой: оно соответственно меньше $r,$ равно $r$ или больше $r.$ Прямая, которая пересекает окружность в двух точках, называется секущей; такова прямая $MN.$ Прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной, а эта точка $T$ — точкой касания. Касательная перпендикулярна радиусу $OT$ (см. раздел Касательные ниже).

Два радиуса делят круг на два круговых сектора, похожих на куски пирога. Хорда делит круг на два круговых сегмента: сегмент — это часть круга, ограниченная хордой и дугой.

Длина окружности и площадь круга

Число $\pi$

Длину окружности обозначают буквой $C.$ У любой окружности, маленькой или большой, длина чуть больше утроенного диаметра, а отношение $\frac{C}{d}$ всегда равно одному и тому же числу. Это число обозначают буквой $\pi$ (читается «пи»):

За один полный оборот колесо диаметром 1 прокатывается ровно на $\pi$ единиц длины. Десятичная запись числа $\pi$ бесконечна и непериодична. В вычислениях число $\pi$ либо оставляют в ответе, либо заменяют приближённым значением $3{,}14$ или $\frac{22}{7}.$

Длина окружности

Пример. Радиус окружности равен 5 см. Её длина ${C=2\pi\cdot 5=10\pi}$ см. При ${\pi\approx 3{,}14}$ это примерно $31{,}4$ см.

По длине окружности можно найти её радиус: ${r=\frac{C}{2\pi}}.$ Например, если ${C=18{,}84}$ см, то ${r\approx\frac{18{,}84}{2\cdot 3{,}14}=3}$ см.

Площадь круга

Почему? Разрежем круг на много равных секторов и приложим их друг к другу, переворачивая каждый второй. Получится фигура, похожая на параллелограмм. Её высота равна радиусу $r,$ а основание — половине длины окружности, ${\frac{C}{2}=\pi r}.$ Чем больше секторов мы возьмём, тем ближе эта фигура к прямоугольнику со сторонами $\pi r$ и $r,$ поэтому площадь круга равна ${\pi r\cdot r=\pi r^2}.$

Пример. Площадь круга радиуса 5 см равна ${S=\pi\cdot 5^2=25\pi}$ см², то есть примерно $78{,}5$ см². Площадь можно выразить и через диаметр: так как ${r=\frac{d}{2}},$ то ${S=\frac{\pi d^2}{4}}.$

По площади круга можно найти его радиус: ${r=\sqrt{\frac{S}{\pi}}}.$ Например, если ${S=49\pi}$ см², то ${r=\sqrt{49}=7}$ см.

Дуги и секторы

Центральный угол и градусная мера дуги

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. На рисунке ${\angle AOB=\alpha}$ — центральный угол. Говорят, что этот угол опирается на дугу $AB,$ которая лежит внутри него.

Градусная мера дуги равна величине центрального угла, который на неё опирается: ${{\smile}AB=\angle AOB}.$

Вся окружность составляет $360^\circ,$ полуокружность — $180^\circ,$ а четверть окружности — $90^\circ.$ Дугу, которая меньше полуокружности, называют меньшей дугой, а дугу, которая больше полуокружности, — большей дугой. Если меньшая дуга $AB$ равна $80^\circ,$ то большая дуга с теми же концами равна ${360^\circ-80^\circ=280^\circ}.$

Длина дуги

Дуга в $\alpha^\circ$ составляет $\frac{\alpha}{360}$ всей окружности, поэтому её длина равна $\frac{\alpha}{360}$ длины окружности:

Пример. В окружности радиуса 6 см длина дуги в $60^\circ$ равна ${\ell=\frac{\pi\cdot 6\cdot 60}{180}=2\pi}$ см, то есть примерно $6{,}28$ см.

Если известна длина дуги, то из той же формулы находим центральный угол, который на неё опирается: ${\alpha=\frac{180\,\ell}{\pi r}}.$

Площадь сектора

Сектор с центральным углом $\alpha^\circ$ составляет $\frac{\alpha}{360}$ круга, поэтому его площадь равна

Пример. Сектор круга радиуса 4 см с центральным углом $90^\circ$ — это четверть круга: ${S_{\text{сект}}}={\frac{90}{360}\cdot\pi\cdot 4^2}={4\pi}$ см², то есть примерно $12{,}57$ см².

Углы можно измерять и в радианах: центральный угол в $1$ радиан опирается на дугу, длина которой равна радиусу, и ${180^\circ=\pi}$ радиан. Если угол $\alpha$ выражен в радианах, формулы становятся проще: ${\ell=r\alpha}$ и ${S_{\text{сект}}=\frac{r^2\alpha}{2}}.$

Площадь сегмента

Меньший из двух сегментов, которые отсекает хорда $AB,$ — это сектор $AOB$ без треугольника $AOB\text{:}$

Для большего сегмента площадь треугольника, наоборот, прибавляют к площади большего сектора. См. задачу 5 в разделе Решённые задачи ниже.

Площадь кольца

Кольцо (круговое кольцо) — это часть плоскости между двумя окружностями с общим центром и радиусами $R$ и ${r\lt R}.$ Его площадь равна разности площадей большего и меньшего кругов:

Площадь части кольца

Два радиуса, образующие центральный угол $\alpha^\circ,$ вырезают из кольца часть (на рисунке выше справа). Её площадь составляет $\frac{\alpha}{360}$ площади кольца:

Углы, связанные с окружностью

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. На рисунке $\angle APB$ — вписанный угол. Он опирается на дугу $AB,$ которая лежит внутри него (на дугу, не содержащую точку $P$), а $\angle AOB$ — центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Теорема о вписанном угле. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: $$\angle APB=\frac{{\smile}AB}{2}.$$ Если эта дуга меньше полуокружности, как на рисунке, то вписанный угол равен также половине центрального угла: ${\angle APB=\frac{\angle AOB}{2}}.$

Доказательство

1. Одна из сторон угла — диаметр. Пусть сторона $PA$ проходит через центр $O.$ Треугольник $OPB$ равнобедренный, так как ${OP=OB=r},$ поэтому ${\angle OBP=\angle OPB=\angle APB}.$ Центральный угол $AOB$ — внешний угол треугольника $OPB,$ поэтому он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: ${\angle AOB}={\angle OPB+\angle OBP}={2\angle APB}.$ Значит, ${\angle APB=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{{\smile}AB}{2}}.$

2. Центр лежит внутри угла. Проведём диаметр $PC.$ Он делит угол и дугу на две части, и к каждой из них применим случай 1: ${\angle APB}={\angle APC+\angle CPB}={\frac{{\smile}AC}{2}+\frac{{\smile}CB}{2}}={\frac{{\smile}AB}{2}}.$

3. Центр лежит вне угла. Снова проведём диаметр $PC.$ Теперь угол равен разности двух углов: ${\angle APB}={\angle CPB-\angle CPA}={\frac{{\smile}CB}{2}-\frac{{\smile}CA}{2}}={\frac{{\smile}AB}{2}}.$

Пример. Дуга $AB$ равна $84^\circ.$ Тогда вписанный угол $APB$ равен ${\frac{84^\circ}{2}=42^\circ}.$

Два важных следствия:

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: на рисунке слева ${\angle AP_1B=\angle AP_2B}.$
• Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой: если $AB$ — диаметр, то ${\angle APB=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ}$ для любой точки $P$ окружности, отличной от $A$ и $B$ (рисунок справа).

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой внутри этого угла: ${\angle KAB=\frac{{\smile}AB}{2}}.$

Доказательство

Проведём диаметр $AC.$ Касательная перпендикулярна радиусу (см. раздел Касательные), поэтому ${\angle KAC=90^\circ}$ и ${\angle KAB=90^\circ-\angle BAC}.$ Угол $ABC$ опирается на полуокружность, поэтому он прямой, и из треугольника $ABC$ получаем ${\angle ACB=90^\circ-\angle BAC}.$ Следовательно, ${\angle KAB=\angle ACB},$ а вписанный угол $ACB$ равен половине дуги $AB.$

Если угол $KAB$ тупой, то другой угол между хордой и касательной острый и равен половине другой дуги, поэтому ${\angle KAB}={180^\circ-\frac{360^\circ-{\smile}AB}{2}}={\frac{{\smile}AB}{2}}.$

Углы между хордами и секущими

Случай 1: две хорды пересекаются внутри окружности.

Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, на которые опираются этот угол и вертикальный ему угол: $$\angle AEB=\frac{{\smile}AB+{\smile}CD}{2}.$$

Доказательство

Проведём отрезок $BC.$ Угол $AEB$ — внешний угол треугольника $BEC,$ поэтому ${\angle AEB=\angle EBC+\angle ECB}.$ Точка $E$ лежит на $BD$ и на $AC,$ поэтому эти углы вписанные: ${\angle EBC=\angle DBC=\frac{{\smile}CD}{2}}$ и ${\angle ECB=\angle ACB=\frac{{\smile}AB}{2}}.$ Сложив их, получаем формулу.

Пример. На рисунке дуга $AB$ равна $60^\circ,$ а дуга $CD$ равна $50^\circ.$ Тогда каждый из углов 1 и 2 (они вертикальные) равен ${\frac{60^\circ+50^\circ}{2}=55^\circ}.$

Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Угол между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности, равен полуразности дальней и ближней дуг, заключённых между секущими: $$\angle BPD=\frac{{\smile}BD-{\smile}AC}{2}.$$

Доказательство

Проведём отрезок $AD.$ Угол $BAD$ — внешний угол треугольника $APD,$ поэтому ${\angle BAD=\angle APD+\angle ADP}.$ Углы $BAD$ и $ADP$ вписанные (точка $C$ лежит на $DP$): ${\angle BAD=\frac{{\smile}BD}{2}}$ и ${\angle ADP=\angle ADC=\frac{{\smile}AC}{2}}.$ Точка $A$ лежит на $PB,$ поэтому ${\angle BPD}={\angle APD}={\frac{{\smile}BD}{2}-\frac{{\smile}AC}{2}}.$

Пример. Если дальняя дуга равна $80^\circ,$ а ближняя — $30^\circ,$ то угол между секущими равен ${\frac{80^\circ-30^\circ}{2}=25^\circ}.$ Та же формула верна, если одна из прямых или обе прямые — касательные.

Хорды, касательные и секущие

Хорда и центр окружности

Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам: если ${OM\perp AB},$ то ${AM=MB}.$ Для расстояния $OM$ от центра до хорды верно равенство $$OM^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2=r^2.$$

Доказательство

У прямоугольных треугольников $OMA$ и $OMB$ катет $OM$ общий, а гипотенузы равны: ${OA=OB=r},$ поэтому эти треугольники равны (по гипотенузе и катету) и ${AM=MB}.$ Второе равенство — это теорема Пифагора для треугольника $OMA.$

Отсюда следует, что равные хорды находятся на равных расстояниях от центра, а чем ближе хорда к центру, тем она длиннее.

Касательные

Доказательство

1. Все точки касательной, кроме $A,$ лежат вне окружности (прямая, проходящая через точку внутри окружности, пересекала бы её в двух точках), поэтому они находятся дальше от $O,$ чем точка $A.$ Значит, $OA$ — кратчайший из отрезков, соединяющих точку $O$ с точками касательной, а кратчайший отрезок от точки до прямой — это перпендикуляр.

2. У прямоугольных треугольников $OAP$ и $OBP$ гипотенуза $OP$ общая, а катеты равны: ${OA=OB=r},$ поэтому эти треугольники равны (по гипотенузе и катету). Отсюда ${PA=PB}$ и ${\angle APO=\angle BPO}.$

Пересекающиеся хорды

Если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X,$ то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $$AX\cdot XB=CX\cdot XD.$$

Доказательство

В треугольниках $AXC$ и $DXB$ углы при вершине $X$ вертикальные, а ${\angle CAB=\angle CDB}$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CB.$ Поэтому эти треугольники подобны (по двум углам) и ${\frac{AX}{DX}=\frac{CX}{BX}},$ то есть ${AX\cdot XB=CX\cdot XD}.$

Секущие и касательная из одной точки

Доказательство

1. У треугольников $PAD$ и $PCB$ угол $P$ общий, а ${\angle PDA=\angle PBC}$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AC.$ Поэтому эти треугольники подобны (по двум углам): ${\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}},$ то есть ${PA\cdot PB=PC\cdot PD}.$

2. У треугольников $PTA$ и $PBT$ угол $P$ общий, а угол между касательной и хордой ${\angle PTA}$ равен вписанному углу ${\angle TBA},$ опирающемуся на ту же дугу $TA.$ Поэтому эти треугольники подобны (по двум углам): ${\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}},$ то есть ${PT^2=PA\cdot PB}.$

Решённые задачи

Задача 1. Радиус круга равен 7 см. Найдите диаметр, длину окружности и площадь круга.

Решение. ${d=2\cdot 7=14}$ см, ${C}={2\pi\cdot 7}={14\pi}\approx{43{,}98}$ см и ${S}={\pi\cdot 7^2}={49\pi}\approx{153{,}94}$ см².

Задача 2. Длина окружности равна $31{,}4$ см. Найдите радиус окружности и площадь круга. Примите ${\pi\approx 3{,}14}.$

Решение. ${r=\frac{C}{2\pi}\approx\frac{31{,}4}{6{,}28}=5}$ см и ${S}={\pi r^2}\approx{3{,}14\cdot 25}={78{,}5}$ см².

Задача 3. Диаметр колеса велосипеда равен 70 см. Сколько полных оборотов сделает колесо на пути в 1 км?

Решение. За один оборот велосипед продвигается вперёд на длину окружности колеса: ${C=70\pi\approx 219{,}91}$ см. Так как ${1\text{ км}=100\,000}$ см и ${\frac{100\,000}{219{,}91}\approx 454{,}7},$ колесо сделает 454 полных оборота.

Задача 4. Радиус окружности равен 6 см. Найдите длину дуги в $120^\circ$ и площадь соответствующего сектора.

Решение. Дуга составляет ${\frac{120}{360}=\frac{1}{3}}$ окружности. Поэтому ${\ell}={\frac{1}{3}\cdot 2\pi\cdot 6}={4\pi}\approx{12{,}57}$ см, а площадь сектора равна ${\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 6^2=12\pi\approx 37{,}70}$ см².

Задача 5. В окружности с центром $O$ и радиусом 10 см проведена хорда $AB,$ причём центральный угол ${\angle AOB=90^\circ}.$ Найдите площадь меньшего из двух сегментов, на которые эта хорда делит круг.

Решение. Сектор $AOB$ — четверть круга, его площадь равна ${\frac{\pi\cdot 10^2}{4}=25\pi}$ см². Треугольник $AOB$ прямоугольный с катетами по 10 см, поэтому его площадь равна ${\frac{10\cdot 10}{2}=50}$ см². Площадь сегмента равна ${25\pi-50\approx 28{,}54}$ см².

Задача 6. Точки $A,$ $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O,$ причём ${\angle AOB=110^\circ}.$ Найдите угол $ACB,$ если точка $C$ лежит: а) на большей дуге $AB;$ б) на меньшей дуге $AB.$

Решение. а) Угол $ACB$ опирается на меньшую дугу $AB,$ равную $110^\circ,$ поэтому ${\angle ACB=55^\circ}.$ б) Теперь он опирается на большую дугу, равную ${360^\circ-110^\circ=250^\circ},$ поэтому ${\angle ACB=125^\circ}.$ Заметим, что ${55^\circ+125^\circ=180^\circ}:$ две дуги составляют всю окружность, поэтому сумма двух углов равна половине $360^\circ.$ По той же причине сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ.$

Задача 7. Хорда длиной 24 см находится на расстоянии 5 см от центра окружности. Найдите радиус окружности.

Решение. Перпендикуляр, проведённый из центра, делит хорду пополам, поэтому каждая её половина равна 12 см. По теореме Пифагора ${r}={\sqrt{12^2+5^2}}={\sqrt{169}}={13}$ см.

Задача 8. Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X,$ ${AX=4}$ см, ${XB=6}$ см и ${CX=3}$ см. Найдите длину хорды $CD.$

Решение. Из равенства ${AX\cdot XB=CX\cdot XD}$ получаем ${4\cdot 6=3\cdot XD},$ откуда ${XD=8}$ см и ${CD=3+8=11}$ см.

Задача 9. Точка $P$ находится на расстоянии 13 см от центра окружности радиуса 5 см. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки $P$ к окружности.

Решение. Касательная $PT$ перпендикулярна радиусу $OT,$ поэтому треугольник $OTP$ прямоугольный с прямым углом при вершине $T.$ Тогда ${PT}={\sqrt{13^2-5^2}}={\sqrt{144}}={12}$ см.

Задачи для самостоятельного решения

1. Диаметр круга равен 10 см. Найдите длину окружности и площадь круга.

${C=10\pi\approx 31{,}42}$ см, ${S=25\pi\approx 78{,}54}$ см².

2. Площадь круга равна 154 см². Найдите радиус круга и длину окружности. Примите ${\pi\approx\frac{22}{7}}.$

${r^2\approx 154\cdot\frac{7}{22}=49},$ поэтому ${r=7}$ см и ${C\approx 2\cdot\frac{22}{7}\cdot 7=44}$ см.

3. Длина окружности равна $18\pi$ см. Найдите площадь круга.

${r=\frac{18\pi}{2\pi}=9}$ см, поэтому ${S=81\pi\approx 254{,}47}$ см².

4. Радиус круга увеличили в 2 раза. Как изменились длина окружности и площадь круга?

Длина окружности увеличилась в 2 раза, а площадь круга — в 4 раза: ${\pi(2r)^2=4\pi r^2}.$

5. Длина дуги окружности радиуса 9 см равна $5\pi$ см. Найдите центральный угол, который опирается на эту дугу.

${\alpha=\frac{180\cdot 5\pi}{\pi\cdot 9}=100^\circ}.$

6. Площадь сектора круга радиуса 6 см равна $6\pi$ см². Найдите центральный угол этого сектора.

Сектор составляет ${\frac{6\pi}{36\pi}=\frac{1}{6}}$ круга, поэтому ${\alpha=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ}.$

7. Найдите площадь кольца между двумя окружностями с общим центром и радиусами 5 см и 3 см.

${S}={\pi\left(5^2-3^2\right)}={16\pi}\approx{50{,}27}$ см².

8. Вписанный угол равен $38^\circ.$ Найдите дугу, на которую он опирается, и центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

И дуга, и центральный угол равны ${2\cdot 38^\circ=76^\circ}.$

9. $AB$ — диаметр окружности, ${AB=10}$ см, $C$ — точка окружности, ${AC=6}$ см. Найдите $BC.$

Угол $ACB$ опирается на полуокружность, поэтому ${\angle ACB=90^\circ}$ и ${BC=\sqrt{10^2-6^2}=8}$ см.

10. Две хорды пересекаются внутри окружности. Дуги, на которые опираются один из углов между ними и вертикальный ему угол, равны $70^\circ$ и $110^\circ.$ Найдите этот угол.

${\frac{70^\circ+110^\circ}{2}=90^\circ}:$ хорды перпендикулярны.

11. Из точки вне окружности проведены две секущие. Дуги, заключённые между ними, равны $130^\circ$ и $40^\circ.$ Найдите угол между секущими.

${\frac{130^\circ-40^\circ}{2}=45^\circ}.$

12. Хорда окружности радиуса 10 см равна 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Половина хорды равна 8 см, поэтому расстояние равно ${\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6}$ см.

13. Секущая, проведённая из точки $P,$ пересекает окружность в точках $A$ и $B,$ причём ${PA=3}$ см и ${PB=12}$ см. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки $P.$

${PT^2}={PA\cdot PB}={3\cdot 12}={36},$ поэтому ${PT=6}$ см.

См. также: Формулы площади · Периметр · Сфера и шар · Треугольники · Подобные треугольники