Высота треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. Точка, в которой он пересекает эту прямую, называется основанием высоты.

На рисунке $CC_1$ — высота, проведённая из вершины $C.$ Она перпендикулярна $AB,$ а $C_1$ — её основание. Длину этой высоты обозначают $h_c$ (высота, проведённая к стороне $c$). Точно так же $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведённые к сторонам $a$ и $b.$ У каждого треугольника три высоты.

Высота — это расстояние от вершины до прямой, содержащей противолежащую сторону: она короче всех других отрезков, соединяющих вершину с точками этой прямой. Поэтому высота входит в формулу площади

${S=\frac12\,a\,h_a=\frac12\,b\,h_b=\frac12\,c\,h_c}.$

В остроугольном треугольнике основания всех трёх высот лежат на сторонах. В тупоугольном треугольнике основания двух высот лежат на продолжениях сторон. Поэтому в определении говорится о прямой, содержащей сторону.

На этой странице: Ортоцентр · Остроугольный треугольник · Прямоугольный треугольник · Тупоугольный треугольник · Формулы · Решённые задачи · Типичные ошибки · Задачи

Где пересекаются высоты? Ортоцентр

Три высоты треугольника или прямые, на которых они лежат, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника и обычно обозначается $H.$

Положение ортоцентра зависит от вида треугольника.

Высоты остроугольного треугольника

Все три высоты лежат внутри треугольника, и ортоцентр $H$ — внутренняя точка. Два полезных факта об углах:

• ${\angle BAA_1=90^\circ-\beta},$ так как в треугольнике $ABA_1$ угол при вершине $A_1$ прямой. Точно так же ${\angle CAA_1=90^\circ-\gamma},$ ${\angle ABB_1=90^\circ-\alpha}$ и т. д.
• ${\angle AHB=180^\circ-\gamma},$ ${\angle BHC=180^\circ-\alpha}$ и ${\angle CHA=180^\circ-\beta}.$ Действительно, в четырёхугольнике $CB_1HA_1$ углы при вершинах $A_1$ и $B_1$ прямые, поэтому ${\angle A_1HB_1}={360^\circ-90^\circ-90^\circ-\gamma}={180^\circ-\gamma},$ а ${\angle AHB=\angle A_1HB_1}$ как вертикальные углы.

Высоты прямоугольного треугольника

Пусть ${\gamma=90^\circ}.$ Катеты перпендикулярны, поэтому высота из вершины $A$ — это катет $AC,$ а высота из вершины $B$ — катет $BC.$ Обе проходят через $C,$ поэтому ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла: ${H=C}.$ Строить нужно только третью высоту $CC_1,$ проведённую к гипотенузе. Её длина ${h_c=\frac{ab}{c}}.$

Высоты тупоугольного треугольника

Пусть угол $C$ тупой. Высота из вершины $C$ лежит внутри треугольника, а высоты из вершин $A$ и $B$ — вне его: их основания $A_1$ и $B_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AC$ за вершину $C.$ Сами высоты не пересекаются. Пересекаются прямые, на которых они лежат, — в ортоцентре $H,$ который находится вне треугольника, за вершиной тупого угла.

Интересный факт: на этом рисунке $C$ — ортоцентр треугольника $ABH.$ Из четырёх точек $A,$ $B,$ $C$ и $H$ каждая является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими.

Формулы для высот

Используем стандартные обозначения: стороны $a,$ $b,$ $c,$ углы $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ площадь $S,$ полупериметр ${p=\frac{a+b+c}{2}},$ радиус $R$ описанной окружности и радиус $r$ вписанной окружности.

Известно	Формула	Откуда
Площадь и сторона	${h_a=\frac{2S}{a}}$	${S=\frac12\,a\,h_a}$
Три стороны	${h_a}={\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}}$	формула Герона для площади
Сторона и угол	${h_a=b\sin\gamma=c\sin\beta}$	прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $AA_1B$
Две стороны и $R$	${h_a=\frac{bc}{2R}}$	${S=\frac{abc}{4R}}$

Формулы для $h_b$ и $h_c$ получаются заменой букв, например ${h_c}={\frac{2S}{c}}={a\sin\beta}={b\sin\alpha}={\frac{ab}{2R}}.$

Высоты и стороны

Ещё одна формула связывает высоты с радиусом вписанной окружности:

${\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac1r}.$

Действительно, ${\frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S}},$ поэтому сумма равна ${\frac{a+b+c}{2S}=\frac{2p}{2S}=\frac{p}{S}=\frac1r},$ так как ${S=p\,r}.$

Высоты особых треугольников

• Равносторонний треугольник со стороной $a.$ Все три высоты равны, ${h=\frac{a\sqrt3}{2}}.$
• Равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $b$ и основанием $c.$ Высота, проведённая к основанию, равна ${h_c=\sqrt{b^2-\frac{c^2}{4}}};$ она же медиана и биссектриса. Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны.
• Прямоугольный треугольник с катетами $a,$ $b$ и гипотенузой $c.$ Две высоты — это катеты, а высота, проведённая к гипотенузе, равна ${h_c=\frac{ab}{c}}.$ Она делит гипотенузу на отрезки ${b_c=AC_1}$ и ${a_c=C_1B},$ причём ${h_c^2=a_c\cdot b_c}$ (на странице Треугольники основание высоты $C_1$ обозначено $H$).

Решённые задачи

Задача 1. Найдите три высоты треугольника со сторонами 13, 14 и 15.

Решение. ${p=21},$ и по формуле Герона ${S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84}.$ Тогда

${h_{13}=\frac{168}{13}\approx 12{,}92},$ ${h_{14}=\frac{168}{14}=12},$ ${h_{15}=\frac{168}{15}=11{,}2}.$

Как и ожидалось, наибольшая высота проведена к наименьшей стороне.

Задача 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение. ${c=\sqrt{36+64}=10}$ см, поэтому ${h_c=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8}$ см.

Задача 3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10 см, основание 12 см. Найдите высоту, проведённую к основанию, и высоту, проведённую к боковой стороне.

Решение. Высота к основанию равна ${\sqrt{10^2-6^2}=8}$ см, поэтому площадь ${\frac12\cdot 12\cdot 8=48}$ см². Высота к боковой стороне равна ${\frac{2S}{10}=\frac{96}{10}=9{,}6}$ см.

Задача 4. В остроугольном треугольнике ${\alpha=70^\circ}$ и ${\beta=60^\circ}.$ Высоты $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $H.$ Найдите ${\angle AHB}$ и ${\angle BAA_1}.$

Решение. ${\gamma}={180^\circ-70^\circ-60^\circ}={50^\circ},$ поэтому ${\angle AHB}={180^\circ-50^\circ}={130^\circ}.$ Из прямоугольного треугольника $ABA_1$ находим ${\angle BAA_1}={90^\circ-60^\circ}={30^\circ}.$

Задача 5. Две стороны треугольника равны 8 см и 12 см, а высота, проведённая к стороне 8 см, равна 6 см. Найдите высоту, проведённую к стороне 12 см.

Решение. ${2S=8\cdot 6=48},$ поэтому высота к стороне 12 см равна ${\frac{48}{12}=4}$ см.

Задача 6. В треугольнике $ABC$ сторона ${b=10}$ см и ${\gamma=30^\circ}.$ Найдите высоту $h_a.$

Решение. ${h_a=b\sin\gamma=10\cdot\frac12=5}$ см.

Задача 7. Стороны треугольника относятся как ${3:4:6}.$ Найдите отношение его высот.

Решение. ${h_a:h_b:h_c=\frac13:\frac14:\frac16}.$ Умножив на 12, получим ${4:3:2}.$

Типичные ошибки

Ошибка	Неверно	Верно
Высота всегда внутри треугольника	Основание любой высоты лежит на стороне	В тупоугольном треугольнике основания двух высот лежат на продолжениях сторон
Высота перепутана с медианой	Высота идёт в середину противолежащей стороны	Это медиана. Они совпадают только для высоты, проведённой к основанию равнобедренного треугольника
Наибольшая высота к наибольшей стороне	Стороны 5, 12, 13: наибольшая высота проведена к стороне 13	Произведение ${a\,h_a=2S}$ одно и то же для всех сторон, поэтому наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, 5
Высота к гипотенузе принята за половину гипотенузы	Катеты 6 и 8, поэтому ${h_c=\frac{10}{2}=5}$	Половине гипотенузы равна медиана. Высота ${h_c=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8}$
Ортоцентр прямоугольного треугольника	Это середина гипотенузы	Это вершина прямого угла. Середина гипотенузы — центр описанной окружности

Задачи для самостоятельного решения

Решите их сами, затем откройте ответ.

1. Сторона треугольника равна 10 см, а высота, проведённая к ней, равна 7 см. Найдите площадь.

${S=\frac12\cdot 10\cdot 7=35}$ см²

2. Площадь треугольника равна 24 см², одна из его сторон равна 8 см. Найдите высоту, проведённую к этой стороне.

${h=\frac{2\cdot 24}{8}=6}$ см

3. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 4 см.

${h=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\approx 3{,}46}$ см

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

${c=13},$ поэтому ${h=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}\approx 4{,}62}.$

5. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5 см, основание 8 см. Найдите высоту, проведённую к основанию, и высоту, проведённую к боковой стороне.

Высота к основанию равна ${\sqrt{25-16}=3}$ см, ${S=\frac12\cdot 8\cdot 3=12}$ см². Высота к боковой стороне равна ${\frac{2\cdot 12}{5}=4{,}8}$ см.

6. Где лежит ортоцентр тупоугольного треугольника?

Вне треугольника, за вершиной тупого угла.

7. В остроугольном треугольнике ${\angle AHB=110^\circ},$ где $H$ — ортоцентр. Найдите угол $\gamma.$

${\angle AHB=180^\circ-\gamma},$ поэтому ${\gamma=70^\circ}.$

8. Две стороны треугольника равны 6 и 8, а высота, проведённая к стороне 6, равна 4. Найдите высоту, проведённую к стороне 8.

${2S=6\cdot 4=24},$ поэтому высота равна ${\frac{24}{8}=3}.$

9. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 7, 8 и 9.

${p=12}$ и ${S}={\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}={12\sqrt5}.$ Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне: ${h=\frac{24\sqrt5}{9}=\frac{8\sqrt5}{3}\approx 5{,}96}.$

10. Высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 4 и 9. Найдите высоту.

${h^2=4\cdot 9=36},$ поэтому ${h=6}.$

Ещё о треугольниках: Треугольники · Классификация · Медиана · Формулы площади