Высота треугольника

Расстояние между вершиной треугольника и противоположной стороной называется высотой. Формально, это самый короткий отрезок между вершиной треугольника и (с возможным продлением) противоположной стороной.

Высота треугольника

Каждый треугольник имеет 3 высоты которые пересекаются в одной точке - ортоцентре. Если мы используем стандартные обозначения, в треугольнике ABC, есть три высоты: AHa, BHb, CHc. Эти три отрезка пересекаются в одной точке - ортоцентре (точка H на рисунке) треугольника. Для тупого треугольника (имеющего один угол, больше чем 90°), ортоцентр находится за пределами треугольника.

Высоты остроугольного треугольника

Высоты остроугольного треугольника

Ортоцентр - это точка внутри треугольника.

∠ AHB = 180 - γ = α + β
∠ BHC = 180 - α = β + γ
∠ AHC = 180 - β = α + γ
∠ AHHc = β, ∠ BHHc = α, ∠ BHHa = γ

Высоты тупоугольного треугольника

Высоты тупоугольного треугольника

Ортоцентр находится вне треугольнка.
Две высоты также всегда лежат вне треугольника.
∠ AHHc = ∠ CBA = β
∠ HcHB = ∠ CAB = α

Правый треугольник

altitudes of a right triangle

Высота AHa совпадает с AC.
Высота BHb совпадает с BC.
Ортоцентр H совпадает с C.
∠ ACHc = β, ∠ BCHc

Формулы

$AH_a:BH_b:CH_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$

$\frac{a}{AH_a}=\frac{b}{BH_b}=\frac{c}{\frac{AH_aBH_b}{CH_c}}$

R - радиус описанной окружности
r - радиус вписанной окружности
p - полуперимерт: (a + b + c)/2

$AH_a=b \sin\gamma=c \sin\beta=\frac{a \sin\beta \sin\gamma}{\sin\alpha}=$

$=2R \sin\beta\ \sin\gamma=\frac{bc}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$


$BH_b=a\ \sin\gamma=c\ \sin\alpha=\frac{b\ \sin\alpha\ \sin\gamma}{\sin\beta}=$
$=2R\ \sin\alpha \sin \gamma=\frac{ac}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}$


$CH_c=a\ \sin\beta=b\ \sin\alpha=\frac{c\ \sin\alpha\ \sin\beta}{\sin\gamma}=$
$=2R\ \sin\alpha \sin \beta=\frac{ab}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$


$\frac{1}{AH_a}+\frac{1}{BH_b}+\frac{1}{CH_c}=\frac{1}{r}$


Электронная почта:

© 2005 - 2021
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.