Классификация треугольников

Треугольники классифицируют двумя способами: по сторонам и по углам. Полное название треугольника учитывает оба признака, например «прямоугольный равнобедренный треугольник» или «тупоугольный разносторонний треугольник».

На чертежах равные стороны отмечают одинаковым числом штрихов, а равные углы — одинаковым числом дуг. Прямой угол отмечают маленьким квадратиком.

В треугольнике $ABC$ отметки означают, что ${AC=BC}$ и ${\angle A=\angle B}.$ В треугольнике $DEF$ угол при вершине $D$ прямой.

На этой странице: По сторонам · По углам · Возможные сочетания · Вид по длинам сторон · Примеры · Задачи

Классификация по сторонам

• Разносторонний треугольник: все три стороны имеют разную длину. Тогда и все три его угла разные.
• Равнобедренный треугольник: две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, третью сторону — основанием. Углы, прилежащие к основанию (углы при основании), равны.
• Равносторонний треугольник: все три стороны равны. Тогда и все три угла равны, каждый по ${60^\circ}.$

Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного: у него есть две равные стороны, и третья сторона тоже равна им. Поэтому всё, что верно для любого равнобедренного треугольника, верно и для равностороннего.

Классификация по углам

• Остроугольный треугольник: все три угла острые (меньше ${90^\circ}$).
• Прямоугольный треугольник: один угол прямой (${90^\circ}$). Сторона, лежащая против него, — гипотенуза, две другие стороны — катеты.
• Тупоугольный треугольник: один угол тупой (больше ${90^\circ}$).

В любом треугольнике не менее двух острых углов, так как сумма трёх углов равна ${180^\circ}.$ У прямоугольного и тупоугольного треугольников тоже по два острых угла, но остроугольными они от этого не становятся. Смотрите на наибольший угол. Если он острый, треугольник остроугольный; если прямой — прямоугольный; если тупой — тупоугольный.

Какие сочетания возможны?

Будем относить треугольник к самому частному виду по сторонам, то есть равносторонний треугольник не будем считать ещё и равнобедренным. Тогда у каждого треугольника один вид по сторонам и один вид по углам, и из девяти сочетаний возможны семь. В таблице для каждого из них приведён пример углов.

	Остроугольный	Прямоугольный	Тупоугольный
Разносторонний	${50^\circ},$ ${60^\circ},$ ${70^\circ}$	${30^\circ},$ ${60^\circ},$ ${90^\circ}$	${20^\circ},$ ${40^\circ},$ ${120^\circ}$
Равнобедренный	${70^\circ},$ ${70^\circ},$ ${40^\circ}$	${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$	${30^\circ},$ ${30^\circ},$ ${120^\circ}$
Равносторонний	${60^\circ},$ ${60^\circ},$ ${60^\circ}$	—	—

Прочерк означает, что такое сочетание невозможно. Равносторонний треугольник всегда остроугольный, потому что все его углы равны ${60^\circ}.$ В прямоугольном или тупоугольном равнобедренном треугольнике прямой или тупой угол может быть только углом при вершине: два угла при основании по ${90^\circ}$ или больше дали бы в сумме не меньше ${180^\circ}.$

Как определить вид по длинам сторон

По сторонам всё просто: считаем равные стороны. Чтобы определить вид по углам, обозначим наибольшую сторону буквой $c$ (какой бы она ни была), две другие — буквами $a$ и $b,$ и сравним ${c^2}$ с ${a^2+b^2}.$

Почему это так? По теореме косинусов ${c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma},$ где $\gamma$ — угол против наибольшей стороны, то есть наибольший угол. Число ${\cos\gamma}$ положительно, равно нулю или отрицательно тогда и только тогда, когда угол $\gamma$ соответственно острый, прямой или тупой.

Прежде чем определять вид, проверим, существует ли треугольник вообще: наибольшая сторона должна быть меньше суммы двух других.

• Стороны $5,$ $6$ и $7.$ Так как ${7^2=49\lt 5^2+6^2=61},$ треугольник остроугольный; стороны разные, значит, это остроугольный разносторонний треугольник.
• Стороны $6,$ $8$ и $10.$ Так как ${10^2=100=6^2+8^2},$ это прямоугольный разносторонний треугольник.
• Стороны $5,$ $5$ и $8.$ Так как ${8^2=64\gt 5^2+5^2=50},$ это тупоугольный равнобедренный треугольник.

Примеры

Пример 1. Определите вид треугольника по сторонам и по углам.

Решение. Отметки показывают две равные стороны, ${AB=BC},$ поэтому по сторонам треугольник равнобедренный. Квадратик при $B$ отмечает прямой угол, поэтому по углам треугольник прямоугольный. Это прямоугольный равнобедренный треугольник. Его острые углы равны: ${\angle A=\angle C=45^\circ}.$

Пример 2. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен ${40^\circ},$ а угол $B$ равен ${110^\circ}.$ Определите вид треугольника.

Решение. Третий угол равен ${180^\circ-40^\circ-110^\circ=30^\circ}.$ Все три угла разные, поэтому и все три стороны разные: треугольник разносторонний. Угол $B$ больше ${90^\circ},$ поэтому треугольник тупоугольный. Это тупоугольный разносторонний треугольник.

Пример 3. Два угла треугольника равны ${35^\circ}$ и ${55^\circ}.$ Определите вид треугольника.

Решение. Третий угол равен ${180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ}.$ Все три угла разные, поэтому это прямоугольный разносторонний треугольник.

Пример 4. Углы треугольника относятся как ${2:3:4}.$ Определите вид треугольника.

Решение. ${2k+3k+4k=180^\circ},$ поэтому ${k=20^\circ},$ а углы равны ${40^\circ},$ ${60^\circ}$ и ${80^\circ}.$ Все острые и все разные: остроугольный разносторонний треугольник.

Пример 5. Определите вид треугольника со сторонами 8 см, 8 см и 13 см.

Решение. Треугольник существует, так как ${13\lt 8+8}.$ Две стороны равны, значит, он равнобедренный. Наибольшая сторона равна 13, и ${13^2}={169}\gt{8^2+8^2}={128},$ поэтому угол против неё тупой. Это тупоугольный равнобедренный треугольник.

Задачи для самостоятельного решения

Определите вид каждого треугольника по сторонам и по углам, затем откройте ответ.

1. Углы равны ${30^\circ},$ ${60^\circ}$ и ${90^\circ}.$

Прямоугольный разносторонний треугольник.

2. Два угла равны ${50^\circ}$ и ${65^\circ}.$

Третий угол равен ${65^\circ}.$ Два угла равны, значит, равны и две стороны: остроугольный равнобедренный треугольник.

3. Стороны равны 9, 12 и 15.

${15^2=225=9^2+12^2},$ значит, это прямоугольный разносторонний треугольник.

4. Стороны равны 5, 5 и 8.

${8^2=64\gt 5^2+5^2=50},$ значит, это тупоугольный равнобедренный треугольник.

5. Стороны равны 6, 7 и 8.

${8^2=64\lt 6^2+7^2=85},$ значит, это остроугольный разносторонний треугольник.

6. Стороны равны 7, 7 и 7.

Равносторонний треугольник; его углы по ${60^\circ},$ значит, он остроугольный.

7. Стороны равны 2, 3 и 6.

Такого треугольника нет, так как ${6\gt 2+3}.$

8. Может ли прямоугольный треугольник быть равносторонним?

Нет. Все углы равностороннего треугольника равны ${60^\circ},$ так что ни один из них не прямой.

9. Один из углов равнобедренного треугольника равен ${100^\circ}.$ Найдите другие углы и определите вид треугольника.

${100^\circ}$ может быть только углом при вершине, поэтому углы при основании по ${40^\circ}.$ Это тупоугольный равнобедренный треугольник.

10. Углы относятся как ${1:1:2}.$

${k+k+2k=180^\circ},$ поэтому углы равны ${45^\circ},$ ${45^\circ}$ и ${90^\circ}:$ прямоугольный равнобедренный треугольник.

Ещё о треугольниках: Треугольники · Высота · Медиана · Признаки равенства