Пары углов, образованные параллельными прямыми, пересеченными секущей

Часто два угла образуют пару, у которой есть своё название. Название говорит о взаимном расположении углов: таковы прилежащие, смежные и вертикальные углы. Когда прямая пересекает две параллельные прямые, образуется восемь углов, и пары этих углов подчиняются простым правилам, которые применяются во всём курсе геометрии.

На этой странице: Прилежащие углы · Смежные углы · Вертикальные углы · Параллельные прямые и секущая · Признаки параллельности · Примеры · Типичные ошибки · Задачи

Прилежащие углы

Два угла называются прилежащими, если у них общая вершина и общая сторона и они не накладываются друг на друга, то есть лежат по разные стороны от общей стороны.

На рисунке $\angle 1$ и $\angle 2$ прилежащие: у них общая вершина $O$ и общая сторона $OB.$ Вместе они составляют больший угол $AOC,$ поэтому ${\angle AOC=\angle 1+\angle 2}.$

Смежные углы

Смежные углы — это два прилежащих угла, у которых две другие стороны составляют прямую, то есть являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов равна $180^\circ\text{:}$ ${\angle 1+\angle 2=180^\circ}.$

Причина проста: вместе два смежных угла составляют развёрнутый угол, а развёрнутый угол равен $180^\circ.$

Пример 1. Один из двух смежных углов равен $37^\circ.$ Найдите другой угол.

Решение. Сумма смежных углов равна $180^\circ,$ поэтому другой угол равен ${180^\circ-37^\circ=143^\circ}.$

Пример 2. Один из двух смежных углов в четыре раза больше другого. Найдите эти углы.

Решение. Пусть меньший угол равен $x.$ Тогда больший равен $4x$ и ${x+4x=180^\circ},$ откуда ${5x=180^\circ}$ и ${x=36^\circ}.$ Углы равны $36^\circ$ и ${4\cdot36^\circ=144^\circ}.$

Вертикальные углы

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла. Два из них, лежащие друг против друга, например $\angle 1$ и $\angle 3,$ называются вертикальными углами: они не являются прилежащими, а стороны одного угла служат продолжениями сторон другого за вершину. Вторую пару вертикальных углов образуют $\angle 2$ и $\angle 4.$

Вертикальные углы равны: ${\angle 1=\angle 3}$ и ${\angle 2=\angle 4}.$

Доказательство

Так как $\angle 1$ и $\angle 2$ смежные, ${\angle 1=180^\circ-\angle 2}.$ Но $\angle 3$ и $\angle 2$ тоже смежные, поэтому ${\angle 3=180^\circ-\angle 2}.$ Правые части этих равенств одинаковы, значит, ${\angle 1=\angle 3}.$ Точно так же доказывается, что ${\angle 2=\angle 4}.$

Пример 3. Две прямые пересекаются, и один из четырёх образовавшихся углов равен $68^\circ.$ Найдите три остальных угла.

Решение. Угол, вертикальный данному, тоже равен $68^\circ.$ Каждый из двух остальных углов смежен с данным, поэтому он равен ${180^\circ-68^\circ=112^\circ}.$ Итак, четыре угла равны $68^\circ,$ $112^\circ,$ $68^\circ$ и $112^\circ.$

Пара углов	Что известно об углах
Прилежащие	общая вершина и общая сторона, углы не накладываются друг на друга
Смежные	прилежащие углы, у которых две другие стороны составляют прямую; сумма равна $180^\circ$
Вертикальные	лежат друг против друга при пересечении двух прямых; углы равны

Углы при параллельных прямых и секущей

Прямая, которая пересекает две другие прямые в двух разных точках, называется секущей. На рисунке секущая $t$ пересекает прямые $m$ и $n$ и образует с ними восемь углов, по четыре в каждой точке пересечения.

Углы, которые лежат между двумя прямыми, во внутренней области, называются внутренними: это $\angle 3,$ $\angle 4,$ $\angle 5$ и $\angle 6.$ Углы, которые лежат во внешней области, называются внешними: это $\angle 1,$ $\angle 2,$ $\angle 7$ и $\angle 8.$ Для пар, в которых один угол лежит у прямой $m,$ а другой у прямой $n,$ в геометрии приняты такие названия:

Название	Где лежат углы	Пары на рисунке
Соответственные углы	по одну сторону от секущей и одинаково расположены относительно своих прямых (оба над своей прямой или оба под своей прямой)	$\angle 1$ и $\angle 5,$ $\angle 2$ и $\angle 6,$ $\angle 3$ и $\angle 7,$ $\angle 4$ и $\angle 8$
Внутренние накрест лежащие углы	между прямыми, по разные стороны от секущей	$\angle 3$ и $\angle 6,$ $\angle 4$ и $\angle 5$
Внешние накрест лежащие углы	во внешней области, по разные стороны от секущей	$\angle 1$ и $\angle 8,$ $\angle 2$ и $\angle 7$
Внутренние односторонние углы (в учебниках их часто называют просто односторонними)	между прямыми, по одну сторону от секущей	$\angle 3$ и $\angle 5,$ $\angle 4$ и $\angle 6$
Внешние односторонние углы	во внешней области, по одну сторону от секущей	$\angle 1$ и $\angle 7,$ $\angle 2$ и $\angle 8$

Эти названия говорят только о расположении углов, поэтому ими пользуются для любых двух прямых и секущей. Но по-настоящему полезными такие пары становятся тогда, когда прямые параллельны. Запись ${m\parallel n}$ читается так: «прямая $m$ параллельна прямой $n$».

Почему эти свойства верны

Одно свойство примем без доказательства: если две прямые параллельны, то соответственные углы равны. (Это свойство равносильно аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.) Остальные свойства следуют из него. Пусть ${m\parallel n}.$

Внутренние накрест лежащие углы. ${\angle 3=\angle 2}$ как вертикальные углы, а ${\angle 2=\angle 6}$ как соответственные, поэтому ${\angle 3=\angle 6}.$

Внешние накрест лежащие углы. ${\angle 2=\angle 6}$ как соответственные углы, а ${\angle 6=\angle 7}$ как вертикальные, поэтому ${\angle 2=\angle 7}.$

Внутренние односторонние углы. Так как $\angle 4$ и $\angle 2$ смежные, ${\angle 4+\angle 2=180^\circ}.$ Но ${\angle 2=\angle 6}$ как соответственные углы, значит, ${\angle 4+\angle 6=180^\circ}.$

Внешние односторонние углы. Так как $\angle 2$ и $\angle 4$ смежные, ${\angle 2+\angle 4=180^\circ}.$ Но ${\angle 4=\angle 8}$ как соответственные углы, значит, ${\angle 2+\angle 8=180^\circ}.$

Простое правило: острые и тупые углы

Если секущая пересекает две параллельные прямые и не перпендикулярна им, то она образует с ними четыре равных острых угла и четыре равных тупых угла. Любой острый и любой тупой угол из этих восьми в сумме дают $180^\circ.$

Поэтому достаточно знать один угол, чтобы найти все восемь. Если же секущая перпендикулярна прямым, то все восемь углов прямые.

Признаки параллельности двух прямых

Для свойств углов при параллельных прямых верны и обратные утверждения. Их называют признаками параллельности прямых: именно с их помощью обычно доказывают, что две прямые параллельны.

Следите за тем, в какую сторону идёт рассуждение. Если известно, что прямые параллельны, можно сделать вывод, что соответственные углы равны. Если известно, что два соответственных угла равны, можно сделать вывод, что прямые параллельны. Если же прямые не параллельны, то не равны ни соответственные углы, ни накрест лежащие.

Примеры с решениями

Пример 4. На рисунке ${m\parallel n},$ углы пронумерованы так же, как раньше, и известен $\angle 1$ (возле него написано $53^\circ$). Найдите $\angle 8$ и $\angle 7.$

Решение. $\angle 1$ и $\angle 8$ — внешние накрест лежащие углы при параллельных прямых: они лежат во внешней области, по разные стороны от секущей. Поэтому ${\angle 8=\angle 1=53^\circ}.$ Так как $\angle 7$ и $\angle 8$ смежные, ${\angle 7=180^\circ-53^\circ=127^\circ}.$

Пример 5. Найдите все восемь углов на рисунке к примеру 4.

Решение. $\angle 1$ острый, поэтому каждый острый угол равен $53^\circ,$ а каждый тупой равен ${180^\circ-53^\circ=127^\circ}.$ Острыми на рисунке являются $\angle 1,$ $\angle 4,$ $\angle 5$ и $\angle 8,$ поэтому ${\angle 1=\angle 4=\angle 5=\angle 8=53^\circ}$ и ${\angle 2}={\angle 3}={\angle 6}={\angle 7}={127^\circ}.$

Пример 6. Две параллельные прямые пересечены секущей. Два внутренних накрест лежащих угла равны ${(3x+10)^\circ}$ и ${(5x-30)^\circ}.$ Найдите $x$ и эти углы.

Решение. Прямые параллельны, поэтому внутренние накрест лежащие углы равны: ${3x+10=5x-30}.$ Отсюда ${2x=40}$ и ${x=20}.$ Каждый из углов составляет ${3\cdot20+10=70}$ градусов.

Пример 7. Две параллельные прямые пересечены секущей. Два внутренних односторонних угла равны ${(2x+15)^\circ}$ и ${(3x-5)^\circ}.$ Найдите эти углы.

Решение. Прямые параллельны, поэтому сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ\text{:}$ ${(2x+15)+(3x-5)}={180}.$ Отсюда ${5x+10=180}$ и ${x=34}.$ Углы составляют ${2\cdot34+15=83}$ и ${3\cdot34-5=97}$ градусов. Проверка: ${83^\circ+97^\circ=180^\circ}.$

Пример 8. Секущая пересекает прямые $m$ и $n,$ углы пронумерованы так же, как на приведённом выше рисунке с восемью углами. Параллельны ли прямые, если а) ${\angle 4=115^\circ}$ и ${\angle 6=65^\circ};$ б) ${\angle 2=72^\circ}$ и ${\angle 6=78^\circ}?$

Решение.

а) $\angle 4$ и $\angle 6$ — внутренние односторонние углы, и ${115^\circ+65^\circ=180^\circ},$ поэтому прямые параллельны.

б) $\angle 2$ и $\angle 6$ — соответственные углы, но они не равны, поэтому прямые не параллельны.

Пример 9. Прямые $a$ и $b$ параллельны. Найдите угол $x$ на рисунке.

Решение. Проведём через точку $K$ прямую, параллельную прямым $a$ и $b$ (на рисунке это штриховая линия). Она делит угол $x$ на две части. Верхняя часть и угол $35^\circ$ при точке $A$ — внутренние накрест лежащие углы при прямой $a$ и проведённой прямой (секущая $AK$), поэтому верхняя часть равна $35^\circ.$ Точно так же нижняя часть и угол $50^\circ$ при точке $B$ — внутренние накрест лежащие углы при прямой $b$ и проведённой прямой (секущая $BK$), поэтому нижняя часть равна $50^\circ.$ Значит, ${x=35^\circ+50^\circ=85^\circ}.$

Пример 10. Докажите, что сумма углов треугольника равна $180^\circ.$

Доказательство. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную $AB.$ Угол при вершине $C,$ лежащий слева от треугольника, и угол $\alpha$ при вершине $A$ — внутренние накрест лежащие углы (секущая $AC$), поэтому они равны. Точно так же угол при вершине $C,$ лежащий справа от треугольника, равен $\beta$ (секущая $BC$). Три угла при вершине $C$ вместе составляют развёрнутый угол, поэтому ${\alpha+\gamma+\beta=180^\circ}.$

Типичные ошибки

Ошибка	Неверно	Верно
Свойства применены, хотя прямые не параллельны	$\angle 2$ и $\angle 6$ — соответственные углы, значит, они равны	Они равны, только если прямые параллельны
Внутренние односторонние углы	Внутренние односторонние углы при параллельных прямых равны	Их сумма равна $180^\circ;$ равны они, только когда каждый из них равен $90^\circ$
Сумма 180° — ещё не смежные	Если сумма двух углов равна $180^\circ,$ то эти углы смежные	Не всегда: смежные углы должны быть ещё и прилежащими. Два угла квадрата, каждый по $90^\circ,$ в сумме дают $180^\circ,$ но смежными не являются
Прилежащие — ещё не смежные	Сумма прилежащих углов всегда равна $180^\circ$	Это верно только для смежных углов: две другие стороны должны составлять прямую
Какие углы вертикальные	Два соседних угла, образованных при пересечении двух прямых, являются вертикальными	Вертикальные углы лежат друг против друга, а соседние углы смежные

Задачи для самостоятельного решения

1. Один из двух смежных углов равен $64^\circ.$ Найдите другой угол.

Ответ

${180^\circ-64^\circ=116^\circ}.$

2. Один из двух смежных углов на $18^\circ$ больше другого. Найдите эти углы.

Ответ

Если меньший угол равен $x,$ то ${x+(x+18^\circ)=180^\circ},$ откуда ${x=81^\circ}.$ Углы равны $81^\circ$ и $99^\circ.$

3. Два смежных угла относятся как 2 : 3. Найдите эти углы.

Ответ

Пусть углы равны $2x$ и $3x.$ Тогда ${2x+3x=180^\circ},$ откуда ${x=36^\circ}.$ Углы равны ${2\cdot36^\circ=72^\circ}$ и ${3\cdot36^\circ=108^\circ}.$

4. Две прямые пересекаются, и сумма двух вертикальных углов равна $150^\circ.$ Найдите все четыре угла.

Ответ

Вертикальные углы равны, поэтому каждый из них равен $75^\circ.$ Каждый из двух остальных углов равен ${180^\circ-75^\circ=105^\circ}.$

5. На рисунке с восемью углами ${m\parallel n}$ и ${\angle 1=118^\circ}.$ Найдите остальные семь углов.

Ответ

${\angle 4=\angle 5=\angle 8=118^\circ}$ и ${\angle 2}={\angle 3}={\angle 6}={\angle 7}={180^\circ-118^\circ}={62^\circ}.$

6. Как называется каждая из пар углов на рисунке с восемью углами: а) $\angle 4$ и $\angle 5;$ б) $\angle 2$ и $\angle 6;$ в) $\angle 1$ и $\angle 8;$ г) $\angle 3$ и $\angle 5?$

Ответ

а) Внутренние накрест лежащие углы; б) соответственные углы; в) внешние накрест лежащие углы; г) внутренние односторонние углы.

7. Две параллельные прямые пересечены секущей. Два соответственных угла равны ${(4x-12)^\circ}$ и ${(2x+40)^\circ}.$ Найдите $x$ и эти углы.

Ответ

${4x-12=2x+40},$ откуда ${x=26}.$ Каждый из углов составляет ${4\cdot26-12=92}$ градуса.

8. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из двух внутренних односторонних углов на $40^\circ$ больше другого. Найдите эти углы.

Ответ

${x+(x+40^\circ)=180^\circ},$ откуда ${x=70^\circ}.$ Углы равны $70^\circ$ и $110^\circ.$

9. Параллельны ли две прямые, если при пересечении с секущей они образуют а) внутренние накрест лежащие углы $57^\circ$ и $123^\circ;$ б) внутренние односторонние углы $57^\circ$ и $123^\circ?$

Ответ

а) Нет: внутренние накрест лежащие углы должны были бы быть равны.

б) Да: ${57^\circ+123^\circ=180^\circ}.$

10. Рисунок такой же, как в примере 9, но числа другие: прямые $a$ и $b$ параллельны, угол при точке $A$ равен $28^\circ,$ а угол $x$ при точке $K$ равен $75^\circ.$ Найдите угол при точке $B.$

Ответ

Как и в примере 9, угол при точке $K$ равен сумме углов при точках $A$ и $B,$ поэтому угол при точке $B$ равен ${75^\circ-28^\circ=47^\circ}.$

11. Секущая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Докажите, что она перпендикулярна и другой прямой.

Ответ

С первой прямой секущая образует угол $90^\circ.$ Соответственный угол у второй прямой равен ему, то есть тоже составляет $90^\circ.$ Значит, секущая перпендикулярна и второй прямой.

12. Две параллельные прямые пересечены секущей, и один из восьми углов в три раза больше другого. Найдите все восемь углов.

Ответ

Эти два угла не равны, значит, один из них острый, а другой тупой, и в сумме они дают $180^\circ.$ Из уравнения ${x+3x=180^\circ}$ получаем ${x=45^\circ}.$ Четыре угла равны $45^\circ,$ а четыре других равны $135^\circ.$

См. также: Классификация углов · Измерение углов · Треугольники · Параллелограмм