Медиана треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке $A_1$ — середина $BC$ (${BA_1=A_1C}$), а $AA_1$ — медиана, проведённая из вершины $A.$ Её длину обозначают $m_a$ (медиана, проведённая к стороне $a$). У каждого треугольника три медианы: $AA_1,$ $BB_1$ и $CC_1$ с длинами $m_a,$ $m_b$ и $m_c.$ В отличие от высот, медианы всегда лежат внутри треугольника.

На этой странице: Точка пересечения медиан · Медианы и площадь · Длина медианы · Особые треугольники · Решённые задачи · Типичные ошибки · Задачи

Точка пересечения медиан

Иначе говоря, точка пересечения медиан отстоит от каждой вершины на две трети медианы:

${AG=\frac23\,m_a},\qquad{GA_1=\frac13\,m_a}.$

Если вырезать треугольник из картона, он будет в равновесии на острие карандаша, поставленного в точку пересечения медиан. Поэтому эту точку называют центром тяжести (центроидом) треугольника.

Почему медианы пересекаются в одной точке и почему отношение равно ${2:1}?$

Пусть медианы $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $G.$ Отрезок $B_1C_1$ соединяет середины $AC$ и $AB,$ то есть это средняя линия: ${B_1C_1\parallel BC}$ и ${B_1C_1=\frac12\,BC}.$

У треугольников $GB_1C_1$ и $GBC$ равны углы (накрест лежащие углы при параллельных прямых $B_1C_1$ и $BC$ и вертикальные углы при вершине $G$), поэтому они подобны с коэффициентом ${\frac{B_1C_1}{BC}=\frac12}.$ Следовательно, ${GB_1=\frac12\,GB}$ и ${GC_1=\frac12\,GC}:$ точка $G$ делит каждую из медиан $BB_1$ и $CC_1$ в отношении ${2:1}.$

То же рассуждение для медиан $AA_1$ и $BB_1$ показывает, что они пересекаются в точке медианы $BB_1,$ делящей её в отношении ${2:1},$ считая от $B.$ Это та же точка $G,$ значит, все три медианы проходят через $G.$

Точка пересечения медиан в координатах. Если вершины треугольника — точки ${A(x_1;\ y_1)},$ ${B(x_2;\ y_2)}$ и ${C(x_3;\ y_3)},$ то точка пересечения медиан — это точка

${G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)}.$

Медианы и площадь

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

У треугольников $ABA_1$ и $AA_1C$ равные основания, ${BA_1=A_1C},$ и общая высота из вершины $A,$ поэтому их площади равны.

Три медианы делят треугольник на шесть маленьких треугольников равной площади. Площадь каждого из них составляет ${\frac16}$ площади $ABC,$ а, например, ${S_{ABG}=\frac13\,S_{ABC}}.$

Почему площади всех шести треугольников равны?

У треугольников $GBA_1$ и $GA_1C$ равные основания и общая высота из вершины $G,$ поэтому их площади равны; обозначим эту площадь $x.$ Медиана $AA_1$ делит $ABC$ на две равновеликие части, поэтому ${S_{ABG}}={\frac12\,S_{ABC}-x}={S_{ACG}}.$ Точно так же ${S_{ABG}=S_{BCG}}.$ Значит, площади треугольников $ABG,$ $BCG$ и $CAG$ равны, каждая по ${\frac13\,S_{ABC}},$ и медиана делит каждый из них на две равновеликие части площадью ${\frac16\,S_{ABC}}.$

Формула длины медианы

В каждой формуле сторона, к которой проведена медиана, входит со знаком минус.

Доказательство с помощью параллелограмма

Продлим медиану $AA_1$ за точку $A_1$ на её длину до точки $D,$ так что ${A_1D=AA_1=m_a}.$ Диагонали $AD$ и $BC$ четырёхугольника $ABDC$ точкой пересечения $A_1$ делятся пополам, поэтому $ABDC$ — параллелограмм со сторонами $b$ и $c$ и диагоналями ${AD=2m_a}$ и ${BC=a}.$

В любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырёх сторон:

${(2m_a)^2+a^2=2b^2+2c^2}.$

Отсюда ${4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2},$ а это и есть нужная формула. Само свойство параллелограмма следует из теоремы косинусов для двух диагоналей.

Стороны через медианы. Если известны три медианы, то стороны равны

Возведя три формулы для медиан в квадрат и сложив полученные равенства, получим ещё одно красивое соотношение:

${m_a^2+m_b^2+m_c^2}={\frac34\left(a^2+b^2+c^2\right)}.$

Медианы особых треугольников

• Равнобедренный треугольник. Медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой угла при вершине. Медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.
• Равносторонний треугольник. Медианы равны высотам, ${m=\frac{a\sqrt3}{2}},$ а точка пересечения медиан — центр треугольника.
• Прямоугольный треугольник. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: ${m_c=\frac{c}{2}}.$ Середина гипотенузы равноудалена от трёх вершин, то есть это центр описанной окружности.

Обратно, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, лежащий против этой стороны, прямой.

Почему?

Пусть ${CC_1=\frac12\,AB}.$ Тогда ${C_1A=C_1C=C_1B},$ поэтому треугольники $AC_1C$ и $BC_1C$ равнобедренные, и ${\angle C_1CA=\alpha},$ ${\angle C_1CB=\beta}.$ Значит, ${\gamma=\alpha+\beta},$ а из ${\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}$ получаем ${\gamma=90^\circ}.$

Решённые задачи

Задача 1. В треугольнике $ABC$ стороны ${a=10}$ и ${b=c=13}.$ Найдите медианы $m_a$ и $m_b.$

Решение.

${m_a}={\frac12\sqrt{2\cdot 169+2\cdot 169-100}}={\frac12\sqrt{576}}={12},$

${m_b}={\frac12\sqrt{2\cdot 100+2\cdot 169-169}}={\frac12\sqrt{369}}={\frac{3\sqrt{41}}{2}}\approx{9{,}60}.$

Проверим $m_a$ другим способом: треугольник равнобедренный с основанием $a,$ поэтому $m_a$ — это и высота к основанию, ${\sqrt{13^2-5^2}=12}.$

Задача 2. Катеты прямоугольного треугольника ${a=6}$ и ${b=8}.$ Найдите медиану, проведённую к гипотенузе, и медиану, проведённую к катету $a.$

Решение. Гипотенуза ${c=10},$ поэтому ${m_c=5}.$ Медиана, проведённая к катету $a,$ соединяет $A$ с серединой $BC.$ Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $b$ и ${\frac a2},$ поэтому

${m_a}={\sqrt{b^2+\left(\frac a2\right)^2}}={\sqrt{64+9}}={\sqrt{73}}\approx{8{,}54}.$

Формула даёт то же самое: ${\frac12\sqrt{2\cdot 64+2\cdot 100-36}}={\frac12\sqrt{292}}={\sqrt{73}}.$

Задача 3. Медиана $AA_1$ равна 15 см. Найдите $AG$ и $GA_1.$

Решение. ${AG=\frac23\cdot 15=10}$ см и ${GA_1=\frac13\cdot 15=5}$ см.

Задача 4. Найдите точку пересечения медиан треугольника с вершинами ${A(1;\ 2)},$ ${B(5;\ 0)}$ и ${C(3;\ 7)}.$

Решение. ${G\left(\frac{1+5+3}{3};\ \frac{2+0+7}{3}\right)}={G(3;\ 3)}.$

Задача 5. Площадь треугольника $ABC$ равна 36 см². Найдите площади треугольников $ABA_1,$ $ABG$ и $GBA_1.$

Решение. ${S_{ABA_1}=\frac12\cdot 36=18},$ ${S_{ABG}=\frac13\cdot 36=12}$ и ${S_{GBA_1}=\frac16\cdot 36=6}$ (в см²).

Задача 6. Медианы треугольника ${m_a=9},$ ${m_b=12}$ и ${m_c=15}.$ Найдите его стороны.

Решение.

${a}={\frac23\sqrt{2\cdot 144+2\cdot 225-81}}={\frac23\sqrt{657}}={2\sqrt{73}}\approx{17{,}09},$

${b}={\frac23\sqrt{2\cdot 81+2\cdot 225-144}}={\frac23\sqrt{468}}={4\sqrt{13}}\approx{14{,}42},$

${c}={\frac23\sqrt{2\cdot 81+2\cdot 144-225}}={\frac23\sqrt{225}}={10}.$

Задача 7. Докажите, что треугольник с двумя равными медианами равнобедренный.

Решение. Если ${m_a=m_b},$ то ${2b^2+2c^2-a^2}={2a^2+2c^2-b^2},$ откуда ${3b^2=3a^2}$ и ${a=b}.$

Типичные ошибки

Ошибка	Неверно	Верно
Отношение отсчитано не от того конца	${AG:GA_1=1:2}$	${AG:GA_1=2:1};$ бо́льшая часть прилегает к вершине
Медиана перепутана с высотой	Медиана перпендикулярна противолежащей стороне	Это высота. Медиана перпендикулярна своей стороне, только если она проведена к основанию равнобедренного треугольника
Медиана перепутана с биссектрисой	Медиана из вершины $A$ делит угол $A$ пополам	Это биссектриса. В разностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота из одной вершины — три разных отрезка
Неверный знак в формуле	${m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2+a^2}}$	${m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}$
Медиана к катету прямоугольного треугольника	Катеты 6 и 8, поэтому медиана к катету 6 равна его половине, 3	${\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}};$ половине своей стороны равна только медиана, проведённая к гипотенузе

Задачи для самостоятельного решения

Решите их сами, затем откройте ответ.

1. Медиана $AA_1$ равна 12. Найдите $AG$ и $GA_1.$

${AG=8}$ и ${GA_1=4}.$

2. ${GA_1=3}.$ Найдите медиану $AA_1.$

${AA_1=3\cdot 3=9}$

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

${\frac{17}{2}=8{,}5}$

4. Стороны треугольника ${a=8}$ и ${b=c=5}.$ Найдите $m_a.$

${m_a}={\frac12\sqrt{50+50-64}}={\frac12\cdot 6}={3}.$ Это и высота к основанию: ${\sqrt{25-16}=3}.$

5. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите медиану, проведённую к стороне 6.

${\frac12\sqrt{2\cdot 25+2\cdot 49-36}}={\frac12\sqrt{112}}={2\sqrt7}\approx{5{,}29}$

6. Найдите точку пересечения медиан треугольника с вершинами ${(0;\ 0)},$ ${(6;\ 0)}$ и ${(3;\ 9)}.$

${G(3;\ 3)}$

7. Площадь треугольника равна 30. Найдите площадь каждого из шести маленьких треугольников, на которые его делят медианы.

${30:6=5}$

8. Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной 6 и расстояние от точки пересечения медиан до вершины.

${m=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ и ${AG}={\frac23\cdot 3\sqrt3}={2\sqrt3}\approx{3{,}46}.$

9. Стороны треугольника равны 4, 5 и 6. Найдите ${m_a^2+m_b^2+m_c^2}.$

${\frac34\,(16+25+36)}={\frac34\cdot 77}={57{,}75}$

10. В треугольнике $ABC$ медиана ${m_c=5},$ сторона ${c=10}$ и сторона ${a=6}.$ Найдите сторону $b.$

${m_c=\frac c2},$ поэтому ${\gamma=90^\circ}$ и ${b=\sqrt{10^2-6^2}=8}.$

Ещё о треугольниках: Треугольники · Высота · Средняя линия · Признаки равенства