Измерение углов

Угол — это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Мера (величина) угла показывает, на сколько нужно повернуть одну сторону вокруг вершины, чтобы она совпала с другой.

Углы измеряют в градусах или в радианах. В этом уроке объясняется, что такое градус и радиан и как переходить от одной единицы к другой, а также что означают углы больше $360^\circ$ и отрицательные углы. Проверить свои ответы можно с помощью конвертера в начале страницы.

На этой странице: Градусы · Минуты и секунды · Углы больше 360° · Отрицательные углы · Радианы · Градусы и радианы · Длина дуги и площадь сектора · Углы меньше 0 и больше 2π · Типичные ошибки · Задачи

Градусная мера угла

Полный оборот делят на 360 равных частей. Одна такая часть называется градусом и обозначается $1^\circ.$ Значит, $1^\circ$ составляет $\frac{1}{360}$ полного оборота, а полный оборот равен $360^\circ.$

Четверти оборота соответствует угол $90^\circ,$ половине оборота — угол $180^\circ,$ а трём четвертям оборота — угол $270^\circ.$ В зависимости от градусной меры угол называют:

• острым, если он больше $0^\circ,$ но меньше $90^\circ;$
• прямым, если он равен $90^\circ;$
• тупым, если он больше $90^\circ,$ но меньше $180^\circ;$
• развёрнутым, если он равен $180^\circ;$
• углом больше развёрнутого, если он больше $180^\circ,$ но меньше $360^\circ.$

Подробнее о видах углов: Классификация углов.

Измерение угла транспортиром

1. Совместите центр транспортира с вершиной угла.
2. Поверните транспортир так, чтобы одна сторона угла прошла через нулевое деление шкалы.
3. Прочитайте число на шкале в том месте, где её пересекает другая сторона угла. У транспортира две шкалы: пользуйтесь той, нулевое деление которой лежит на первой стороне.

На рисунке угол равен $50^\circ,$ а не $130^\circ\text{:}$ первая сторона проходит через 0 внешней шкалы, поэтому отсчёт ведём по внешней шкале. Помогает и простая проверка: угол острый, значит, он должен быть меньше $90^\circ.$

Минуты и секунды

Доли градуса записывают десятичной дробью, например $37{,}5^\circ,$ или выражают в более мелких единицах — минутах и секундах.

В одном градусе 60 минут, а в одной минуте 60 секунд: ${1^\circ=60'},$ ${1'=60''},$ поэтому ${1^\circ=3600''}.$

Пример 1. Запишите $37{,}42^\circ$ в градусах, минутах и секундах.

Решение. Целая часть равна $37^\circ.$ Остаётся ${0{,}42^\circ}={0{,}42\cdot60'}={25{,}2'},$ то есть $25'$ и ещё $0{,}2'.$ Далее ${0{,}2'}={0{,}2\cdot60''}={12''}.$ Итак, ${37{,}42^\circ=37^\circ25'12''}.$

Пример 2. Запишите $12^\circ45'36''$ в градусах в виде десятичной дроби.

Решение. ${12^\circ45'36''}={12^\circ+\frac{45^\circ}{60}+\frac{36^\circ}{3600}}$ $={12^\circ+0{,}75^\circ+0{,}01^\circ}={12{,}76^\circ}.$

Пример 3. Найдите ${48^\circ35'+27^\circ50'}$ и ${90^\circ-34^\circ27'}.$

Решение. Градусы складываем с градусами, а минуты с минутами: ${48^\circ35'+27^\circ50'}={75^\circ85'}.$ Так как ${85'=1^\circ25'},$ сумма равна $76^\circ25'.$ Чтобы выполнить вычитание, сначала запишем $90^\circ$ в виде $89^\circ60'$ и получим ${89^\circ60'-34^\circ27'}={55^\circ33'}.$

Углы больше 360°

Углом можно описать и поворот. Колесо, стрелка часов или фигурист могут сделать больше одного полного оборота, и тогда угол поворота больше $360^\circ.$ Например, колесо, сделавшее два полных оборота, повернулось на ${2\cdot360^\circ=720^\circ}.$

Пример 4. Сколько оборотов делает тело при повороте на угол а) $380^\circ;$ б) $770^\circ;$ в) $1000^\circ?$

Решение.

а) ${380^\circ=1\cdot360^\circ+20^\circ}\text{:}$ один полный оборот и ещё $20^\circ.$ Так как $20^\circ$ составляют ${\frac{20}{360}=\frac{1}{18}}$ оборота, тело делает $1\frac{1}{18}$ оборота.

б) ${770^\circ=2\cdot360^\circ+50^\circ}\text{:}$ два полных оборота и ещё $50^\circ,$ как на рисунке выше, то есть ${2\frac{50}{360}=2\frac{5}{36}}$ оборота.

в) ${{1000^\circ=2\cdot360^\circ+280^\circ}\text{:}}$ два полных оборота и ещё $280^\circ,$ то есть ${2\frac{280}{360}=2\frac{7}{9}}$ оборота.

Положительные и отрицательные углы

У поворота есть направление. Сторону угла, от которой поворот начинается, называют начальной стороной, а сторону, на которой он заканчивается, — конечной стороной.

Угол поворота против часовой стрелки считают положительным, а угол поворота по часовой стрелке — отрицательным.

В системе координат угол обычно откладывают от положительной полуоси $Ox\text{:}$ вершину помещают в начало координат, а начальную сторону направляют по этой полуоси. Тогда конечная сторона угла $90^\circ$ направлена вверх, угла $180^\circ$ — влево, а угла $270^\circ$ — вниз. Конечная сторона угла $-90^\circ$ тоже направлена вниз.

Углы с общей конечной стороной

Углы $270^\circ$ и $-90^\circ$ задают разные повороты, но у этих поворотов одна и та же начальная сторона и одна и та же конечная сторона. Про такие углы говорят, что они отличаются на целое число полных оборотов; для краткости будем называть их углами с общей конечной стороной. Полный оборот возвращает конечную сторону в прежнее положение, поэтому:

Прибавляя или вычитая $360^\circ$ любое число раз, мы получаем угол с той же конечной стороной, и каждый такой угол можно получить именно так: общую конечную сторону с углом $\alpha$ имеют углы ${\alpha+k\cdot360^\circ},$ где $k$ — целое число.

• Чтобы для отрицательного угла найти положительный угол с той же конечной стороной, прибавляйте $360^\circ,$ пока результат не станет положительным.
• Чтобы для положительного угла найти отрицательный угол с той же конечной стороной, вычитайте $360^\circ,$ пока результат не станет отрицательным.
• Для каждого угла есть ровно один угол с той же конечной стороной, который не меньше $0^\circ$ и меньше $360^\circ.$ Для положительного угла это остаток от деления на $360^\circ.$

Пример 5. Найдите наименьший положительный угол, имеющий общую конечную сторону с углом а) $-35^\circ;$ б) $-60^\circ;$ в) $-180^\circ;$ г) $-670^\circ.$

Решение. Прибавляем $360^\circ,$ пока угол не станет положительным.

а) ${-35^\circ+360^\circ=325^\circ}$

б) ${-60^\circ+360^\circ=300^\circ}$

в) ${-180^\circ+360^\circ=180^\circ}$

г) Угол ${-670^\circ+360^\circ=-310^\circ}$ всё ещё отрицательный, поэтому прибавляем $360^\circ$ ещё раз: ${-310^\circ+360^\circ=50^\circ}.$ В одно действие: ${-670^\circ+2\cdot360^\circ=50^\circ}.$

Пример 6. Найдите ближайший к нулю отрицательный угол, имеющий общую конечную сторону с углом а) $80^\circ;$ б) $167^\circ;$ в) $330^\circ;$ г) $1300^\circ.$

Решение. Вычитаем $360^\circ,$ пока угол не станет отрицательным.

а) ${80^\circ-360^\circ=-280^\circ}$

б) ${167^\circ-360^\circ=-193^\circ}$

в) ${330^\circ-360^\circ=-30^\circ}$

г) ${1300^\circ-360^\circ=940^\circ},$ ${940^\circ-360^\circ=580^\circ},$ ${580^\circ-360^\circ=220^\circ},$ ${220^\circ-360^\circ=-140^\circ}.$ В одно действие: ${1300^\circ-4\cdot360^\circ}={-140^\circ}.$ Третье вычитание показывает ещё и то, что ${{1300^\circ=3\cdot360^\circ+220^\circ}\text{:}}$ три полных оборота и ещё $220^\circ.$

Общая конечная сторона не означает, что углы равны. Углы $1300^\circ$ и $-140^\circ$ задают разные повороты: больше трёх с половиной оборотов в одну сторону и меньше половины оборота в другую. Совпадает только конечное положение, поэтому писать ${1300^\circ=-140^\circ}$ нельзя. Зато значения тригонометрических функций у этих углов одинаковы, например ${\sin1300^\circ=\sin(-140^\circ)}.$

Радианная мера угла

Градус — удобная единица, но само число 360 выбрано условно. А вот радиан определяется самой окружностью.

Один радиан (1 рад) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. (Центральным называют угол с вершиной в центре окружности.)

На рисунке длина дуги $AB$ равна радиусу $r,$ поэтому ${\angle AOB=1\text{ рад}}.$ Дуге вдвое большей длины соответствует угол в 2 рад, и так далее. Вообще, центральный угол, который опирается на дугу длины $l$ в окружности радиуса $r,$ имеет радианную меру

$$\alpha=\frac{l}{r}.$$

Здесь $l$ и $r$ должны быть выражены в одних и тех же единицах длины. Тогда единицы сокращаются, поэтому радианная мера угла — просто число.

Вся окружность — это дуга длины $2\pi r,$ поэтому полный оборот составляет ${\frac{2\pi r}{r}=2\pi}$ радиан.

В полном обороте $2\pi$ радиан, а в половине оборота $\pi$ радиан: ${360^\circ=2\pi\text{ рад}},$ ${180^\circ=\pi\text{ рад}}.$

Отсюда ${1\text{ рад}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ}$ и ${1^\circ}={\frac{\pi}{180}\text{ рад}}\approx{0{,}01745\text{ рад}}.$

Углы в радианах обычно выражают через $\pi\text{:}$ тогда самые употребительные углы записываются точно и коротко, например $\frac{\pi}{2}$ вместо $1{,}570796\ldots$ Обозначение «рад», как правило, опускают. Если при угле не указана единица измерения, как в записях $\frac{\pi}{3}$ или $2,$ то угол задан в радианах; угол в градусах всегда записывают со знаком градуса.

Перевод градусов в радианы и радианов в градусы

Достаточно запомнить, что $\pi$ радиан составляют $180^\circ.$ Если угол выражен через $\pi,$ просто замените $\pi$ на $180^\circ\text{:}$ например, ${\frac{\pi}{6}=\frac{180^\circ}{6}=30^\circ}.$

Градусы	Радианы	Градусы	Радианы
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$210^\circ$	$\frac{7\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$225^\circ$	$\frac{5\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$240^\circ$	$\frac{4\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$300^\circ$	$\frac{5\pi}{3}$
$135^\circ$	$\frac{3\pi}{4}$	$315^\circ$	$\frac{7\pi}{4}$
$150^\circ$	$\frac{5\pi}{6}$	$330^\circ$	$\frac{11\pi}{6}$
$180^\circ$	$\pi$	$360^\circ$	$2\pi$

Пример 7. Переведите в радианы углы $240^\circ,$ $45^\circ,$ $270^\circ,$ $750^\circ$ и $390^\circ.$

Решение. Умножаем каждый угол на $\frac{\pi}{180^\circ}$ и сокращаем дробь.

${240^\circ}={240^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{4\pi}{3}}$

${45^\circ=45^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{4}}$

${270^\circ}={270^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{3\pi}{2}}$

${750^\circ}={750^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{25\pi}{6}}$

${390^\circ}={390^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{13\pi}{6}}$

Пример 8. Переведите в градусы: а) $\frac{5\pi}{4};$ б) $3{,}12\pi;$ в) $2{,}4\text{ рад}.$

Решение.

а) ${\frac{5\pi}{4}=\frac{5\cdot180^\circ}{4}=225^\circ}$

б) ${3{,}12\pi}={3{,}12\cdot180^\circ}={561{,}6^\circ}$

в) В записи этого угла нет $\pi,$ поэтому умножаем на $\frac{180^\circ}{\pi}$ и получаем ${2{,}4\cdot\frac{180^\circ}{\pi}}={\frac{432^\circ}{\pi}}\approx{137{,}5^\circ}.$

Длина дуги и площадь сектора

В радианах формулы для окружности и круга становятся короткими. Из равенства ${\alpha=\frac{l}{r}}$ следует, что длина дуги равна произведению радиуса на угол. Круговой сектор с центральным углом $\alpha$ составляет $\frac{\alpha}{2\pi}$ круга, поэтому его площадь равна ${\frac{\alpha}{2\pi}\cdot\pi r^2=\frac{1}{2}r^2\alpha}.$

Для центрального угла в $n^\circ$ те же формулы принимают вид ${l=\frac{\pi rn}{180}}$ и ${S=\frac{\pi r^2n}{360}}.$

Пример 9. Радиус окружности равен $6\text{ см}.$ Найдите длину дуги и площадь сектора, соответствующих центральному углу $120^\circ.$

Решение. В радианах ${120^\circ=\frac{2\pi}{3}}.$ Тогда ${l}={6\cdot\frac{2\pi}{3}}={4\pi}\approx{12{,}57\text{ см}}$ и ${S}={\frac{1}{2}\cdot6^2\cdot\frac{2\pi}{3}}={12\pi}\approx{37{,}70\text{ см}^2}.$

Отрицательные углы и углы больше $2\pi$ радиан

Всё сказанное об оборотах и об углах с общей конечной стороной верно и для радианной меры, только вместо $360^\circ$ нужно брать $2\pi.$ Полный оборот равен $2\pi,$ углы $\alpha$ и ${\alpha+2\pi k}$ имеют общую конечную сторону при любом целом $k,$ а поворот на угол $\alpha$ составляет $\frac{\alpha}{2\pi}$ оборота.

Пример 10. Найдите наименьший положительный угол, имеющий общую конечную сторону с углом а) $-\frac{3\pi}{4};$ б) $-\frac{5\pi}{7}.$

Решение. К каждому углу прибавляем $2\pi.$

а) ${-\frac{3\pi}{4}+2\pi}={-\frac{3\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}}={\frac{5\pi}{4}}$

б) ${-\frac{5\pi}{7}+2\pi}={-\frac{5\pi}{7}+\frac{14\pi}{7}}={\frac{9\pi}{7}}$

Пример 11. Сколько оборотов и в каком направлении делает тело при повороте на угол а) $-10\pi;$ б) $9\pi;$ в) $\frac{7\pi}{2}?$

Решение. Делим каждый угол на $2\pi.$

а) ${\frac{-10\pi}{2\pi}=-5}\text{:}$ пять полных оборотов по часовой стрелке.

б) ${\frac{9\pi}{2\pi}=4{,}5}\text{:}$ четыре с половиной оборота против часовой стрелки, так как ${9\pi=4\cdot2\pi+\pi}.$

в) ${\frac{7\pi}{2}\cdot\frac{1}{2\pi}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}}\text{:}$ один оборот и ещё три четверти оборота против часовой стрелки, так как ${\frac{7\pi}{2}=2\pi+\frac{3\pi}{2}}.$

Пример 12. Найдите угол $\alpha$ из промежутка ${0\le\alpha\lt2\pi},$ имеющий общую конечную сторону с углом а) $\frac{25\pi}{6};$ б) $-\frac{8\pi}{3}.$

Решение.

а) ${\frac{25\pi}{6}}={\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6}}={2\cdot2\pi+\frac{\pi}{6}},$ поэтому искомый угол равен $\frac{\pi}{6}.$

б) ${-\frac{8\pi}{3}+2\cdot2\pi}={-\frac{8\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}}={\frac{4\pi}{3}}.$

Типичные ошибки

Ошибка	Неверно	Верно
Калькулятор не в том режиме	${\sin30^\circ\approx-0{,}988}\text{:}$ калькулятор работает в режиме RAD и принимает 30 за 30 радиан	Для градусов включите режим DEG: ${\sin30^\circ=0{,}5}$
Минуты приняты за десятичные доли градуса	${2^\circ30'=2{,}30^\circ}$	${2^\circ30'=2{,}5^\circ},$ так как $30'$ составляют половину градуса
Умножение не на ту дробь	${60^\circ=60\cdot\frac{180}{\pi}}$	${60^\circ=60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3}}\text{:}$ градусы должны сократиться
Градусы в формуле длины дуги	${r=6},$ угол $120^\circ\text{:}$ ${l=6\cdot120=720}$	Сначала переведите угол в радианы: ${l=6\cdot\frac{2\pi}{3}=4\pi}$
Перепутаны направления	Поворот по часовой стрелке считают положительным	Положительным считают поворот против часовой стрелки, отрицательным — по часовой стрелке
Знак равенства между углами с общей конечной стороной	${-90^\circ=270^\circ}$	У углов $-90^\circ$ и $270^\circ$ общая конечная сторона, но это разные углы
Отсчёт не по той шкале транспортира	Для острого угла получено $130^\circ$	Отсчёт ведите по шкале, нулевое деление которой лежит на первой стороне: $50^\circ$

Задачи для самостоятельного решения

1. Переведите в радианы: $15^\circ,$ $72^\circ,$ $150^\circ,$ $315^\circ,$ $540^\circ.$

Ответ

$\frac{\pi}{12},$ $\frac{2\pi}{5},$ $\frac{5\pi}{6},$ $\frac{7\pi}{4},$ $3\pi.$

2. Переведите в градусы: $\frac{\pi}{5},$ $\frac{7\pi}{6},$ $\frac{11\pi}{12},$ $3\text{ рад}.$

Ответ

$36^\circ,$ $210^\circ,$ $165^\circ,$ ${\frac{540^\circ}{\pi}\approx171{,}9^\circ}.$

3. а) Запишите $25{,}3^\circ$ в градусах и минутах. б) Запишите $48^\circ21'36''$ в градусах в виде десятичной дроби.

Ответ

а) ${0{,}3\cdot60'=18'},$ поэтому ${25{,}3^\circ=25^\circ18'}.$

б) ${48^\circ+\frac{21^\circ}{60}+\frac{36^\circ}{3600}}={48^\circ+0{,}35^\circ+0{,}01^\circ}={48{,}36^\circ}.$

4. Найдите ${37^\circ48'+25^\circ35'}.$ Затем найдите угол, который нужно прибавить к $37^\circ48',$ чтобы получить прямой угол.

Ответ

${37^\circ48'+25^\circ35'}={62^\circ83'}={63^\circ23'}.$

${90^\circ-37^\circ48'}={89^\circ60'-37^\circ48'}={52^\circ12'}.$

5. Колесо повернулось на $1500^\circ.$ Сколько полных оборотов оно сделало и какой угол остался?

Ответ

${{1500^\circ=4\cdot360^\circ+60^\circ}\text{:}}$ четыре полных оборота и ещё $60^\circ,$ то есть $4\frac{1}{6}$ оборота.

6. Найдите угол $\beta$ из промежутка ${0^\circ\le\beta\lt360^\circ},$ имеющий общую конечную сторону с углом а) $-1000^\circ;$ б) $2024^\circ.$

Ответ

а) ${-1000^\circ+3\cdot360^\circ=80^\circ}.$

б) ${2024^\circ-5\cdot360^\circ=224^\circ}.$

7. Найдите угол $\alpha$ из промежутка ${0\le\alpha\lt2\pi},$ имеющий общую конечную сторону с углом а) $\frac{17\pi}{4};$ б) $-\frac{11\pi}{3}.$

Ответ

а) ${\frac{17\pi}{4}-2\cdot2\pi}={\frac{17\pi}{4}-\frac{16\pi}{4}}={\frac{\pi}{4}}.$

б) ${-\frac{11\pi}{3}+2\cdot2\pi}={-\frac{11\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}}={\frac{\pi}{3}}.$

8. На какой угол поворачивается минутная стрелка часов за 25 минут? Запишите ответ с учётом знака, в градусах и в радианах.

Ответ

Минутная стрелка делает полный оборот за 60 минут, поэтому за 25 минут она поворачивается на ${\frac{25}{60}\cdot360^\circ=150^\circ}.$ Поворот происходит по часовой стрелке, поэтому угол равен ${-150^\circ=-\frac{5\pi}{6}}.$

9. Колесо сделало $2{,}5$ оборота против часовой стрелки. Найдите угол поворота в градусах и в радианах.

Ответ

${2{,}5\cdot360^\circ=900^\circ},$ что составляет ${2{,}5\cdot2\pi=5\pi\text{ рад}}.$

10. Земля делает один оборот вокруг своей оси примерно за 24 часа. На какой угол она поворачивается за один час? Запишите ответ в градусах и в радианах.

Ответ

${\frac{360^\circ}{24}=15^\circ},$ что составляет $\frac{\pi}{12}\text{ рад}.$

11. Радиус окружности равен $10\text{ см}.$ Найдите длину дуги и площадь сектора, соответствующих центральному углу $54^\circ.$

Ответ

В радианах ${54^\circ=\frac{54\pi}{180}=\frac{3\pi}{10}}.$ Тогда ${l}={10\cdot\frac{3\pi}{10}}={3\pi}\approx{9{,}42\text{ см}}$ и ${S}={\frac{1}{2}\cdot10^2\cdot\frac{3\pi}{10}}={15\pi}\approx{47{,}12\text{ см}^2}.$

12. Дуга окружности радиуса $8\text{ см}$ имеет длину $20\text{ см}.$ Найдите центральный угол, опирающийся на эту дугу, в радианах и в градусах.

Ответ

${\alpha=\frac{l}{r}=\frac{20}{8}=2{,}5\text{ рад}},$ что составляет ${2{,}5\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx143{,}2^\circ}.$

См. также: Классификация углов · Углы при параллельных прямых · Окружность · Тригонометрия