Задачи на первый признак равенства треугольников

Первый признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В каждой задаче мы называем два треугольника, перечисляем три пары равных элементов с обоснованием и проверяем, что угол лежит между двумя сторонами. Теория — на странице Признаки равенства треугольников, задачи на другие признаки — на странице Задачи на второй и третий признаки.

Задача 1

В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны ${AC=BC},$ а $CD$ — биссектриса угла $C$ (точка $D$ лежит на $AB$). Докажите, что ${\triangle ACD=\triangle BCD}.$

Решение. Для треугольников $ACD$ и $BCD$ имеем:

1. ${AC=BC},$ так как треугольник равнобедренный;
2. ${\angle ACD=\angle BCD},$ так как $CD$ — биссектриса;
3. $CD$ — общая сторона.

Угол $ACD$ лежит между сторонами $AC$ и $CD,$ а угол $BCD$ — между $BC$ и $CD.$ По первому признаку ${\triangle ACD=\triangle BCD}.$

Задача 2

Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, проведёнными к основанию.

Решение. Воспользуемся рисунком и результатом задачи 1: ${\triangle ACD=\triangle BCD}.$

• Стороны $AD$ и $BD$ соответствующие, поэтому ${AD=BD}:$ точка $D$ — середина $AB,$ то есть $CD$ — медиана.
• Углы $ADC$ и $BDC$ соответствующие, поэтому они равны. Кроме того, они смежные и в сумме дают ${180^\circ},$ значит, каждый из них равен ${90^\circ}:$ $CD$ — высота.

Из одной вершины выходят только одна биссектриса, одна медиана и одна высота, поэтому в равнобедренном треугольнике эти три отрезка, проведённые к основанию, совпадают.

Задача 3

Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Решение. Проведём биссектрису $CD$ угла при вершине. По задаче 1 ${\triangle ACD=\triangle BCD}.$ Углы $A$ и $B$ — соответствующие углы этих треугольников, поэтому ${\angle A=\angle B}.$

Задача 4

В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны ${AC=BC},$ а $D$ — середина основания $AB.$ Периметр треугольника $ADC$ равен 18 см, ${CD=6}$ см. Найдите периметр треугольника $ABC.$

Решение. Периметр $ADC$ равен ${AC+CD+AD=18},$ поэтому ${AC+AD=18-6=12}$ см. Так как ${BC=AC}$ и ${DB=AD},$ периметр $ABC$ равен

${AC+BC+AD+DB}={2\,(AC+AD)}={2\cdot 12}={24}$ см.

Задача 5

Прямая отсекает на сторонах угла $AOB$ равные отрезки ${OC=OD}.$ Докажите, что эта прямая перпендикулярна биссектрисе угла.

Решение. Пусть прямая ${\ell=CD}$ пересекает биссектрису $OL$ в точке $F.$ Треугольник $OCD$ равнобедренный, так как ${OC=OD},$ а $OF$ — биссектриса его угла при вершине. По задаче 2 отрезок $OF$ является и высотой, проведённой к основанию $CD,$ поэтому ${CD\perp OL}.$

Задача 6

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ точкой пересечения $O$ делятся пополам. Докажите, что его противоположные стороны равны.

Решение. Для треугольников $AOD$ и $COB$ имеем:

1. ${AO=CO}$ и ${OD=OB},$ так как диагонали делятся пополам;
2. ${\angle AOD=\angle COB}$ как вертикальные углы.

По первому признаку ${\triangle AOD=\triangle COB},$ поэтому ${AD=CB}.$ Точно так же ${\triangle AOB=\triangle COD},$ поэтому ${AB=CD}.$

Из равенства треугольников следует ещё, что ${\angle OAD=\angle OCB}.$ Это накрест лежащие углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC,$ поэтому ${AD\parallel BC};$ точно так же ${AB\parallel CD}.$ Значит, четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой пересечения пополам, — параллелограмм.

Задача 7

${\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1}.$ Точки $M$ и $M_1$ лежат на сторонах $AB$ и $A_1B_1$ соответственно, причём ${AM=A_1M_1}.$ Докажите, что ${CM=C_1M_1}$ и ${\angle BMC=\angle B_1M_1C_1}.$

Решение. Из равенства треугольников ${AC=A_1C_1}$ и ${\angle A=\angle A_1}.$ Для треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$ имеем:

1. ${AM=A_1M_1}$ (по условию);
2. ${\angle A=\angle A_1};$
3. ${AC=A_1C_1}.$

По первому признаку ${\triangle AMC=\triangle A_1M_1C_1},$ поэтому ${CM=C_1M_1}$ и ${\angle AMC=\angle A_1M_1C_1}.$ Углы $BMC$ и $B_1M_1C_1$ смежны с этими равными углами, поэтому ${\angle BMC}={180^\circ-\angle AMC}={180^\circ-\angle A_1M_1C_1}={\angle B_1M_1C_1}.$

Задача 8

Точки $D$ и $E$ лежат на основании $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ (${AC=BC}$), причём ${AD=BE}.$ Докажите, что ${CD=CE}.$

Решение. Для треугольников $ADC$ и $BEC$ имеем:

1. ${AD=BE}$ (по условию);
2. ${\angle A=\angle B}$ — углы при основании (задача 3);
3. ${AC=BC}.$

По первому признаку ${\triangle ADC=\triangle BEC},$ поэтому ${CD=CE}.$

Задача 9

В равнобедренном треугольнике $ABC$ (${AC=BC}$) отрезки $AA_1$ и $BB_1$ — медианы, проведённые к боковым сторонам. Докажите, что ${AA_1=BB_1}.$

Решение. Для треугольников $ABB_1$ и $BAA_1$ имеем:

1. $AB$ — общая сторона;
2. ${\angle BAB_1=\angle ABA_1}$ — углы при основании;
3. ${AB_1}={\frac12\,AC}={\frac12\,BC}={BA_1}.$

По первому признаку ${\triangle ABB_1=\triangle BAA_1},$ поэтому ${BB_1=AA_1}.$

Задача 10

На сторонах $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ с острым углом $\gamma$ при вершине $C$ во внешнюю сторону построены квадраты $BMNC$ и $CPQA.$ Докажите, что ${AN=BP}.$

Решение. Рассмотрим треугольники $NCA$ и $BCP$ (на рисунке обведены пунктиром).

1. ${CN=CB}$ как стороны квадрата $BMNC;$
2. ${CA=CP}$ как стороны квадрата $CPQA;$
3. ${\angle NCA=90^\circ+\gamma}$ и ${\angle BCP=\gamma+90^\circ},$ поэтому ${\angle NCA=\angle BCP}.$

По первому признаку ${\triangle NCA=\triangle BCP},$ поэтому ${AN=BP}.$

Более того, поворот на ${90^\circ}$ вокруг точки $C,$ переводящий $N$ в $B,$ переводит $A$ в $P.$ Значит, он переводит отрезок $NA$ в $BP,$ откуда ${AN\perp BP}.$ Это рассуждение не зависит от величины угла $\gamma,$ поэтому ${AN=BP}$ и при тупом угле $C.$

Задачи для самостоятельного решения

Решите их сами, затем откройте решение.

1. Точки $A$ и $C$ лежат на одной стороне угла с вершиной $O,$ а $B$ и $D$ — на другой, причём ${OA=OB}$ и ${OC=OD}.$ Докажите, что ${AD=BC}.$

В треугольниках $OAD$ и $OBC\text{:}$ ${OA=OB},$ угол $O$ общий и ${OD=OC}.$ По первому признаку они равны, поэтому ${AD=BC}.$

2. $ABCD$ — квадрат, $M$ — середина $AB,$ $N$ — середина $AD.$ Докажите, что ${CM=CN}.$

В треугольниках $CBM$ и $CDN\text{:}$ ${CB=CD},$ ${\angle B=\angle D=90^\circ}$ и ${BM=DN}$ (половины равных сторон). По первому признаку они равны, поэтому ${CM=CN}.$

3. В треугольнике $ABC$ стороны ${AB=AC}.$ Точки $D$ на $AB$ и $E$ на $AC$ таковы, что ${AD=AE}.$ Докажите, что ${BE=CD}.$

В треугольниках $ABE$ и $ACD\text{:}$ ${AB=AC},$ угол $A$ общий и ${AE=AD}.$ По первому признаку они равны, поэтому ${BE=CD}.$

4. Точки $D,$ $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB,$ $BC$ и $CA$ равностороннего треугольника $ABC,$ причём ${AD=BE=CF}.$ Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

Отрезки ${BD=AB-AD},$ ${CE=BC-BE}$ и ${AF=CA-CF}$ тоже равны. В треугольниках $ADF,$ $BED$ и $CFE$ угол ${60^\circ}$ лежит между сторонами, равными $AD$ и $BD$ соответственно, поэтому по первому признаку эти треугольники равны. Следовательно, ${DF=ED=FE}.$

Ещё: Признаки равенства треугольников · Задачи на второй и третий признаки · Треугольники