Задачи на равенство треугольников по первому признаку - сторона-угол-сторона

Задача 1
Треугольник ABC - равнобедренный, СD - биссектриса к основанию АВ.
Докажите, что ACD = BCD
Доказательство:
Докажем, что два треугольника равны по первому признаку. Из условия мы имеем, что
1. ∠ACD = ∠DCB (CD - биссектриса);
2. AC = BC ( треугольник АВС - равнобедренный);
3. CD принадлежит обоим треугольникам.
Тогда, треугольники ACD и BCD имеют две равные стороны и угол между ними.
Поэтому треугольники △ACD и △BCD - равны.


Задача 2
Докажите, что высота, биссектриса и медиана, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.
Доказательство:
Из предыдущей задачи мы имеем, что CD это биссектриса в равнобедренном треугольнике АВС, и мы доказали, что треугольники ACD и BCD равны. Из равенства следует, что угол ADC = CDB но они но они являются смежными, следовательно, их сумма равна 180°, отсюда угол ADC = CDB = 90°, что показывает, что CD это высота. Из равенства двух треугольников мы имеем, что AD = BD, т.e. CD является медианой.


Задача 3
Докажите, что углы в основании любого равнобедренного треугольника равны.
Доказательство:
Мы вновь используем первую задачу и то, что треугольники ACD и BCD равны. Углы в основании равнобедренного треугольника равны, потому что они являются соответствующими углами в равных треугольниках.


Задача 4
Вычислите периметр равнобедренного треугольника АВС, если периметр треугольника ADC равен 18 cм, и CD = 6 cм и AD = BD (fig.5)

Доказательство:
Периметр треугольника ADC = AC + CD + AD = 18 ⇔ AC + 6 + AD = 18 ⇔ AC + AD = 12
Потому что AC = BC (треугольники являются равнобедренными) и AD = DB, следовательно AC + AD = DB +BC = 12
Периметр треугольника ABC = AB + AC + BC = AD + DB + AC + BC = 12 + 12 = 24 cм.


Задача 5
Докажите, что прямая линия, которая вырезает равные отрезки на сторонах угла, является перпендикулярной к биссектрисе этого угла.
Доказательство:

Пусть прямая формирует на сторонах угла АОВ два равных отрезка OC = OD. Тогда треугольник OCD является равнобедренным ОКР и OF является биссектрисой к основанию. В соответствии с задачей, 2 OF является высотой, т.е. OF перпендикулярна к α


Задача 6
Докажите, что если диагонали четырёхугольника делят друг друга пополам, то противоположные стороны четырёхугольника - равны.
Доказательство:

диагонали четырёхугольник

Для четырехугольника ABCD мы знаем, что AO = OC и BO = OD. Тогда треугольники AOD и BOC также равны (по первому признаку, AO = OC; BO = OD и углы DOA = BOC – вершина), поэтому AD = BC. Аналогично треугольники AOB и DOC равны, откуда AB = CD


Задача 7
Докажите, что если треугольник ABC равен A1B1C1 и для всех точек M и M1 на сторонах AB и A1B1 верно, что AM = A1M1 CM = C1M1 и угол BMC = B1M1C1
Доказательство:

равен треугольник

потому что треугольник △ABC = △A1B1C1
1. AB = A1B1,
2. BC = B1C1, CA = C1A1 и
3. углы A = A1, B = B1, C = C1.
Тогда △AMC = △A1M1C1 (по первому признаку), откуда CM = C1M1.

MB = M1B1 потому что из равных отрезков AB и A1B1 мы вычитаем равные отрезки AM и A1M1. Углы BMC и B1M1C1 - равны, потому что они являются смежными углами к углам AMC и A1M1C1, которые равны (треугольник AMC равен A1M1C1)


Задача 8
Есть треугольники ABC (AC < BC). Внешне построены:
квадраты BMNC и CPQA.
Докажите, что AN = BP

Доказательство:
Для треугольников BPC и ACN BC = CN (BMNC – квадрат);
PC = AC (CPQA - квадрат) угол BCP = ACN = 90° + ACB. Поэтому, треугольники равны и откуда AN = BP

Задачи на равенство треугольников по второму признаку


Электронная почта:

© 2005 - 2021
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.