Меню

Треугольники

Возьмём три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками. Получившаяся фигура называется треугольником. Три точки — его вершины, три отрезка — его стороны, а три угла при вершинах — его углы.

αβγABCabc

Стандартные обозначения. В треугольнике $ABC$ каждая сторона обозначается малой буквой противолежащей вершины:

$$a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB.$$

Углы при вершинах $A,$ $B$ и $C$ обозначаются $\alpha,$ $\beta$ и $\gamma.$ Таким образом, сторона $a$ лежит против угла $\alpha,$ сторона $b$ — против угла $\beta,$ а сторона $c$ — против угла $\gamma.$

На этой странице: Сумма углов · Неравенство треугольника · Виды · Равносторонний · Равнобедренный · Прямоугольный · Периметр и площадь · Важные отрезки · Решённые задачи · Типичные ошибки · Задачи для самостоятельного решения

Сумма углов треугольника

В любом треугольнике сумма трёх углов равна ${180^\circ}.$

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Почему? Проведём через вершину $C$ прямую $p,$ параллельную $AB.$ Угол между $p$ и $CA$ равен $\alpha,$ так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых $p$ и $AB$ и секущей $AC.$ Точно так же угол между $p$ и $CB$ равен $\beta.$ Вместе с углом $\gamma$ эти два угла составляют развёрнутый угол при вершине $C,$ поэтому ${\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}.$

ααββγABCp

Следствия:

  • В треугольнике не более одного прямого или тупого угла. По крайней мере два его угла острые.
  • Если известны два угла, третий равен ${180^\circ}$ минус их сумма. При ${\alpha=50^\circ}$ и ${\beta=65^\circ}$ получаем ${\gamma=180^\circ-115^\circ=65^\circ}.$
  • В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ${90^\circ}.$
  • Каждый угол равностороннего треугольника равен ${60^\circ}.$

Внешний угол

Продолжим сторону $AC$ за вершину $C$ до точки $D.$ Угол ${\delta=\angle BCD}$ между стороной $CB$ и этим продолжением называется внешним углом треугольника при вершине $C.$ Он смежен с внутренним углом $\gamma,$ поэтому ${\delta+\gamma=180^\circ}.$

δαβγABCD

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: ${\delta=\alpha+\beta}.$

Действительно, ${\delta=180^\circ-\gamma}$ и ${\alpha+\beta=180^\circ-\gamma}.$ Поэтому внешний угол больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним.

Неравенство треугольника

Отрезок — кратчайший путь между двумя точками. Путь из $B$ в $C$ по прямой короче пути через $A,$ поэтому ${a\lt b+c}.$ То же верно для каждой стороны.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

$$|b-c|\lt a\lt b+c.$$

Существует ли треугольник с данными сторонами? Сравним наибольшую из трёх длин с суммой двух других.

  • $5,$ $7$ и $11.$ Так как ${11\lt 5+7=12},$ такой треугольник существует.
  • $3,$ $4$ и $8.$ Так как ${8\gt 3+4=7},$ такого треугольника нет: два коротких отрезка не могут сойтись.
  • $2,$ $3$ и $5.$ Так как ${5=2+3},$ три точки лежали бы на одной прямой, так что и это не треугольник.

Против большей стороны лежит больший угол

В любом треугольнике против большей из двух сторон лежит больший угол, а против большего из двух углов лежит большая сторона. Против равных сторон лежат равные углы.

Например, если ${\alpha=40^\circ},$ ${\beta=60^\circ}$ и ${\gamma=80^\circ},$ то ${a\lt b\lt c}.$ В прямоугольном треугольнике гипотенуза — наибольшая сторона, потому что она лежит против прямого угла, наибольшего угла треугольника.

Виды треугольников

По сторонам треугольник бывает разносторонним, если все его стороны разной длины, равнобедренным, если две его стороны равны, и равносторонним, если все три стороны равны. Равные стороны отмечают одинаковым числом штрихов.

разностороннийравнобедренныйравносторонний

По углам треугольник бывает остроугольным, если все его углы острые, прямоугольным, если один угол равен ${90^\circ},$ и тупоугольным, если один угол больше ${90^\circ}.$ Прямой угол отмечают маленьким квадратиком.

остроугольныйпрямоугольныйтупоугольный

Полное название учитывает оба признака: треугольник с углами ${45^\circ},$ ${45^\circ}$ и ${90^\circ}$ — прямоугольный равнобедренный. Как определить вид по углам или по длинам сторон, подробно разобрано на странице Классификация треугольников.

Равносторонний треугольник

Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним (правильным). Пусть его сторона равна $a.$

60°60°60°OhABCDaa
  • Его три угла равны, поэтому каждый из них равен ${180^\circ:3=60^\circ}.$
  • Каждая высота является также медианой и биссектрисой. Например, высота $CD$ падает в середину $D$ стороны $AB$ и делит угол $C$ пополам.
  • Три высоты равны. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ADC$ получаем ${h^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4}}.$
  • Ортоцентр, точка пересечения медиан, центр вписанной и центр описанной окружности совпадают (об этих точках см. ниже). Эта точка $O$ — центр треугольника.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$

$$h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad S=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},$$

где $S$ — площадь, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности. Заметим, что ${R=\frac23 h}$ и ${r=\frac13 h}.$

Пример. При стороне 6 см высота равна ${h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ см, а площадь ${S}={\frac{36\sqrt3}{4}}={9\sqrt3}\approx{15{,}59}$ см².

Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны — боковые стороны, третья сторона — основание. Углы, прилежащие к основанию, — углы при основании, а угол между боковыми сторонами — угол при вершине. На рисунке ${AC=BC},$ а основание — сторона $AB.$

ABCD

Свойства равнобедренного треугольника

  1. Углы при основании равны: ${\angle A=\angle B}.$ Обратно, треугольник с двумя равными углами равнобедренный.
  2. Высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой угла при вершине. Прямая, на которой она лежит, — ось симметрии треугольника.

Эти свойства доказаны с помощью равных треугольников на страницах Задачи на первый признак равенства и Задачи на второй и третий признаки. Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны между собой; равны также медианы, проведённые к боковым сторонам, и биссектрисы углов при основании. Но высота к боковой стороне не является медианой (если треугольник не равносторонний).

Пусть боковые стороны равны $b,$ а основание равно $c.$ Высота $CD$ делит основание пополам, поэтому по теореме Пифагора для треугольника $ADC$ получаем

${h_c=\sqrt{b^2-\frac{c^2}{4}}}.$

Пример. Боковые стороны равны 13 см, основание равно 10 см. Тогда ${h_c}={\sqrt{169-25}}={\sqrt{144}}={12}$ см, а площадь равна ${\frac12\cdot 10\cdot 12=60}$ см². Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен ${40^\circ},$ каждый угол при основании равен ${(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ}.$

Прямоугольный треугольник

Треугольник с прямым углом называется прямоугольным. Сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенуза; это наибольшая сторона. Две стороны, образующие прямой угол, — катеты.

На рисунке ${\gamma=90^\circ},$ катеты ${a=BC}$ и ${b=CA},$ гипотенуза ${c=AB},$ а ${CH=h}$ — высота, проведённая к гипотенузе. Она делит гипотенузу на отрезки ${AH=b_c}$ и ${HB=a_c}$ — проекции катетов $b$ и $a$ на гипотенузу.

αβABCHabhbcacc
$$\alpha+\beta=90^\circ,\qquad c^2=a^2+b^2\quad\text{(теорема Пифагора)},$$ $$S=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2},\qquad h=\frac{ab}{c},$$ $$a^2=c\cdot a_c,\qquad b^2=c\cdot b_c,\qquad h^2=a_c\cdot b_c.$$
Доказательство формул ${a^2=c\cdot a_c},$ ${b^2=c\cdot b_c}$ и ${h^2=a_c\cdot b_c}$

Треугольники $ABC$ и $CBH$ подобны: у каждого есть прямой угол, и угол $\beta$ у них общий. Поэтому ${\frac{c}{a}=\frac{a}{a_c}},$ то есть ${a^2=c\cdot a_c}.$ Точно так же у треугольников $ABC$ и $ACH$ общий угол $\alpha,$ поэтому ${\frac{c}{b}=\frac{b}{b_c}}$ и ${b^2=c\cdot b_c}.$

Подобны и треугольники $ACH$ и $CBH,$ так как ${\angle ACH=90^\circ-\alpha=\beta}.$ Поэтому ${\frac{h}{b_c}=\frac{a_c}{h}},$ то есть ${h^2=a_c\cdot b_c}.$ Складывая первые два равенства, получаем теорему Пифагора: ${a^2+b^2=c\,(a_c+b_c)=c^2}.$ Наконец, площадь, вычисленная через катеты и через гипотенузу, одна и та же: ${\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}},$ откуда ${h=\frac{ab}{c}}.$

Тригонометрические функции. Для острого угла $\alpha$

${{\sin\alpha=\frac{a}{c}},\quad{\cos\alpha=\frac{b}{c}},\quad{\tg\alpha=\frac{a}{b}},}$

поэтому ${a=c\sin\alpha=c\cos\beta}$ и ${b=c\sin\beta=c\cos\alpha}.$ Подробнее на странице Тригонометрия.

  • Середина гипотенузы равноудалена от трёх вершин. Она является центром описанной окружности, поэтому ${R=\frac{c}{2}},$ а медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: ${m_c=\frac{c}{2}}.$
  • Радиус вписанной окружности равен ${r=\frac{a+b-c}{2}}.$
  • В треугольнике с углами ${30^\circ},$ ${60^\circ}$ и ${90^\circ}$ катет, лежащий против угла ${30^\circ},$ равен половине гипотенузы. В равнобедренном прямоугольном треугольнике (${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$) гипотенуза равна ${c=a\sqrt2}.$
  • Обратная теорема Пифагора: если ${c^2=a^2+b^2},$ то угол, лежащий против стороны $c,$ прямой.

Пример. Катеты ${a=15}$ и ${b=20}.$ Тогда ${c=\sqrt{225+400}=25},$ ${h=\frac{15\cdot 20}{25}=12},$ ${a_c=\frac{a^2}{c}=\frac{225}{25}=9}$ и ${b_c=\frac{b^2}{c}=\frac{400}{25}=16}.$ Проверка: ${a_c+b_c=25=c}$ и ${a_c\cdot b_c=144=h^2}.$ Радиус описанной окружности ${R=12{,}5},$ радиус вписанной окружности ${r=\frac{15+20-25}{2}=5}.$ Ещё задачи: Задачи на теорему Пифагора.

Периметр и площадь

Периметр — это сумма сторон, ${P=a+b+c},$ а его половина — полупериметр ${p=\frac{a+b+c}{2}}.$ Площадь $S$ можно найти несколькими способами; формулу выбирают по известным данным.

ИзвестноФормулаПример
Сторона и высота к ней${S=\frac12\,a\,h_a}$${a=10}$ и ${h_a=6}$ дают ${S=30}$
Две стороны и угол между ними${S=\frac12\,ab\sin\gamma}$${a=8},$ ${b=5},$ ${\gamma=30^\circ}$ дают ${S=\frac12\cdot 8\cdot 5\cdot\frac12=10}$
Три стороны (формула Герона)${S}={\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$Для $13,$ $14,$ $15$ полупериметр ${p=21}$ и ${S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84}$
Радиус $r$ вписанной окружности${S=p\,r}$Для $13,$ $14,$ $15$ получаем ${r=\frac{84}{21}=4}$
Радиус $R$ описанной окружности${S=\frac{abc}{4R}}$Для $13,$ $14,$ $15$ получаем ${R}={\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}}={8{,}125}$

Другие формулы, в том числе для других фигур: Формулы площади.

Высота, медиана, биссектриса и серединный перпендикуляр

высотамедианабиссектрисасерединныйперпендикуляр
  • Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре. См. Высота треугольника.
  • Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны. Три медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении ${2:1},$ считая от вершины. См. Медиана треугольника.
  • Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину с точкой противолежащей стороны и делящий угол при этой вершине пополам. Три биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности.
  • Серединный перпендикуляр к стороне — прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через её середину. Три серединных перпендикуляра пересекаются в центре описанной окружности.
  • Средняя линия соединяет середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине. См. Средняя линия.

Равные и подобные треугольники

Два треугольника равны, если один можно наложить на другой так, что они совпадут; тогда все их соответствующие стороны и углы равны. Чтобы это доказать, достаточно трёх удачно выбранных равенств: см. Признаки равенства треугольников и решённые задачи на первый признак и на второй и третий признаки. Треугольники одной формы, но, возможно, разного размера — подобные: их углы равны, а стороны пропорциональны. См. Подобные треугольники.

Решённые задачи

Задача 1. Углы треугольника относятся как ${2:3:4}.$ Найдите их.

Решение. Пусть углы равны $2k,$ $3k$ и $4k.$ Тогда ${2k+3k+4k=180^\circ},$ то есть ${9k=180^\circ}$ и ${k=20^\circ}.$ Углы равны ${40^\circ},$ ${60^\circ}$ и ${80^\circ}.$

Задача 2. Существует ли треугольник со сторонами 4 см, 7 см и 12 см?

Решение. Нет. Наибольшая сторона слишком длинная: ${12\gt 4+7=11}.$

Задача 3. Две стороны треугольника равны 5 см и 9 см. Какой может быть третья сторона? Чему она равна, если треугольник равнобедренный?

Решение. По неравенству треугольника ${9-5\lt x\lt 9+5},$ то есть ${4\lt x\lt 14}.$ Если треугольник равнобедренный, третья сторона равна одной из двух других, то есть 5 см или 9 см. Оба числа лежат между 4 и 14, так что возможны оба случая.

Задача 4. Внешний угол при вершине $C$ равен ${130^\circ},$ а ${\alpha=55^\circ}.$ Найдите $\beta$ и $\gamma.$

Решение. ${\gamma=180^\circ-130^\circ=50^\circ}.$ Внешний угол равен ${\alpha+\beta},$ поэтому ${\beta=130^\circ-55^\circ=75^\circ}.$ Проверка: ${55^\circ+75^\circ+50^\circ=180^\circ}.$

Задача 5. Один из углов равнобедренного треугольника равен ${100^\circ}.$ Найдите два других угла.

Решение. Угол ${100^\circ}$ не может быть углом при основании: два равных угла при основании в сумме дали бы ${200^\circ}.$ Значит, это угол при вершине, а каждый угол при основании равен ${(180^\circ-100^\circ):2=40^\circ}.$

Задача 6. Периметр равностороннего треугольника равен 18 см. Найдите его высоту и площадь.

Решение. Сторона ${a=18:3=6}$ см. Тогда ${h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ см и ${S}={\frac{36\sqrt3}{4}}={9\sqrt3}\approx{15{,}59}$ см².

Задача 7. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу, высоту, проведённую к ней, и отрезки, на которые эта высота делит гипотенузу.

Решение. ${c=\sqrt{36+64}=10}$ см и ${h=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8}$ см. Проекция катета 6 равна ${\frac{36}{10}=3{,}6}$ см, проекция катета 8 равна ${\frac{64}{10}=6{,}4}$ см. Проверка: ${3{,}6+6{,}4=10}$ и ${3{,}6\cdot 6{,}4}={23{,}04}={4{,}8^2}.$

Задача 8. Найдите площадь треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см и высоту, проведённую к стороне 14 см.

Решение. ${p=\frac{13+14+15}{2}=21},$ и по формуле Герона ${S}={\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}}={\sqrt{7056}}={84}$ см². Высота ${h=\frac{2S}{14}=\frac{168}{14}=12}$ см.

Типичные ошибки

ОшибкаНеверноВерно
Неравенство треугольника проверено только для одной стороны$2,$ $3,$ $6$ — стороны треугольника, так как ${2+6\gt 3}$Проверяют наибольшую сторону: ${6\gt 2+3},$ поэтому такого треугольника нет
Гипотенузой названа не та сторонаГипотенуза 13, катет 5, поэтому второй катет равен ${\sqrt{13^2+5^2}}$${\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12}$
${S=\frac12 ab}$ для любых двух сторонДве стороны 5 и 8, поэтому ${S=20}$${S=\frac12\,ab\sin\gamma};$ площадь равна $20$ только при ${\gamma=90^\circ}$
Формула Герона с периметромДля сторон $3,$ $4,$ $5$ пишут ${S=\sqrt{12\cdot 9\cdot 8\cdot 7}}$${p=6},$ поэтому ${S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6}$
Два тупых углаРавнобедренный треугольник с углами при основании ${100^\circ}$Невозможно: ${100^\circ+100^\circ\gt 180^\circ}.$ Тупым может быть только угол при вершине
Любая высота равнобедренного треугольника принята за медиануЕсли ${AC=BC},$ высота из $A$ падает в середину $BC$Медианой является только высота, проведённая к основанию $AB$ (если треугольник не равносторонний)

Задачи для самостоятельного решения

Решите их сами, затем откройте ответ.

1. Два угла треугольника равны ${47^\circ}$ и ${68^\circ}.$ Найдите третий угол.

${180^\circ-47^\circ-68^\circ=65^\circ}$

2. Существует ли треугольник со сторонами 6, 10 и 15? Если да, то остроугольный он, прямоугольный или тупоугольный?

Да, так как ${15\lt 6+10=16}.$ Поскольку ${15^2}={225}\gt{6^2+10^2}={136},$ угол против стороны 15 тупой: треугольник тупоугольный. (Это правило разобрано на странице Классификация треугольников.)

3. Один из углов равнобедренного треугольника равен ${110^\circ}.$ Найдите два других угла.

${110^\circ}$ может быть только углом при вершине, поэтому каждый угол при основании равен ${(180^\circ-110^\circ):2=35^\circ}.$

4. Внешний угол при вершине $B$ равен ${100^\circ},$ а ${\alpha=30^\circ}.$ Найдите $\beta$ и $\gamma.$

${\beta=180^\circ-100^\circ=80^\circ}$ и ${\gamma=100^\circ-30^\circ=70^\circ}.$

5. Найдите высоту и площадь равностороннего треугольника со стороной 10 см.

${h=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3\approx 8{,}66}$ см и ${S}={\frac{100\sqrt3}{4}}={25\sqrt3}\approx{43{,}30}$ см².

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите гипотенузу, площадь и высоту, проведённую к гипотенузе.

${c=\sqrt{81+144}=15},$ ${S=\frac{9\cdot 12}{2}=54}$ и ${h=\frac{9\cdot 12}{15}=7{,}2}.$

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26, а один из катетов 10. Найдите другой катет и площадь.

${b}={\sqrt{676-100}}={\sqrt{576}}={24}$ и ${S=\frac{10\cdot 24}{2}=120}.$

8. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, основание равно 12 см. Найдите боковые стороны, высоту, проведённую к основанию, и площадь.

Каждая боковая сторона равна ${(32-12):2=10}$ см. Высота равна ${\sqrt{10^2-6^2}=8}$ см, а площадь ${\frac12\cdot 12\cdot 8=48}$ см².

9. Найдите площадь треугольника со сторонами 7, 8 и 9.

${p=12},$ поэтому ${S}={\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt{720}}={12\sqrt5}\approx{26{,}83}.$

10. Высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 4 и 9. Найдите высоту и катеты.

${h=\sqrt{4\cdot 9}=6}.$ Гипотенуза ${c=13},$ поэтому катеты равны ${\sqrt{13\cdot 4}=2\sqrt{13}\approx 7{,}21}$ и ${\sqrt{13\cdot 9}=3\sqrt{13}\approx 10{,}82}.$

Ещё о треугольниках: Классификация · Высота · Медиана · Признаки равенства · Подобные треугольники

Тесты

Определение типа треугольников по сторонам или углам
Треугольники и теорема Пифагора
Электронная почта:
Обратная связь  
© 2005 - 2026
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.