Калькулятор разложения многочлена на множители - пошаговое решение

Введите многочлен от одной или нескольких переменных. Калькулятор записывает его в виде произведения множителей с целыми коэффициентами, которые дальше не раскладываются, и показывает решение по шагам.

Разложить

Как вводить многочлен

• Степени записывайте с помощью ^: x^2 — это $x^2$, а (x+1)^3 — это $(x+1)^3$.
• Знак умножения можно не писать: 3xy, 2(x+1), (x+1)(x-2). Можно писать и 3*x*y.
• Каждая буква — отдельная переменная, поэтому xy означает ${x \cdot y}$.
• Коэффициенты могут быть дробями или десятичными числами: x^2/4 - 1, 0,5x^2 - 2.
• Сначала раскрываются скобки, поэтому можно проверить и своё разложение: (x+2)(x+3) - 2.

Примеры: $x^2 - 5x + 6$ $x^4 - 16$ $6x^2 + 7x - 3$ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ $ax + ay + bx + by$

Чтобы разделить многочлены, воспользуйтесь калькулятором деления многочленов.

Способы разложения на множители

Разложить многочлен на множители — значит записать его в виде произведения многочленов меньшей степени. Калькулятор применяет те же способы, которые изучают в школе, в таком порядке. Нажмите на пример, чтобы увидеть способ в действии.

1. Вынесение общего множителя за скобки. Выносим наибольший общий делитель коэффициентов и наибольшую степень каждой переменной, на которые делятся все члены.
   ${6x^2y - 9xy^2} = {3xy(2x - 3y)}$
   Пример: $3x^3 - 12x$
2. Разность квадратов. Сумма квадратов ${a^2 + b^2}$ на множители не раскладывается.
   ${a^2 - b^2} = {(a - b)(a + b)}$
   Пример: $x^4 - 16$
3. Полный квадрат (квадрат двучлена).
   ${a^2 + 2ab + b^2} = {(a + b)^2}$
   ${a^2 - 2ab + b^2} = {(a - b)^2}$
   Пример: $4x^2 - 12xy + 9y^2$
4. Сумма и разность кубов.
   ${a^3 + b^3} = {(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
   ${a^3 - b^3} = {(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$
   Пример: $8x^3 + 27$
5. Квадратный трёхчлен. Для ${x^2 + bx + c}$ ищем два числа $m$ и $n$, произведение которых равно $c$, а сумма равна $b$. Тогда
   ${x^2 + bx + c} = {(x + m)(x + n)}$
   Для ${ax^2 + bx + c}$ ищем два числа с произведением ${a \cdot c}$ и суммой $b$, представляем средний член в виде суммы двух одночленов с этими коэффициентами и раскладываем способом группировки. Если дискриминант ${D = b^2 - 4ac}$ отрицателен или не является точным квадратом, трёхчлен не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами.
   Примеры: $x^2 - 5x + 6$, $6x^2 + 7x - 3$, $x^2 + x + 1$
6. Группировка. Разбиваем члены на группы, у которых в скобках остаётся один и тот же множитель.
   ${ax + ay + bx + by} = {a(x + y) + b(x + y)} = {(a + b)(x + y)}$
   Примеры: $x^3 - 2x^2 - 9x + 18$, $x^2 + 2xy + y^2 - z^2$
7. Рациональные корни. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $\frac{p}{q}$, то $p$ — делитель свободного члена, а $q$ — делитель старшего коэффициента. Если ${x = r}$ — корень, то ${x - r}$ — множитель, и после деления на него (схема Горнера) остаётся многочлен меньшей степени.
   Пример: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
8. Выделение полного квадрата. Прибавляем и вычитаем слагаемое, чтобы получить разность квадратов.
   ${x^4 + 4} = {(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2} = {(x^2 + 2)^2 - (2x)^2}$
   Пример: $x^4 + 4$

Множители имеют рациональные коэффициенты. Поэтому ${x^2 - 2}$ остаётся как есть: он равен ${(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}$, но $\sqrt{2}$ — не рациональное число.

Прочие ресурсы включающие разложение на множители

Формулы разложения на множители Упрощение выражений многочленов - задачи и решения Калькулятор деления многочленов