Калькулятор обратной функции - пошаговое решение

Введите функцию от $x$. Калькулятор найдёт обратную функцию $f^{-1}(x)$, покажет пошаговое решение уравнения ${y = f(x)}$ и найдёт область определения и множество значений обеих функций. Если функция не является обратимой, калькулятор найдёт обратную функцию на каждом промежутке, где она обратима.

$f(x) =$

Примеры: $2x + 3$ $\frac{2x + 1}{x - 3}$ $x^2 - 4x + 1$ $\sqrt{x - 1}$ $3e^{2x - 1} + 4$ $\log_2(x + 3)$ $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$

Как вводить функцию

Степени записываются с помощью ^: x^2 — это $x^2$, e^(2x) — это $e^{2x}$, а 2^x — это $2^x$.
Знак умножения можно не писать: 2x, 3(x+1), 2sin(3x). Можно писать и 2*x.
(2x+1)/(x-3) — это $\frac{2x+1}{x-3}$: заключайте числитель и знаменатель в скобки.
sqrt(x) — это $\sqrt{x}$, cbrt(x) или x^(1/3) — это $\sqrt[3]{x}$, а root(x, 4) — это $\sqrt[4]{x}$.
ln(x) — натуральный логарифм, lg(x) и log(x) — десятичный логарифм, а log_2(x) — это $\log_2 x$.
sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), sh(x), ch(x), th(x).
|x| — модуль, pi — это $\pi$, а e — число $e$.
Можно ввести и f(x) = ... или y = .... В функции может быть только одна буква — её переменная.

Как найти обратную функцию

Обратная функция $f^{-1}$ отменяет действие функции $f$: если ${f(a) = b}$, то ${f^{-1}(b) = a}$. Чтобы найти её:

Заменим $f(x)$ на $y$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения ${y = f(x)}$.
Поменяем $x$ и $y$ местами.
Заменим $y$ на $f^{-1}(x)$.

Для ${f(x) = 2x + 3}$ получаем ${2x = y - 3}$ и ${x = \frac{y - 3}{2}}$, а после того как поменяем буквы местами, ${f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}}$. Можно сначала поменять $x$ и $y$ местами, а потом выразить $y$: ответ будет тем же.

Когда у функции есть обратная?

Обратная функция есть только у обратимой функции: каждое своё значение она должна принимать ровно при одном $x$. Функция, которая возрастает на всей области определения или убывает на ней, обратима. Любая горизонтальная прямая пересекает график обратимой функции не более чем в одной точке.

${f(x) = x^2}$ не является обратимой, так как ${f(-2) = f(2) = 4}$. При ${x \geq 0}$ она обратима, и обратная к ней функция — $\sqrt{x}$; при ${x \leq 0}$ обратная функция — $-\sqrt{x}$. Калькулятор сам находит такие промежутки. Для тригонометрических функций он даёт обратную функцию на промежутке главных значений, как $\arcsin$, $\arccos$ и $\operatorname{arctg}$.

Область определения $f^{-1}$ — это множество значений $f$, а множество значений $f^{-1}$ — это область определения $f$. График $f^{-1}$ симметричен графику $f$ относительно прямой ${y = x}$.

Обратные к основным функциям

$f(x)$	$f^{-1}(x)$
$x + a$	$x - a$
$ax$, ${a \neq 0}$	$\frac{x}{a}$
$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x}$
$x^3$	$\sqrt[3]{x}$
$x^2$, ${x \geq 0}$	$\sqrt{x}$
$e^x$	$\ln x$
$a^x$	$\log_a x$
$\sin x$, ${-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}}$	$\arcsin x$
$\cos x$, ${0 \leq x \leq \pi}$	$\arccos x$
$\operatorname{tg} x$, ${-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}}$	$\operatorname{arctg} x$

Методы с примерами

Калькулятор решает уравнение ${y = f(x)}$ так, как это делают в учебниках. Нажмите на пример, чтобы увидеть метод в действии.

Линейные функции. Действия отменяются в обратном порядке: вычитаем, затем делим.
${y = ax + b} \;\Rightarrow\; {x = \frac{y - b}{a}}$
Пример: $5x - 7$
Дробно-линейные функции. Умножаем обе части на знаменатель, переносим слагаемые с $x$ в одну часть и выносим $x$ за скобки.
${y = \frac{ax + b}{cx + d}} \;\Rightarrow\; {x = \frac{b - dy}{cy - a}}$
Примеры: $\frac{2x + 1}{x - 3}$, $\frac{x}{x + 1}$
Квадратичные функции. Выделяем полный квадрат и извлекаем квадратный корень из обеих частей. Квадратичная функция не является обратимой: её обратная функция имеет знак + по одну сторону от вершины параболы и знак − по другую. Функция вида ${x + \frac{1}{x}}$ тоже приводит к квадратному уравнению.
${ax^2 + bx + c} = {a(x - h)^2 + k}$
Примеры: $x^2 - 4x + 1$, $2x^2 + 8x - 5$, $x + \frac{1}{x}$
Степени и корни. Степень отменяется корнем, а корень — степенью. Квадратный корень не бывает отрицательным, поэтому обратная к $\sqrt{x - 1}$ функция равна ${x^2 + 1}$ только при ${x \geq 0}$.
${\sqrt[3]{x} = y} \;\Rightarrow\; {x = y^3}$
Примеры: $\sqrt{2x + 3} - 4$, $(x - 1)^3 + 4$
Показательные и логарифмические функции. Логарифмируем обе части или записываем логарифм в виде степени.
${a^x = y} \;\Leftrightarrow\; {x = \log_a y}$
Примеры: $3e^{2x - 1} + 4$, $\log_2(x + 3)$, $2^{x - 1} + 3$
Тригонометрические функции. Применяем обратную тригонометрическую функцию. Она даёт главное значение, поэтому получается обратная к $f$ функция на промежутке.
${\sin x = y},\; {-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}} \;\Rightarrow\; {x = \arcsin y}$
Примеры: $2\sin 3x + 1$, $\operatorname{arctg} 2x$
Замена переменной. Если $x$ встречается несколько раз, но всегда в одном и том же выражении, например $e^x$ или $\sqrt{x}$, обозначим это выражение через $u$, выразим $u$, а затем $x$. Примеры: $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$, $e^{2x} - 2e^x$

Другие материалы о функциях

Обратная функция - определение и примеры Область определения и множество значений Функции Логарифмы, log, ln, lg